高中数学必修四(人教版)-第一章-三角函数-142(一)精品PPT课件
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高中数学必修四人教版第一章：基本初等函数(三角函数)1ppt课件
第一章 三角函数小结
本章知识结构
• 任意角与弧度制；单位圆 • 任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系 诱导公式 • 三角函数线；三角函数的图象和性质 • 三角函数模型的简单应用
例题选讲
4
• 例1.已知锐角A、B满足sinAcosB+cosAsinB= ,
5
1
sinAcosB-cosAsinB= , 求
将函数 y cos的2图x象作怎样的变换
• 例4.设函数
f (x) sin(2x )( ， 若 0)
函数f(x)的一条对称轴是直线 x= .
（1）求 ；
8
（2）求函数y=f(x)的单调区间；
（3）画出函数y=f(x)在区间
上的[图0,象 ]
谢谢观看！
• 设 sin、cos是 方程4x2-4mx+2m-1=0的两根，
5
的值tan A tan B
• 练习： 已知角α的终边在直线y=-x上，化简：
1-cos2 sin
cos
1 sin2
• 例2.求函数
y 2sin(在x )
3
最大值、最小值、单调区间
上x的[0, ] 2
• 例3.为了得到函数
y sin(的2x图象，)应 6
若
3
2
Hale Waihona Puke ， 求m和角θ的值
本章知识结构
• 任意角与弧度制；单位圆 • 任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系 诱导公式 • 三角函数线；三角函数的图象和性质 • 三角函数模型的简单应用
例题选讲
4
• 例1.已知锐角A、B满足sinAcosB+cosAsinB= ,
5
1
sinAcosB-cosAsinB= , 求
将函数 y cos的2图x象作怎样的变换
• 例4.设函数
f (x) sin(2x )( ， 若 0)
函数f(x)的一条对称轴是直线 x= .
（1）求 ；
8
（2）求函数y=f(x)的单调区间；
（3）画出函数y=f(x)在区间
上的[图0,象 ]
谢谢观看！
• 设 sin、cos是 方程4x2-4mx+2m-1=0的两根，
5
的值tan A tan B
• 练习： 已知角α的终边在直线y=-x上，化简：
1-cos2 sin
cos
1 sin2
• 例2.求函数
y 2sin(在x )
3
最大值、最小值、单调区间
上x的[0, ] 2
• 例3.为了得到函数
y sin(的2x图象，)应 6
若
3
2
Hale Waihona Puke ， 求m和角θ的值
高一数学人教A版必修4课件：第一章 三角函数
19
跟踪训练3 已知定义在(－∞，3]上单调减函数f(x)使得f(1＋
sin2x)≤f(a－2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围.
解 根据题意，对一切x∈R都成立，有：
1＋sin2x≤3
a－2cos x≤3
a－2cos x≤1＋sin2x
sin2x≤2
⇔a≤2cos x＋3
22
或
(舍)
b＝－10.
都不满足a的范围，舍去.
综上所述，a＝2，b＝－2.
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18
反思与感悟 转化与化归的思想方法是数学中最基本 的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化 与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函 数在闭区间上的最＝2，
ex－1，x≥0.
则 a 的值为( )
A.1
B.1，－
2 2
C.－
2 2
解析 ∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，
D.1，
2 2
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14
∴a－1＝0，∴a＝1；
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，
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5
以下，在同一坐标系中作函数 y＝2sin2x＋π6和函数 y＝lg x 的示 意图如图所示：
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6
∵f(x)的最大值为 2，令 lg x＝2，得 x＝100，令1112π＋kπ<100(k∈Z)， 得 k≤30(k∈Z)，而1112π＋31π>100，∴在区间(0,100]内有 31 个形如 1112π＋kπ，1172π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上 y＝f(x) 与 y＝lg x 的图象都有 2 个交点，故这两个函数图象在1112π，100上 有 2×31＝62 个交点，另外在0，1112π上还有 1 个交点，
【精品】高一数学人教A版必修4课件：《第一章三角函数》课件ppt
a≤1 ⇔a≤[－cos x－12＋3]min
a≤1， ⇔
∴a≤－1.
a≤－1，
理网络·明结构
21
呈重点、现规律
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形 结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数 的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数 的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有 利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.
理网络·明结构
22
b＝－2.
②当－1<－a2<0，即 0<a<2 时，
理网络·明结构
17
ymax＝g－a2＝a42＋b＋1＝0，
a＝2， 解得
(舍)
ymin＝g1＝－a＋b＝－4.
b＝－2
a＝－6，
或
(舍)
b＝－10.
都不满足a的范围，舍去.
综上所述，a＝2，b＝－2.
第一章 三角函数
内容 索引
01 理网络
明结构
探题型 02
提能力
03
04
理网络·明结构
理网络·明结构
理网络·明结构
探题型·提能力 题型一 数形结合思想在三角函数中的应用
解 显然A＝2.
理网络·明结构
4
又|φ|<π2，则 φ＝π6. 又1112π，0是图象上的点，则 f1112π＝0， 即 sin1112πω＋π6＝0，由图象可知，1112π，0是图象在 y 轴右侧部分 与 x 轴的第二个交点.∴1112πω＋π6＝2π. ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋π6).
解 根据题意，对一切x∈R都成立，有：
a≤1， ⇔
∴a≤－1.
a≤－1，
理网络·明结构
21
呈重点、现规律
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形 结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数 的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数 的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有 利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.
理网络·明结构
22
b＝－2.
②当－1<－a2<0，即 0<a<2 时，
理网络·明结构
17
ymax＝g－a2＝a42＋b＋1＝0，
a＝2， 解得
(舍)
ymin＝g1＝－a＋b＝－4.
b＝－2
a＝－6，
或
(舍)
b＝－10.
都不满足a的范围，舍去.
综上所述，a＝2，b＝－2.
第一章 三角函数
内容 索引
01 理网络
明结构
探题型 02
提能力
03
04
理网络·明结构
理网络·明结构
理网络·明结构
探题型·提能力 题型一 数形结合思想在三角函数中的应用
解 显然A＝2.
理网络·明结构
4
又|φ|<π2，则 φ＝π6. 又1112π，0是图象上的点，则 f1112π＝0， 即 sin1112πω＋π6＝0，由图象可知，1112π，0是图象在 y 轴右侧部分 与 x 轴的第二个交点.∴1112πω＋π6＝2π. ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋π6).
解 根据题意，对一切x∈R都成立，有：
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 三角函数的性质课件 新人教A版必修4.ppt
φ)是__偶___函数．
10
(6)单调性：单调递增区间是
(7)对称性：函数图象与 x 轴的交点是对称中心，即对称中 心是kπω－φ，0，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的 最值，即对称轴是直线 x＝kπ＋ω2π－φ，其中 k∈Z.
11
(8)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距 半 个周期；相邻的一个对称中 心和一条对称轴相距周期的_四__分__之__一___．
);
T84
T2 1 0
(5) y cos(2x ), x R;
T 3
(6) y 3 sin(1 x ), x R. 2 4 T4
2
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
4
[错解] 因为 2>1，所以只需求 u＝sin(x＋3π)的单调递增区
间即可．
于是－π2＋2kπ≤x＋π3≤2π＋2kπ，k∈Z，
即－56π2kπ≤x≤π6＋2kπ.
所以函数
y
＝
log2sin(x
＋
π 3
)
的
单
调
递
增
区
间
为
－56π＋2kπ，6π＋2kπ(k∈Z)．
5
[错因分析] 该解法错误的原因在于忘记考虑定义域． [思路分析] 先求出函数的定义域，单调区间是定义域的 子集．
－π3＋2kπ，6π＋2kπ(k∈Z)．
人教版高中数学必修四第一章三角函数课件 1.2.1任意角的三角函数(一)优质课件
例5. 下列三角函数的值：
(1) cos 9 ;
4
(2) tan( 11 ).
6
例6. 求函数 y cos x tan x cos x tan x
的值域.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17； 2. 教材P.20习题1.2A组
第1、2题；第3题第⑴、 ⑵、⑶问； 第9题第⑴、⑶问.
(2) sin( );
4
(4) tan 11 .
3
例4. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则 角是第三象限角，反之也成立.
4. 诱导公式 终边相同的角三角函数值相同
sin( 2k ) sin , cos( 2k ) cos , 其中k Z. tan( 2k ) tan ,
(2) ;
(3) 3 .
2
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(2,－3)， 求角的六个三角函数值．
例题与练习
例3. 已知角的终边过点(a, 2a)(a≠0)， 求的四个三角函数值．
3. 三角函数的符号
练习.确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250o; (3) tan( 672o );
y
说 明：
④除以上两种情况外，对于确定的值
，比值 y 、 x 、 y 、 x 分别是一个确定的
rrxy
实数.
2. 三角函数Biblioteka 定义域、值域函数定义域
值域
R
[1, 1]
R
[1, 1]
{ | k , k Z}
2
R
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数课件(1)
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M0P0 4 ;
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 精品3PPT
精品PPT
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
c
Ob
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
a
sin c
a
b
cos c
M
a
tan b
精品PPT
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
精品PPT
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
6 精品PPT
3
例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0 P0 M0 M
精品PPT
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件
o
x
p
α终边
T
例7：不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：
y 1
由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
o 1x
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
y 1
o 1x
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
tan 2π < tan 4π
sinθ < 0 tanθ > 0
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
{ k2 , k Z }
∴
终边相同
点的坐标相同
同一三角函数值
诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相 等，由此得到（公式一）：
sin(α + k 2π) = sinα;
示角α的正弦值和余弦值吗？
y
| MP |= y = sinα
P（x，y）
| OM |= x = cosα
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆 的交点为P（x，y），则 sin y ，
cos x都是负数，此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
p
Mo
y
M
o
p
y α终边
p(x , y)
x
oM x
正弦线
余弦线
高中数学人教A版(课件)必修四 第一章 三角函数 1.4.1
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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2019秋新版高中数学人教A版必修4课件：第一章三角函数1.4.1
1 . 2 π 3 5π 3 π 5π , 3 3
时,cos
所以 2cos x- 1<0 的解集为 ������ 答案 :(1)D (2) ������
π 3
< ������ <
.
< ������ <
5π 3
x sin x -sin x
0 0 0 1 -1
������ 2
π 0 0 -1 1
3������ 2
2π 0 0
题型一
题型二
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个 点 :(0,0),
π ,-1 2
, (π, 0),
3π ,1 2
, (2π, 0).
(3)连线 :用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得函数 y=-sin x,x∈[0,2π ]的简图,如图 .
1.4
三角函数的图象与性质
1.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
-3-
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
“五点法 ”画正弦函数和余弦函数的图象 剖析 :画正弦函数 y=sin x,x∈ [0,2π ]的图象有五个关键点 ,它们是 (0,0) ,
π ,1 2
, (π, 0),
3π ,-1 2
, (2π, 0), 因此描出这五点后,正弦函数
y=sin x,x∈ [0,2π ]图象的形状基本上就确定了 .在连线时 ,曲线经过最 高点或最低点的连线要保持“光滑 ”.用 “五点法 ”画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象时也是一样 .
题型一
题型二
题型一
画三角函数的图象
【例 1】 画函数 y=-sin x ,x∈[0,2π]的简图. 分析:用“五点法”画图. 解:步骤:(1)列表:
时,cos
所以 2cos x- 1<0 的解集为 ������ 答案 :(1)D (2) ������
π 3
< ������ <
.
< ������ <
5π 3
x sin x -sin x
0 0 0 1 -1
������ 2
π 0 0 -1 1
3������ 2
2π 0 0
题型一
题型二
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个 点 :(0,0),
π ,-1 2
, (π, 0),
3π ,1 2
, (2π, 0).
(3)连线 :用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得函数 y=-sin x,x∈[0,2π ]的简图,如图 .
1.4
三角函数的图象与性质
1.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
-3-
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
“五点法 ”画正弦函数和余弦函数的图象 剖析 :画正弦函数 y=sin x,x∈ [0,2π ]的图象有五个关键点 ,它们是 (0,0) ,
π ,1 2
, (π, 0),
3π ,-1 2
, (2π, 0), 因此描出这五点后,正弦函数
y=sin x,x∈ [0,2π ]图象的形状基本上就确定了 .在连线时 ,曲线经过最 高点或最低点的连线要保持“光滑 ”.用 “五点法 ”画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象时也是一样 .
题型一
题型二
题型一
画三角函数的图象
【例 1】 画函数 y=-sin x ,x∈[0,2π]的简图. 分析:用“五点法”画图. 解:步骤:(1)列表:
人教版高一数学(人教A版)必修4课件：第一章 三角函数
当 a>2 时，－a2∈(－∞，－1)， ∴ymax＝－(－1＋a2)2＋1＋b＋a42＝0.③ ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4. 由以上两式③④，得 a＝2，不适合 a>2，∴应舍去． 综上知，只有一组解ab＝ ＝－ 2，2.
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷 多个对称中心，对称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ， 0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k ∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分 别是 x＝kπ＋2π(k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心 坐标为(k2π，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周奇期偶性性 性质
单调性
最大、最小值
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷 多个对称中心，对称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ， 0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k ∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分 别是 x＝kπ＋2π(k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心 坐标为(k2π，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周奇期偶性性 性质
单调性
最大、最小值
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
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高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.4.2(一)
2kπ
π 5 ＋ 6 ，2kπ ＋6π (k∈Z)，此定义域不关于原点对称.
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. 1 f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin x)＝lg sin x＋ 1＋sin2 x
2
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数. (4)由
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解
(1)函数定义域为 R，且 f(x)＝
＝
5 2sin2x＋2π ＝
π 2sin2x＋ 2
2cos 2x，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立.
∴函数 f(x)＝
5 2sin2x＋2π 为偶函数.
1 (2) 由 2sin x － 1≥0 ， 即 sin x ≥ ， 得 函 数 定 义 域 为 2
∵f(x)是 R 上的偶函数，
π ∴f － 3 π ＝ f 3 ＝sin 5π π 3 3 ＝ 2 . 3 ＝ 2 .∴f 3
(2)令
3 x∈2π
，2π
，则
x－2π
π ∈ － 2
1 cos x 0, 得 cos x＝1， cos x 1 0,
∴x＝2kπ (k∈Z)，此时 f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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规律方法
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否
关于原点对称 . 如果是，再验证 f( － x) 是否等于－ f(x) 或 f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必 为非奇非偶函数.
π 5 ＋ 6 ，2kπ ＋6π (k∈Z)，此定义域不关于原点对称.
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. 1 f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin x)＝lg sin x＋ 1＋sin2 x
2
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数. (4)由
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解
(1)函数定义域为 R，且 f(x)＝
＝
5 2sin2x＋2π ＝
π 2sin2x＋ 2
2cos 2x，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立.
∴函数 f(x)＝
5 2sin2x＋2π 为偶函数.
1 (2) 由 2sin x － 1≥0 ， 即 sin x ≥ ， 得 函 数 定 义 域 为 2
∵f(x)是 R 上的偶函数，
π ∴f － 3 π ＝ f 3 ＝sin 5π π 3 3 ＝ 2 . 3 ＝ 2 .∴f 3
(2)令
3 x∈2π
，2π
，则
x－2π
π ∈ － 2
1 cos x 0, 得 cos x＝1， cos x 1 0,
∴x＝2kπ (k∈Z)，此时 f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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规律方法
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否
关于原点对称 . 如果是，再验证 f( － x) 是否等于－ f(x) 或 f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必 为非奇非偶函数.
新人教版高中数学必修四第一章1.2.1 任意角的三角函数1PPT课件
例4 确定下列三角函数值的符号， 然后用计算器验证：
1 cos250 负
2 sin 负
4
3 tan 672 正
4 tan3
零
例5 求下列三角函数的值.
1 cos 9
4
2 tan 11
6
答案：1 2 ，2 3 .
2
3
小结
• 1.单位圆定义任意角的三角函数； • 2.由终边上任一点求任意角的三角函
1.2 任意的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
复习准备
• 1. 用弧度制写出终边在下列位置的 角的集合：坐标轴上； 第二、四 象限
• 2. 锐角的三角函数如何定义？ • 3. 讨论：以上定义适应任意角的三
角函数吗？如何定义？
新课学习
• 一.用直角坐标系中锐角α的终边上点P 的坐标(x,y)表示锐角α的三角函数:
31
30
3
公式一
公式的用途
终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan cot( k 2 ) cot 其中 k Z
利用公式一 可以把求任 意角的三角 函数值，转 化为求0到 2π角的三角 函数值.
• 3.<<学评>> P10～11#2、3、7、8、 9、11、12、14.
数； • 3.各象限的符号情况； • 4.诱导公式（一） .
作业
• 1. P15 练习1~7，P17#2;
• 2. 作业：书P20~21习题1.2A组
• 必做:1、2、3(1)(2) 、6(4)(5) 、 7(1)(2) 、9(1)题;
• 选做:3(3)(4) 、5 、 6(1)(2)(3)(6) 、 7(3)(4) 、9(2)~(4).
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∴T＝2|ωπ|＝π，故 y＝cos 2x 的周期为π.
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(2)如果令 u＝12x，则 sin 12x＝sin u 是周期函数，且最小正周
期为 2π.∴sin12x＋2π＝sin2x，即 sin12（x＋4π）＝sin
1 2x.
∴y＝sin
1 2x
的最小正周期是
4π.
(3)∵2sin3x－π6 ＋2π＝2sin3x－π6 ， 即 2sin13（x＋6π）－π6 ＝2sin3x－π6 .
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
目标定位 1.了解三角函数的周期性；2.会求形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数的最小正周期；3.理解正(余)弦函 数的奇偶性.
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自主预习
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非__零__常__数__T_，使得当x取定义域内 的_每__一__个__值__时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么函数f(x)就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最__小__正__周__期__.
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析 函数的定义域为 R，又 f(x)＝－sin x，f(－x)＝
－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，故此函数是奇函数. 答案 A
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4.若函数f(x)的最小正周期为2，且f(0)＝2，则f(2)＝______. 解析 由题意可知，f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝2. 答案 2
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即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在第一象限是增函数.( × ) (2)在锐角△ABC 中，总有 sin A>cos B.(√ ) (3)若 x∈－π6 ，56π，则 sin x∈－12，12.(× ) (4)当π4 <x<54π时，有 sin x>cos x.( √ )
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__R__， 定义域关于原__点___对称. (2)由sin(－x)＝－__s_i_n_x__知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数， 它的图象关于原点对称. (3)由cos(－x)＝_c_o_s__x_知余弦函数y＝cos x是R上的_偶___函数， 它的图象关于__y_轴__对称.
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提示 (1)94π，π4 都是第一象限角，且94π>π4 ，但 sin94π＝sinπ4 ，
故错.
ππ (2)△ABC 是锐角三角形，则 A＋B> 2 ，A> 2 －B，
故 sin A>sinπ2 －B＝cos B.
(3)π2 ∈－π6 ，π6 ，而
π sin 2 ＝1，
(4)如图，在同一坐标系中，画出 y＝sin x，y＝ocs x，x∈[0，
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[思路探究] 探究点一 (1)怎样将53π转化成已知区间0，π2 上的角？ 提示 π是 f(x)的周期，则－π，－2π也是 f(x)的周期. 探究点二 (2)求32π，2π上 f(x)的解析式关键是什么？ 提示 将32π，2π上的角转化为0，π2 上的角即可.
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类型一 求正、余弦函数的周期 【例1】 求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin2x＋π3 ；
(2)y＝|cos x|.
π 解 (1)法一 令 z＝2x＋ 3 ，则函数 y＝sin z 是周期函数，且周
期为 2π，即 y＝sin(z＋2π)＝sin z，
亦即 sin2x＋π3 ＋2π＝sin2x＋π3
∴sin2x＋π＋π3 ＝sin2x＋π3 ∴y＝sin2x＋π3 的周期为π.
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法二 y＝sin2x＋π3 ，其中 ω＝2，∴T＝2|π2| ＝π. (2)作出函数 y＝|cos x|的图象，如图所示，
由图象可知，此函数的周期为π.
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Байду номын сангаас
规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是 抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得 T 是 函数的一个周期. (2)常见三角函数周期的求法：
2π]图象，可知正确.
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2.函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )
π A. 2
B.π
3π C. 2
D.2π
解析 ∵函数 y＝sin x 的周期为 2π，∴函数 f(x)＝1＋sin x 的
最小正周期是 2π. 答案 D
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3.函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
①对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或 y＝Acos(ωx＋φ)， ω≠0)的周期求法通常用公式 T＝2|ωπ|来求解. ②对于形如 y＝|Asin ωx|(或 y＝|Acos ωx|)的周期情况常结合
图象法来解决.
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【训练1】 求下列函数的最小正周期. (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin 12x；(3)y＝2sin3x－π6 . 解 (1)定义法：令 u＝2x，则 cos 2x＝cos u 是周期函数，且最 小正周期为 2π.∴cos(u＋2π)＝cos u， 则 cos(2x＋2π)＝cos 2x，即 cos[2(x＋π)]＝cos 2x. ∴cos 2x 的最小正周期为π.公式法：∵ω＝2，
∴y＝2sin3x－π6 的最小正周期是 6π.
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类型二 正、余弦函数周期性的应用(互动探究) 【例 2】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是π，且当 x∈0，π2 时，f(x)＝sin x. (1)求 f5π 3 的值. (2)求32π，2π上 f(x)的解析式.
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2.正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝_s_i_n_x_，cos(x＋2kπ)＝__c_o_s_x_知y＝sin x与y＝
cos x都是_周__期__函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，
且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
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(2)如果令 u＝12x，则 sin 12x＝sin u 是周期函数，且最小正周
期为 2π.∴sin12x＋2π＝sin2x，即 sin12（x＋4π）＝sin
1 2x.
∴y＝sin
1 2x
的最小正周期是
4π.
(3)∵2sin3x－π6 ＋2π＝2sin3x－π6 ， 即 2sin13（x＋6π）－π6 ＝2sin3x－π6 .
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
目标定位 1.了解三角函数的周期性；2.会求形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数的最小正周期；3.理解正(余)弦函 数的奇偶性.
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1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非__零__常__数__T_，使得当x取定义域内 的_每__一__个__值__时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么函数f(x)就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最__小__正__周__期__.
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析 函数的定义域为 R，又 f(x)＝－sin x，f(－x)＝
－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，故此函数是奇函数. 答案 A
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4.若函数f(x)的最小正周期为2，且f(0)＝2，则f(2)＝______. 解析 由题意可知，f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝2. 答案 2
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1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在第一象限是增函数.( × ) (2)在锐角△ABC 中，总有 sin A>cos B.(√ ) (3)若 x∈－π6 ，56π，则 sin x∈－12，12.(× ) (4)当π4 <x<54π时，有 sin x>cos x.( √ )
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__R__， 定义域关于原__点___对称. (2)由sin(－x)＝－__s_i_n_x__知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数， 它的图象关于原点对称. (3)由cos(－x)＝_c_o_s__x_知余弦函数y＝cos x是R上的_偶___函数， 它的图象关于__y_轴__对称.
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提示 (1)94π，π4 都是第一象限角，且94π>π4 ，但 sin94π＝sinπ4 ，
故错.
ππ (2)△ABC 是锐角三角形，则 A＋B> 2 ，A> 2 －B，
故 sin A>sinπ2 －B＝cos B.
(3)π2 ∈－π6 ，π6 ，而
π sin 2 ＝1，
(4)如图，在同一坐标系中，画出 y＝sin x，y＝ocs x，x∈[0，
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[思路探究] 探究点一 (1)怎样将53π转化成已知区间0，π2 上的角？ 提示 π是 f(x)的周期，则－π，－2π也是 f(x)的周期. 探究点二 (2)求32π，2π上 f(x)的解析式关键是什么？ 提示 将32π，2π上的角转化为0，π2 上的角即可.
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类型一 求正、余弦函数的周期 【例1】 求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin2x＋π3 ；
(2)y＝|cos x|.
π 解 (1)法一 令 z＝2x＋ 3 ，则函数 y＝sin z 是周期函数，且周
期为 2π，即 y＝sin(z＋2π)＝sin z，
亦即 sin2x＋π3 ＋2π＝sin2x＋π3
∴sin2x＋π＋π3 ＝sin2x＋π3 ∴y＝sin2x＋π3 的周期为π.
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法二 y＝sin2x＋π3 ，其中 ω＝2，∴T＝2|π2| ＝π. (2)作出函数 y＝|cos x|的图象，如图所示，
由图象可知，此函数的周期为π.
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规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是 抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得 T 是 函数的一个周期. (2)常见三角函数周期的求法：
2π]图象，可知正确.
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2.函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )
π A. 2
B.π
3π C. 2
D.2π
解析 ∵函数 y＝sin x 的周期为 2π，∴函数 f(x)＝1＋sin x 的
最小正周期是 2π. 答案 D
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3.函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
①对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或 y＝Acos(ωx＋φ)， ω≠0)的周期求法通常用公式 T＝2|ωπ|来求解. ②对于形如 y＝|Asin ωx|(或 y＝|Acos ωx|)的周期情况常结合
图象法来解决.
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【训练1】 求下列函数的最小正周期. (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin 12x；(3)y＝2sin3x－π6 . 解 (1)定义法：令 u＝2x，则 cos 2x＝cos u 是周期函数，且最 小正周期为 2π.∴cos(u＋2π)＝cos u， 则 cos(2x＋2π)＝cos 2x，即 cos[2(x＋π)]＝cos 2x. ∴cos 2x 的最小正周期为π.公式法：∵ω＝2，
∴y＝2sin3x－π6 的最小正周期是 6π.
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类型二 正、余弦函数周期性的应用(互动探究) 【例 2】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是π，且当 x∈0，π2 时，f(x)＝sin x. (1)求 f5π 3 的值. (2)求32π，2π上 f(x)的解析式.
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2.正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝_s_i_n_x_，cos(x＋2kπ)＝__c_o_s_x_知y＝sin x与y＝
cos x都是_周__期__函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，
且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性