2020年广东省汕头市潮阳一中等七校联合体高考数学冲刺试卷(一)(5月份)(有答案解析)

2020年广东省汕头市潮阳一中等七校联合体高考数学冲刺试卷（一）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0≤x≤1}，N={x||x|≥1}，则M∩N=（）A. {x|0≤x≤1}B. {x|x≤-1或x≥0}C. {x|x≤-1或0≤x≤1}D. {1}2.若复数z=，则=（）A. 1B. -1C. iD. -i3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A. ＜，σ甲＜σ乙B. ＜，σ甲＞σ乙C. ＞，σ甲＜σ乙D. ＞，σ甲＞σ乙4.已知数列{a n}为等差数列，且a5=5，则S9的值为（）A. 25B. 45C. 50D. 905.已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. c＞b＞a6.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. 1-B.C.D.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为( )A.B.C.D. 28.若函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．若f′（x）-3＜0恒成立，f（-2）=0，则f（x）-3x＜6解集为（）A. （-∞，-2）B. （-2，2）C. （-∞，2）D. （-2，+∞）9.执行如图的程序框图，则输出的S值为（）A. 1B.C. -D. 010.已知直线y=-x+1的倾斜角为α，则的值为（）A. B. C. D.11.设函数f（x）=的最大值为M，最小值为N，则（M+N-1）2018的值为（）A. 1B. 2C. 22018D. 3201812.已知点F是曲线C：y=x2的焦点，点P为曲线C上的动点，A为曲线C的准线与其对称轴的交点，则的取值范围是（）A. （0，]B. [，1）C. [，1]D. [，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是______．14.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为A，B，C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是______．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a+b-c）（a+b+c）=3ab，且c=4，则△ABC面积的最大值为______．16.在平面上，⊥，且||=2，||=1，=+．若||=||，则||的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n-1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：T n．18.据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）频数b1849245（Ⅰ）求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（Ⅱ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）之间的关系为y=，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50，60）的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率．19.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）若AD=AP=PB=AB=1，求三棱锥P-DEF的体积．20.已知点A（0，-1）、B（0，1），P为椭圆C：+y2=1上异于点A，B的任意一点．（Ⅰ）求证：直线PA、PB的斜率之积为-；（Ⅱ）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使得|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2a ln x+1（a∈R）（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：（θ为参数）上任意一点P（x，y）经过伸缩变换后得到曲线C2的图形．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=8．（Ⅰ）求曲线C2和直线l的普通方程；（Ⅱ）点P为曲线C2上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．23.已知函数f（x）=|3x-1|+|3x+k|，g（x）=x+4．（Ⅰ）当k=-3时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）设k＞-1，且当x∈[-，）时，都有f（x）≤g（x），求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：N={x|x≤-1，或x≥1}；∴M∩N={1}．故选：D．可求出N，然后进行交集的运算即可．考查绝对值不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：∵z==，∴．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3.答案：C解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．甲的整体成绩好，成绩波动小，所以甲的平均数大，方差小.【解答】解：甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，由折线图得：＞，σ甲＜σ乙，故选C．4.答案：B解析：解：数列{a n}为等差数列，且a5=5，则S9===9a5=45，故选：B．根据等差数列的性质和求和公式即可求出．本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵0＜a=（）＜（）0=1，（）＜b=（）=（）＜（）0=1，c=log3π＞log33=1，∴a，b，c的大小关系为c＞b＞a．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：A解析：↵【分析】本题考查几何概型的应用，考查运算求解能力，数型结合思想，是基础题.先求出总的三角形的面积，再求出它至少离一个顶点距离小于等于2的区域的面积，根据几何概型即可得到所求概率.【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于等于2的平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分的面积为：，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1-=1-，故选：A．7.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，CD=2．由图求得PD=，BC=，PB=，PC=．∴则该几何体的最大边长为．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，CD=2．求解三角形分别求出未知边长得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：D解析：解：令g（x）=f（x）-3x，故g′（x）=f′（x）-3＜0，故g（x）在R递减，而g（-2）=f（-2）=6，故f（x）-3x＜6，即g（x）＜g（-2），故x＞-2，故选：D．令g（x）=f（x）-3x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序运行后计算并输出S=cos0+cos++…+cos的值．由于S=cos0+cos+cos+…+cos=1+（cos+cos+…+cos2π）×336+cos+cos+cosπ=1+0+--1=0．故选：D．根据程序框图，得出n=2019＞2018时，输出S．利用三角函数的周期性即可得出．本题考查了算法与程序框图、三角函数的周期性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：由已知可得tanα=，∴=====．故选：B．由已知求得tanα，再由两角和的余弦、二倍角余弦及诱导公式变形，最后化弦为切求解．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．11.答案：A解析：解：f（x）===+1，设g（x）=，∴g（-x）=-g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0，∴M+N=g（x）max+g（x）min+2=2，∴（M+N-1）2018=1，故选：A．化简f（x）=+1，设g（x）=，根据奇函数的性质，即可求出M+N=2，代值计算即可本题考查了函数解析式的变形及单调性与最值的关系，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查了抛物线的性质，切线的求解计算，属于中档题．分P是否为原点讨论计算，根据抛物线的定义和切线的性质计算．【解答】解：A（0，-1），准线方程为y=-1，过P作准线的垂线PM，则PM=PF，显然当P与O重合时，=1，当P与O不重合时，=sin∠PAM，故而当AP与抛物线相切时，∠PAM取得最小值，不妨设P在第一象限，P（x0，），则直线AP的斜率为，又A（0，-1）在直线AP上，∴=，解得x0=2．故而直线AP的斜率为1，即∠PAM的最小值为45°，∴的最小值为sin45°=．故选：C．13.答案：-8解析：【分析】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=2x-3y，点A（2，4），z在点A处有最小值：z=2×2-3×4=-8，故答案为-8．14.答案：甲解析：解：若得A是甲，则甲预测准确，乙预测不正确，丙预测准确，满足条件．若得A是乙，则甲预测准确，乙预测正确，丙预测准确，不满足条件．若得A是丙，则甲预测不准确，乙预测不正确，丙预测不准确，不满足条件．故满足条件的是甲，即得A的同学是甲，故答案为：甲根据条件分别判断得A的同学是甲乙丙，然后进行判断即可．本题主要考查合情推理的应用，根据条件进行假设是解决本题的关键．15.答案：解析：【分析】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用．首先利用关系式的变换，转换为余弦定理的关系式，求出C的值，进一步利用余弦定理和基本关系式求出ab的最大值，最后利用三角形的面积公式求出结果．【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a+b-c）（a+b+c）=3ab，则：a2+b2-c2=ab，整理得：cos C==，由于：0＜C＜π，解得：C=．由于：c=4，故：c2=a2+b2-2ab cos C，转换为：16≥2ab-ab=ab，所以：．故最大值为．故答案为．16.答案：[，+∞）解析：解：以O为原点，以OB2，OB1所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则B1（0，2），B2（1，0），P=（1，2），∵||=||，∴M点的轨迹为为线段B1B2的中垂线l，直线l的方程为y=（x-）+1，即x-2y+=0，∴P到直线l的距离为d==．∴||≥．故答案为：建立坐标系，求出M的轨迹所在直线方程和P点坐标，从而得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．17.答案：（I）解：当n=1时，有，解得a1=4．当n≥2时，有S n-1=（a n-1-1），则，整理得：a n=4a n-1，∴数列{a n}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列．∴即数列{a n}的通项公式为：．（II）证明：由（I）有，则，∴T n=+……+=，故得证．解析：（I）当n=1时，有，解得a1．当n≥2时，有S n-1=（a n-1-1），可得，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）由（I）有，则，利用裂项求和方法可得T n，即可证明．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（12分）解：（I）由直方图知：（0.01+0.025+0.035+a+0.01）×10=1，解得a=0.02，由频数分布表知：b+18+49+24+5=100，解得b=4．∴甲公司的导游优秀率为：（0.02+0.01）×10×100%=30%；乙公司的导游优秀率为：；由于30%＞29%，所以甲公司的影响度高．………………………（4分）（II）甲公司年旅游总收入[10，20）的人数为0.01×10×100=10人，年旅游总收入[20，40）的人数为（0.025+0.035）×10×100=60人，年旅游总收入[40，60）的人数为（0.02+0.01）×10×100=30人，故甲公司导游的年平均奖金（万元）．……（8分）（III）由已知得，年旅游总收入在[50，60）的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取6×=4人，记为a，b，c，d，从乙公司抽取6×=2人，记为1，2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共15个．参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共9个．设事件A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则P（A）==，∴所求概率为．…………………………………………………（12分）解析：（I）由频率分布直方图能求出a，由频数分布表求出b=4．由此求出甲公司的导游优秀率和乙公司的导游优秀率，从而得到甲公司的影响度高．（II）甲公司年旅游总收入[10，20）的人数为10人，年旅游总收入[20，40）的人数为60人，年旅游总收入[40，60）的人数为30人，由此能求出甲公司导游的年平均奖金．（III）年旅游总收入在[50，60）的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取4人，记为a，b，c，d，从乙公司抽取2人，记为1，2．从6人中随机抽取2人，利用列举法能坟出参加座谈的导游中有乙公司导游的概率．本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.答案：（1）证明：取PD中点G，连接GF，GC．在△PAD中，有G，F分别为PD、AP中点，∴在矩形ABCD中，E为BC中点，∴，∴，∴四边形ABCD是平行四边形，∴GC∥EF∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．解：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD，∵，∴，满足AP2+PB2=AB2，∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD，∵BC∥平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．∵，∴，∴三棱锥P-DEF的体积为．解析：（1）取PD中点G，连接GF，GC．推导出四边形ABCD是平行四边形，从而GC∥EF，由此能证明EF∥平面PCD．（2）推导出AD⊥AB，AD∥BC，从而AD⊥平面PAB，进而平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD，推导出AP⊥PB，从而BP⊥平面PAD，由BC∥平面PAD，得点E到平面PAD 的距离等于点B到平面PAD的距离，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）证明：设点P（x，y），（x≠0），则+y2=1，即，∴===，故得证．（Ⅱ）假设存在直线l满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C不相交．①当直线l的斜率k≠0时，设直线l为：y=k（x+2），联立椭圆方程x2+2y2=2，化简得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得，设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴y1+y2=k（x1+x2）+4k=k•+4k=，取MN的中点H，即，则•k=-1，即，化简得2k2+2k+1=0，无实数解，故舍去．②当k=0时，M，N为椭圆C的左右顶点，显然满足|BM|=|BN|，此时直线l的方程为y=0．综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y=0．解析：（Ⅰ）设点P（x，y），（x≠0），代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证；（Ⅱ）假设存在直线l满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得所求直线方程．本题考查椭圆方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力和分类讨论思想方法，属于中档题．21.答案：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=x2-2a ln x，x＞0，h′（x）=，当a≤0，h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a＞0时，h′（x）＞0，即x2-a＞0，解得：a＞或x＜-，（舍去）h′（x）＜0，即x2-a＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h（x）的极小值为h（）=a-2a ln=a-a lna，无极大值；（2）当a=e时，h（）=h（）=e-e lne=0，此时h（x）=f（x）-g（x）=0，∴f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=时，取等号；f′（x）=2x，f′（）=2，g′（x）=，g′（）=2，∴f′（）=g′（），且在x=处f（）=g（）=e+1，即x=时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1-e，此时g（x）=2x+1-e=f（x），满足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，解得：k=2，m=1-e，实数k，m的值分别为2，1-e．解析：（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得h（x）极值；（2）当a=e时，由f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=时，取等号，由f′（）=g′（），则x=时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1-e，即可求得实数k，m 的值．本题考查导数的综合应用，考查利用导数的求函数的单调性及最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：（I）由已知有（θ为参数），消去θ得．将代入直线l的方程得：2x-y=8∴曲线C2的方程为，直线l的普通方程为：2x-y=8．（II）由（I）可设点P为（），θ∈[0，2π）．则点P到直线l的距离为：d=，则：，点P（）．解析：（Ⅰ）利用伸缩变换求出曲线的方程，进一步转换求出结果．（Ⅱ）利用三角函数的关系式的变换和点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：曲线的伸缩变换的应用，方程的转换，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：（I）当k=-3时，f（x）=，故不等式f（x）≥4可化为：或或，解得：，∴所求解集为：．（II）当x∈[-，）时，由k＞-1有：3x-1＜0，3x+k≥0∴f（x）=1+k，不等式f（x）≤g（x）可变形为：1+k≤x+4，故k≤x+3对恒成立，即，解得，而k＞-1，故．∴k的取值范围是：．解析：（I）将k=-3代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解不等式取交集；（II）根据x的范围对f（x）去掉绝对值，参变分离转化为求函数的最值问题，列出关于k的不等式，解出范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值不等式有关的恒成立问题，属于中档题．。