八年级数学上册 完全平方公式的综合应用(习题及答案)

完全平方公式的综合应用（习题）

➢ 例题示范

例1：已知12x x -

=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】

① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅

=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；

② “x ”即为公式中的a ，“

1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x

⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x

⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x

⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．

【过程书写】

例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．

【思路分析】

此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．

观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习

1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．

2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．

3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44

1a a +的值.

4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．

（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．

5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上

的单项式共有_______个，分别是__________

______________________________．

6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．

7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？

8. 求224448x y x y +-++的最值．

➢ 思考小结

1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等

吗？若不相等，相差多少？

2. 阅读理解题：

若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，

则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，

2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：

若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．

【参考答案】

➢ 例题示范

例1．解：12x x -

=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝

⎭∴ 2

221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝

⎭=+=∴

2

22136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴

2

422422

111

236234

x x x x x x ⎛

⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴

例2：1 -3

➢ 巩固练习

1. 9 13

2. 5 17

3. 7 47

4. ±6 ±24

5. 5 24x - -4 8x -8x 4x

6. 8

7. 4a =时取得最小值，最小值为-2

8. 最小值为3

➢ 思考小结

1. 不相等，相差2

()4a b -

2. 2 014