数字积分法

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第三四象限数字积分法插补计算报告

第三四象限数字积分法插补计算报告

第三四象限直线插补计算1. 引言随着微电子技术,计算机技术的发展,数控机床的性能不断完善,其应用范围也不断增大。

而数控技术作为数控机床的关键技术,越来越得到更多高校的重视。

2.数字积分法直线插补原理设将要加工的直线XOY 平面内第一象限直线OE ,如图.一所示,直线起点在坐标原点,终点为E (Xe ,Ye )。

同样,假设坐标值均为以脉冲当量为单位的整数。

图.一若此时刀具在两坐标轴上的进给速度分量分别是Vx ,Vy ,则刀具在X 轴,Y 轴方向上位移增量分别是△X = Vx △t 式一a△ Y = Vy △t 式一b由图.一 所示的几何关系可得V/OE=Vx/Xe=Vy/Ye=K (常数) 式二将式二中的Vx ,Vy 分别代入式一 可得:△X = KXe △t 式三a△ Y = KYe △t 式三b可见刀具由原点O 走向E 的过程,可以看作式每经过一个单位时间间隔△t ,就分别以增量[KXe],[ KYe]同时在两个坐标轴累加的结果。

也可以这样认为,数字积分法插补实际上就是利用速度分量,进行数字积分来确定刀具在各坐标轴上位置的过程,即XO当取△ti=“1”(一个单位时间间隔)则X = nKXe 式五aY = nKYe 式五b设经过n 次累加后,刀具正好到达终点E(Xe,Ye),则要求式五中常量满足 下式nK=1 式六n 是累加次数必须取整数,所有K 取小数。

为了保证每次分配给坐标轴的进给脉冲不超过一个单位,则△ X=KXe<1 式七a△ Y=KYe<1 式七b上式中Xe ,Ye 的最大允许值受系统中相应寄存器容量的限制。

现假设寄存器 为N 位则容量为2N ,对应存储的最大允许数字量为(2N - 1)将其带入式七得 K<=1/(2N - 1) 式八现不妨取 K =1/2N 式九显然它满足式七,式八的约束条件,再将K 值代入式六可得累加次数为 n =2N 式十如果将n ,K,值代入式五则动点坐标为X = nKXe =Xe 式十一aY = nKYe =Ye 式十一b根据以上分析,在进行直线插补时,先开辟两个被积函数寄存器Jvx ,Jvy 分别存放终点坐标值Xe ,Ye ,还有两个余数寄存器Jrx ,Jry 。

数字积分法

数字积分法

101 +)001
110
101 +)110 ① 011
101 +) 011 ① 000
经过23 = 8次累加完成积分运算,因为有5次溢出,所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补
如图:直线段OA,起点位于原点,终点为A(Xe,Ye),东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy,则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为:
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt)
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 101 000 011 000
000
备注 初始状态
1 101 101 011 011
111 第一次累加
2 101 010 1 011 110
(一)数字积分的基本原理
如图:从时刻t=0到t,函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表
示为:S=∫ 0f(t)dt t
Y
若将0~t的时间划分成时间
间隔为Δt的有限区间,当Δt
Y=f(t)
足够小时,可得公式:
S=∫
tf0(t)dt
=
n-1 ∑ Yi Δt
i=0
Yo
即积分运算可用一系列微小
O
矩形面积累加求和来近似。
Δt
tT
若Δt取最小基本单位“1”,则上式可简化为:
n-1 S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式)
i=0
这种累加求和运算,即积分运算可用数字积分器来实现,
被积函数寄存器
存放Y值

数字积分法

数字积分法

Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.22
MECHINCAL ENGINEERING, TUST
Interpolation
4.数字积分法合成进给速度
V=F?
F——编程速度 v——插补合成速度
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.23
Interpolation
数,字插积补分直法线的的特终点点是坐,标脉为冲E源(X每e产,生Ye一)个,脉则冲X,,Y作方一向次的累平加均计进算给,频如率果fx,脉f冲y为源频率为fg(Hz)
fx
Xe 2n
fg
式中 m—累加次数 。
fy
Ye 2n
fg
假设脉冲当量为(mm/脉冲),可求得X和Y方向进给速度(mm/min)

k(2n 1) 1
k 1 2n 1
为使上式成立,不妨取
1 k
代入得累加次数
2n
m 1 2n k
2n 2n
1
1
上式表明,若寄存器位数是n,则直线整个插补过程要进行2n 次累加才能 到达终点。
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.10
MECHINCAL ENGINEERING, TUST
Interpolation
例 见P22页例2-4
y
B
5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 Ax
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.18

数字积分法(DDA)插补直线参考程序

数字积分法(DDA)插补直线参考程序

数字积分法(DDA)插补直线参考程序Sub 插补X()标志X = 0If 余数X >= Q Then余数X = 余数X Mod Qx动点= x动点+ 1: 标志X = 1 End IfEnd SubSub 插补Y()标志Y = 0If 余数Y >= Q Then余数Y = 余数Y Mod Qy动点= y动点+ 1: 标志Y = 1End IfEnd SubSub 插补Z()标志Z = 0If 余数Z >= Q Then余数Z = 余数Z Mod Qz动点= z动点+ 1: 标志Z = 1 End IfEnd SubSub 插补公共()余数X = 余数X + x终点余数Y = 余数Y + y终点余数Z = 余数Z + z终点插补X插补Y插补Z插补记录= 插补记录+ 1End SubSub 插补()Dim c As Integer插补记录= 0: 余数X = 0: 余数Y = 0: 余数Z = 0: 划轮廓线PSet (z原点, x原点), vbRedSelect Case 象限标志Case 1: '第一象限插补Do Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(z步长×标志Z, x步长×标志X), vbRedLoopCase 2: '第二象限插补c = x终点: x终点= z终点: z终点= -cc = x步长: x步长= z步长: z步长= -cDo Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(x步长×标志X, z步长×标志Z), vbRed LoopCase 3: '第三象限插补x终点= -x终点: z终点= -z终点x步长= -x步长: z步长= -z步长Do Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(z步长×标志Z, x步长×标志X), vbRed LoopCase 4: '第四象限插补c = x终点: x终点= -z终点: z终点= cc = x步长: x步长= -z步长: z步长= cDo Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(x步长×标志X, z步长×标志Z), vbRed LoopEnd SelectEnd Sub。

数字积分器,离散数字积分器原理

数字积分器,离散数字积分器原理

数字积分器的工作原理数字积分法也称为数字微分分析法,是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补方法。

基本原理:数字积分法是利用数字积分的方法,计算刀具沿各坐标轴的位移,使得刀具沿着所加工的曲线运动。

优点:运算速度快,脉冲分配均匀,容易实现多坐标联动。

缺点:速度调节不便,插补精度需要采用移动措施才能满足要求。

如图3-12所示,设有一函数Y =f(t),求此函数在t 0~t n 区间的积分,就是求出此函数曲线与横坐标t 在区间(t 0,t n )所围成的面积。

如果将横坐标区间段划分为间隔为Δt 的很多小区间,当Δt 取足够小时,此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。

图3-12 函数的积分运算式中Y i 为t =t i 时f(t)的值,这个公式说明,求积分的过程也可以用累加的方式来近似。

在数学运算时,取Δt 为基本单位“1”,则上式可简化为数字积分器通常由函数寄存器、累加器和与门等组成。

数字积分器结构框图见图3-13。

其工作过程为:每隔Δt 时间发一个脉冲,与门打开一次,将函数寄存器中的函数值送累加器里累加一次,令累加器的容量为一个单位面积,当累加和超过累加器的容量一个单位面积时,便发出溢出脉冲,这样累加过程中产生的溢出脉冲总数就等于所求的总面积,也就是所求积分值。

V J R J S ∆∑⎰-=∆==100n i i t t t Y Ydt S n ∑-==10n i iY S图3-13 积分运算原理图如果S代表位移,y代表速度,则位移可表示为速度值的累加运算。

若要产生直线OE,其起点为坐标原点O,终点坐标为E(7,4)。

设寄存器和累加器容量为1,将X e=7,Y e=4分别分成8段,每一段分别为7/8,4/8,将其存入X和Y函数寄存器中。

第一个时钟脉冲来到时,累加器里的值分别为7/8,4/8,因不大于累加器容量,没有溢出脉冲。

第二个时钟脉冲来到时,X累加器累加结果为7/8+7/8=1+6/8,因累加器容量为1,满1就溢出一个脉冲,则往X方向发出一进给脉冲,余下的6/8仍寄存在累加器里,累加器又称余数寄存器。

数字积分法

数字积分法

累加次数 m
JVX
JRX(∑xe) △x
(存xe )
0
1000(8)
0
0
1
2
JVY
JRY
△y
(存ye) (∑ye)
0110(6)
0
0
9.5 数控机床的插补原理
累加次数 m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
JVX(存xe ) 1000
JRX(∑xe)
0 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000
9.5 数控机床的插补原理
1. 概述 2. 逐点比较法 3. 数字积分法
9.5 数控机床的插补原理
3. 数字积分法 数字积分法又称数字微分分析器(Digital
Differential Analyzer,简称DDA),利用数字积分的 原理,计算刀具沿坐标轴的位移,使刀具沿所加工的 轨迹运动。 采用数字积分法进行插补的优点:
9.5 数控机床的插补原理
m必须是整数,所以k为小数。选取k时考虑△x、
△y≤1,保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过1个
单位(一般为1个脉冲当量)。
xe
m
(kxe )t
i 1
m
mkxet
取△t=1
ye
(kye )t
i 1
mkyet
xe mkxe
ye
mk ye
x y
k xe k ye
△x
JVY(存ye) JRY(∑ye)
△y
0
0110
0
0

数字积分插补法直线插补

数字积分插补法直线插补

数控原理与系统课程设计课题名称:数字积分插补法直线插补专业:班级:姓名:指导老师:数控原理与系统课程设计任务书班级姓名学号课程设计的目的1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。

2) 掌握数字积分插补的基本原理。

3)掌握数字积分插补的软件实现方法。

二、课程设计的任务数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。

数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点,应用比较广泛。

其缺点是速度调节不便,插补精度需要采取一定措施才能满足要求。

由于计算机有较强的计算功能和灵活性,采用软件插补时,上述缺点易于克服。

本次课程设计具体要求如下:1)数字积分插补法基本原理2)数字积分插补法插补软件流程图3)算法描述(逐点比较法算法在VB中的具体实现)4)编写算法程序清单5)软件运行仿真效果二、课程设计报告要求1)按课程设计任务5点要求为标题,编写课程设计报告,最后加一点:此次课程设计小结(包括设计过程中所碰到的问题、解决办法以及有关设计体会等)。

2)字数在3000字左右。

3)仿真软件一份。

三、学生分组数控原理与系统课程设计说明书一、数字积分法直线插补的基本原理数字积分法是利用数字积分的方法,计算刀具沿各坐标轴的位移,使得刀具沿着所加工的轮廓曲线运动利用数字积分原理构成的插补装置称为数字积分器,又称数字微分分析器(Digital Differential Analyzer ),简称DDA 。

数字积分器插补的最大优点在于容易实现多坐标轴的联动插补、能够描述空间直线及平面各种函数曲线等。

因此,数字积分法插补在轮廓数控系统中得到广泛的应用。

从几何角度来看,积分运算就是求出函数Y = f (t )曲线与横轴所围成的面积,从t =t 0到t n 时刻,函数Y= f (t )的积分值可表述为⎰⎰==n n tt t t dt )t (Ydt S 00f 如果进一步将t ∈[t 0,t n ]的时间区划分为若干个等间隔Δt 的小区间,当Δt 足够小时,函数Y 的积分可用下式近似表示t Y Ydt S n i i t t n ∆∑⎰-=≈=100在几何上就是用一系列的小矩形面积之和来近似表示函数f (t )以下的积分面积。

数控课程设计(数字积分法第二象限直线插补程序)

数控课程设计(数字积分法第二象限直线插补程序)

数字积分法第二象限直线插补程序设计数字积分法是利用数字积分的方法,计算刀具沿各坐标轴的位移,使得刀具沿着所加工的轮廓曲线运动利用数字积分原理构成的插补装置称为数字积分器,又称数字微分分析器(Digital Differential Analyzer),简称DDA。

数字积分器插补的最大优点在于容易实现多坐标轴的联动插补、能够描述空间直线及平面各种函数曲线等。

因此,数字积分法插补在轮廓数控系统中得到广泛的应用。

具体设计内容如以下:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………目录一、课程设计目的 (1)二、课程设计题目描述和要求 (1)三、课程设计报告内容 (1)数字积分法直线插补的基本原理 (2)从几何角度来看积分运算 (2)数字积分法在轮廓插补中的具体应用(数字积分法直线插补)3 插补终点判别的具体实现 (4)插补器的组成 (5)数字积分法稳速控制 (5)提高插补精度的措施 (6)减少误差的方法 (6)数字积分法直线插补框图 (7)数字积分法直线(第二象限)插补程序流程图 (7)四结论 (8)五结束语 (8)参考书目 (10)附录数字积分法直线插补程序清单(第二象限) (11)一、课程设计目的1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。

dda数字积分法

dda数字积分法

dda数字积分法数字积分法(Digital Differential Analyzer,简称DDA)是一种常见的计算机图形学算法,用于绘制直线和曲线。

它通过离散化空间,将连续的线段或曲线分割成若干离散的像素点,从而实现在屏幕上绘制图形的目的。

DDA算法是一种简单而有效的算法,它使用了数学上的差分思想,通过计算直线或曲线的斜率,按照相应的步长在屏幕上绘制出线段或曲线。

在这个过程中,DDA算法仅需进行一次斜率计算和一次像素绘制操作,因此效率较高。

此外,DDA 算法的原理也较为直观,易于理解和实现。

在DDA算法中,首先需要确定直线(或曲线)的起点和终点坐标,然后计算出斜率。

接着,根据斜率选择适当的步长,并在屏幕上按照步长绘制出像素点。

具体的实现步骤如下:1. 输入直线(或曲线)的起点和终点坐标。

2. 计算直线(或曲线)的斜率。

如果是直线,可以使用斜率公式: K = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

如果是曲线,可以通过给定函数获取斜率。

3. 确定适当的步长(step),一般可以选择x轴或y轴的最大差值作为步长。

例如,如果x轴的最大差值大于y轴的最大差值,则可以选择x轴差值作为步长。

4. 根据所选择的步长计算出像素点的数量,例如,如果步长是1,则需要+1个像素点。

5. 通过逐步增加步长和计算出相应的像素点坐标,最终绘制出线段或曲线。

为了更好地理解DDA算法的原理和实现,下面将详细介绍一种常见的直线绘制实现方法。

```pythondef dda_line(x1, y1, x2, y2):dx = abs(x2 - x1)dy = abs(y2 - y1)# 确定适当的步长if dx > dy:step = dxelse:step = dy# 计算每一步的增量x_increment = dx / stepy_increment = dy / step# 初始化起点坐标x = x1y = y1# 绘制起点像素点plot_pixel(round(x), round(y))# 迭代绘制每一步for i in range(step):x += x_incrementy += y_increment# 绘制像素点plot_pixel(round(x), round(y))```在以上代码中,plot_pixel函数用于绘制像素点,它可以根据具体的绘图环境进行相应的变换和操作。

逐点比较法的性能和数字积分法

逐点比较法的性能和数字积分法

的速度分量为Vx,Vy,
则有
Y
V Vx Vy k OE X e Ye
Vy V E(Xe,Ye)
(k为常数) (3-16)
各坐标轴的位移量为
Vx
X Vxdt kXedt
O
X
Y Vydt kYedt (3-17)
图3-19 DDA直线插补
数字积分法是求式(3-17)从 O到E区间的定积分。此积分值等 于由O到E的坐标增量,因积分是 从原点开始的,所以坐标增量即是 终点坐标。
1. 数字积分法直线插补 例子:
若要产生直线OE,其起点为坐标原点O, 终点坐标为E(7,4)。设寄存器和累加 器容量为1,将Xe=7,Ye=4分别分成8
段,每一段分别为7/8,4/8,将其存入
X和Y函数寄存器中。
第一个时钟脉冲来到时,累加器里 的值分别为7/8,4/8,因不大于累加器 容量,没有溢出脉冲。
停止插补。
例题
设欲加工第一象限直线OE,起点在原点,终点坐标Xe=5, Ye=4,试写出插补计算过程并绘制插补轨迹。
步数 偏差判别 坐标进给
偏差计算
终点判别
1 F0=0 2 F1<0 3 F2>0 4 F3<0 5 F4>0 6 F5<0 7 F6>0 8 F7<0 9 F8>0
F0=0
+X
F1.= F0 - Ye =0-4=-4
Ⅱ Ⅲ
-X -X
+Y -Y
Fm1 Fm Ye Fபைடு நூலகம்1 Fm Xe

+X
-Y
不同象限直线的逐点比较插补
二、圆弧插补 1.偏差计算公式
因为
Rm2
X
2 m
Ym2

简述数字积分法进行插补运算的基本原理

简述数字积分法进行插补运算的基本原理

5 2・
பைடு நூலகம்
科技论 坛
筒述 数字积分 法进 行插 补运算 的基 本原理
杨方 明 王 昊
( 河北农业大 学机 电工程 学院, 河北 保定 0 7 1 0 0 0 )
摘 要: 数 字积分法 , 也称 D D A法 , 它是建 立在数 字积分 器基础上 的一种插补 算法 , 可 实现 多坐标联动 与空 间曲线的插补 , 在数控 系统 中得到广泛的应用。主要描述数 字积分法的基本原理 , 为初学者提供原理方 法的基本认 知理 解。 关键词 : 数 字积 分 法 ; 累加 ; 直线插补 ; 圆弧 插 补 S
结 束 语 总 的来说 , 数字积分法就是用累加的方法实现积分 的过 程。主 要 由被积 函数寄存器 与累加 器完成运算 , 运算过程 中 , 累加 、 溢出、
f=l
h. △ £
进给 、 终 点判别循环进行 , 直到插补结束。
参 考 文 献
取△ l 后 , 上 式 变 为f : z k
1 数字 积 分 法基 本 原 理 数字积分法类似微积 分的基本 思想 , 即无 限细分 与无 限求 和的 y ∑ y 思想 。 如图 1 所示 , 求 函数 y - f ( t ) 在 区间[ t o , t 0 的定积分 , 转换为几何关 矗 系就是求 函数在该区间内与 t 轴所 围成的面积
△t= '
由上式可得 l 口 I l ,A y=k y 。 ,A x=l 口 c 。 为使每次的进给脉冲不多于一个脉冲 , 必须满足 A y <l ,△ x <1 ,
即 k y 叠《I ,k x l< l 。而 y ・ 、x ・ 的值受寄存器容量限制 ,
若 寄存器为 N位寄存器 , 则其最大值为 2 N—l 。

常用算法--几种数字积分法

常用算法--几种数字积分法

几种常用的数字积分方法(微分方程的数字解)2-5数字积分法1 欧拉法(折线法)设一阶微分方程)y ,t (f ydxdy == 00y )t (y = 由图可知,过(t 0, y 0)点的斜率为)y ,t (f y000= 如果1t 离0t 很近,即t ∆ 很小,曲线y(t)可用切线来近似,其切线方程 )t t )(y ,t (f y y 0000-+=其微分方程在t=t 1 时,可近似表示为 )t t )(y ,t (f y y )t (y 0100011-+==重复上述近似过程,当2t t =时, )t t )(y ,t (f y y )t (y 1211122-+== 则有一般近似公式))(,()(111n n n n n n n t t y t f y y t y -+==+++如果令n n 1n h t t =-+,称为计算步矩,则n n n n 1n 1n h )y ,t (f y y )t (y ⋅+==++ (1) 这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。

由公式可看出,只要我们给出方程的初值(t 0, y 0)以及相应的步距,逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。

欧拉法的计算是十分简单的,其计算误差正比于2h ,由此,要获得高精度解,必须减小步距,但这使得计算次数增加,又由于计算机的字长有限,h 减小得过小,将引图2-5-1图2-5-2入舍入误差,所以此方法的精度提高有限,实际应用中较少采用。

2 梯形法(预报――校正法)欧拉法精度低,却给我们一些启发,对微分方程),(y t f y= 可改写成ττ+=⎰d )y ,(f y )t (y t0t 0当 1t t = 时,则⎰+=1t t01dt ))t (y ,t (f y )t (y从此式可以看出,要求得 )t (y 1 的值,等式右边中含有未知函数,所以不能得到)t (y 1的值,但如果我们用已知的函数值)t (y 0来代替)t (y ,用不变取代变化的函数,即⎰⎰≈11t t 00t t dt ))t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f实际上右边是一个矩形面积)t t ())t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 0100t t 10-∙=⎰则)y ,t (f h y y 00001∙+=递推公式为)y ,t (f h y y n n n n 1n ∙+=+用此矩形的面积的算法,其计算误差是显然的(欧拉法),为了提高精度,我们可以用梯形面积来取代矩形的面积,即01021t t h )f f (dt ))t (y ,t (f 1∙+=⎰则010101h )f f (y y ∙++= 递推形式为)f f (h 21y y 1n n n n 1n +++∙+=或)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1n 1n n n n n 1n ++++∙+=应用上式求积分,产生了新的问题,即在计算1n y +时,要用1n y +,而1n y +不知,则)y ,t (f 1n 1n ++是未知的,要获得1n y +,通常可用迭代方法,即在n t 与1n t +之间迭代多次,使其计算的1n y +逐步收敛于)t (y 1,即)y ,t (f h y y n n n n 01n ∙+=+)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 01n 1n n n n n 11n ++++∙+=)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1k 1n 1n n n n n k 1n -++++∙+= 如果序列k 1n y +极限存在,则当∞→k 时,)t (y y 1n k 1n ++→,要保证上述极限存在,只要选取h 小到一定程度,就能得到满足。

数字积分法名词解释

数字积分法名词解释

数字积分法名词解释
嘿,咱今天就来说说数字积分法!数字积分法啊,就好比是一个超
级厉害的魔法工具!比如说吧,你想计算一个图形的面积,那数字积
分法就能大显身手啦!就像你有一堆乱七八糟的拼图,数字积分法能
帮你把它们整整齐齐地拼好,算出到底有多大面积。

它可不是随随便便就能搞定的哦!这当中涉及到好多复杂的步骤和
计算呢!就好像你要搭建一座精美的城堡,得一块砖一块砖地往上垒。

数字积分法也是这样,一步一步地进行计算,最终得出准确的结果。

你想想看,要是没有数字积分法,那我们在很多工程领域、科学研
究里可就抓瞎啦!比如说在设计一个超级酷炫的机器人时,得精确计
算各种参数吧,这时候数字积分法不就派上用场了吗?“哎呀,要是没
有它,那可咋办呀!”
而且哦,数字积分法还在不断发展和进步呢!就像我们人会不断学
习成长一样。

它变得越来越强大,能解决的问题也越来越多。

“哇塞,
这也太牛了吧!”
在实际应用中,那些科学家和工程师们可离不开数字积分法呀!他
们就像拿着这个神奇魔法棒的魔法师,用它创造出各种令人惊叹的成果。

我觉得吧,数字积分法真的是超级重要的!它就像一把万能钥匙,
能打开好多知识和技术的大门,让我们看到更多的精彩和可能!所以
啊,我们可得好好了解它、掌握它,让它为我们的生活和未来发挥更大的作用呀!。

数值积分公式

数值积分公式

数值积分公式
函数值积分,也称积分法,是在数值分析中一种经典的数值算法,它的作用是计算某一函数或者定积分的值。

通常来说,函数值积分可以用于求解多变量函数的根部值,也可以用于解决常微分方程中的未知系数。

它实际上是用一些已知的数值方法来近似解决函数积分(或未知连续函数的积分)。

这样就可以得到函数值积分所需要的近似数字值,也就是目标函数在指定区间上的积分和。

最常用的计算函数积分的方法之一是梯形积分法,即将积分区间分解为若干个小区间,然后在每一个小区间上用某种方法算出这个函数的积分,然后把这些小区间求出的积分结果相加求和,从而得出原函数的积分结果。

例如,积分区间[a,b]中的函数f(x)的积分结果就可以写成:∫f(x)dx=Σi=0n-1f(xi)Δxi, 其中xi=a+iΔx 、Δ
x=(b-a)/n 。

除了梯形积分法之外,Simpson积分法也是一种常用的数值积分方法,它根据泰勒公式对原函数做多项式拟合,并在区间[a,b]中用三角形函数积分法求解,从而可以得到函数积分的和。

此外,还有更多的数值积分方法,比如求复合积分、常微分方程的改变积分、limit-limit等等,这些积分法都能有效的求出函数的积分结果。

总的来说,函数值积分是数值分析中一种非常重要的算法,它可以计算函数的积分结果,也可以用于解决许多复杂的多项式方程。

由于数值积分有很多便利的应用,所以目前它已经成为数学、物理和工程等领域中重要的数学算法。

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插补计算过程如下:
累加 次数 (Δt) X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ΔX ΔY
备注 初始状态 第一次累加
0 1
010 000 010 010
2 3 4 5 6 7 8
010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 110 100 1 010 110 110 010 1
110 000 110 110 110 100 1 110 010 1 110 000 1 110 110
000 111
110 JRy有进位, ΔY溢出 101 JRy有进位, ΔY溢出 100 ΔX,ΔY同时溢出 011 ΔX,ΔY同时无溢出 ΔY溢出 010 ΔY溢出 001 000
ΔX,ΔY同时溢出 JE=0,插补结束
101 +)110 ① 011
101 +) 011 ① 000
经过2 = 8次累加完成积分运算,因为有5次溢出,所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补 如图:直线段OA,起点位于原点,终点为A(Xe,Ye),东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy,则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为: ΔX=VxΔt Y ΔY=VyΔt A(Xe,Ye) 若动点沿OA匀速移动, V、 Vx、Vy均为常数,则有: V V = Vx Vy = =K Vy OA Xe Ye 成立。 O Vx X

插补计算过程如下:
累加 次数 (Δt) Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 (Yi) ΔX 数器 (Xi) ΔY
备注
初始状态
0 1
000 000 000 000
101 101 000 101 101 101
101 101
第一次累加
ΔY溢出,修正Yi
例:插补第一象限直线OA,起点为O( 0 , 0 ) ,终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx, JVy,余数寄存 器分别为JRx 、JRy ,终点计数器为 JE,且都是三位二 进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y
3
2
A( 5 , 3 )
1
O 1 2 3 4 5 X
圆弧积分插补器: J Vx(Y)(被积函数寄存器) + Δt X轴溢出脉冲 ΔX ΔY Y轴溢出脉冲 + J Vy(X)(被积函数寄存器)
J Ry(累加器)
J Rx(累加器)
例:设圆弧AB为第一象限逆圆弧,起点A(5,0),终点 为B(0,5),用DDA法加工圆弧AB。 Y 5
4
3 2 1 O 1 2 3 4 5 X
i=1
n
m
Vx R O
Pi(Xi,Yi)
A(Xo,Yo) X
Y = 1/2 ∑Xi
i=1
n m
由 X = 1/2 n ∑Yi
i=1
m
Y = 1/2 ∑Xi
i=1
n m
可看出,用DDA法进行圆弧插补时,是对加工 动点的坐 标Xi和Yi的值分别进行累加,若积分累加器有溢出, 则相应坐标轴进给一步,则圆弧积分插补器如图所示:
010 000 1 110 000 1
加工轨迹如下:
Y 6 5 4 3
A( 2 , 6 )
,设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB,坐 标原点定在圆心上,A(Xo,Yo)为圆弧起点,B(Xe,Ye)为 圆弧终点,Pi(Xi,Yi)为加工动点。
Y B(Xe,Ye)
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器(Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补,具有运算 速度快,逻辑功能强,脉冲分配均匀等特点,且只输 入很少的数据,就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹,精度也能满足要求。因此,该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
13 101 110 14 101 011
001 001 1 000 001 000
无溢出
ΔX溢出修正Xi X到达终点。结 束插补。
2
3 4 5
000 000 001 001 001 001 010 010 010 100 011
101 101 010
101 101 111 101 101 100 101 101 001
1 100
1 1
100 ΔX,ΔY无溢出 011 ΔY溢出修正Yi 010
ΔY溢出修正Yi
插补计算过程如下:
O Δt
t T
若Δt取最小基本单位“1”,则上式可简化为: n-1 S=∑ Yi
i=0
(累加求和公式或矩形公式)
这种累加求和运算,即积分运算可用数字积分器来实现, 被积函数寄存器 Δt 存放Y值
+
ΔY
累加器(余数寄存器)
若求曲线与坐标轴所包围的面积,求解过程如下: 被积函数寄存器用以存放Y值,每当Δt 出现一次,被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次,并将 累加结果存于累加器中,如果累加器的容量为一个单 位面积,则在累加过程中,每超过一个单位面积,累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时,所 产生的溢出总数就是要求的总面积,即积分值。 被积函数寄存器 Δt + ΔY 存放Y值
(一)数字积分的基本原理 如图:从时刻t=0到t,函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表 示为:S=∫ 0 f(t)dt Y t 若将0~t的时间划分成时间 Y=f(t) 间隔为Δt的有限区间,当Δt 足够小时,可得公式: Yo n-1 0 S=∫ tf(t)dt = ∑ Yi Δt
i=0
即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。
Vy X
Y= ∑ (K Ye)Δt
i=1
O
Vx
由此可以得到直线插补的数字积分插补器:
J Vx(K Xe)(被积函数寄存器)
+ Δt J Rx(累加器) J Ry(累加器) + X轴溢出脉冲 ΔX ΔY
Y轴溢出脉冲
J Vy(K Ye)(被积函数寄存器)
设经过m次累加,X、Y坐标分别达到终点,则有: m X= i=1 ∑ (K Xe)Δt =KmXe =Xe Y= ∑ (K Ye)Δt = KmYe = Ye i=1 Y
无溢出 1 000 ΔXΔY同时溢出
,Y到终点停止迭代
ΔX溢出修正Xi

插补计算过程如下:
累加 次数 (Δt) Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 (Yi) ΔX 数器 (Xi) ΔY
备注
ΔX溢出修正Xi
12 101 001 1 001 010 001
加工轨迹如下: Y
3
2 1 O 1 2 3 4 5
A( 5 , 3 )
X
作业: 插补第一象限直线OA,起点为O( 0 , 0 ) ,终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx, JVy,余数寄存 器分别为JRx 、JRy ,终点计数器为 JE,且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 1 2 X
011 000 011 011 1 011 110 011 001 1 1 011 100 1 011 111
000 111
110 JRx有进位, ΔX溢出 101 JRy有进位, ΔY溢出 ΔX溢出 100 011 ΔX溢出 ΔY溢出 010 ΔX溢出 001 000
ΔX,ΔY同时溢出 JE=0,插补结束
因而可以得到坐标微小位移增量为: ΔX=VxΔt=KXeΔt ΔY=VyΔt =KYeΔt 所以,可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程,则可得直线积分插补 V 近似表达式为: m X= ∑ (K Xe)Δt
i=1 m
A(Xe,Ye)
累加 次数 (Δt) Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 (Yi) ΔX 数器 (Xi) ΔY
备注
无溢出
ΔXΔY同时溢出 ,修正Xi,Yi
6 7
011 111 011 010 1
101 101 110 100 101 011
1
010 001
100 100 8 100 110 100 100 111 9 100 010 1 011 100 011 101 011 10 101 111 011 011 11 101 100 1 010 011 010
m
由该式可知:mK = 1,即 m= 1/K 这样,经过m次累加后,X、 Y坐标分别到达终点,而溢出 脉冲总数即为: X=Xe Y=Ye O
A(Xe,Ye) V Vy
Vx
X
确定K的取值: 根据每次增量ΔX、ΔY不大于1,以保证每次分配的进给 脉冲不超过1,即需满足: ΔX=K Xe≤1 ΔY=K Ye≤1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 n 假定寄存器有n位,则Xe、Ye的最大允许值为2 – 1。 n 若取K=1/2 、则必定满足: n n K Xe = 2 – 1 / 2 <1 n n K Ye = 2 – 1 / 2 <1 由此可定,动点从原点到达终点的累加次数为: n m=1/K=2
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt) X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ΔX ΔY
备注 初始状态 第一次累加
0 1
101 000 101 101
2 3 4 5 6 7 8
101 010 101 111 101 100 101 001 101 110 011 010 1 101 011 1 011 101 101 000 1 011 000 1
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