八年级数学上册 完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。
根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。
所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。
例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。
解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。
将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。
所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。
解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。
无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。
在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。
因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式3
知识要点
知识点一：去括号、添括号的法则 (1)去括号法则 括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项
不改变符号 ； 括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都
改变符号 ．
(2)添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都 不改变符号 ； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 改变符号 ． (3)添括号与去括号是互逆的，可以相互进行检验添括号或去 括号的正确性.
14.1.1 同底数幂的乘法
14.2.2 完全平方公式
知识点1 完全平方公式的几何意义
知识点2 完全平方公式的运用
知识点3 添括号法则及其运用
1.下列计算正确的是( C )
A.(x＋y)2＝x2＋y2
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
C.(x＋1)(x－1)＝x2－1
D.(x－1)2＝x2－1
解：原式＝[a＋(b－2)][a－(b－2)] ＝a2－b2＋4b－4. 小结：能把－b＋2 改写成－(b－2)是关键.
10.运用乘法公式计算：(2x＋y＋z)(2x－y－z)． 解：原式＝[2x＋(y＋z)][2x－(y＋z)] ＝(2x)2－(y＋z)2 ＝4x2－(y2＋2yz＋z2) ＝4x2－y2－2yz－z2.
小结：用去括号法则可以检验添括号后是否正确.
变式练习
9.在括号里填上适当的项： (1)a＋2b－c＝a＋( 2b－c )； (2)a－b－c＋d＝a－( b＋c－d )； (3)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c
)][a－(
b－c )]．
6.【例 2】运用乘法公式计算：(a＋b－2)(a－b＋2)．
2.计算(－a－b)2的结果是( C )
完全平方公式的综合应用
完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=， 则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（ ） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、 已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。
14.2.2 完全平方公式 初中人教版八年级上册数学课时习题(含答案)
14.2.2 完全平方公式一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A．2×32＝36B．（﹣2a2b3）3 ＝﹣6a6b9C．﹣5a5b3c÷15a4b＝﹣3ab2c D．（a﹣2b）2 ＝a2﹣4ab+4b2 2．下列计算正确的是（ ）A．(a―b)2=a2―b2B．(a+b)2=a2+b2C．(―a―b)2=a2―2ab+b2D．(a―b)2=a2―2ab+b2 3．设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=( )A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab 4．下列运算正确的是（ ）A．x2+x3=2x5B．(―2x)2·x3=4x5C．(x+y)2=x2―y2D．x3y2÷x2y3=xy5．下列等式一定成立的是（ ）A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2C．（2ab2）3=6a3b6D．（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab 6．下列等式不正确的是（ ）A．(a+b)(a-b)=a2-b2B．（a+b）(-a-b)=-(a+b)2C．(a-b)(-a+b)=-(a-b)2D．（a-b）(-a-b)=-a2-b27．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）A．28B．29C．30D．31 8．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）A．﹣16B．﹣14C．﹣12D．﹣10 9．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）A．4B．5C．6D．7二、填空题10．(x―y)(x+y)= ；(a―b)2= .11．计算①(2x+y)(2x―y)= ；②(2x+3y)2= . 12．若x―y=3，xy=2，则x2+y2= .13．若a=b+1，则代数式a2―2ab+b2+2的值为 .14．a2―3a+1=0，则a2+1的值为 a215．已知a，b，c为ΔABC的三边长，且a2+b2=8a+12b―52，其中c是ΔABC中最短的边长，且c为整数，则c= ．三、解答题16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2―4a―8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周长．17．已知(a+b)2=60，(a―b)2=80，求a2+b2及ab的值．18．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．参考答案1--9DDBBD DBBC10．x2-y2；a2-2ab+b211．4x2―y2；4x2+12xy+9y212．1313．314．715．3或416．解：∵a2+b2―4a―8b+20＝0∴a2―4a+4+b2―8b+16＝0∴(a―2)2+(b―4)2＝0，又∵(a―2)2≥0，(b―4)2≥0∴a―2＝0，b―4＝0，∴a＝2，b＝4，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4+3＝9cm．17．解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，∴①+②得：2（a2+b2）=140，解得：a2+b2=70，∴70+2ab=60，解得：ab=-5．18．解：设矩形的长为a，宽为b，根据图①得：（a-b）2=12，根据图②得：（a-2b）2=8，∴a―b=23a―2b=22，解得a=43―22b=23―22，由图③知阴影部分面积=（a-3b）2=（43-22-63+62）2=（-23+42）2=44-166.。
八年级数学上册 《14.2完全平方公式》同步测试题(含答案解析)
完全平方公式测试题时间：60分钟总分：1001.已知x2−2(m−3)x+16是一个完全平方式，则m的值是()A. −7B. 1C. −7或1D. 7或−12.如果9a2−ka+4是完全平方式，那么k的值是()A. −12B. 6C. ±12D. ±63.若a+b=7，ab=5，则(a−b)2=()A. 25B. 29C. 69D. 754.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是()A. x2+9B. x2−6x+9C. x2+6x+9D. x2+3x+95.已知2a−b=2，那么代数式4a2−b2−4b的值是()A. 6B. 4C. 2D. 06.下列运算正确的是()A. a2+a2=a4B. (−b2)3=−b6C. 2x⋅2x2=2x3D. (m−n)2=m2−n27.2√3−2√2√17−12√2的值等于()A. 5−4√2B. 4√2−1C. 5D. 18.下列计算结果正确的是()A. 2+√3=2√3B. √8÷√2=2C. (−2a2)3=−6a6D. (a+1)2=a2+19.下列式子正确的是()A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a−b)2=a2−b2C. (a−b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−ab+b210.已知14m2+14n2=n−m−2，则1m−1n的值等于()A. 1B. 0C. −1D. −14二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知a+1a =5，则a2+1a2的值是______．12.已知4y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．13.已知(x+y)2=20，(x−y)2=4，则xy的值为______ ．14.若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则a的值是______ ．15.已知x+1x =−4，则x2+1x2的值为______ ．16.已知a>b，如果1a +1b=32，ab=2，那么a−b的值为______．17.若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k=______．18.已知a+b=8，a2b2=4，则a2+b22−ab=______ ．第1页共8页19.已知：m−1m =5，则m2+1m2=______ ．20.如果多项式y2−2my+1是完全平方式，那么m=______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值(1)x2+y2(2)(x−y)2．22.已知x+y=8，xy=12，求：(1)x2y+xy2(2)x2−xy+y2的值．23.计算(1)(2x+y−2)(2x+y+2)(2)(x+5)2−(x−2)(x−3)24.计算：(1)3x2y⋅(−2xy3)(2)(2x+y)2−(2x+3y)(2x−3y)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.(1)已知xy=2，x2+y2=25，求x−y的值．(2)求证：无论x、y为何值，代数式x2+y2−2x−4y+5的值不小于0．26.回答下列问题(1)填空：x2+1x2=(x+1x)2−______ =(x−1x)2+______(2)若a+1a =5，则a2+1a2=______ ；(3)若a2−3a+1=0，求a2+1a2的值．第3页共8页答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. C5. B6. B7. D8. B9. A10. C11. 2312. ±413. 414. ±115. 1416. 117. −10或1018. 28或3619. 2720. ±121. 解：(1)∵x2+y2=(x+y)2−2xy，∴当x+y=6，xy=4，x2+y2=(x+y)2−2xy=62−2×4=28；(2)∵(x−y)2=(x+y)2−4xy，∴当x+y=6，xy=4，(x−y)2=(x+y)2−4xy=62−4×4=20．22. 解：(1)∵x+y=8，xy=12，∴原式=xy(x+y)=96；(2)∵x+y=8，xy=12，∴原式=(x+y)2−3xy=64−36=28．23. 解：(1)原式=(2x+y)2−4=4x2+4xy+y2−4；(2)原式=x2+10x+25−x2+5x−6=15x+19．24. 解：(1)原式=−6x3y4；(2)原式=4x2+4xy+y2−4x2+9y2=4xy+10y2．25. (1)解：∵(x−y)2=x2+y2−2xy=25−2×2=21，∴x−y=±√21；(2)证明∵x2+y2−2x−4y+5=(x−1)2+(y−2)2≥0，∴无论x、y为何值，代数式x2+y2−2x−4y+5的值不小于0．26. 2；2；23【解析】1. 解：∵x2−2(m−3)x+16是一个完全平方式，∴−2(m−3)=8或−2(m−3)=−8，解得：m=−1或7，故选：D．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2. 解：∵9a2−ka+4=(3a)2±12a+22=(3a±2)2，∴k=±12．故选：C．根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3. 解：∵a+b=7，ab=5，∴(a+b)2=49，则a2+b2+2ab=49，故a2+b2+10=49，则a2+b2=39，故(a−b)2=a2+b2−2ab=39−2×5=29．故选：B．首先利用完全平方公式得出a2+b2的值，进而求出(a−b)2的值．此题主要考查了完全平方公式，正确得出a2+b2的值是解题关键．4. 解：(x+3)2=x2+6x+9，故选：C．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．5. 解：4a2−b2−4b=4a2−(b2+4b+4)+4=(2a)2−(b+2)2+4=[2a+(b+2)][2a−(b+2)]+4=(2a+b+2)(2a−b−2)+4当2a−b=2时，原式=0+4=4，故选：B．根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．6. 解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；B、(−b2)3=−b6，故本选项正确；C、2x⋅2x2=4x3，故本选项错误；D、(m−n)2=m2−2mn+n2，故本选项错误．故选B．结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．7. 解：原式=√12−8√2√17−12√2=√(√8−2)2+√(3−√8)2=(√8−2)+(3−√8)=1，故选D．8. 解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；B、√8÷√2=2，所以B正确；C、(−2a2)3=−8a6≠−6a6，所以C错误；D、(a+1)2=a2+2a+1≠a2+1，所以D错误．故选B依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键．9. 解：A.(a−b)2=a2−2ab+b2，故A选项正确；B.(a−b)2=a2−2ab+b2，故B选项错误；C.(a−b)2=a2−2ab+b2，故C选项错误；D.(a−b)2=a2−2ab+b2，故D选项错误；故选：A．根据整式乘法中完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，即可作出选择．本题考查了完全平方公式，关键是要了解(x−y)2与(x+y)2展开式中区别就在于2xy 项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到．10. 【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0第5页共8页把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m ，n 的值，代入求值即可． 【解答】解：由14m 2+14n 2=n −m −2，得 (m +2)2+(n −2)2=0， 则m =−2，n =2， ∴1m−1n=1−2−12=−1．故选C ．11. 解：a 2+1a 2=(a +1a )2−2=52−2=23．故答案为：23．根据完全平分公式，即可解答．本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．12. 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m 的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【解答】解：∵4y 2+my +1是完全平方式， ∴m =±4， 故答案为±413. 解：∵(x +y)2=x 2+2xy +y 2=20①，(x −y)2=x 2−2xy +y 2=4②， ∴①−②得：4xy =16， 则xy =4， 故答案为：4已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy 的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14. 解：中间一项为加上或减去x 和12积的2倍，故a =±1， 解得a =±1， 故答案为：±1．这里首末两项是x 和12这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和12积的2倍，故−a =±1，求解即可本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．15. 解：∵x +1x =−4，∴(x +1x )2=16，∴x 2+1x 2+2=16，即x 2+1x 2=14． 故答案为：14．直接把x +1x =−4两边平方即可．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．16. 解：1a +1b=a+bab=32，将ab=2代入得：a+b=3，∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=9−8=1，∵a>b，∴a−b=1．故答案为：1已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a−b的值．此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．17. 解：∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，∴k=−10或10．故答案为：−10或10．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18. 解：a2+b22−ab=(a+b)2−2ab2−ab=(a+b)22−ab−ab=(a+b)22−2ab∵a2b2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，a2+b22−ab=(a+b)22−2ab=642−2×2=28，②当a+b=8，ab=−2时，a2+b22−ab=(a+b)22−2ab=642−2×(−2)=36，故答案为28或36．根据条件求出ab，然后化简a2+b22−ab=(a+b)22−2ab，最后代值即可．此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．19. 解：把m−1m =5，两边平方得：(m−1m)2=m2+1m2−2=25，则m2+1m2=27，故答案为：27．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20. 解：∵y2−2my+1是一个完全平方式，∴−2my=±2y，∴m=±1．故答案是：±1．根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和1积的2倍．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解．21. (1)根据完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2−2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；(2)根据完全平方公式可得(x−y)2=(x+y)2−4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．第7页共8页本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．22. (1)原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；(2)原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23. (1)原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．25. (1)把x−y两边平方，然后把xy=2，x2+y2=25代入进行计算即可求解．(2)将式子配方，再判断式子的取值范围即可．本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键．26. 解：(1)2、2．(2)23．(3)∵a2−3a+1=0两边同除a得：a−3+1a=0，移向得：a+1a=3，∴a2+1a2=(a+1a)2−2=7．(1)根据完全平方公式进行解答即可；(2)根据完全平方公式进行解答；(3)先根据a2−3a+1=0求出a+1a=3，然后根据完全平方公式求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
14.2.2 完全平方公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)] ＝12－(2m－n)2 ＝1－4m2＋4mn－n2.
完全平 方公式
法则
注意
常用 结论
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号，变 形成符合公式的形式才行
3. 弄清完全平方公式和平方差公 式的不同（从公式结构特点及 结果两方面）
= (-x)2+2(-x)·1 + 12 = x2-2x+1
(2)(x-1)2 (x-1)2
= (x)2-2·x·1 + 12 = x2-2x+1
1 (a-b)2=(b-a)2.
(b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
运用完全平方公式计算：
(3) (-2x-3)2
(-2x-3)2 = (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9 = 4x2+12x+9.
2.将1052变形正确的是（ C ）
A. 1052=1002+52
B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ D ）
A.28 B.-28
C.24或-24
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()32639a a =C ．2225420a a a ⋅=D ．444235a a a +=2．若多项式294x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．12B ．12±C ．6D ．6±3．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a 的代数式2A a a =+，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个①当2a =-时，2A =；①存在实数a ，使得104A +<； ①若10A -=，则2213a a +=；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=22218A B C AB AC BC ++---=．A ．4B ．3C ．2D ．14．阅读材料：我们把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+，2(2)2x x -+，2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（ ） ①2(2)2x x +-和2(31)x ++都是224x x ++不同形式的配方①22(1)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为3 ①23534b b +-有最小值，最小值为2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、填空题7．若m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，则代数式m 2+n 2-2mn ＝_____．8．若x ＝3是关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝3的解，则代数式10﹣3m ＋n 的值是___．9．如果用公式222()2a b a ab b +=++计算2()a b c ++，那么第一步应该写成2()a b c ++=________．三、解答题10．已知xy (1)求代数式2x 2+2y 2﹣ x y 的值；(2)2x y 的值．11．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++①()220y +≥①()2244y ++≥①代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?12．图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式2()m n +，2()m n -，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．参考答案：1．D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、()326327a a =，故B 不符合题意； C 、2245420a a a =，故C 不符合题意；D 、444235a a a +=，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．2．B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：①9x 2-mx +4是一个完全平方式，①-m =±12，①m =±12．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．B【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断①，利用公式变形，整体代入求值可判断①，根据A B -=B C -=A C -=222A B C AB AC BC ++---配方得出(222111222++，然后代入求值可判断①． 【详解】解①当2a =-时，()2222A =--=，故①正确； ①存在实数a ，使得221110442A a a a ⎛⎫+=++=+≥ ⎪⎝⎭，故①不正确； ①若10A -=，①21a a +=，当0,01a =≠，①0a ≠， ①11a a-=-， 则2221123a a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭； 故①正确；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=①()()A C A B B C -=-+-=则222A B C AB AC BC ++--- =()22212222222A B C AB AC BC ++---=()()()222111222A B B C A C -+-+-=(222111222++ =18；故①正确，①正确的个数有3个，故选B ．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．4．C【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；①利用完全平方公式的结构特征判断即可；①原式配方后，求出最小值，即可作出判断．【详解】解：①①(x +2)2-2x= x 2+2x +4，(x +1)2+3= x 2+2x +4，①(x +2)2-2x 和(x +1)2+3都是x 2+2x +4不同形式的配方，符合题意；①x 2-2(k -1)x +4是完全平方式，则k -1=2或k -1=-2，即k =3或-1，不符合题意；①原式=34(b 2-4b +4)+2=34(b -2)2+2，当b =2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC ＝8m ，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，在Rt①ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，即x 2+82＝（x +2）2，解得x ＝15，故AB ＝15m ，即旗杆的高为15m ．故选：C ．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．6．C【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可．【详解】解：把x ＝2代入得：2÷2＝1，把x ＝1代入得：1+5＝6，把x ＝6代入得：6÷2＝3，把x ＝3代入得：3+5＝8，把x ＝8代入得：8÷2＝4，把x ＝4代入得：4÷2＝2，把x ＝2代入得：2÷2＝1，……以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：61n +对应1；62n +对应6；63n +对应3；64n +对应8；65n +对应4；6n +6对应2；①202163365=⨯+，①经过2021次输出的结果是4．故选：C ．【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键．7．21【分析】先根据根与系数的关系得到m +n ＝3，m n ＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：①m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，①m +n ＝3，m n ＝﹣3，①m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a =． 8．7【分析】根据题意得到﹣3m +n ＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m ＋n 求解即可．【详解】解：由题意得：3m ﹣n ＝3，①﹣3m +n ＝﹣3，①原式＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．9．22()2()a b c a b c ++++【分析】利用完全平方公式即可得．【详解】[]2222()()()2()a b c a b c a b c a b c ++=++=++++，故答案为：22()2()a b c a b c ++++．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．10．(1)27；(2)【分析】（1）求得x +y 和x y 的值，再利用完全平方公式变形求值即可；（2）根据x ＜1，先分母开方，约分，再代入求值即可；(1)解：原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣5xy ＝2（x +y ）2﹣5xy ，①2x =2y ==，①x +y ＝24，(221xy ==，①原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27；(2)解：①x ＝21，①x yx yx y ＝x y＝1 ＝﹣1＝ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．11．(1)−3； (2)13； (3)当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子变形为()213x --，再根据非负数的性质得出最小值； （2）根据阅读材料将所求的式子变形为()23|1|0a b -++=，再根据非负数的性质求出a 、b ，代入b a 计算即可；（3）先根据矩形的面积公式列出式子，再根据阅读材料将式子变形，求出最值即可．（1）解：()222213x x x --=--，①()210x -≥，①()2133x --≥-，①代数式222x x --的最小值为−3；（2）①()2269|1|3|1|0a a b a b -+++=-++=，①a −3＝0，b ＋1＝0，①a ＝3，b ＝−1， ①1133b a -==， 故答案为：13； （3）设()m AB x =，由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ①()2250x --≤，①当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（1）m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-，方法①：2()4m n mn +-；（3）22()()4m n m n mn -=+-；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图b 中小正方形的边长为m n -；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为2()m n -；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为2()4m n mn +-；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到22()()4a b a b ab -=+-．【详解】解：（1）图b 中小正方形的边长为m n -．故答案为m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-；方法①：2()4m n mn +-；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以22()()4m n m n mn -=+-；（4）由（3）得：22()()4a b a b ab -=+-，7a b +=，5ab =，2()a b ∴-222a ab b =-+2()4a b ab =+-2745=-⨯4920=-29=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．。
人教版八年级上册数学 14.2.2完全平方公式 同步习题(含解析)
14.2.2完全平方公式同步习题一．选择题（共10小题）1．计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y22．若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（）A．13B．19C．25D．313．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定4．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy6．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．18．下列等式成立的是（）A．（a+1）2＝（a﹣1）2B．（﹣a﹣1）2＝（a+1）2C．（﹣a+1）2＝（a+1）2D．（﹣a﹣1）2＝（a﹣1）29．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误10．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6二．填空题（共5小题）11．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．12．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．13．已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝．14．用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．拓展应用：（a﹣b）4＝．三．解答题（共3小题）16．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．17．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．参考答案1．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．2．解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，故选：D．3．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．4．解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．5．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2＝12xy．故选：A．6．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．8．解：A、（a+1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣1）2＝（a+1）2，原等式成立，故此选项符合题意；C、（﹣a+1）2≠（a+1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；D、（﹣a﹣1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；故选：B．9．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．10．解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故选：C．11．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．12．解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．13．解：∵（2020+x）（2018+x）＝55，∴（2020+x）2+（2018+x）2＝[（2020+x）﹣（2018+x）]2+2（2020+x）（2018+x）＝22+2×55＝114．故答案为114．14．解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．15．解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：1 5 10 10 5 1，a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．16．解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．17．解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．。
人教版八年级数学上册完全平方公式(1)
3.已知
求下列式子的值：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
3、公式的逆向使用；a2 +2ab+b2 = (a+b)2 4、解题时常用结论：a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
5、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
深入探索----算一算
1． 计算：4x(x－1)2＋x(2x＋5)·(5－2x) 2. 当x＝2，y＝-1时。求代数式 (x＋y)(x－y)＋(x－y)2－(x2－3xy)的值。
3.用简便的方法计算:
1.23452+0.76552+2.469×0.7655
八年级 数学
第十五章 整式的乘法
例1 运用完全平方公式计算：
感受新知----看一看
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2 =x2 +4xy +4y2
八年级数学上册完全平方公式同步练习含解析
完全平方公式一、单选题(共12小题）1．已知x+=6,则x2+=（）A.38B.36 C。
34 D。
32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得:（x+）2=x2++2=36，则x2+=34，故选：C．【名师点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．2．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（) A．2005B．2006C．2007D．2008【答案】A【解析】p=a2+2b2+2a+4b+2008，=(a2+2a+1)+（2b2+4b+2）+2005,=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当(a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．3．已知(m－n)2＝36,（m＋n）2＝4000，则m2＋n2的值为( ）A.2016 B.2017 C.2018 D。
4036【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴。
故选C.4．若有理数a，b满足a2+b2=5，(a+b)2=9，则－4ab的值为（）A．2B．－2C．8D．－8【答案】D【解析】（a+b）²=9，即a²+b²+2ab=9，又a²+b²=5，则2ab=9—5=4，所以—4ab=4×（—2)=-8.故选：D。
5．将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0。
5+0。
52D．9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【详解】9。
52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0。
5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【名师点睛】本题考查的是完全平方公式,完全平方公式:（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为:“首平方，末平方，首末两倍中间放”．6．已知实数a、b满足a+b=2,ab=，则a﹣b=（）A．1 B．﹣C．±1 D．±【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b)2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a—b）2=a2-2ab+b2=1，∴a—b=±1，故选:C．7．(2019·耒阳市冠湘中学初二月考)已知，则的值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】∵a+b=2，∴a2—b2+4b=(a—b)(a+b）+4b，=2(a-b）+4b，=2a—2b+4b,=2（a+b），=2×2,=4．故选C．本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．8．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（)A．16B．﹣16C．4D．﹣4【答案】D【解析】已知等式整理得:x2+ax+19=（x-5)2—b=x2—10x+25-b,可得a=—10，b=6,则a+b=—10+6=-4，故选：D．9．若x+y+3=0，则x（x+4y）-y（2x—y）的值为A．3B．9C．6D．—9【答案】B【详解】∵x+y+3=0，∴x+y=﹣3,∴x(x+4y)﹣y(2x﹣y）=x2+4xy﹣2xy+y2=(x+y)2=9．故选B.【名师点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．10．如图,边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为（)A。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题）➢ 例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a +的值.4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是________________________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？8. 求224448x y x y +-++的最值．➢ 思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=，即22(210)(200)x x -+-的值为508．根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=，则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】➢ 例题示范例1．解：12x x -=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ 2221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴222136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 2422422111236234x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴例2：1-3 ➢巩固练习 1.9 13 2.5 17 3.7 47 4. ±6 ±245. 5 24x - -4 8x -8x 4x6. 87. 4a =时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3➢ 思考小结1. 不相等，相差2()4a b - 2. 2 014。
人教版八年级数学上册14.2.2 完全平方公式(解析版)
第十四章 整式的乘法与因式分解14.2.2 完全平方公式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子称为完全平方式，若24x ax ++是一个完全平方式，则a 等于A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】D【解析】∵x 2+ax +4是一个完全平方式，∴a =±4．故选D ． 2．已知11x x -=，则221x x += A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】∵x -1x =1，∴（x -1x ）2=1，即x 2-2+21x =1，∴x 2+21x=3．故选D ． 3．下列计算：①（a+b ）2=a 2+b 2；②（a -b ）2=a 2-b 2；③（a -b ）2=a 2-2ab -b 2；④（-a -b ）2=-a 2-2ab+b 2．其中正确的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A4．若用简便方法计算21999，应当用下列哪个式子A ．(20001)(20001)-+B ．2(19991)+C ．(19991)(19991)+-D ．2(20001)-【答案】D【解析】A ．2(20001)(20001)20001-+=-，故错误； B ．22(19991)2000+=，故错误；C ．2(19991)(19991)19991+-=-，故错误；D ．22(20001)1999-=，正确．故选D ．5．已知a +b =-3，ab =2，则2()a b -的值是A ．1B ．4C ．16D ．9【答案】A【解析】∵a +b =-3，ab =2，∴（a -b ）2=a 2+b 2-2ab =a 2+b 2+2ab -4ab =（a +b ）2-4ab =（-3）2-4×2=9-8=1， 故选A ．学&科网6．若9x 2+kxy +16y 2是完全平方式，则k 的值为A ．12B ．24C ．±12D ．±24【答案】D【解析】已知9x 2+kxy +16y 2是完全平方式，可得kxy =±2×3x ·4y ，解得k =±24．故选D ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．a +b -c =a +（__________）；a -b +c -d =（a -d ）-（__________）．【答案】b -c ；b -c【解析】a +b -c =()a b c +-；a -b +c -d =()()a d b c ---，故答案为：b -c ；b -c ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．已知有理数m ，n 满足2()9m n +=，2()1m n -=，求下列各式的值． （1）mn ；（1）22m n +．9．计算：（1）2399；（2）2247942727-⨯+．【解析】（1）原式222(4001)400240011159201=-=-⨯⨯+=．（2）原式2222472472727(4727)20400=-⨯⨯+=-==．10．先化简，再求值：（1）2(2)(1)x x x -++，其中1x =．（2）4(21)(12)x x x x ⋅+--，其中140x =．11．一个正方形的边长为cm a ，减少2cm 后，这个正方形的面积减少了多少？ 【解析】依题意有222222(2)(44)4444a a a a a a a a a --=--+=-+-=-， 即这个正方形面积减少了2(44)cm a -．。
最新人教版八年级数学上册《完全平方公式》课时练习及答案解析-精品试题.docx
新人教版数学八年级上册第十四章第二节完全平方公式课时练习一、选择题（每小题5分，共30分）1．计算（a+b）（-a-b）的结果是（）A．a2-b2 B．-a2-b2 C．a2-2ab+b2 D．-a2-2ab-b2答案：D.知识点：完全平方公式解析：解答：（a+b）（-a-b）=-（a+b）（a+b）=-( a2+2ab+b2)=-a2-2ab-b2.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选D.2．设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则P的值是（）A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn答案：B.知识点：完全平方公式解析：解答：∵（3m+2n）2=9m2+4n2+12mn=9m2+4n2-12mn+24mn=（3m-2n）2+24mn ∴P=24mn分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选B.3．若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（）A．3 B．6 C．±6 D．±81答案：C.知识点：完全平方公式解析：解答：∵x2-kxy+9y2是一个完全平方公式；∴x2-kxy+9y2=(x±3y)2∴k应该是±6 .分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 故选C.4．已知a2+b2=25，且ab=12，则a+b的值是（）A．1 B．±1 C．7 D．±7答案：D.知识点：完全平方公式解析：解答：∵a2+b2=25，ab=12；∴a2+b2+2ab=(a+b)2=25+2×12=49；∴a+b应该是±7 .分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 故选D.5.下列运算正确的是( )A.(a-2b) (a-2b)=a2-4b2B.(P-q)2=P2-q2C.(a+2b) (a-2b)=-a2-2b2D.(-s-t)2=s2+2st+t2答案：D.知识点：完全平方公式解析：解答：A.(a-2b) (a-2b)=a2+4b2-4ab，所以本题错误；B.(P-q)2=P2+q2-2Pq，所以本题错误；C.(a+2b) (a-2b)= a2-4b2，所以本题错误；D.(-s-t)2=s2+2st+t2，本题正确.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选D.6.下列等式成立的是（）A.（-x-1）2=(x-1)2B.(-x-1)2=(x+1)2C.(-x+1)2=(x+1)2D.(x+1)2=(x-1)2答案：B.知识点：完全平方公式解析：解答：A. （-x-1）2=(x+1)2，所以本题错误；B. (-x-1)2=(x+1)2，本题正确；C.(-x+1)2=(x-1)2，所以本题错误；D. (x+1)2≠(x-1)2，所以本题错误.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选B.7.计算（a+1）(-a-1)的结果是（）A.-a2-2a-1B.a2-1C.-a2-1D.-a2+2a-1答案：A.知识点：完全平方公式解析：解答：（a+1）(-a-1)=- （a+1）（a+1）=-（a+1）2=-a2-2a-1分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选A.8.若x+y=10，xy=24，则x2+y2的值为( )A.52B.148C.58D.76答案：A.知识点：完全平方公式解析：解答：∵(x+y)2= x2+y2+2xy=100；∴x2+y2=100-2xy=100-48=52.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 故选A.9.计算1012等于（）A.1002+1B.101×2C.1002+100×1+1D.1002+2×100+1 答案：D.知识点：完全平方公式解析：解答：1012=(100+1)=1002+2×100+1.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 故选D.10.若（a+b）2=9，（a-b）2=1，则ab的值为( )A.2B.-2C.8D.-8答案：A.知识点：完全平方公式解析：解答：(a+b)2-(a-b)2=2ab-(-2ab)=4ab=9-1；ab的值为2.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 故选A.11.若（a+b）2=36，（a-b）2=4，则a2+b2的值为( )A.9B.40C.20D.-20答案：C.知识点：完全平方公式解析：解答：(a+b)2+(a-b)2=2 (a 2+b 2)=36+4；a 2+b 2的值为20.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选C.12. 化简：(m+1)2-(1-m)(1+m)正确的结果是( )A.2m 2B.2m+2C.2m 2+2mD.0答案：C.知识点：完全平方公式 平方差公式解析：解答：(m+1)2 -(1-m)(1+m)=m 2+2m+1-1+m 2=2m 2+2m ，分析：此题考查了完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可.故选C.13.已知a+a 1=4，则a 2+（a1）2的值是( ) A.4 B.16 C.14 D.15答案：C.知识点：完全平方公式解析：解答：(a+a 1)2= a 2+（a1）2+2=16；a 2+（a1）2的值为14. 分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选C.14.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A ，则A=( )A.30abB.60abC.15abD.12ab答案：B.知识点：完全平方公式解析：解答：A=(5a+3b)2-(5a-3b)2=30ab-(-30ab)=60ab.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选B.15.若x 2+y 2=(x+y)2+A=(x-y)2+B ，则A ，B 各等于( )A.-2xy ，2xyB. -2xy ，-2xyC. 2xy ，-2xyD. 2xy ，2xy答案：A.知识点：完全平方公式解析：解答：∵x 2+y 2=(x+y)2+A=(x-y)2+B ；x 2+y 2= x 2+y 2+2xy+A= x 2+y 2-2xy+B∴A=-2xy ，B=2xy.分析：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.故选A.二、填空题（每小题5分，共25分）16．计算：（-x-y ）2=__________答案：x 2+y 2+2xy.知识点：完全平方公式解析：解答：（-x-y）2=[-(x+y)]2= x2+y2+2xy.分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.17．x2+y2=（x+y）2-__________=（x-y）2+________．答案：2xy，2xy.知识点：完全平方公式解析：解答：x2+y2=（x+y）2-（2xy）=（x-y）2+2xy.分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.18．多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，请你写出符合条件的这个单项式是___________．答案：±4x.知识点：完全平方公式解析：解答：4x2+1=（2x+1）2-4x；4x2+1=（2x-1）2+4x.分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.19. (a+b)(-b-a)=________答案：-a2-b2-2ab.知识点：完全平方公式解析：解答：(a+b)( -b-a)= -a2- b2-2ab分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.20.已知a+b=6,ab=5,则代数式a2+b2的值是答案：26.知识点：完全平方公式解析：解答：∵a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2×5=26.分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.三、解答题（每题10分，共50分）21. 计算9992的结果.答案：998001.知识点：完全平方公式解析：解答：9992=(1000-1)2=10002+1-2000=998001.分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.22. 解方程2(x-1)2+(x-2)(x+2)=3x(x-5)2答案：x=11知识点：完全平方公式平方差公式合并同类项解析：解答：2(x-1)2+(x-2)(x+2)=3x(x-5)2x2+2-4x+x2-4=3x2-15x3x2-3x2-4x+15x=22x=11分析：本题考查了完全平方公式、平方差公式以及全并同类项，掌握运算法则是解答本题的关键.23.已知：x+y=3,xy=1,试求：(1)x2+y2的值；(2)(x-y)2的值.答案：7，5.知识点：完全平方公式解析：解答：(1) x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9-2=7；(2) (x-y)2= x 2+y 2-2xy=7-2=5. 分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.24.已知a+a 1=6，求(a-a 1)2的值. 答案：32.知识点：完全平方公式解析：解答：∵(a+a 1)2=a 2+（a1）2+2=36 ∴a 2+（a1）2=34 又∵(a-a 1)2= a 2+（a1）2-2=34-2=32 分析：本题考查了完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键.25.已知a ，b 是有理数，试说明a 2+b 2-2a-4b+8的值是正数.答案：知识点：完全平方公式 非负数的性质 偶次方解析：解答：证明：原式= a 2+b 2-2a-4b+8= a 2+b 2-2a-4b+1+4+3=(a-1)2+(b-2)2+3∵(a-1)2≥0；(b-2)2≥0；∴(a-1)2+(b-2)2+3≥3.∴a 2+b 2-2a-4b+8的值是正数.分析：先把常数项8拆为1+4+3，在分组凑成完全平方式，从而判断它的非负性.。
人教版八年级数学上《完全平方公式》拓展练习
《完全平方公式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．122．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．363．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣674．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．205．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝，＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有项，各项系数的和等于；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有项，各项系数的和等于；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝＝；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝，并用所学知识说明你的结论的正确性．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．《完全平方公式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选：C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67【分析】把a+b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．4．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a＝4+，∴a﹣＝4，两边平方得，（a﹣）2＝16，∴a2+﹣2＝16，即：a2+＝18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键．5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣5）2﹣3×（﹣4）＝37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝2【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可．【解答】解：（a﹣2017）（a﹣2018）＝﹣＝﹣＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，并说出第7排的第三个数是15．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【点评】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为8．【分析】应用基本不等式a2+b2≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把（a﹣b）2展开代入即可得到取值范围，从而得到最大值．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，∴2|ab|≤4，∴﹣4≤﹣2ab≤4，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，∴0≤4﹣2ab≤8，∴（a﹣b）2的最大值8．故答案为：8．【点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，此题较难，不容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝2，＝0．【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，∴对其两边进行平方得；＝2，∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，∵＝﹣2＝2﹣2＝0，∴a﹣＝0，故（a+）（a﹣）×2＝0．故答案为：2，0．【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想．【解答】解：原式＝＝；故答案为：由已知和计算的三个式子知：当n＝0时，＝＝，当n＝1时，＝＝，当n＝2时，原式＝＝…所以猜想＝＝．故答案为：【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有6项，各项系数的和等于32；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有（n+1）项，各项系数的和等于2n；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于0．【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．验证：（a+b）4＝（a+b）2（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，它们的和等于32；（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，∵1＝20，1+1＝21，1+2+1＝22，1+3+3+1＝23，∴（a+b）n各项系数的和等于2n；∵1﹣1＝0，1﹣2+1＝0，1﹣3+3﹣1＝0，∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．故答案为：6，32；（n+1），2n；0．【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝（38+8）×30+82＝1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：210（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；②根据规律确定（a+b）10各项系数之和；（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．（3）“杨辉三角系数集”的规律可知：a0＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相加即可求得．【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6；故答案：﹣6，﹣20；②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21，（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，…（a+b）10各项系数之和：210；故答案为：210；（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217，即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217，∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①，当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②，①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217，∵a0＝1，∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23；（2）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)(含答案)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，，则的结果为( )A.7B.13C.94D.106答案：D解题思路：由题可知，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．题中给出，因此求出的值即可．故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用2.若，，则的结果为( )A. B.19C. D.10答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用3.若，，则的结果为( )A.45B.39C.15D.21答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用4.若，，则的结果为( )A.20B.112C.-40D.80答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用5.若，，则的值为( )A.112B.12C.72D.176答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用6.若，则的结果为( )A.5B.11C.7D.1答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.若，则与的值分别为( )A.11；119B.11；123C.7；83D.7；47答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用8.若，则的值为( )A.21B.23C.25D.27答案：B解题思路：①分析：观察所求，可以化为，这是平方和的形式，若在的两边同时除以，可以得到，结合，可知这是一个知二求二问题．②解题过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用9.若，则的值为( )A.256B.196C.194D.322答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用10.若，则的结果为( )A.40B.5C.10D.20答案：B解题思路：可以把和分别当作一个整体，就是一个平方和的形式，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：填空：问题2：已知，，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；③将，代入求解即可．所以=__________．问题3：已知，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得=__________．。
鲁教版八年级上册数学 1.3.2用完全平方公式分解因式 课后习题重点练习课件
22．(1)实验与观察：(用“＞”“＝”或“＜”填空) 当x＝－5时，x2－2x＋2___＞_____1； 当x＝1时，x2－2x＋2___＝_____1；
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？ 请写出来并证明它是正确的；
解：换数比较略，发现x2－2x＋2≥1.证明：∵x2－2x ＋2＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1，x为任意实数时， (x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，即x2－2x＋2≥1.
【答案】A
15．若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边 长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
【解析】因为x3＋2x2＋x＝x(x2＋2x＋1)＝x(x＋1)2 ＝x(x＋1)·(x＋1)，且长方形的一边长为x＋1，所 以其邻边长为x(x＋1)＝x2＋x.
16．下列式子：①－x2－xy－y2；②12a2－ab＋12b2； ③－4ab2－a2＋4b4；④4x2＋9y2－12xy；⑤3x2
【解析】利用完全平方公式把原式整理成三 个非负数的和为零的形式，得到a＝b＝c， 即可确定△ABC的形状．
解：∵(a＋b＋c)2＝3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2＋ 2ab＋2bc＋2ac＝3a2＋3b2＋3c2， ∴a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋c2＋a2－2ac＝0，即 (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0， ∴a＝b＝c.故△ ABC 为等边三角形．
B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2
D．(3a＋b)2
11．如图，将一个正方形分成四个部分，其面 积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b ＞0，则原正方形的边长是( B ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式
课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
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完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例1：已知12x x -
=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】
① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅
=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；
② “x ”即为公式中的a ，“
1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x
⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x
⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x
⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．
【过程书写】
例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．
【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习
1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．
2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44
1a a +的值.
4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．
（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．
5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上
的单项式共有_______个，分别是__________
______________________________．
6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．
7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？
8. 求224448x y x y +-++的最值．
➢ 思考小结
1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，
则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，
2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：
若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．
【参考答案】
➢ 例题示范
例1．解：12x x -
=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭∴ 2
221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝
⎭=+=∴
2
22136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴
2
422422
111
236234
x x x x x x ⎛
⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴
例2：1 -3
➢ 巩固练习
1. 9 13
2. 5 17
3. 7 47
4. ±6 ±24
5. 5 24x - -4 8x -8x 4x
6. 8
7. 4a =时取得最小值，最小值为-2
8. 最小值为3
➢ 思考小结
1. 不相等，相差2
()4a b -
2. 2 014。