函数、方程、不等式恒成立问题

简单记作：“大的大于最大值，小的小于最小值”
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例4：已知函数 f (x) x 2 a x , (a 0,且a 1) 当x (1,1)时，有f (x) 1 恒成立，求实数 a的范围。
2
解析：由f (x) x2 a x 1 ,得x 2 1 a x ,
2
2
在同一直角坐标系下画出两个函数的图像，
8
22 24
当x 0时，g(x) 1 恒成立 4
x 2 当x 0时，有m 1 x 在（0， ）上恒成立，
4
x 2 即m 1 x
1 2
4
2
min
综上所得m 1 2 2
小结三：分离参数法
把参数放到一边，利用函数的最值 （1）m f (x)对于任意x都成立 m f (x)min （2）m f (x)对于任意x都成立 m f (x)max
小结二：判别式法
对于一元二次函数f (x) ax2 bx c(a 0, x R)有
（1）f
(x)
0在x
R上恒成立
a
0 0
（2）f
(x)
0在x
R上恒成立
a
0 0
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例3：已知二次函数f (x) ax2 bx c(a,b, c R)满足：
对任意x都有f (x) x,且当x (1,3)时有f (x) 1 (x 2)2 成立 8
f f
(m) 0 (n) 0
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例2：若不等式(m 1)x2 (m 1)x 2 0的解集为R, 求m的范围。
解析：（1）当m 1 0时，原不等式化为2 0恒成立， 故m 1满足题意；
（2）m
1
0时，只需m
1 (m
0 1) 2
8(m
1)
0
解得m (1,9)
综上所得m [1,9)
当x (1,1)时，x2 1 1 , 1 2 2 2
a 1
当a
1时有1 2
即得1 a 1
a
2
当0
a
0 1时有 1
2
a 1 即得
a
1 2
a
1
综上所得：a
1 2
,1
1,2
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小结四：数形结合法
函数、不等式恒成立问题
一、变换主元法 二、判别式法 三、分离参数法
四、数形结合法
何玉杰 2011-11-14
例1：若不等式 2x 1 m(x2 1) 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，
求x的范围。
解析：将不等式化 为 m(x2 1) (2x 1) 0,
令f(m) m(x2 1) (2x 1), 则 2 m 2时，f(m) 0恒成立，
8
（2）
f f
源自文库
(2) 4a 2b c (2) 4a 2b
2 c0
b 1 2 4a c
1
由f (x) x得 (b 1)2 4ac 0,即 1 (1 c)c 0得c 1
4
2
f (x) 1 x2 1 x 1 8 22
（3）由（2）知g(x) 1 x2 (1 m)x 1 1 在x [0,)上恒成立
所以只需
f(2) 0 f(2) 0 ,
即（2
2(x x2
2
1) 1)
(2x (2x
1) 1)
0
0
所以x的范围范
x
1
2
7
,1 2
3
小结一：变换主元法
对于一次函数f (x) kx b, x [m, n],
若f
(x)
0恒成立
f f
(m) 0 ,
(n) 0
若f
(x)
0恒成立
（1）证明：f (2) 2 （2）若f (2) 0,求f (x)的表达式
（3）在（2）的条件下设g(x) f (x) m x, x [0,), 2
若图像上的点都在直线y 1 的上方，求实数m的取值范围。 4
解析：（1）对于任意实数 x，都有f (x) x,故f (2) 2, 有 2 (1,3), 故f (2) 1 (2 2)2 2,故f (2) 2