理论力学小论文

2013理论力学小论文

重心及其求法

201X 级车辆工程2班 XXX 指导老师：张伟

摘要：

在工程中，物体重心的位置具有重要意义。汽车、轮船、飞机的重心位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。

一、 重心的概念

在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，不一定在物体上，其求法也是多样的。

二、 物体重心坐标公式

2.1平行力系的中心

平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关，而与各平行力的方向无关。

2.2 重心坐标的一般公式

将物体分成许多微小部分n 份,各微小部分所受到的地球引力（重力）以

G n G G F F F ∆⋅⋅⋅∆∆21表示,各微小部分作用点坐标为)()()(222111n n n z y x z y x z y x ⋅⋅⋅

2

1r F r F + i i

C

i F r r F

=

∑∑

则物体的重量为

∑∑∆=

∆=

=Gi

n

n

Gi G F F F 1

重心的坐标用（xC ，yC ，zC ）表示，根据空间力系的合力矩定理，对x 轴取矩，则

i G i n G n G G G x y F y F y F y F F M ⨯∆=⨯∆+⋅⋅⋅+⨯∆+⨯∆=∆∑∑2211)(

c

G c G G x y F y F F M ⨯=⨯∆=∑)(

因

i G i c c y F y F ⨯∆=⨯∑

则

∑∑∑∆⨯∆=

⨯∆=

Gi

i

Gi

G

i

Gi

c F

y

F F y F

y

同理

∑∑∑∆⨯∆=

⨯∆=

Gi

i Gi G

i

Gi

c F x F F x F x

∑∑∑∆⨯∆=

⨯∆=

Gi

i

Gi G

i

Gi

c F

z F F z F

z

物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz 成为水平面，由重心的概念知，此物体重心的位置不变，再对x 轴应用合力矩定理求Zc 。

体积为V 。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi ，每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi ，其作用点坐标为（xi ，yi ，zi ）。整个物体所受的重力为FG=∑△FGi 。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式

2.3、均质物体重心（形心）坐标公式

对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为n V V V ∆⋅⋅⋅∆∆21，整个物体的体积为V

则有

γγγ

n Gn C G V F V F V F ∆=∆⋅⋅⋅∆=∆∆=∆211

γV F F Gi G =∆=∑

得

∑∑∑∑∆∆=

∆⋅∆=

V

x V V x V x i

i i i

i c

γ

γ

∑∑∑∑∆∆=

∆⋅∆=

V

y V V y V y i

i i i

i

c γ

γ

∑∑∑∑∆∆=

∆⋅∆=

V

z V V z V z i

i i

i i

c

γγ

由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。

③对于均质物体来说，形心与重心重合。

2.4 均质薄壳重心（形心）坐标公式

由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则

t

A V t A V t A V n n ∆=∆⋅⋅⋅∆=∆∆=∆211

t A V i

i

∑∑∆=∆

故形心公式为:

∑∑∑∑∑∑∆∆=

∆⋅∆=

∆∆=

i

i i i i

i i i c A x A t

A x t A V

x V x

∑∑∑∑∑∑∆⋅∆=

∆⋅∆=

∆∆=

i

i i

i i

i

i c

A

y A t A y t A V y V y

三、 物体重心与形心的位置求法

3.1积分法

若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA ，在极限情况下，上式写成：

法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。如任意三角形ΔA B D （图1a ）没有对称性，但可将任意三角形分割成无数平行于A B 边的直线，每一条直线的重心在其长度中点上（对称点），将这些中点联起来形成一条重心迹线D E ；用同方法，再将任意三角形分割成无数平行于A D 边的直线，