2014届高考数学一轮复习教学案简单的三角恒等变换

合集下载

2014版高考数学一轮总复习第21讲简单的三角恒等变换课件理新人教A版

2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角．
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝＝－， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”，利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为低次，最后弦化切，统一三角名称．
素材3
sin2α＋β sinβ 求证：－2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】左边＝－ sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝＝＝右边． sinα sinα 故等式成立．
【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝，tan(β－ )＝，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析

Word File山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析撰写人：XXX第 2 课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简 1.化简tanα＋1tan π4 ＋α2＝( ) A.cosα B．sinα C.1cosα D.1sinα 答案 C 解析原式＝2tan α21－tan 2 α2＋1－tan α21＋tan α2 ＝2tan α2 ＋1－tan α221－ta n 2 α2＝1＋tan 2 α21－tan 2 α2 ＝cos 2 α2 ＋sin2 α2cos 2 α2 －sin2 α2＝1co sα . 2.化简：1＋sinθ＋cosθsin θ2 －cosθ22＋2cosθ(00，∴ 2＋2cosθ＝4cos 2 θ2 ＝2cosθ2 . 又(1＋sinθ＋cosθ) sin θ2 －cosθ2 ＝2sin θ2 cosθ2 ＋2cos2 θ2 sin θ2 －cosθ2 ＝2cos θ2sin 2 θ2 －cos2 θ2＝－2cos θ2 cosθ，故原式＝－2cos θ2 cosθ2cos θ2＝－cosθ. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 1. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果为________．答案－2sin4 解析原式＝ 4cos 2 4＋2 sin4－cos4 2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π40，θ∈ 0，π2，所以 02)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2 ，π2，则α＋β＝________. 答案－3π4 解析由根与系数的关系且 a>2 得，tanα＋tanβ＝－3a0.所以tanα0)在区间－π4 ，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是( ) A.12 ，23 B. 13 ，23 C.13 ，23 D. 12 ，23 答案 D 解析 f(x)＝2sinωx ·1－cos ωx＋π22－sin 2 ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin 2 ωx＝sinωx. 所以区间－π2ω ，π2ω(ω>0)是函数 f(x)含原点的递增区间．又因为函数 f(x)在－π4 ，3π4上单调递增，所以－π4 ，3π4⊆－π2ω ，π2ω，所以－π2ω ≤－π4 ，π2ω ≥3π4，又ω>0，所以 00)个单位长度，平移后的图象关于 y 轴对称，则 a 的值可能为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 答案 B 解析 f(x)＝2 3sinx·cosx－2cos 2 x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π6.将其图象向左平移 a 个单位长度，所得图象对应的解析式为 y＝2sin 2x＋a－π6＝2sin 2x＋2a－π6，因为平移后的图象关于 y 轴对称，所以2a－π6 ＝kπ＋π2 ，k∈Z.即a＝kπ2＋π3 ，k∈Z.当 k＝0 时，a＝π3 . 2.(2020·石家庄模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|b>c B．b>a>c C.c>a>b D．a>c>b 答案 D 解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝si n13°. b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝1－tan 2 39°1＋tan2 39°＝1－sin2 39°cos 2 39°1＋sin2 39°cos 2 39°＝cos 2 39°－sin 2 39°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b. 2.化简cos 2 x－π12＋sin 2 x＋π12＝( ) A.1＋ 12 cos2x B．1＋ 12 sin2x C.1＋cos2x D．1＋sin2x答案 B 解析原式＝1＋cos 2x－π62＋1－cos 2x＋π62＝1＋ 12cos 2x －π6－cos 2x＋π6＝1＋12 ·2sin2xsinπ6 ＝1＋12 sin2x. 3.(2020·湖北重点中学联考)已知 A(x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转30°到 OB，交单位圆于点 B(x B ，y B )，则 x A －y B 的最大值为( ) A. 2 B.32 C．1 D. 12 答案 C 解析设 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为α，根据三角函数定义 x A ＝cosα，y B ＝sin(α＋30°)，所以 x A －y B ＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12 cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为 1.故选 C. 4.(2020·济南一模)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若 m 2 ＋n＝4，则m n2cos 2 27°－1 ＝( ) A.8 B．4 C．2 D．1 答案 C 解析由题意得 n ＝4－m 2 ＝4－4sin 2 18°＝4cos 2 18°，则m n2cos 2 27°－1 ＝2sin18° 4cos 2 18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°sin36° ＝2，故选 C. 5.已知α 为第四象限角，sinα＋cosα＝ 15 ，则tanα2 的值为( ) A.－ 12 B. 12C．－ 13 D. 13 答案 C 解析将sinα＋cosα＝ 15 的等号两边同时平方，得 1＋2sinαcosα＝125 ，得2sinαcosα＝－2425 ，所以(sinα－cosα)2 ＝1－2sinαcosα＝ 4925 .因为α 为第四象限角，所以sinα0，所以sinα－cosα＝－ 75 ，结合sinα＋cosα＝15 ，解得sinα＝－35 ，cosα＝ 45 .所以 tanα2 ＝sin α2cos α2＝2sin α2 cosα22cos 2 α2＝sinα1＋cosα ＝－13 .故选C. 6.(2021·福州外国语学校适应性考试)已知 A，B 均为钝角，sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝5－ 1510，且 sinB ＝1010，则 A＋B＝( ) A. 3π4 B.5π4 C. 7π4 D. 7π6 答案 C 解析因为 sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝ 1－cosA2＋ 12 cosA－32sinA＝ 12 －32sinA＝5－ 1510，所以 sinA＝55，因为 A，B 均为钝角，所以 A＋B∈(π，2π)，由 sinA＝55得 cosA ＝－ 2 55，由 sinB＝1010得 cosB＝－ 3 1010，所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，所以 A＋B＝7π4. 7.(2020·洛阳三模)函数 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2x·sinπ4的单调递减区间是( ) A. kπ＋π8 ，kπ＋5π8，k∈ZB. kπ＋π8 ，kπ＋3π8，k∈ZC. kπ－π8 ，kπ＋3π8，k∈ZD.kπ＋3π8，kπ＋5π8，k∈Z 答案 B 解析 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2xsinπ4 ＝log 12 sin2x－π4.令 t＝sin 2x－π4，则 y ＝log 12 t.因为 y＝log12 t 在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数 y＝log 12 sin 2x－π4的单调递减区间，只要求出 t＝sin 2x－π4的单调递增区间，同时注意 t＝sin 2x－π4>0.由2kπ0，∴2sinα＝3cosα，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cosα＝213 ，sinα＝313 ，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22sinα＋cosαsinα＋cosα 2 ＋cos 2 α－sin 2 α＝24cosα ＝268. 5.设函数 f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意x∈R，有 g x＋π2＝g(x)，且当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)．求函数 g(x)在[－π，0]上的解析式．解 (1)函数f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x ＝22 cos2xcos π4 －sin2xsinπ4＋sin 2 x ＝ 12 cos2x －12 sin2x＋12 －12 cos2x＝12 －12 sin2x，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π2＝π. (2)当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)，即 g(x)＝ 12 －12 －12 sin2x ＝12 sin2x. 当x∈ －π2 ，0 时，x＋π2 ∈ 0，π2，因为 g x＋π2＝g(x)，所以 g(x)＝g x＋π2＝ 12 sin 2 x＋π2 ＝－ 12 sin2x. 当x∈ －π，－π2时，x＋π∈ 0，π2，可得 g(x)＝g(x＋π)＝ 12 sin[2(x＋π)]＝12 sin2x. 所以函数 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－ 12 sin2x －π2 <x≤0 ，12 sin2x －π≤x≤－π2.山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析中考化学《第十一单元,盐,化肥》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第一单元,走进化学世界》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第三单元,物质构成奥秘》巩固复习题精编（含详细答案解析）最新人教版三年级数学上册第一学期期末总复习教案教学设计全册Best work give best you最好的资料给最好的你。

高考数学一轮复习第四章第六节简单的三角恒等变换教案文(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学教案

第六节简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨⎧1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sin α＝2tanα21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2.(2)恒等式：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题体验] 1．计算：cos2π8－12＝________. 解析：原式＝2cos 2π8－12＝cosπ42＝24.答案：242．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，两式展开相加得2sin x cos π4＝75， ①两式相减得2cos x sin π4＝－15， ②①②两式相除得tan x ＝－7. 答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．[小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin 2x ＝13，则sin x －cos x ＝________.解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin x ＜cos x ，又sin 2x ＝13，∴sin x －cos x ＝－sin x －cos x2＝－1－sin 2x ＝－63. 答案：－632．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝1－cos αsin α＝2.答案：2考点一三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.答案：22cos α2．化简：1＋sin θ＋cos θ·⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．考点二三角函数式的求值题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，若f (α)＝26，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2α＝________.解析：法一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为f (α)＝26，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13.法二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝ 12sin 2x ＋12cos 2x ，因为f (α)＝26，所以sin 2α＋cos 2α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos π4cos 2α＋sin π4sin 2α＝22(cos 2α＋sin 2α)＝22×23＝13. 答案：13角度二：给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12c os 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：1角度三：给值求角 3．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β＝________.解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，因为sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又因为sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.答案：7π4[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：782.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.答案：－123．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，所以tan 2α＝－34.因为2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2α＝35，cos 2α＝－45.所以sin 2α＋cos 2α＝－15.答案：－15考点三三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1. (2019·睢宁模拟)已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值．解：(1)函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12＝3sin x cos x ＋1－cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R)，求：(1)函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)．(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用](2019·南通中学检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62， ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，∴2x 0＝k π－π6(k ∈Z)，∴g (2x 0)＝1＋12sin 4x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝4－34.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1＋12sin 2x＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＝32＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴h (x )＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.即函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝sin αcos α，得α为锐角，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝255，cos α＝55，∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αtan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－794．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝________.解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.答案： 25．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos 2A2－cos 2(B ＋C )＝72，则角A 的大小为________．解析：由4cos 2A 2－cos 2(B ＋C )＝72，得2(1＋cos A )－cos 2(π－A )＝72，化简得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3. 答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝________. 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，则tan 2α＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，可得cos α＝－35. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3t an 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 34．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3. 答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0， ∴3π2＜α＋π4≤7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7210， cos α＝－1－sin 2α＝－210， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－2425，sin 2α＝2sin αcos α＝725，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝－31250. 答案：－31250 6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：137．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析：由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103，所以1sin αcos α＝103，所以sin 2α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2108．(2019·南京模拟)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴tan α＝3或tan α＝13(舍去)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0. 答案：09．(2018·南通调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10．(2019·扬州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin α的值；(2)若cos β＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝7210×22－210×22＝35. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝45， ∵cos β＝13，β∈(0，π)，∴sin β＝1－cos 2β＝223， ∴cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，sin 2β＝2sin βcos β＝2×223×13＝429， ∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＋35×429＝122－2845. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________. 解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32．化简：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11＝________. 解析：原式＝－cos π11cos 2π11cos 8π11cos 4π11cos 5π11＝－2sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π112sin π11＝－18·si n 16π11cos 5π112sin π11＝sin 5π11cos 5π1116sin π11＝12sin 10π1116sin π11＝132. 答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. 所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6. 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

简单的三角恒等变换

1 ，则 tan 3

2
2 2
④ 1 tan 45
；
① 1 sin 2 cos2
② 1 2 cos2 cos2
③ 1 cos2 2 sin 2 ；；
三、反馈训练（课堂巩固、巩固训练）训练：①tan17+tan28+tan17tan28＝ ②函数 f ( x) cos 2 x 2 3 sin x cos x 的最小正周期是
2 2s i n ④ 1 c o s
②1 s i n s i n c o s ；③ 1 cos 2 cos 2 ； 2 2 2
⑤ sin 2

2
重点难点灵活运用二倍角公式解决实际问题一、自主学习阅读必修 4 第一章教材背诵相关公式。二、合作探究 1.二倍角公的三角函数公式 ① sin 2 ； ② cos 2 ③ tan 2 （公式成立的条件是 3 训练：①已知 sin( ) ，则 cos 2 ； 5
sin
b a b
2 2
cos ) a 2 b 2 sin( ) （其中
③函数 y sin x 3 cos x 在区间[ 0,

2
]的最小值为
；
sin
④
b a2 b2
， cos
a a2 b2
）
sin 2
，，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降
嫩江一中高中 2013-2014 高三上学期数学科一轮复习导学案 006
编制: 王杰、马金香
审核人：集体备课审核
使用时间：2014 9
2
班级:

【精品】高三数学一轮复习第12讲三角恒等变换及应用教案

(1)由条件知＝＝3，
则tanα＝2.
故tan(β－2α)＝tan
＝＝＝ .
(2)因为α为锐角，cos ＝，
所以sin ＝，sin 2 ＝，
cos 2 ＝，
所以sin ＝sin
＝ × － × ＝ .
(1) (2)
由题悟法
1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
即sinα＝，cosβ＝ .
∴cosα＝，sinβ＝ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝ × － × ＝ .
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
（1）降幂Байду номын сангаас式
；；。
（2）辅助角公式
，
。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
答案：(1)－ (2)B
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
(2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2 － sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f ＝，求的值．
(1)∵f(x)＝2cos2 － sinx＝1＋cosx－ sinx＝1＋2cos ，

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节三角恒等变换教学案含解析理

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节三角恒等变换教学案含解析理第五节三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)t a n(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)t a n 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)； (2)t a n α－t a n β＝t a n(α－β)(1＋t a n αt a n β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中t a n α＝b a)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定． ( )(3)公式t a n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋c os 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210C.7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A.]4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15° ＝2tan 15°1－tan 215°＝t a n 30°＝33. ]三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α，则t a n α＝( )A ．－1B ．0C.12D ．1A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以t a n α＝sin αcos α＝－1，故选A.]2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B.12C.32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( ) A.23 B.43 C.34 D.32D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C ．－79D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28 C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则t a n(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B. (2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.(3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以t a n(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)t a n 20°＋t a n 40°＋3t a n 20°t a n 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°)＝________.(1)3 (2)1 [(1)由t a n(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得t a n 20°＋t a n 40°＝3(1－t a n 20°t a n 40°)∴原式＝3(1－t a n 20°t a n 40°)＋3t a n 20°t a n 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且t a n(α－β)＝12，t a n β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4 [(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.(2)因为t a n α＝t a n[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为t a n 2α＝2tan α1－tan 2α＝＝34＞0，所以0＜2α＜π2，所以t a n(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为t a n β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.][规律方法] 三角函数求值的三种情况1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.(1)若0＜α＜π，－π＜β＜0，cos ⎛⎪⎫π＋α＝1，cos ⎛⎪⎫π－β＝3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.539 B ．－69C.33D ．－33(2)1－cos 210°cos 80°1－co s 20°＝________. (3)(2019·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22.(3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵－π3≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. [规律方法] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin ωx ＋φ＋t 或余弦型函数y ＝A cos ωx ＋φ＋t 的形式，再利用三角函数的图象与性质求解.(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6，∴f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223，∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )m ax ＝65，故选A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15 D ．－725D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255 D ．1B [由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|t a n α|＝55.由题意知|t a n α|＝a －b 1－2，所以|a －b |＝55.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知t a n α－5π4＝15，则t a n α＝________. 32 [法一：因为t a n α－5π4＝15，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得t a n α＝32. 法二：因为t a n α－5π4＝15，所以t a n α＝t a n α－5π4＋5π4＝tan α－5π4＋tan 5π41－tan α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.] 5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．5 [f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x ，设sin α＝255，cos α＝55，则f (x )＝5sin(x ＋α)，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高三数学一轮复习三角恒等变换及应用教案

三角恒等变换及应用tan tan 1tan tan αβα±ααcos ；αα2sin -tan α。

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二．典例分析(2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．(1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入(2013·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． (1)∵f (x )＝2cos 2x 2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.45B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435，即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45.(2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角的变换典题导入(1)(2012·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．(1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2. 故tan(β－2α)＝tan ＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. (1)43 (2)17250由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.1318 B.1322C.322D.16解析：选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos2α2－sin2α2sin α2·co s α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·co sα2＝2sin α.三角函数式的求值典题导入(1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.(1)原式＝sin30°＋17°－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2.∴2α＋β＝π. (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.三角恒等变换的综合应用典题导入(2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：2－2＝0.(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，tan tan 1tan tan αβα±ααcos ； αα2sin -tan α。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1

第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1，又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形．探究三三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45，所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

高三数学一轮复习教案：第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换教学目标知识与技能：掌握解三角函数的给值求值问题的基本步骤。

过程与方法：能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).情感与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．授2课时【课题】第六节简单的三角恒等变换【授课时间】 2020年月日班级：高三（）班【教学目标】能运用公式进行简单的恒等变换【教学重点】三角函数式化简的方法，即，弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．【教学难点】进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；【课型】辅导课【教学用具】班班通【教学方法】讲练结合法，讨论法，分析法【教学过程】初次备课二次备课一、德育教育：二、预习检测：化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．－1 D ．1三、新课引入：用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2si n αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.四、新课讲授：1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( ) A 817， B.153＋834 ， C.15－8334 ，D.15＋8334解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，所以α－π3∈⎝⎛⎭⎫π6，π2是锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＞0，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－⎝⎛⎭⎫15172＝817，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3sin π3＝1517×12＋817×32＝15＋8334.故选D. 答案：D 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C. 29 D.79答案：A3．若sin 80°＝m ，则用含m 的式子表示cos 5°＝ . 答案： m ＋121．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( ) A ．1 B.3 C.2 D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C. 答案：C 2．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18解析：cos 2x ＝2cos 2x －1＝18. 答案：D 3．(2020·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝。

高考数学大一轮复习 4.6 简单的三角恒等变换导学案理

简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ()A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ()A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ()A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin α＋π4cos 2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2xsin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x sin x sin 2x＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，[4分]所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＋351＋m ＋12，[11分]解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于 ( )A.1318B.1322C.322D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12 (其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 35．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.1B.2C.3D ．1 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α 2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2(sin α±cos α)2自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x )＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10，当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )＝1＋cos 2x 2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin α＋π4cos 2α＋4π＝22sin α＋cos αcos 2α＝22sin α＋cos αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. (2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π.又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α] ＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x2.(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]．变式迁移3 证明因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋cos x －1][sin x －cos x －1]＝2sin x cos x sin 2x －cos x －12 ＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1 ＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x＝sin x 1＋cos x 1－cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α， ∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.]2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.]3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＝－12.]4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.] 6．－247解析因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin 180°－20°16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝1－cos 2α21＋cos 2α2＝2sin 2α22cos 2α2＝tan 4α.………………………………………………………(12分)10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R.………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。

2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册21简单的三角恒等变换(附详细解析)

课时作业(二十一) [第21讲简单的三角恒等变换](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )A ．0 B.12C.32 D ．－122．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( ) A.3132 B ．－3132C ．－78 D.783．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos （α－π）2的结果是( ) A ．sin α2 B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α24．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( ) A.13 B.139 C.1315 D.59能力提升5．[2012·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－16．[2011·杭州二中仿真] 已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365 B.3365C.1365D.6365或3365 7．[2012·北京四中期中] 若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f π12的值为( ) A ．4 3 B.833 C ．4 D ．88．[2012·台州中学模拟] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足：cos2A ＋52cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin π3－B ＋sin 2B ，则A 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π29．[2012·江西卷] 已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝110．[2012·岳阳一中月考] 函数f (x )＝sin 22x －π4的最小正周期是________． 11．[2012·自贡诊断] 若f (x )是以4为周期的奇函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，且sin α＝14，则f (4cos2α)＝________． 12．已知sin2α＋2sin 2α1＋tan α＝k ⎝⎛⎭⎫π4<α<π2，用k 表示sin α－cos α的值等于________． 13．[2012·哈尔滨一中期中] 若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________．14．(10分)已知函数f (x )＝cos 2x －3sin x cos x ＋1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f (θ)＝56，θ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，求sin2θ的值．15．(13分)[2013·浏阳一中月考] 已知函数f (x )＝2cos 2x 2－3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．难点突破16．(12分)[2013·山西大学附中月考] 已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos 2π3－2B 取最大值时角B 的大小．课时作业(二十一)【基础热身】1．B [解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12. 2．C [解析] 方法一：sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝－78，故选C. 方法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22cos α＋22sin α＝14，两边平方得，12＋12sin2α＝116， ∴sin2α＝－78，故选C. 3．C [解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π， ∴cos α2<0， ∴原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 4．B [解析] ∵α是锐角，cos α＝45，故sin α＝35，tan α＝34， ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝139. 【能力提升】5．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.6．A [解析] 根据α，β∈(0，π)，求出sin β＝45，cos β＝35，判断角的范围，求出cos(α＋β)＝－1213，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 7．D [解析] f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2＝2sin x cos x ＋1－2sin 2x 212sin x ＝2sin x cos x ＋2cos x sin x ＝2（sin 2x ＋cos 2x ）sin x cos x ＝4sin2x ，所以f π12＝4sin π6＝8. 8．C [解析] 化简原式可得8cos 2A ＋10cos A －7＝0，求得cos A ＝12，得A ＝π3. 9．C [解析] 函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12＋12sin2x ，∵f (lg5)＋f (－lg5)＝1＋12[sin(2lg5)＋sin(－2lg5)]＝1＋12[sin(2lg5)－sin(2lg5)]＝1，∴a ＋b ＝1.故选C. 10.π2 [解析] 对解析式进行降幂扩角，转化为f (x )＝－12cos4x －π2＋12，可知其最小正周期为π2. 11．－1 [解析] 由sin α＝14可得4cos2α＝4(1－2sin 2α)＝4⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝72，所以f (4cos2α)＝f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 12.1－k [解析] 由已知等式得2sin α（cos α＋sin α）cos αcos α＋sin αcos α＝k ，整理得2sin αcos α＝k . ∵π4<α<π2，∴sin α－cos α>0，得sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1－k . 13．－2 [解析] 由已知得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，所以sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－2. 14．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x ＋1 ＝1＋cos2x 2－32sin2x ＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 由2k π＋π≤2x ＋π3≤2k π＋2π(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )． (2)∵f (θ)＝56，∴cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋32＝56， cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－23. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，∴2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，5π3， sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－53. ∴sin2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π3＝12sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－ 32cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝23－56. 15．解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos x ＋π3， ∴函数f (x )的周期为2π，值域为[－1，3]．(2)∵fα－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α. 又∵α为第二象限角，∴sin α＝223， ∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝1－222. 【难点突破】16．解：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，即2(1－sin 2A )＝sin 2A －cos 2A ，∴2cos 2A＝1－2cos 2A ⇒cos 2A ＝14. ∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12，得A ＝π3. (2)△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3， ∴π3<B <π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos 2π3－2B ＝1－cos2B －12cos2B ＋32sin2B ＝32sin2B －32cos2B ＋1＝3sin2B －π3＋1. 当y 取最大值时，2B －π3＝π2，即B ＝512π.。

《简单的三角恒等变换》教案与导学案

《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。

2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。

那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。

三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。

2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。

五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。

2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。

(2014最新)高中数学3.2《简单的三角恒等变换》(二)教案新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-．解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπααααΘ 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件

1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1）（2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4

高三数学第一轮复习三角恒等变换教案

〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕假设，求f〔x〕的取值范围；
〔3〕函数f〔x〕的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？
【针对模块一】
1、设，那么的值是________
2、假设是第三象限角，那么的值是________
3、设，求
4、
，求的值。
5、求值
【针对模块二】
1、锐角满足，那么等于〔〕
2、，，，求。
【针对模块三】
1、等于〔〕
2、 ________
3、证明
=
【针对模块四】
1、函数为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的间隔为。
〔1〕求函数f(x)的解析式；
〔2〕假设，求
的值
2、函数f(x)=
〔1〕求函数f(x)的最小正周期；
〔2〕计算f(1)+f(2)+…+f(2021)；
2、能运用上述公式进展简单的三角恒等变换〔包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆〕。
学习目的
1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2、能以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联络；
3、能运用上述公式进展简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式〔公式不要求记忆〕作为根本训练，使学生进一步进步运用联络转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。
重点
难点
重点：1、引导学生通过独立探究和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式；

高考数学一轮复习专题21 简单的三角恒等变换教学案文

专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.高频考点一三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124x －4cos 2x ＋2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝268. 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二三角函数的求角问题例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】2.【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=. 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==.法三、6sin15sin 75442-+=+=. 【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos2222222x x f x x x x π⎛⎫--⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p-最小值为12-.【2015高考重庆，理18】已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p （2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. （2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43. （2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC＝17. (1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3 【解析】由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.（2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图15(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】601．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A.118B ．－118C.1718 D ．－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________．答案－45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．答案－210＝22×(35－45)＝－210. 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案－73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝α－βα－β＝－73. 9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α ＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2 ＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1.∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．解：(1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( ) A.12B.22 C ．2D.32 解析：选C 3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2. 3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边．故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。