列不定方程解复杂的应用题

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六年级 学 科 奥数 版 本 内容标题

列不定方程解较复杂的应用题（一）

编稿老师

石翠花 【本讲教育信息】

一. 教学内容：

列不定方程解较复杂的应用题（一）

同学们好！这周和同学研究如何列不定方程解较复杂的应用题。

什么是不定方程？

怎样列不定方程解应用题呢？

下面先通过实例让同学们在教与学的过程中掌握思路，学会方法。

（一）思路指导：

例1. 李丽新年用13元买2元一张和3元一张的两种贺年片，请你算一算李丽两种贺年片各买了几张？

分析与解答：根据题目的条件和问题，可做出如下解答：

解：设买2元一张的贺年片x 张，买3元一张的贺年片y 张，于是可得方程为： 2313x y +=

2133x y =-

x y =-1332

然后进行讨论，为了使x 是整数，y 都可以取哪些整数呢？

当y =1时，x =

-⨯=13312

5 y =3时，x =-⨯=133322 所以原不定方程有两个整数解：x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩23

51 答：李丽买来2元一张贺年片2张、3元一张贺年片3张，或者买来2元一张贺年片5

张，3元一张贺年片1张。 像例1这样题目中有两个未知数，但是却只有一个等量关系，也就是说只能列出一个方程，如2313x y +=，这样，一个方程中含有两个或两个以上的未知数的方程，叫做不定方程，所谓不定方程，是指这个方程的解是不固定的。

任意给x 一个值，都可以得出相应y 的值。因此不定方程一般都有无数组解。如2313x y +=，可以有如下组解：

当y x y x y x y x ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩

1523535405.. 但结合题目实际的情况买贺年片的张数应该是整数才可以，所以只有上述两组解符合题

意。

通过上面的研究，你知道什么是不定方程了吗？又怎么样用不定方程解应用题吗？请看例2，边阅读边思考用不定方程解应用题的思路和步骤是怎样的。

例2. 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现在有378人，问要大小汽车几辆才能使每个人都上车，且每个车正好坐满？

分析与解答：根据题意，此题用不定方程解较为简捷。

（1）解：设大汽车有x 辆，小汽车有y 辆。

（2）列方程5436378x y += 根据等量关系

（3）整理变形 3221x y +=

2213y x =-

y x =

-2132

（4）讨论符合题意的解

当x y x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩

1

93653 答：1辆大汽车和9辆小汽车或3辆大汽车和6辆小汽车或5辆大汽车和3辆小汽车。

例3. 学校打算安装一条42米长的自来水管道，准备使用3米和5米长的两种自来水管，在不截断自来水管的情况下，要尽可能多地使用5米长的管子，两种水管各需几根？ 分析与解答：根据题意，该题可用列不定方程的方法求解。如果设需用5米长的水管x 根，3米长的水管y 根，列出不定方程后，却不需要求出x 与y 的所有整数解，而只需要求出x 最大可以取几就行了。想一想，为什么？

解：设需要5米长的水管x 根，3米长的水管y 根。

列方程：5342x y +=

3425y x =-

y x =

-4253

在能被3整除的前提下，x 最大只能取6。 当x =6时，y x y ===⎧⎨⎩

464，是方程解。 答：需要5米长的水管6根，3米长的水管4根。

例4. 一只箱子里装有蟋蟀和蜘蛛各若干只，它们共有46只脚，问箱子里各有几只？ 分析与解答：根据题意可知一只蟋蟀有6只脚，一只蜘蛛有8只脚，于是可以设有蟋蟀x 只，蜘蛛y 只，列不定方程求解。

解：设箱子里有蟋蟀x 只，蜘蛛y 只，依题意，则

6846x y +=

6468x y =-

x

y y =

-

=

-468

6

234

3

由于x y

、必须都是自然数所以y只能取2和5。

当y=2时，x=

-⨯

== 2342

3

15

3

5

当y=5时，x=

-⨯

== 2345

3

3

3

1

所以原方程有两组解：

x y

x

y =

=

⎧⎨⎩

=

=

⎧

⎨

⎩

5

2

1

5

答：箱子里有5只蟋蟀，2只蜘蛛；或1只蟋蟀，5只蜘蛛。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 甲级铅笔7角1支，乙级铅笔3角1支，用6元钱可以买两种铅笔共几支？

2. 有大小两种盒，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，要使每粒巧克力都装入盒内，且每盒都装满，问需大、小盒各有几个？

3. 某班48人到公园去划船，售票处规定，每只小船坐3人，每只大船坐5人，要保证每位同学都上船，而且大、小船都有，则需大船、小船各几只？

4. 有一批苹果，如果平均分给幼儿园大、小两个班的小朋友，每人可得6个，如果平均分给大班的小朋友，每人可得10个，如果平均分给小班的小朋友，每人可得几个？

【试题答案】

（三）独立完成：

1. 甲级铅笔7角1支，乙级铅笔3角1支，用6元钱可以买两种铅笔共几支？

解：设7角的铅笔买x 支，3角的铅笔买y 支，则

7360x y +=

3607y x =-

y x =-6073

x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩3

1366

31316+=（支） 6612+=（支） 答：共买16支铅笔或12支铅笔。

2. 有大小两种盒，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，要使每粒巧克力都装入盒内，且每盒都装满，问需大、小盒各有几个？

解：设大盒有x 个，小盒有y 个，则

4830306x y +=

8551x y +=

5518y x =-

y x =-5185

x y ==⎧⎨⎩27

答：大盒有2个，小盒有7个。

3. 某班48人到公园去划船，售票处规定，每只小船坐3人，每只大船坐5人，要保证每位同学都上船，而且大、小船都有，则需大船、小船各几只？

解：设需大船x 只，小船y 只。

5348x y +=

x y =-4835

x y x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩

9

166311 答：需要小船11只，大船3只；或小船6只，大船6只或小船1只，大船9只。

4. 有一批苹果，如果平均分给幼儿园大、小两个班的小朋友，每人可得6个，如果平均分给大班的小朋友，每人可得10个，如果平均分给小班的小朋友，每人可得几个？ 解：设大班有x 人，小班有y 人。

()610x y x +=

y x =23（说明小班人数是大班的23

） 答：小班的小朋友每人可得15个。