正态总体均值的假设检验
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 正态总体均值的假设检验
一. 单个正态总体 N (, 2 ) 均值 的检验
1. 2 已知，关于 的检验 ( U 检验 )
(1) 检验假设:
H0 : 0 , H1 : 0
取检验统计量:
X 0
~
N (0,1)
n
在 2 已知条件
下用服从N (0,1)
的统计量检验正
态总体 的方
法为 U 检验法
u
或
x
0
u
H0 的接受域
n
1
H0 的拒绝域
u
概率统计
某种元件的寿命 的寿命(小时)如下：
X ~ N(均,未 2知), .现,测2 得16只元件
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问能否认为元件的平均寿命大于225(小时)? ( 0.05) 依为题什意么，会要提检出验“假平设均寿命大于225小时”的问题
n
5
拒绝 H0 ，可认为现在的生产是不正常的。
概率统计
例2 已知某正态总体的方差为 49，抽测 24个样本值
的均值为 x 55.8
问：总体均值 55 是否成立 ( 0.05 )
解: 假设 H0 : 55 , H1 : 55
显然它与检验 H0 : 55 时的讨论是一样的。
取统计量
在样本观察值中,有7个数据值远大于225, 采用单边 t检验有法3个,求数得据值H的0接拒近绝2域25是
Xx 2041 Sn2t2(5n 1) 225 43.269 268.269 其中 n 16,t0.05实(15际) 问1.题753需1,要s 98.7259
即认x为怎元2样4件1提的2HH假6平008： ：设.均269寿命00 不不22大拒2255,,绝于HH2H112： ：05(小时00 ). 概率统计 H0： 0 225, H1： 0
问：能否接受这批物质 ? 0.05
解: 设 H0 : 0 100 , H1 : 0 100
Q 2 未知，所以用 t 检验。
经计算
x 100 s
99.6 100 4.044
0.629
10
10
概率统计
t (10 1) t0.05 (10 1) 2.2622 而 0.629 2.2622
P(
x 0
z ) ;
而后者是利用概率关系式：
n
2
P(
x
0
z
)
或
P(
x
0
z )
n
n
概率统计
2. 2 未知，关于 的检验 ( t 检验 )
(1) 检验假设:
在 2未知条件下用服
H0 : 0 , H1 : 0
从 N (0,1的)统计量
检验正态总体 的 方
因为 2未知，所以可以考虑用 法为 检t 验法
2 的无偏估计 s 2来代替，故有:
取检验统计量
X 0 ~ t (n 1)
s
n
则有：
P{拒 绝H0
H
为
0
真}
P0 {
x s
0
k}
k t (n 1)
n
2
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
H0 的接受域
2
2
H0 的拒绝域
1
x 0
s
t (n 1)
n
2
t t
2
2
(2) 检验假设： H0 : 0 , H1 : 0
例1. 已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从
正态分布N (4.55, 0.1082 ) , 现又测了5 炉铁水，
其含碳量分别为:
4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 ( 0.05)
问：当总体标准差没有改变时，现在生产是否正常?
解: 假设 H0 : 0 4.55 , H1 : 0 4.55
或 H0 : 0 , H1 : 0
概率统计
同(1)讨论类似，则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x s
0
t (n 1)
H0 的拒绝域
H0 的接
受域
n
1
或
t
x 0
s
t (n 1)
H0 的接
受域
n
H0 的拒绝域 1
t
概率统计
例3 某库房要验收大批同类物质，根据以往的经验， 这批物质每件的重量服从正态分布。按规定这批 物质平均每件重量应为 100 公斤，今抽取10 件, 测得其均值 x 99.6, s2 4.044
检验假设: H0 : 1 2 , H1 : 1 2
为已知常数，显著水平为
概率统计
Q 检验统计量
(X Y)
sw
11 n1 n2
的讨论均可归为如下统一形式的讨论:
H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 )
因为它们的拒绝域是一致的
概率统计
(2) 对于 H0 : 0 , H1 : 0 与 H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 )
检验过程中唯一不同的是在查正态分布表时， 前者是利用概率关系式：
2
2
接受 H0 ，即可认为该库房应接受这批物质。
二. 两个正态总体均值差的检验
设 X1,
X 2 ,L
,
X
n
是来自
1
N
(
1
,
2 1
)
的样本,Y1
,
Y2
L
Yn 2
是来自N
(2
,
2 2
)的样本,它们相互独立
x,
y,
s12
,
s22
分别是两个总体的均值与方差
1.
当
2 1
2 2
2 未知时 ( t 检验 )
U
X 0
~
N (0,1)
n
给定显著性水平 0.05
因为是单边检验，所以： z z 0.05 1.64
概率统计
经计算
x 55 7
55.8 55 7
0.56
1.64
24
24
接受 H0 ，即可以认为总体均值 55 是成立的
注: (1) 对于 H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 ) 与 H0 : 0 , H1 : 0 或 H0 : 0 , H1 : 0
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x 0 Hale Waihona Puke Baidu
u
n
2
H0 的接受域 H0 的拒绝域
2
2
(2) 检验假设：
H0 : 0 , H1 : 0 或 ( 0 )
取检验统计量:
X 0
~ N (0, 1)
n
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x
0
u
n
H0 的接受域
H0 的拒绝域 1
Q 总体标准差没有改变，即 2已知的情况
统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
概率统计
给定显著性水平 0.05
从而： 经计算
z z 0.025 1.96
2
4.28 4.40 4.42 4.35 4.37
x
4.364
5
则：
x 0
4. 364 4.55 0.108
3.9
1.96
一. 单个正态总体 N (, 2 ) 均值 的检验
1. 2 已知，关于 的检验 ( U 检验 )
(1) 检验假设:
H0 : 0 , H1 : 0
取检验统计量:
X 0
~
N (0,1)
n
在 2 已知条件
下用服从N (0,1)
的统计量检验正
态总体 的方
法为 U 检验法
u
或
x
0
u
H0 的接受域
n
1
H0 的拒绝域
u
概率统计
某种元件的寿命 的寿命(小时)如下：
X ~ N(均,未 2知), .现,测2 得16只元件
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问能否认为元件的平均寿命大于225(小时)? ( 0.05) 依为题什意么，会要提检出验“假平设均寿命大于225小时”的问题
n
5
拒绝 H0 ，可认为现在的生产是不正常的。
概率统计
例2 已知某正态总体的方差为 49，抽测 24个样本值
的均值为 x 55.8
问：总体均值 55 是否成立 ( 0.05 )
解: 假设 H0 : 55 , H1 : 55
显然它与检验 H0 : 55 时的讨论是一样的。
取统计量
在样本观察值中,有7个数据值远大于225, 采用单边 t检验有法3个,求数得据值H的0接拒近绝2域25是
Xx 2041 Sn2t2(5n 1) 225 43.269 268.269 其中 n 16,t0.05实(15际) 问1.题753需1,要s 98.7259
即认x为怎元2样4件1提的2HH假6平008： ：设.均269寿命00 不不22大拒2255,,绝于HH2H112： ：05(小时00 ). 概率统计 H0： 0 225, H1： 0
问：能否接受这批物质 ? 0.05
解: 设 H0 : 0 100 , H1 : 0 100
Q 2 未知，所以用 t 检验。
经计算
x 100 s
99.6 100 4.044
0.629
10
10
概率统计
t (10 1) t0.05 (10 1) 2.2622 而 0.629 2.2622
P(
x 0
z ) ;
而后者是利用概率关系式：
n
2
P(
x
0
z
)
或
P(
x
0
z )
n
n
概率统计
2. 2 未知，关于 的检验 ( t 检验 )
(1) 检验假设:
在 2未知条件下用服
H0 : 0 , H1 : 0
从 N (0,1的)统计量
检验正态总体 的 方
因为 2未知，所以可以考虑用 法为 检t 验法
2 的无偏估计 s 2来代替，故有:
取检验统计量
X 0 ~ t (n 1)
s
n
则有：
P{拒 绝H0
H
为
0
真}
P0 {
x s
0
k}
k t (n 1)
n
2
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
H0 的接受域
2
2
H0 的拒绝域
1
x 0
s
t (n 1)
n
2
t t
2
2
(2) 检验假设： H0 : 0 , H1 : 0
例1. 已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从
正态分布N (4.55, 0.1082 ) , 现又测了5 炉铁水，
其含碳量分别为:
4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 ( 0.05)
问：当总体标准差没有改变时，现在生产是否正常?
解: 假设 H0 : 0 4.55 , H1 : 0 4.55
或 H0 : 0 , H1 : 0
概率统计
同(1)讨论类似，则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x s
0
t (n 1)
H0 的拒绝域
H0 的接
受域
n
1
或
t
x 0
s
t (n 1)
H0 的接
受域
n
H0 的拒绝域 1
t
概率统计
例3 某库房要验收大批同类物质，根据以往的经验， 这批物质每件的重量服从正态分布。按规定这批 物质平均每件重量应为 100 公斤，今抽取10 件, 测得其均值 x 99.6, s2 4.044
检验假设: H0 : 1 2 , H1 : 1 2
为已知常数，显著水平为
概率统计
Q 检验统计量
(X Y)
sw
11 n1 n2
的讨论均可归为如下统一形式的讨论:
H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 )
因为它们的拒绝域是一致的
概率统计
(2) 对于 H0 : 0 , H1 : 0 与 H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 )
检验过程中唯一不同的是在查正态分布表时， 前者是利用概率关系式：
2
2
接受 H0 ，即可认为该库房应接受这批物质。
二. 两个正态总体均值差的检验
设 X1,
X 2 ,L
,
X
n
是来自
1
N
(
1
,
2 1
)
的样本,Y1
,
Y2
L
Yn 2
是来自N
(2
,
2 2
)的样本,它们相互独立
x,
y,
s12
,
s22
分别是两个总体的均值与方差
1.
当
2 1
2 2
2 未知时 ( t 检验 )
U
X 0
~
N (0,1)
n
给定显著性水平 0.05
因为是单边检验，所以： z z 0.05 1.64
概率统计
经计算
x 55 7
55.8 55 7
0.56
1.64
24
24
接受 H0 ，即可以认为总体均值 55 是成立的
注: (1) 对于 H0 : 0 , H1 : 0 (或 0 ) 与 H0 : 0 , H1 : 0 或 H0 : 0 , H1 : 0
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x 0 Hale Waihona Puke Baidu
u
n
2
H0 的接受域 H0 的拒绝域
2
2
(2) 检验假设：
H0 : 0 , H1 : 0 或 ( 0 )
取检验统计量:
X 0
~ N (0, 1)
n
概率统计
则在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x
0
u
n
H0 的接受域
H0 的拒绝域 1
Q 总体标准差没有改变，即 2已知的情况
统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
概率统计
给定显著性水平 0.05
从而： 经计算
z z 0.025 1.96
2
4.28 4.40 4.42 4.35 4.37
x
4.364
5
则：
x 0
4. 364 4.55 0.108
3.9
1.96