双曲线画法

第十课 双曲线的画法的画法和性质

一．双曲线的定义：

1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 2．双曲线的标准方程：

设M (x , y )是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0)，则 ||MF 1|－|MF 2||＝2a ,

∴

a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10－1

整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程

122

22

=-b

y a x . 3．双曲线的第二定义：

设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到

定直线l : x ＝c

a 2

的距离的比是常数

a

c

(c >a >0)，则点M 的轨迹是双曲线。点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于

焦点F 的准线。常数e ＝a

c

(e >1)是双曲线的离

心率。 图10－2

4．双曲线的参数方程：

以原点为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆，|OA |＝a , |OB |＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点，点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ，交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，

过点P 作PR ⊥OP ，交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点

M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么

x ＝|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, y ＝|RM |＝|CN |＝|OC |t g φ＝bt g φ,

图10－3

∴ 双曲线的参数方程是⎩

⎨⎧φ=φ

=btg y a x sec (φ是参数).

二．双曲线的画法： 画法1：

图10－4

1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB |＝2a ，(|AB |<|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|AB |；

4．在AB 延长线上分别取C '，使|BC '|＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ；

5．分别以F 1、F 2为圆心，用|BC |、|AC |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC |、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；

6．依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。

理论根据：点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的差等于两圆的半径的差, 即 ||PF 1|－|PF 2||＝|AC |－|BC |＝|AB |＝2a .

说明：点C 不要直接在BC 上取，那样画出来的双曲线将在x 轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点C 在BC 上运动时，当点C 非常接近点B 时，两圆没有交点，于是画出来的图形就不好看了。

2a B C

A

画法2：

1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a <|F 1F 2|)；

图10－5

3．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；

4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与直线PF 1交于点M ，连接MF 2；

5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。

理论根据：

点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|－|MF 2|＝|MF 1|－|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的差等于定长2a 。点M 的轨迹是一个双曲线。

画法3：1．在平面直角坐标系中取点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，把它们作为焦点，在OF 1

上取一点A 1，使它作为双曲线的顶点；

2．度量OF 1、OA 1，把它们的长分别作为c 和a ，使a

3．计算c c a -2，在Ox 轴上取一点N ，使|ON |＝c c

a -2

,过点N 作Ox 轴的垂线作为双

曲线的准线；

4．选中Ox 轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；

5．计算e ＝a c ，并度量|NP |的长，计算|NP |×a

c

；

6．以点F 2为圆心，|NP |×a

c

为半径作圆，此圆与过点P 且垂直于Ox 轴的直线相交于

M 1，M 2两点；

7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。