高中数学必修四(人教版)-第一章-三角函数-142(一)精品PPT课件

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提示 (1)94π，π4 都是第一象限角，且94π>π4 ，但 sin94π＝sinπ4 ，
故错.
ππ (2)△ABC 是锐角三角形，则 A＋B> 2 ，A> 2 －B，
故 sin A>sinπ2 －B＝cos B.
(3)π2 ∈－π6 ，π6 ，而
π sin 2 ＝1，
(4)如图，在同一坐标系中，画出 y＝sin x，y＝ocs x，x∈[0，
∴sin2x＋π＋π3 ＝sin2x＋π3 ∴y＝sin2x＋π3 的周期为π.
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法二 y＝sin2x＋π3 ，其中 ω＝2，∴T＝2|π2| ＝π. (2)作出函数 y＝|cos x|的图象，如图所示，
由图象可知，此函数的周期为π.
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规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是 抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得 T 是 函数的一个周期. (2)常见三角函数周期的求法：
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[思路探究] 探究点一 (1)怎样将53π转化成已知区间0，π2 上的角？ 提示 π是 f(x)的周期，则－π，－2π也是 f(x)的周期. 探究点二 (2)求32π，2π上 f(x)的解析式关键是什么？ 提示 将32π，2π上的角转化为0，π2 上的角即可.
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析 函数的定义域为 R，又 f(x)＝－sin x，f(－x)＝
－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，故此函数是奇函数. 答案 A
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4.若函数f(x)的最小正周期为2，且f(0)＝2，则f(2)＝______. 解析 由题意可知，f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝2. 答案 2
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类型一 求正、余弦函数的周期 【例1】 求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin2x＋π3 ；
(2)y＝|cos x|.
π 解 (1)法一 令 z＝2x＋ 3 ，则函数 y＝sin z 是周期函数，且周
期为 2π，即 y＝sin(z＋2π)＝sin z，
亦即 sin2x＋π3 ＋2π＝sin2x＋π3
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2.正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝_s_i_n_x_，cos(x＋2kπ)＝__c_o_s_x_知y＝sin x与y＝
cos x都是_周__期__函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，
且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
目标定位 1.了解三角函数的周期性；2.会求形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数的最小正周期；3.理解正(余)弦函 数的奇偶性.
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1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非__零__常__数__T_，使得当x取定义域内 的_每__一__个__值__时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么函数f(x)就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最__小__正__周__期__.
∴y＝2sin3x－π6 的最小正周期是 6π.
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类型二 正、余弦函数周期性的应用(互动探究) 【例 2】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是π，且当 x∈0，π2 时，f(x)＝sin x. (1)求 f5π 3 的值. (2)求32π，2π上 f(x)的解析式.
2π]图象，可知正确.
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2.函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )
π A. 2
B.π
3π C. 2
D.2π
解析 ∵函数 y＝sin x 的周期为 2π，∴函数 f(x)＝1＋sin x 的
最小正周期是 2π. 答案 D
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3.函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
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1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在第一象限是增函数.( × ) (2)在锐角△ABC 中，总有 sin A>cos B.(√ ) (3)若 x∈－π6 ，56π，则 sin x∈－12，12.(× ) (4)当π4 <x<54π时，有 sin x>cos x.( √ )
∴T＝2|ωπ|＝π，故 y＝cos 2x 的周期为π.
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(2)如果令 u＝12x，则 sin 12x＝sin u 是周期函数，且最小正周
期为 2π.∴sin12x＋2π＝sin2x，即 sin12（x＋4π）＝sin
1 2x.
∴y＝sin
1 2x
的最小正周期是
4π.
(3)∵2sin3x－π6 ＋2π＝2sin3x－π6 ， 即 2sin13（x＋6π）－π6 ＝2sin3x－π6 .
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__R__， 定义域关于原__点___对称. (2)由sin(－x)＝－__s_i_n_x__知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数， 它的图象关于原点对称. (3)由cos(－x)＝_c_o_s__x_知余弦函数y＝cos x是R上的_偶___函数， 它的图象关于__y_轴__对称.
①对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或 y＝Acos(ωx＋φ)， ω≠0)的周期求法通常用公式 T＝2|ωπ|来求解. ②对于形如 y＝|Asin ωx|(或 y＝|Acos ωx|)的周期情况常结合
图象法来解决.
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【训练1】 求下列函数的最小正周期. (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin 12x；(3)y＝2sin3x－π6 . 解 (1)定义法：令 u＝2x，则 cos 2x＝cos u 是周期函数，且最 小正周期为 2π.∴cos(u＋2π)＝cos u， 则 cos(2x＋2π)＝cos 2x，即 cos[2(x＋π)]＝cos 2x. ∴cos 2x 的最小正周期为π.公式法：∵ω＝2，