2014届高考数学一轮复习教学案简单的三角恒等变换

第六节

简单的三角恒等变换

[知识能否忆起]

半角公式(不要求记忆)

1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α

2

.

sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α

1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.

sin α

2＝± 1－cos α2；cos α

2＝± 1＋cos α

2

； tan α2

＝± 1－cos α

1＋cos α

.

3．用sin α，cos α表示tan α

2.

tan α2＝sin α

1＋cos α＝1－cos αsin α

. [小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α

2等于( )

A.6

3 B ．－63 C.

3

3

D ．－

33

解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫

π2，π， ∴cos α

2＝－

1＋cos α

2

＝－ 1＋132＝－63

.

2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭

⎫π

12等于( )

A.12 B ．－12

C.

3

2

D ．－

32

解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝1

2，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )

A ．3

B ．6

C ．12

D.3

2

解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos α

cos 2

α ＝2＋2tan α＝3. 4.

sin 20°cos 20°

cos 50°

＝________.

解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝1

2sin 40°

sin 40°＝1

2.

答案：1

2

5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.

解析：1

cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α

＝

cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α

1－tan α

＝2 013.

答案：2 013

三角恒等变换的常见形式

三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及

和、差、倍角公式进行转化求解．

(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利

用条件进行转化求解．

(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，

不同角则化同角，利用公式求解变形即可．

典题导入

[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋

1

2

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .

[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋

1

2

2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭

⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x

＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 2

2x

sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x

＝1

2

cos 2x . 由题悟法

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

以题试法

1．化简⎝ ⎛⎭

⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α

2cos α2

＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsin

α2cos αcos α2

＝2cos α

sin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α

2cos αcos

α

2 ＝

2cos αsin α·cos

α2

cos αcos

α2

＝2

sin α

. 法二：原式＝1－tan 2

α

2

tan α

2

·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2 ＝2

tan α·cos αcos α2＋sin αsin

α

2cos αcos

α

2 ＝

2cos αsin α·cos α2

cos α·cos

α2

＝2

sin α

.

典题导入

[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°＝( )

A ．－3

2 B ．－12

C.12

D.32

. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－4

5，则2α＋β＝________.

[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°

cos 17°

＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝

sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1

2

.

(2)∵sin α＝3

5

，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，