傅里叶变换和非周期信号的频谱

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2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质

能量谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明：由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件必要条件。因为当引入广义函数概必要条件念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt

第七3章非周期信号的傅里叶变换

则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2

13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2

表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。当时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取，的第一个零点的频率为 c ，定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E

2
0

2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为

， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量。
• 离散求和运算变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2

f (t )e jt dt
F ( )e jt d

式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T

3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换

−1
X ( jω ) 称为 x ( t )的频谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或白色频谱” “白色频谱”。矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有：所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数，若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。为偶函数则时域和频域完全对称。直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。

§3-3 非周期信号的频谱分析

x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E

2
2
t
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0
2

对应的傅里叶级数展开式
x(t)

Ak e jk1t
k

TAk e jk1t
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变换

X ( j) x(t)e jt dt
式
x(t)
1

X ( j)e jt d
2
即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
x(t) FT X ( j) ℱ x(t)
x(t) ℱ -1 X ( j)
k
1 T
1 2
TAk e jk1t
k

2 T
当T→∞的时候，
lim x(t)
T
1 2
TAk e
k
jk1t

2 T
lim
T
1 2
TAk e
k
jk1t
1

1

X ( j)e jt d
2
T
E
T

2
2
T
t
0 1
2

k1
x(t)
E
T

2
2

非周期信号的频谱

(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为，
0
.
F(为j正) 代表相位为。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换

非周期信号的频谱

jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号离散谱
非周期信号连续谱
表示频谱就不合适了，再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们在这里引入频谱密度函数。在这里引入频谱密度函数。频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图单位冲激信号的频谱图可见，的频谱是常数1 可见，冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。也就是说，中包含了所有的频率分量，是说， δ(t) 中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，分量的频谱密度都相等。显然，信号 δ(t) 实际上是无法实现的。是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞

非周期信号的频谱——傅里叶变换

(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数，简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数，简
称相位谱。一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对，其中式(3.2-1)为傅里
叶变换，式(3.2-2)为傅里叶反变换。傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况，非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例，当T→∞时，周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。随着T的增大，离散谱线间隔ω0就变窄；当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时，离散谱就变成了连续谱。虽然|Fn|→0，但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对关系，我们引入频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)

非周期信号的频谱

F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2

非周期信号的频谱分析

X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条件一样。信号绝对可积；任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值；任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。

非周期信号的傅里叶变换-

①充分条件：绝对可积，即
f
t dt
②但是，奇异函数的存在，使许多不满足
绝对可积条件的信号也存在傅立叶变换
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信号与系统—signals and systems
二、典型非周期信号的傅立叶变换 f(t)
1．单边指数衰减信号
1
① f (t) eatu(t), (a 0)
②
F
n1
1 T1
T1
f 2
T1 2
t e jn1t dt
F
n1
T1
2
F n1 1
T1
f 2
T1 2
t e jn1t dt
T1 , 1 0, n1 n1 n 11 1 d, n1
F
lim
T1
F
n1
T1
lim
1 0
2
F n1
1
f (t)e jtdt
f
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3.2非周期信号的傅立叶变换
一、傅立叶变换
1．问题的引出
① T1 : 周期信号 1 0 : 离散谱
非周期信号连续谱
F(n1) 0 : 谱线长度趋于0
总能量不变，频谱仍然存在，无限多个无穷小量之和仍然可能为有限值。
F (n1) : 表示单位频带的频谱值—频谱密度的概念 1
0
1
0
1 2t
1
te jt 1 ( 1 )2 e jt 1
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j

非周期信号的傅里叶变换

0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
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4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
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E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
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[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
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§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换

信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱

信号分析基础(非周期信号频域分析)

非周期信号的频谱 2.傅立叶逆变换
浙江工业大学
X
(
j
)

lim
T0
Cn
T0
lim f 0
Cn f
→
Cn

lim
T0
X ( j)
T0

lim
T0
X(
j) 0 2

x(t) Cne jn0t
n 0,1,2,
n
x(t) lim X ( j) 0 e jn0t

3 23
0 0
(a) T=3
3 23
t t
2 (a) T=3 2
WR (t)
k=3 WR (t) 1
1
0 0
-1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1t0
n T0
2
✓ 当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t) 1 X ( j) e jtd
2
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
非周期信号的频谱 3.傅立叶变换对
X ( j) x(t)e jt dt
Af0

x( f ) A
10 1 f0 f0
t
f0
0
f0 f
2
2
浙江工业大学
非周期信号的频谱
浙江工业大学
(3).尺度特性若x(t) ↔ X(jƒ)，则

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换

2
或B f
1

四、钟形脉冲信号

t
2
f (t) Ee
其傅里叶变换为：
F ()
e E
,
2
2

F
()

() 0
（正实函数）
e E

2
2
e f (t) E

t
2
E
e e j 2
j 2

.
2 2 j

E
sin
2
2
E Sa
2
幅度频谱： F E Sa 2
相位频谱：

0

4n
22n

22n 1

1 22n

2
j
符号函数的频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F

2 2

2

F 是偶函数
tg 1

2

0

/ 2, / 2,
0 0
F ( )
2
OFra bibliotek 2
O

2
是奇函数
2 2
0,

,
F E

F 0
相位频谱： tg1

0,
0
,

2

非周期信号的频谱

3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数，且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)，则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时：谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F

非周期信号的频谱分析

lim T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F
(
j)
lim
T
TCn
f (t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。
狄里赫莱条件是充分不必要条件
8
例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。
解：非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
f
(t
)
A， 0，
| t | t / 2 | t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j)
f (t)e jt dt
t
2t
A e jt dt
2
At Sa(t )
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F ( j)e jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。
6
傅立叶正变换：傅立叶反变换：
符号表示ห้องสมุดไป่ตู้ 或
F( j) f (t)e jt dt
f
(t)
16
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号 f (t)
直流信号及其频谱
1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量，此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质１、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱，因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对稳定，将趋于稳定的极限值，这个的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)

傅里叶变换和非周期信号的频谱

2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质

第七3章 非周期信号的傅里叶变换

3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换

§3-3 非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱——傅里叶变换

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱分析

非周期信号的傅里叶变换-

非周期信号的傅里叶变换

§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换

信号分析基础(非周期信号频域分析)

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

第七3章非周期信号的傅里叶变换