数值分析幂法与反幂法-matlab程序
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。
这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。
幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。
具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。
此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。
幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。
此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。
相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。
它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。
迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。
同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximum characteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iteration methods;目录1 引言 (1)2 相关定理。
幂法和反幂法的matlab实现
幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ijaA ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为n λλλ ,,21，相应的特征向量为nx x x ,,21。
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈?+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ===+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<="">t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<n< p="">k=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量(DOC)
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
幂法 数值分析
(其中，k = 1,2,…,39)。 6. 求出 A 的条件数 cond(A)2 以及 A 的行列式
detA，其中： cond(A)2 = |λ m|/|λ s|； detA = det(LU) = detU。
二、全部源程序：
//1.主程序 #include "stdafx.h" #include "iostream.h" #include "iomanip.h" #include "head.h" #include "math.h"
为:"<<u_min<<endl; cout<<endl;
//求出 A 最大的特征值
//创建初始向量 u0 for ( i = 0; i < n; ++i) u0[i] = 5; u0[0] = 1.0;
//生成矩阵 A 的非零元素 arr_ger( a_U, a_D, a_L, s, r, n, fabs(u_max));
int i, j; //生成上带宽矩阵 a_U 的非 0 元素 for ( i = 0; i < s; ++i ) {
a_U[i] = new double [n-1-i]; } for ( j = 0; j < n-1; ++j ) {
a_U[0][j] = 0.16; } for ( j = 0; j < n-2; ++j ) {
//将带状矩阵 A 压缩为矩阵 C arr_compress( c, a_D, a_U, a_L, s, r, n);
幂法和反幂法的matlab实现
幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ij a A ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为nλλλ ,,21，相应的特征向量为nx x x ,,21。
幂法及其MATLAB程序
5.2 幂法及其MATLAB 程序5.2.2 幂法的MATLAB 程序用幂法计算矩阵A 的主特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m;tzw=abs(lambda-mk); Vk=(1/mk)*Vk;Txw=norm(V-Vk); Wc=max(Txw,tzw); V=Vk;lambda=mk;state=0;if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif (Wc<=jd)disp('请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') endVk=V;k=k-1;Wc;例 5.2.2 用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度510-=ε.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4211A ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321B ；(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1124111221C ；（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20101350144D . 解 （1）输入MATLAB 程序>>A=[1 -1;2 4]; V0=[1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D] = eig (A), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =33 3.00000173836804 8.691862856124999e-007Vk = V = wuV =-0.49999942054432 -0.70710678118655 0.44721359549996 -0.894428227562941.00000000000000 0.70710678118655 -0.89442719099992 -0.89442719099992Dzd = wuD =3 1.738368038406435e-006由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差W c ≈8.69 19e-007，矩阵A 的主特征值的近似值lambda ≈3.000 00和对应的特征向量的近似向量V k ≈（-0.500 00，1.00000T ), lambda 与例5.1.1中A 的最大特征值32=λ近似相等，绝对误差约为1.738 37e-006，V k 与特征向量X =T22k T )1,21(- )0(2≠k 的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV 可以看出，2λ的特征向量V (:,2) 与V k 的对应分量的比值近似相等.因此，用程序mifa.m 计算的结果达到预先给定的精度510-=ε.(2) 输入MATLAB 程序>>B=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(B,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (B), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = Dzd = wuD =3 9 0 9 0Vk = wuV =0.50000000000000 0.816496580927730.50000000000000 0.816496580927731.00000000000000 0.81649658092773V =0.70710678118655 0.57735026918963 0.40824829046386-0.70710678118655 0.57735026918963 0.408248290463860 -0.57735026918963 0.81649658092773(3) 输入MATLAB 程序>> C=[1 2 2;1 -1 1;4 -12 1];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(C,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (C), Dzd=max(diag(D)), wuD=abs(Dzd-lambda),Vzd=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =100 0.09090909090910 2.37758124193119Dzd = wuD =1.00000000000001 0.90909090909091Vk= Vzd = wuV =0.99999999999993 0.90453403373329 0.904534033733350.99999999999995 0.30151134457776 0.301511344577781.00000000000000 -0.30151134457776 -0.30151134457776由输出结果可见，迭代次数k 已经达到最大迭代次数max 1=100，并且lambda 的相邻两次迭代的误差Wc ≈2.377 58>2,由wuV 可以看出，lambda 的特征向量V k 与真值Dzd 的特征向量V zd 对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C 的特征值的近似值为i ,i ,010*********.000321=-==λλλ ，并且对应的特征向量的近似向量分别为X T1=1k （0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776）T ，X =T 22k （-0.72547625011001,-0.21764287503300-0.07254762501100i, 0.58038100008801-0.29019050004400i ）T ，X =T33k ( -0.72547625011001, -0.21764287503300 + 0.07254762501100i,0.58038100008801 + 0.29019050004400i)T0,0(21≠≠k k , 03≠k 是常数）.（4）输入MATLAB 程序>> D=[-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(D,V0,0.00001,100), [V,Dt] =eig (D), Dtzd=max(diag(Dt)), wuDt=abs(Dtzd-lambda),Vzd=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k = lambda = Wc =19 6.00000653949528 6.539523793591684e-006Dtzd = wuDt =6.00000000000000 6.539495284840768e-006Vk = Vzd = wuV =0.79740048053564 0.79740048053564 0.797400480535640.71428594783886 0.56957177181117 0.79740021980618-0.24999918247180 -0.19935012013391 0.797403088133705.3 反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3 原点位移反幂法的MATLAB程序（一）原点位移反幂法的MATLAB主程序1用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序1 function [k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); A1=A-jlamb*eye(n); jd= jd*0.1;RA1=det(A1);if RA1==0disp('请注意：因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendlambda=0;if RA1~=0for p=1:nh(p)=det(A1(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendendif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU分解.')k=1;Wc =1;state=1; Vk=V0;while((k<=max1)&(state==1))[L U]=lu(A1); Yk=L\Vk;Vk=U\Yk; [mj]=max(abs(Vk));mk=m;Vk1=Vk/mk; Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;[m j]=max(abs(Vk1));mk1=m;Vk2=(1/mk1)*Vk1;tzw1=abs((mk-mk1)/mk1);tzw2=abs(mk1-mk);Txw1=norm(Vk)-norm(Vk1);Txw2=(norm(Vk)-norm(Vk1))/norm(Vk1);Txw=min(Txw1,Txw2); tzw=min(tzw1,tzw2);Vk=Vk2;mk=mk1; Wc=max(Txw,tzw);Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,endif (Wc<=jd)disp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')endhl,RA1endend[V,D]=eig(A,'nobalance'),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;例5.3.2 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），根据给定的下列矩阵的特征值n λ的初始值n λ~，计算与n λ对应的特征向量n X 的近似向量,精确到0.000 1. （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210242011,2.0~2=λ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4211，001.2~2=λ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3315358215211，8.26~3=λ.解 （1）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1 0;-2 4 -2;0 -1 2];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.2,0.0001,10000)运行后屏幕显示结果 请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =3 0.2384 1.0213e-007 0.8000 1.0400 0.2720Vk = V = D =1.0000 -0.2424 -1.0000 -0.5707 5.1249 0 00.7616 1.0000 -0.7616 0.3633 0 0.2384 00.4323 -0.3200 -0.4323 1.0000 0 0 1.6367（2）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1;2 4];V0=[20,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001,0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =2 2.0020 5.1528e-007 -1.0010 -0.0010Vk = V = D =1.0000 -1.0000 0.5000 2 0-1.0000 1.0000 -1.0000 0 3（3）输入MATLAB 程序>> A=[-11 2 15;2 58 3;15 3 -3];V0=[1,1,-1]';[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,8.26, 0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambdan= Wc = hl =2 8.2640 6.9304e-008 -19.2600 -961.9924 -6.1256Vk = V = D =-0.7692 0.7928 0.6081 0.0416 -22.5249 0 00.0912 0.0030 -0.0721 0.9974 0 8.2640 0-1.0000 -0.6095 0.7906 0.0590 0 0 58.2609例 5.3.3 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1026471725110A 的分别对应于特征值 1.001~11=≈λλ，.001 2~22=≈λλ， 001.4~33=≈λλ的特征向量1X ，2X ，3X 的近似向量，相邻迭代误差为0.001.将计算结果与精确特征向量比较. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应的特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]= ydwyfmf(A,V0,1.001, 0.001,100),[V,D]=eig(A);Dzd=min(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda),VD=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-1.00100000000000 5.98500100000000 -0.00299600100000k = lambda = RA1 =5 1.00200000000000 -0.00299600100000Vk = VD = wuV =-0.50000000000000 -0.40824829046386 0.81649658092773-0.50000000000000 -0.40824829046386 0.81649658092773-1.00000000000000 -0.81649658092773 0.81649658092773Wc = Dzd = wuD =1.378794763695562e-009 1.00000000000000 0.00200000000000 从输出的结果可见，迭代5次，特征向量1X 的近似向量1~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.379 e-009，由wuV 可以看出，1~X = Vk 与VD 的对应分量的比值相等.特征值1λ的近似值lambda ≈1.002与初始值=1~λ 1.001的绝对误差为0.001，而与 1λ的绝对误差为0.002，其中 =1X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500( -, =1~X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500(-. （2）计算特征值.001 2~22=≈λλ对应特征向量2X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001, 0.001,100) ,[V,D]=eig(A); WD=lambda-D(2,2),VD=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-2.00100000000000 -8.01299900000000 0.00200099900000k = Wc = lambda = WD =2 3.131363162302120e-007 2.00200000000016 0.00200000000016Vk = VD = wuV =-0.24999999999999 0.21821789023599 -0.87287156094401 -0.49999999999999 0.43643578047198 -0.87287156094398 -1.00000000000000 0.87287156094397 -0.87287156094397 从输出的结果可见，迭代2次，特征向量2X 的近似向量2~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈3.131e-007，2~X 与2X 的对应分量的比值近似相等.特征值2λ的近似值lambda ≈2.002与初始值=2~λ 2.001的绝对误差约为0.001，而lambda 与2λ的绝对误差约为0.002，其中 =2~X T )00000000000000.1,99999999999499.0,99999999999249.0(---, =2X T ) 000000000001.000- ,000000000000.500- ,99999999999-0.249( . （3）计算特征值 001.4~33=≈λλ对应特征向量3X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,4.001, 0.001,100)[V,D]=eig(A);WD=lambda-max(diag(D)),VD=V(:,3),wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-4.00100000000000 -30.00899900000000 -0.00600500099999 k = lambda = Wc = WD =2 4.00199999999990 1.996084182914842e-007 0.00199999999990Vk = VD = wuV =0.40000000000001 -0.32444284226153 -0.81110710565380 0.60000000000001 -0.48666426339229 -0.81110710565381 1.00000000000000 -0.81110710565381 -0.81110710565381 从输出的结果可见，迭代2次，特征向量3X 的近似向量3~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.996e-007，3~X 与3X 的对应分量的比值近似相等.特征值3λ的近似值 4.001~4.0022=≈λ与初始值lambda 的绝对误差近似为001.0，而lambda 与3λ的绝对误差约为0.002，其中 =3X (-0.400 000 000 000 00，-0.600 000 000 000 00，-1.000 000 000 000 00T ), =3~X T )000000000001.000 ,100000000000.600 ,10000000000.400(.（二）原点位移反幂法的MATLAB 主程序2用原点位移反幂法计算矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序2function [k,lambdan,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); jd= jd*0.1;A1=A-jlamb*eye(n);nA1=inv(A1); lambda1=0;k=1;Wc =1;state=1; U=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A1\U; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m; Vk=(1/mk)*Vk;Vk1=A1\Vk;[m1 j]=max(abs(Vk1)); mk1=m1,Vk1=(1/mk1)*Vk1;U=Vk1,Txw=(norm(Vk1)-norm(Vk))/norm(Vk1);tzw=abs((lambda1-mk1)/mk1);Wc=max(Txw,tzw); lambda1=mk1;state=0;if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;endif (Wc<=jd)disp('请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1, 特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') end[V,D] =eig(A,'nobalance'),Vk=U;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk;例5.3.4 用原点位移反幂法的迭代公式（5.27），计算例题5.3.3，并且将这两个例题的计算结果进行比较.再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,1.001,0.001,100)运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =5 1.00200000000138 1.376344154436924e-006Vk’ = -0.50000000000000 -0.50000000000000 -1.00000000000000同理可得，另外与两个特征值对应的特征向量.（2）再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.99999999999997,0.001,100) 运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-0.99999999999997 6.00000000000045 0.00000000000010RA1 = 1.039168751049192e-013 k = 2 lambda = 1.00000000000000输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0, 0.99999999999997,0.001,100) 运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = 3 lambda = 1.00000000000000 Wc =5.412337245047640e-016Vk = 0.50000000000000 0.50000000000000 1.00000000000000 Wc = 4.317692037236759e-013 Vk =0.500000000000000.500000000000001.000000000000005.4 雅可比(Jacobi)方法及其MATLAB 程序5.4.3 雅可比方法的MATLAB 程序用雅可比方法计算对称矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,Bk,V,D,Wc]=jacobite(A,jd,max1)[n,n]=size(A);Vk=eye(n);Bk=A;state=1;k=0;P0=eye(n); Aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(Aij);[m2 j]=max(m1);i=i(j);while ((k<=max1)&(state==1))k=k+1,aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(abs(aij));[m2 j]=max(m1);i=i(j),j,Aij=(Bk-diag(diag(Bk)));mk=m2*sign(Aij(i,j)),Wc=m2,Dk=diag(diag(Bk));Pk=P0;c=(Bk(j,j)-Bk(i,i))/(2*Bk(i,j)),t=sign(c)/(abs(c)+sqrt(1+c^2)),pii=1/( sqrt(1+t^2)), pij=t/( sqrt(1+t^2)),Pk(i,i)=pii;Pk(i,j)=pij;Pk(j,j)=pii; Pk(j,i)=-pij;Pk,B1=Pk'*Bk;B2=B1*Pk; Vk=Vk*Pk,Bk=B2,if (Wc>jd)state=1;elsereturnendPk;Vk;Bk=B2;Wc;endif (k>max1)disp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')endWc;k=k; V=Vk;Bk=B2;D=diag(diag(Bk));[V1,D1]=eig(A,'nobalance')例5.4.2 用雅可比方法的MATLAB 程序计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=12101152302756135612A 的特征值i λ和对应的特征向量i X （4,3,2,1=i ）.解 （1）保存名为jacobite.m 为M 文件；（2）输入MATLAB 程序>> A=[12 -56 3 -1;-56 7 2 0;3 2 5 1;-1 0 1 12];[k,B,V,D,Wc]=jacobite(A,0.001,100)（3）运行后屏幕显示如下：k = i = j = mk = Wc =1 2 1 -56 56c = t =-0.04464285714286 -0.95635313919972pii = pij =0.72270271801843 -0.69115901308510Pk =0.72270271801843 0.69115901308510 0 0 -0.69115901308510 0.72270271801843 0 0 0 0 1.00000000000000 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72270271801843 0.69115901308510 0 0 -0.69115901308510 0.72270271801843 0 00 0 1.00000000000000 00 0 0 1.00000000000000Bk =65.55577579518456 0 0.78579012788509 -0.72270271801843 -0.00000000000001 -46.55577579518456 3.51888247529217 -0.691159013085100.78579012788509 3.51888247529217 5.00000000000000 1.00000000000000 -0.72270271801843 -0.69115901308510 1.00000000000000 12.00000000000000 k =i = j = mk = Wc =2 3 2 3.51888247529217 3.51888247529217c = t =-7.32558932518824 -0.06793885568129pii = pij =0.99770011455446 -0.06778260409592Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99770011455446 0.06778260409592 00 -0.06778260409592 0.99770011455446 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72270271801843 0.68956942653035 0.04684855775127 0 -0.69115901308510 0.72104058455581 0.04898667221449 00 -0.06778260409592 0.99770011455446 00 0 0 1.00000000000000Bk =65.55577579518456 -0.05326290114092 0.78398290060672 -0.72270271801843 -0.05326290114093 -46.79484464383285 0 -0.757352030626270.78398290060672 0.00000000000000 5.23906884864829 0.95085155680318 -0.72270271801843 -0.75735203062627 0.95085155680318 12.00000000000000 k = i = j = mk = Wc =3 4 3 0.95085155680318 0.95085155680318c = t =-3.55519802380213 -0.13796227443116pii = pij =0.99061693994324 -0.13666776612460Pk =1.00000000000000 0 0 00 1.00000000000000 0 00 0 0.99061693994324 0.136667766124600 0 -0.13666776612460 0.99061693994324 Vk =0.72270271801843 0.68956942653035 0.04640897492032 0.00640268773403 -0.69115901308510 0.72104058455581 0.04852702732712 0.006694899061430 -0.06778260409592 0.98833863446096 0.136353445918420 0 -0.13666776612460 0.99061693994324 Bk =65.55577579518456 -0.05326290114092 0.87539690801061 -0.60877636330628 -0.05326290114093 -46.79484464383285 0.10350561019562 -0.750245751038800.87539690801061 0.10350561019562 5.10788720522532 -0.00000000000000 -0.60877636330628 -0.75024575103880 -0.00000000000000 12.13118164342297 k =i = j = mk = Wc =4 1 3 0.87539690801061 0.87539690801061c = t =-34.52598931799430 -0.01447880833914pii = pij =0.99989519853186 -0.01447729093877Pk =0.99989519853186 0 -0.01447729093877 00 1.00000000000000 0 00.01447729093877 0 0.99989519853186 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72329885394465 0.68956942653035 0.03594133368062 0.00640268773403 -0.69038403871280 0.72104058455581 0.05852805174080 0.006694899061430.01430846595712 -0.06778260409592 0.98823505512105 0.13635344591842-0.00197857901214 0 -0.13665344314206 0.99061693994324Bk =65.56845049923633 -0.05175883827808 -0.00000000000000 -0.60871256264964-0.05175883827809 -46.79484464383285 0.10426586517177 -0.75024575103880-0.00000000000000 0.10426586517177 5.09521250117356 0.00881343252823-0.60871256264964 -0.75024575103880 0.00881343252823 12.13118164342297 k = i = j = mk = Wc =5 4 2 -0.75024575103880 0.75024575103880c = t =39.27114962375084 0.01272992971264pii = pij =0.99991898429114 0.01272889838836Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99991898429114 0 -0.012728898388360 0 1.00000000000000 00 0.01272889838836 0 0.99991898429114Vk =0.72329885394465 0.68959505973603 0.03594133368062 -0.00237529014628-0.69038403871280 0.72106738763160 0.05852805174080 -0.002483695665250.01430846595712 -0.06604148348220 0.98823505512105 0.13720519702737-0.00197857901214 0.01260946237032 -0.13665344314206 0.99053668440964Bk =65.56845049923633 -0.05950288535679 -0.00000000000000 -0.60800441437674-0.05950288535680 -46.80439521951078 0.10436960328590 0.00000000000000-0.00000000000000 0.10436960328590 5.09521250117356 0.00748552889860-0.60800441437674 0.00000000000000 0.00748552889860 12.14073221910090 k =i = j = mk = Wc =6 4 1 -0.60800441437674 0.60800441437674c = t =-43.93694931878409 -0.01137847012503pii = pij =0.99993527149402 -0.01137773361366Pk =0.99993527149402 0 0 0.011377733613660 1.00000000000000 0 00 0 1.00000000000000 0-0.01137773361366 0 0 0.99993527149402Vk =0.72327906130899 0.68959505973603 0.03594133368062 0.00585436528595-0.69031109235777 0.72106738763160 0.05852805174080 -0.010338540582940.01274645560931 -0.06604148348220 0.98823505512105 0.13735911385404-0.01324851347145 0.01260946237032 -0.13665344314206 0.99045005670500Bk =65.57536865930122 -0.05949903382392 -0.00008516835377 -0.00000000000000-0.05949903382393 -46.80439521951078 0.10436960328590 -0.00067700797883-0.00008516835377 0.10436960328590 5.09521250117356 0.00748504437150-0.00000000000000 -0.00067700797883 0.00748504437150 12.13381405903603 k =i = j = mk = Wc =7 3 2 0.10436960328590 0.10436960328590c = t =-2.486337309269764e+002 -0.00201098208240pii = pij =0.99999797798167 -0.00201097801616Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99999797798167 0.00201097801616 00 -0.00201097801616 0.99999797798167 00 0 0 1.00000000000000…………………………………………………………………………请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：V1 =0.68990429476497 -0.03732423222484 0.00588594854431 -0.722913771734500.72058252860300 -0.05998661236737 -0.01028322161977 0.69069289931337-0.06802029759277 -0.98795368410472 0.13841044442471 -0.012779125692250.01288885768193 0.13768088498200 0.99030407443219 0.01325486405899D1 =-46.80463661419736 0 0 00 5.09541442877727 0 00 0 12.13382202426702 00 0 0 65.57540016115307k =10B =65.57540016045945 0.00000000000175 -0.00020481967566 0.000000148628360.00000000000175 -46.80463661419739 0.00000062739984 0.00000000000000-0.00020481967566 0.00000062739984 5.09541442947090 -0.000000000007370.00000014862836 -0.00000000000000 -0.00000000000737 12.13382202426704V =0.72291389811507 0.68990429521617 0.03732177568689 0.00588595055487-0.69069269613201 0.72058252932816 0.05998894273570 -0.010283223540620.01278247108107 -0.06802028564977 0.98795364164379 0.13841044446122-0.01325533307898 0.01288885601755 -0.13768084024946 0.99030407439520D =65.57540016045945 0 0 00 -46.80463661419739 0 00 0 5.09541442947090 00 0 0 12.13382202426704Wc =6.920584967017158e-0045.5 豪斯霍尔德(Householder)方法及其MATLAB程序5.5.1 豪斯霍尔德方法及其MATLAB程序求初等反射矩阵P，使得PX的第一个分量以外的其余的分量都为零的MATLAB主程序function [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)n=size(X);nX=norm(X,2);xigema=nX*sign(X(1));rou=xigema*(xigema+X(1));miou=[xigema,zeros(1,n-1)]'+X,E=eye(n,n); C=2*miou*(miou)';P=E-C/(norm(miou,2)^2); PX=P*X;例5.5.1设向量=X()T1,2,2，确定一个初等反射矩阵P，使得PX的后两个分量为零.解输入MATLAB程序>> X=[2 2 1]'; [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)运行后屏幕显示结果P = PX =-0.6667 -0.6667 -0.3333 -3.0000-0.6667 0.7333 -0.1333 0.0000-0.3333 -0.1333 0.9333 0.00005.5.2 矩阵约化为上豪斯霍尔德矩阵及其MATLAB程序用豪斯霍尔德变换将n阶矩阵A规约成上豪斯霍尔德矩阵的MATLAB主程序function [k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A)n=size(A); Ak=A;for k=1:n-2k,Sk=norm(Ak(k+1:n,k))*sign(Ak(k+1,k)),uk= Ak(k+1:n,k)+ Sk*eye(n-k,1),ck=(norm(uk,2)^2)/2,Pk= eye(n-k,n-k)-uk*uk'/ck,Uk=[eye(k,k),zeros(k,n-k);zeros(n-k, k),Pk],A1=Uk*Ak;Ak=A1,end例5.5.3 用初等反射矩阵正交相似约化实矩阵A 为上豪斯霍尔德矩阵.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34 19- 37 78- 41- 31 11 72- 98 10.2- 78- 32-94- 21 12 1 0 1- 63- 72 1 5 2 3 17- 32 02 7 56- 51- 17 12- 34 52- 12A . 解 输入MATLAB 程序>> A=[12 -52 34 -12 17 -51;-56 7 2 0 32 -17;3 2 5 1 72 -63;-1 0 1 12 21 -94;-32 -78 -10.2 98 -72 11;31 -41 -78 37 -19 34];[k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A)运行后屏幕显示结果k = Sk = ck =1 -71.6310 9.1423e+003uk = Pk =-127.6310 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.43283.0000 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.0102-1.0000 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.0034-32.0000 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.108531.0000 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949Uk =1.0000 0 0 0 0 00 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.43280 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.01020 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.00340 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.10850 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.76430.0000 1.8892 5.7655 1.6556 72.7134 -63.9112-0.0000 0.0369 0.7448 11.7815 20.7622 -93.6963-0.0000 -76.8184 -18.3655 91.0066 -79.6101 20.71910.0000 -42.1447 -70.0897 43.7749 -11.6277 24.5846k = Sk = ck =2 87.6402 7.8464e+003uk = Pk =89.5295 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.48090.0369 -0.0004 1.0000 0.0004 0.0002-76.8184 0.8765 0.0004 0.2479 -0.4126-42.1447 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736Uk =1.0000 0 0 0 0 00 1.0000 0 0 0 00 0 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.48090 0 -0.0004 1.0000 0.0004 0.00020 0 0.8765 0.0004 0.2479 -0.41260 0 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643-0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.4002-0.0000 -0.0000 0.7219 11.8223 20.7005 -93.6570-0.0000 0.0000 29.4202 5.9564 48.8026 -61.06030.0000 0.0000 -43.8731 -2.8860 58.8230 -20.2818…………………………………………………………………………k = Sk = ck =4 -12.2088 195.0398uk = Pk =-15.9753 -0.3085 0.951211.6133 0.9512 0.3085Uk =1.0000 0 0 0 0 00 1.0000 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 00 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 -0.3085 0.95120 0 0 0 0.9512 0.3085Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643-0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.40020.0000 -0.0000 -52.8292 -5.8754 21.3902 18.44030.0000 0.0000 0.0000 12.2088 40.2435 -106.81340.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 64.7555 -34.09095.5.3 实对称矩阵的三对角化及其MATLAB程序将n阶实对称矩阵A规约成三对角形式的MATLAB主程序function T=house(A)[n,n]=size(A);for k=1:n-2s=norm(A(k+1:n,k),2);if (A(k+1,k)<0)s=-s;endr=sqrt(2*s*(A(k+1,k)+s));U(1:k)=zeros(1,k);U(k+1)=(A(k+1,k)+s)/r;U(k+2:n)=A(k+2:n,k)'/r;V(1:k)=zeros(1,k);V(k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)*U(k+1:n)';C=U(k+1:n)*V(k+1:n)';P(1:k)=zeros(1,k);P(k+1:n)=V(k+1:n)-C*U(k+1:n);A(k+2:n,k)=zeros(n-k-1,1);A(k,k+2:n)=zeros(1,n-k-1);A(k+1,k)=-s; A(k,k+1)=-s;A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-2*U(k+1:n)'*P(k+1:n)-2*P( k+1:n)'*U(k+1:n);endT=A;例5.5.4 用初等反射矩阵正交相似约化实对称矩阵A为三对角矩阵.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=5261215121416134237299021237312611451721253233219612371564901435612A 解 输入MATLAB 程序>> A=[12 -56 3 -14 -90 -4;-56 71 23 61 -9 -21;3 23 53 12 -72 51;-14 61 12 73 23 21;-90 -9 -72 23 -34 -61;-41 -21 51 21 -61 -52];T=house(A)运行后屏幕显示结果T =12.0000 114.5513 0 0 0 0114.5513 -43.2395 -108.2763 0 0 00 -108.2763 49.7411 -22.7766 0 00 0 -22.7766 40.2476 -89.1355 00 0 0 -89.1355 44.9606 39.30900 0 0 0 39.3090 19.29025.6 QR 方法及其MATLAB 程序5.6.5 最末元位移QR 法计算实对称矩阵特征值及其MATLAB 程序用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序function tzg=qr4(A,t,max1)[n,n]=size(A); k=0;Ak=A;tzg=zeros(n); state=1;for i=1:n;while ((k<=max1)&(state==1)&(n>1))b1=abs(Ak(n,n-1)); b2=abs(Ak(n,n));b3=abs(Ak(n-1,n-1));b4=min(b2, b3); jd=10^(-t); jd1=jd*b4;if (b1>=jd1)sk=Ak(n,n); Bk=Ak-sk*eye(n); [Qk,Rk]=qr(Bk);At=Rk*Qk+sk*eye(n); k=k+1;tzgk=Ak(n,n);disp('请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，')disp(' Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：')i,state=1;k,sk,Bk,Qk,Rk,At,Ak=At;elsedisp('请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数，')disp(' 下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶.')i,tzgk=Ak(n,n),tzg(n,1)=tzgk;k=k,sk,Ak;B=Ak(1:n-1,1:n-1),Ak=B;n=n-1;state==1; i=i+1;endendendtzg(1,1)=Ak;tzg=sort(tzg(:,1));tzgk=Akdisp('请注意：n 阶实对称矩阵A 的全部真特征值lamoda 和至少含t个有效数字的近似特征值tzg 如下：')lamoda=sort(eig(A))例5.6.5 用最末元位移QR 方法求下列实对称矩阵的全部近似特征值，并将计算结果与A 全部真特征值比较.其中,2 1 1 1 1 3 1 21 1 4- 21 2 2 5)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 精度为=ε510-； ,52612151214161342372990212373126114517212532332196123715641901435612)2(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=A 精度为=ε410-.解 （1）首先保存用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序为M 文件，取名为qr4.m.在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[5 2 2 1;2 -4 1 1;2 1 3 1;1 1 1 2]; tzg=qr4(A,5,100) 运行后屏幕显示结果请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =1k =1sk =2Bk =3 2 2 12 -6 1 12 1 1 11 1 1 0Qk =-0.70710678118655 0.38807526285317 0.12674485010490 -0.57735026918963-0.47140452079103 -0.87963726246718 0.06337242505245 0-0.47140452079103 0.20697347352169 -0.63372425052448 0.57735026918963-0.23570226039552 0.18110178933148 0.76046910062937 0.57735026918963 Rk =-4.24264068711929 0.70710678118655 -2.59272486435067 -1.649915822768610 6.44204936336256 0.28458852609232 -0.284588526092320 0 0.44360697536713 -0.443606975367130 0 0 0.00000000000000At =6.27777777777778 -3.10388935193069 -0.10455916682125 0.00000000000000-3.10388935193069 -3.65930388219545 0.01147685957127 0.00000000000000-0.10455916682125 0.01147685957127 1.38152610441767 0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 2.00000000000000 请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数，下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶.i =1tzgk =2.00000000000000k =1sk =2B =6.27777777777778 -3.10388935193069 -0.10455916682125-3.10388935193069 -3.65930388219545 0.01147685957127-0.10455916682125 0.01147685957127 1.38152610441767请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =2k =2sk =1.38152610441767Bk =4.89625167336011 -3.10388935193069 -0.10455916682125-3.10388935193069 -5.04082998661312 0.01147685957127-0.10455916682125 0.01147685957127 0Qk =-0.84445320114929 -0.53537837009187 0.016394874396770.53532568873289 -0.84460953959679 -0.007818734217300.01803324849744 0.00217404228940 0.99983502413586Rk =-5.79813264571247 -0.07718952005739 0.094439180886190 5.91931326753920 0.046285251232420 0 -0.00180396892170At =6.23815929000691 3.16959512520840 -0.000032531419853.16959512520840 -3.61788172311421 -0.00000392190472-0.00003253141985 -0.00000392190472 1.37972243310730请注意：i表示求第i个特征值，tzgk是矩阵A的特征值的近似值，k是迭代次数，下面的矩阵B是m阶矩阵At的（m-1）阶主子矩阵，即At降一阶.i =2tzgk =1.37972243310730k =2sk =1.38152610441767B =6.23815929000691 3.169595125208403.16959512520840 -3.61788172311421请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =3sk =-3.61788172311421Bk =9.85604101312112 3.169595125208403.16959512520840 0Qk =-0.95198403663348 -0.30614766697629-0.30614766697629 0.95198403663348Rk =-10.35315786173815 -3.017403961789690 -0.97036415284199At =7.16193047323385 0.297074721510000.29707472151000 -4.54165290634115请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =4sk =-4.54165290634115Bk =11.70358337957500 0.297074721510000.29707472151000 0。
matlab程序与数值实验
MATLAB程序与数值实验一、插值法(课本第二章)1、拉格朗日插值方法function s=lag(x,y,t)%拉格朗日插值方法，可以同时对多点插值，t可以为向量syms p;n=length(x);%读取x向量的维数s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);%展开多项式s=vpa(s,6);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;End%for example% x=[pi/4 pi/6 pi/3 pi/2];%y=[cos(pi/4) cos(pi/6) cos(pi/3) cos(pi/2)];%t=[-40*pi/180 40*pi/180 50*pi/180 70*pi/180 170*pi/180]; %yt=lag(x,y,t)2、牛顿插值法function s=niudun(x,y,t)%，可以同时对多点插值，即t可以为向量syms p;s=y(1);xishu=0;dxs=1;n=length(x);%读取x向量的维数%构造牛顿插值方法for (i=1:n-1)for(j=i+1:n)xishu(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endtemp1(i)=xishu(i+1);dxs=dxs*(p-x(i));s=s+temp1(i)*dxs;y=xishu;endsimplify(s)if (nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);else%读取要插值点的向量长度%可以直接对多点插值机算m=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));end%得到的是系列插值点的插值结果，即得到的是向量，赋值给ss=temp;end%for example%1、已知零阶Bessel函数f(x)在若干点处的函数值为：计算x在1.5处的近似值%x=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2];%y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623];%yt=niudun(x,y,1.5)3、插值中的Runge现象syms xf=1/(1+x^2);x=-5:5;y=subs(f,x);chazhi=niudun(x,y);v=[-5,5,-0.5,2];ezplot(chazhi),axis(v),gridhold ont=-5:0.05:5;yt=subs(f,t);plot(t,yt,’:’)4、Hermite插值function f=Hermite(x,y,dy,t)%Hermite插值，x为插值节点，y为插值节点的函数值，dy为插值节点的一阶导数值，t为被插数据，可以为向量n=length(x);m=length(t);for k=1:mg(k)=0.0;for i=1:nla=1;lp=0.0;for j=1:nif(j~=i)la=la*(t(k)-x(j))/(x(i)-x(j));lp=lp+1/(x(i)-x(j));endendtemp1=1-2*(t(k)-x(i))*lp;temp2=y(i)*temp1*la^2;temp3=dy(i)*(t(k)-x(i))*la^2;g(k)=g(k)+temp2+temp3;endendf=g;%for example%syms x%y=x^2;%t=[1 3 -8 6-4];%yt=subs(y,t);%dy=subs('2*x',t)%x0=[-5.3 2.4 -4.2 -1.8 3.4];%z=Hermit(t,yt,dy,x0)5、三次样条插值三次样条插值方法可以选择MATLAB中内置函数spline。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
数值分析实验报告
数值分析实验报告数值分析实验报告姓名：张献鹏学号：173511038专业：冶金工程班级：重冶二班目录1拉格朗日插值 (1)11.1问题背景.....................................................................................................11.2数学模型.....................................................................................................1.3计算方法1.....................................................................................................21.4数值分析.....................................................................................................2复化辛普森求积公式 (2)2.1问题背景2.....................................................................................................32.2数学模型.....................................................................................................32.3计算方法.....................................................................................................2.4数值分析5.....................................................................................................3矩阵的 LU 分解 (6)63.1问题背景.....................................................................................................3.2数学模型6.....................................................................................................3.2.1理论基础 (6)3.2.2实例 (7)73.3计算方法.....................................................................................................3.4小组元的误差 (8)4二分法求方程的根 (9)94.1问题背景.....................................................................................................94.2数学模型.....................................................................................................4.3计算方法9.....................................................................................................4.4二分法的收敛性 (11)5雅可比迭代求解方程组 (11)115.1问题背景...................................................................................................5.2数学模型11...................................................................................................5.2.1理论基础 (11)5.2.2实例 (12)5.3计算方法 (12)5.4收敛性分析 (13)6Romberg 求积法 (14)6.1问题背景 (14)6.2数学模型： (14)6.2.1理论基础 (14)6.2.2实例 (14)6.3计算方法 (15)6.4误差分析 (16)7幂法 (16)7.1问题背景 (16)7.2数学模型 (16)7.2.1理论基础 (16)7.2.2实例 (17)7.3计算方法 (17)7.4误差分析 (18)8改进欧拉法 (18)8.1问题背景 (18)8.2数学模型 (19)8.2.1理论基础 (19)8.2.2实例 (19)8.3数学模型 (19)8.4误差分析 (21)1拉格朗日插值1.1问题背景1f ( x)2, 5 x 5 求拉格朗日插值。
数值研究分析试验幂法与反幂法matlab
数值分析试验幂法与反幂法matlab————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、问题的描述及算法设计（一）问题的描述我所要做的课题是：对称矩阵的条件数的求解设计1、求矩阵A 的二条件数问题 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012 2、设计内容：1）采用幂法求出A 的. 2）采用反幂法求出A 的.3）计算A 的条件数 ⅡA Ⅱ2* ⅡA -1Ⅱ2=cond2（A ）=/.（精度要求为10-6） 3、设计要求1）求出ⅡA Ⅱ2。
2）并进行一定的理论分析。
（二）算法设计1、幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1.（2）计算v )(k =Au )1(-k ,m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（3）若| m k = m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2）2、反幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1.（2）对A 作LU 分解，即A=LU（3）解线性方程组 Ly )(k =u )1(-k ,Uv )(k =y )(k（4）计算m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（5）若|m k =m 1-k |<ε，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n λ，u )(k 作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.二、算法的流程图（一）幂法算法的流程图noyes开始k=0;m1=0 v=A*u [vmax,i]=max(abs(v m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6 index=1;break; 输出：m ，u ，index 结束m1=m;k=k+1（二）反幂法算法的流程图no yes开始输入A ；[m ,u,index] =pow_inv(A,1e-6) k=0;m1=0 v=invA*u [vmax,i]=max(abs(v)) m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6 index=1;break; 输出：m ，u ，index结束 m1=m;k=k+1 输入A ；三、算法的理论依据及其推导（一）幂法算法的理论依据及推导幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征值。
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介:当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大) 及其特征向量。
矩阵A需要满足的条件为:|,|,|,|,...,|,|,0,,为A的特征值(1) 12nix,x,...,x(2) 存在n个线性无关的特征向量，设为 12n1.1计算过程:n(0)(0)对任意向量x，有x,,u,,不全为0，则有 ,iii,1i(k，1)(k)k，1(0),,,xAx...Axnn11k，k，,,Aαuαλu,,iiiii11i,i,,,，， k，1k，1k，1n2,,，，，λu()au？()au11122nn,,,,11，，k，1,,,u111,2||可见，当越小时，收敛越快;且当k充分大时，有,111(k，)k，1(k，),,,xu,x,111(k，1),,,,x1，对应的特征向量即是。
)(k)(kkx,xu,,,111,2 算法实现,(1).输入矩阵A，初始向量x，误差限,最大迭代次数N(k)x(k),(2).k,1,,0;y,(k)max(abs(x),(3).计算x,Ay,,max(x);,,,,(4).若|,|,,输出,y,否则,转(5)(5).若 k,N, 置k,k，1,,,,,转3 ,否则输出失败信息,停机.3 matlab程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;, z=0; % z 相当于y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于 ,if abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为：(1) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i n i i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,*0,eps,N) % t 为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=*0./ma*(abs(*0)); % 规化初始向量*=A*y; % 迭代格式b=ma*(*); % b 相当于 βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=ma*(*);return ;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=*./ma*(abs(*));*=A*y;b=ma*(*);end[m,inde*]=ma*(abs(*)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=*(inde*); % 是原值，而非其绝对值。
end4 举例验证选取一个矩阵A ，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比拟，再计算A*y-t*y ，验证y 是否是对应的特征向量。
结果如下：结果正确，说明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb 矩阵，与eig(A)的得到结果比拟，再计算 A*y-t*y ，验证y 是否是对应的特征向量。
设置初始向量为*0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果正确。
幂法和反幂法的matlab实现
幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。
实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。
称模最大的特征根为主特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, a lot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part is the exponentiation function block. The fourth part is the page design and event processing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法 (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计 (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程 (3)2.3运行环境 (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组 (4)3.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理............….....…………...…......…………………………4 运行过程及结果 (6)4.1 运行过程.........................................................………………………………………. .64.2 运行结果 (6)4.3 结果分析 (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵n n ij a A ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为n λλλ ,,21，相应的特征向量为n x x x ,,21。
数值分析课程设计+幂法与反幂法MATLAB
一、问题的描述及算法设计（一）问题的描述本次课程设计我所要做的课题是：对称矩阵的条件数的求解设计 1、求矩阵A 的二条件数问题 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012 2、设计内容： 1）采用幂法求出A 的. 2）采用反幂法求出A 的.3）计算A 的条件数 ⅡA Ⅱ2* ⅡA -1Ⅱ2=cond2（A ）=/.（精度要求为10-6）3、设计要求 1）求出ⅡA Ⅱ2。
2）并进行一定的理论分析。
（二）算法设计1、幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1. （2）计算v )(k =Au )1(-k ,m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（3）若| m k = m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2、反幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1. （2）对A 作LU 分解，即A=LU（3）解线性方程组 Ly )(k =u )1(-k ,Uv )(k =y )(k （4）计算m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（5）若|m k =m 1-k |<ε，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n λ，u )(k 作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.二、算法的流程图（一）幂法算法的流程图（二）反幂法算法的流程图三、算法的理论依据及其推导（一）幂法算法的理论依据及推导幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征值。
稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。
幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。
实际上，幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。
数值分析3.1幂法和反幂法
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1 幂法与反幂法 3.2 Jacobi方法
3.3 QR方法
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1幂法与反幂法
一、乘幂法 二、反幂法
三、带原点位移的反幂法
四、反幂法的特点
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1幂法与反幂法
一、乘幂法
1、基本思想
2、算法（迭代公式） ◆一般算法
具体算法: （1）使用范数 2
1 X 1 yk , k 1 1 X 1
（2）使用范数
uk A yk 1
令
k
er u k er y k 1
T
T
k
lim k 1
留为作业自学
具体算法: （1）使用范数 2 1 X 1 yk , k 1 1 X 1
1 2 n
第三章 矩阵的特征值与特征向量
一、乘幂法 1、基本思想 设A有n个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 ,, X n ，
AX j j X j , j 1,2,, n
3.1幂法与反幂法
★ 设 1为实数而且是单根： 1 2 n
u0 1 X 1 2 X 2 n X n
具体算法: 按取范数的不同， 迭代公式也不同。 （1）使用范数 2
任取初始向量u0 R n T k 1 u k 1 u k 1 u k 1 yk 1 k 1 (3.4) u k A yk 1 k yk 1T uk k 1,2,
T
精确结果：
X 1 (0,0.5,1) , 1 45
T
max( uk ) 表示 u k 的绝对值最大的分量。 （3）
数值分析幂法与反幂法-matlab程序
数值分析幂法与反幂法matlab程序随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量。
要求1）比较不同的原点位移和初值说明收敛性2）给出迭代结果，生成DOC文件。
3）程序清单，生成M文件。
解答：>> A=rand(5) %随机产生5*5矩阵求随机矩阵A =0.7094 0.1626 0.5853 0.6991 0.14930.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.25750.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.84070.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.25430.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143>> B=A+A' %A矩阵和A的转置相加，得到随机对称矩阵BB =1.4187 0.9173 0.8613 1.3788 0.80440.9173 0.2380 0.7222 1.8506 0.59790.8613 0.7222 1.5025 1.2144 1.34671.3788 1.8506 1.2144 1.0944 0.39290.8044 0.5979 1.3467 0.3929 1.6286B=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡6286.13929.03467.15979.08044.03929.00944.12144.18506.13788.13467.12144.15025.17222.08613.05979.08506.17222.02380.09173.08044.03788.18613.09173.04187.1编写幂法、反幂法程序：function [m,u,index,k]=pow(A,u,ep,it_max) % 求矩阵最大特征值的幂法，其中 % A 为矩阵；% ep 为精度要求，缺省为1e-5； % it_max 为最大迭代次数，缺省为100； % m 为绝对值最大的特征值； % u 为对应最大特征值的特征向量；% index ，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败 if nargin<4 it_max=100; end if nargin<3 ep=1e-5; endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0.01;% 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为幂法I=eye(n)T=A-m0*Iwhile k<=it_maxv=T*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)<ep;index=1;break;endm=m+m0;m1=m;k=k+1;endfunction[m,u,index,k]=pow_inv(A,u，ep,it_max)% 求矩阵最大特征值的反幂法，其中% A为矩阵；% ep为精度要求，缺省为1e-5；% it_max为最大迭代次数，缺省为100；% m为绝对值最大的特征值；% u为对应最大特征值的特征向量；% index，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败if nargin<4it_max=100;endif nargin<3ep=1e-5;endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0;% 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为反幂法I=eye(n);T=A-m0*I;invT=inv(T);while k<=it_maxv=invT*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;endm=1/m;m=m+m0;修改输入的m0的值，所得结果：幂法：反幂法：THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
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数值分析幂法与反幂法 matlab程序
随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量。
要求
1）比较不同的原点位移和初值说明收敛性
2）给出迭代结果，生成DOC文件。
3）程序清单，生成M文件。
解答：
>> A=rand(5) %随机产生5*5矩阵求随机矩阵
A =
0.7094 0.1626 0.5853 0.6991 0.1493
0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575
0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407
0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543
0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143
>> B=A+A' %A矩阵和A的转置相加，得到随机对称矩阵B
B =
1.4187 0.9173 0.8613 1.3788 0.8044
0.9173 0.2380 0.7222 1.8506 0.5979
0.8613 0.7222 1.5025 1.2144 1.3467
1.3788 1.8506 1.2144 1.0944 0.3929
0.8044 0.5979 1.3467 0.3929 1.6286
B=⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡6286.13929.03467.15979.08044
.03929.00944
.12144.18506
.13788.13467.12144.15025.17222.08613.05979.08506.17222.02380.09173.08044.03788.18613
.09173
.04187.1
编写幂法、反幂法程序：
function [m,u,index,k]=pow(A,u,ep,it_max) % 求矩阵最大特征值的幂法，其中 % A 为矩阵；
% ep 为精度要求，缺省为1e-5；
% it_max 为最大迭代次数，缺省为100； % m 为绝对值最大的特征值；
% u 为对应最大特征值的特征向量；
% index ，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败 if nargin<4
it_max=100; end
if nargin<3 ep=1e-5; end
n=length(A); index=0; k=0; m1=0;
m0=0.01;
% 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为幂法 I=eye(n) T=A-m0*I
while k<=it_max v=T*u;
[vmax,i]=max(abs(v)); m=v(i); u=v/m;
if abs(m-m1)<ep; index=1; break ; end
m=m+m0; m1=m; k=k+1; end
function[m,u,index,k]=pow_inv(A,u，ep,it_max)
% 求矩阵最大特征值的反幂法，其中
% A为矩阵；
% ep为精度要求，缺省为1e-5；
% it_max为最大迭代次数，缺省为100；
% m为绝对值最大的特征值；
% u为对应最大特征值的特征向量；
% index，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败if nargin<4
it_max=100;
end
if nargin<3
ep=1e-5;
end
n=length(A);
index=0;
k=0;
m1=0;
m0=0;
% 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为反幂法I=eye(n);
T=A-m0*I;
invT=inv(T);
while k<=it_max
v=invT*u;
[vmax,i]=max(abs(v));
m=v(i);
u=v/m;
if abs(m-m1)<ep
index=1;
break;
end
m1=m;
k=k+1;
end
m=1/m;
m=m+m0;
修改输入的m0的值，所得结果：
⎢⎣5⎥⎦。