集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

第1课时

集合的概念

了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”

关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列

举法或描述法)描述不同的数学对象或数学

问题；了解集合之间包含与相等的含义；能

识别给定集合的子集；了解全集与空集的含

义．

① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的

关系.

②学会自然语言、图形语言、集合语言之间

的互化.

③集合含义中掌握集合的三要素.

④不要求证明集合相等关系和包含关系．

1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________．

答案：{1，2}

解析：∵ x2－3x＋2＝0，∴ x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．

2. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是______________．

答案：0和1

解析：由 x2＝x可解得x＝0或x＝1.

3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________．

答案：7

解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个．

4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|2

答案：[3，＋∞)

解析：A＝{x|2

5. (必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________．

答案：0或1

解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x

＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，此时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.

1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．

(1) 若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.

(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、

无序性．

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．

(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．

(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N *

或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．

2. 两类关系

(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．

(2) 集合与集合之间的关系

① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．

② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A ”．

③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．

(3) 简单关系 ① A ⊆A ； ② ∅⊆A ；

③ 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；

④ 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n

－1

个，非空真子集有⎩

⎪⎨⎪⎧0，n ＝0，

2n －2，n ≥1个．

[备课札记]

1 集合的基本概念

1 已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1.若－3∈A，试求实数a 的值． 解：∵ －3∈A，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.

变式训练

已知集合A 中有且仅有三个数1，0，a ，若a 2

∈A ，求a 的值．

解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0.若a 2

＝1，则a ＝±1，

由元素的互异性知a≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2

＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a ＝－1.

2 集合间的基本关系

2 已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2

－ax ＋b ＝0}≠∅.若B ⊆A ，求实数a ，b 的值．