四点共圆习题

圆内接四边形与四点共圆

思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。→若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。

产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

基本模型：

AO=BO=CO=DO ⇔ A、B、C、D四点共圆（O为圆心）

思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。

思路三：运用有关性质和定理：

①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

产生原因：圆内接四边形的对角互补。

基本模型：

∠

+

=

180

B）⇔ A、B、C、D四点共圆

∠D

180

=

∠

+

∠D

A（或0

②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。

产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。

∠⇔ A、B、C、D四点共圆

=

CAB∠

CDB

③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

产生原因：直径所对的圆周角是直角。

∠D

=

C⇔ A、B、C、D四点共圆

=

∠

90

④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。

基本模型：

∠⇔ A、B、C、D四点共圆

=

ECD∠

B

1.如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，0

60B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。

证明：B,D,H,E 四点共圆：

证明：CE 平分DEF ∠。

2．如图，AC ⊥BC ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD.求证：∠AFE=∠B.

3.已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802B C D C D E α∠=∠=︒-，求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．

E D C B A E

B A

4、如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD ＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。

(1)求证：△ACE≌△DCB；

(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；

(3)求证：∠APC＝∠BPC。