勾股定理解析

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专题20 勾股定理(解析版)

1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a．故选 D．

勾股定理解析三角形面积和边长之间的关系

勾股定理解析三角形面积和边长之间的关系勾股定理是初中数学中最基础的知识点之一，它指出：在一个直角三角形中，直角边的长度的平方等于另外两条边的长度平方之和。

用数学符号来表示就是：a² + b² = c²，其中c为斜边的长度，a、b为直角边的长度。

该定理的证明方法有很多种，其中最著名的莫过于毕达哥拉斯的证明。

面积和长度的关系三角形是初中数学中的另一个基础知识点，它有许多性质和公式，例如，三角形的面积可以用底边和高来表示，即面积等于底边长度乘以高的长度再除以2，公式可以表示为：S = 1/2 * a * h。

而在勾股定理中，三角形的斜边可以用另外两条直角边的长度表示，此时三角形的面积可以表示为：S = 1/2 * a * b。

三角形的面积公式中的“底边”和“高”都是用长度表示的，而勾股定理中的“直角边”和“斜边”也是用长度表示的。

这就说明，三角形的面积和边长之间存在着某种关系。

为了探究这种关系，我们可以结合勾股定理和三角形的面积公式来进行推导。

在勾股定理中，有c² = a² + b²，两边同时乘以2再除以c²，可以得到：2S/c² = 2ab/c²这里，S表示三角形的面积，c为斜边的长度，a、b为直角边的长度。

式子左边表示三角形的面积与斜边的平方之间的比值，式子右边表示直角边之积与斜边的平方之间的比值。

进一步移项得到：S = ab/c这就是三角形面积和边长之间的关系式。

结论：在任意一个三角形中，其面积等于底边长度和高的乘积再除以2，也等于任意两边长度之积再除以第三边的长度。

这两个公式是等价的。

结语通过对勾股定理和三角形面积公式的推导过程，我们可以发现它们之间存在着紧密的关系。

这不仅可以加深我们对数学知识的理解，还有助于我们更加灵活地运用它们，更好地解决实际问题。

(完整版)八年级勾股定理题型总结

《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。

常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。

勾股定理知识点

勾股定理知识点归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bc c baE D CBA理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

勾股定理(有答案)

勾股定理1.勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、 b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+. 等腰直角三角形：a:b:c=1:1:√2 ；含30度角的直角三角形：a:b:c=1:√3:2 （知以求二）2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

例题：在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则△ABC 三边满足的关系式为 b2＋c2= a2 ． 3.勾股数:①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等例题解析：1.一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边长为 25cm2.在△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为 14或43.一个三角形的三边分别是,1,2,122-+m m m ,则此三角形是直角三角形4.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 6 cm5.在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为 5或76.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 40或3607.直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是 132 分析：22211x y =+，()()1211211x y x y +-==⨯，121,1x y x y +=-=，所以x=61,y=60.8.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 90 解析：2229)1(=-+x x ，40=x ，9041409=++9.一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移了 0.8米10.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？答案：CD=3cm11.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 答案：（13＋5）×2×18＝648元12.已知等边三角形ABC 的边长是6cm ，(1)求高AD 的长；(2)S △ABC. 答案：cm AD 3327936==-=∴AD BC S ABC ⋅⋅=∆21)2()(39336212cm =⨯⨯=5m 13m A B CCB AD E A BCD1.如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•答案：EC=3cm2.在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。

勾股定理常用个公式

勾股定理常用个公式勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它是平面几何中的基础定理，常用来求解直角三角形的边长和角度。

根据勾股定理，我们可以推导出多个相关的公式来解决各种问题。

在本篇文章中，我将介绍11个常用的勾股定理公式，每个公式都会附带一个解析和一个示例。

1.三角形斜边的长度(已知两边长度)：c=√(a²+b²)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。

示例：已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。

解析：根据公式，c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5、因此，斜边的长度为52.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：a=√(c²-b²)，其中b是已知直角边的长度，c是斜边的长度。

示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为4，求第二个直角边的长度。

解析：根据公式，a=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3、因此，第二个直角边的长度为33.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：b=√(c²-a²)，其中a是已知直角边的长度，c是斜边的长度。

示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为3，求第二个直角边的长度。

解析：根据公式，b=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4、因此，第二个直角边的长度为44.直角三角形的面积(已知两个直角边的长度)：A=1/2*a*b，其中a和b为直角三角形的两个直角边的长度。

示例：已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，求其面积。

解析：根据公式，A=1/2*3*4=6、因此，直角三角形的面积为65.直角三角形的周长(已知两个直角边的长度)：P=a+b+c，其中a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。

勾股定理的基本概念和原理解析

勾股定理的基本概念和原理解析勾股定理是一项基本的几何定理，它描述了直角三角形边长之间的数学关系。

在本文中，我们将对勾股定理的基本概念和原理进行深入解析。

一、勾股定理的基本概念勾股定理的核心概念是直角三角形。

直角三角形是一种具有一个直角（90度角）的三角形。

根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

具体来说，假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

那么勾股定理可以表示为：c² = a² + b²这个平方和关系是勾股定理的核心，也是勾股定理在几何学和实际应用中的基础。

二、勾股定理的原理解析勾股定理的原理可以通过几何推理和代数计算来解析。

首先，我们可以通过几何推理证明勾股定理的正确性。

我们假设一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。

接下来，我们再假设有一个正方形DEFG，它的边长等于斜边AC的长度。

根据正方形的性质，正方形的对角线相等。

因此，我们可以得出DF的长度等于BC的长度，EG的长度等于AB的长度，DG的长度等于AC的长度。

进一步分析，我们可以发现正方形DEFG可以分割成两个等腰直角三角形，分别是三角形ADE和三角形CFG。

这两个三角形的斜边长度分别为AC和AC。

根据等腰直角三角形的属性，我们可以得出ADE和CFG两个直角三角形的两个直角边的平方和分别等于斜边的平方。

即AD² + DE² = AC²CF² + FG² = AC²由于DF的长度等于BC的长度，EG的长度等于AB的长度，因此可以得到AD = BCCF = AB将上述等式代入等式（1）和（2）中，可以得到BC² + DE² = AC²AB² + FG² = AC²观察等式（1）和等式（2）可以发现，BC² + DE² = AB² + FG²。

勾股定理的推导和证明方法

勾股定理的推导和证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。

这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等。

本文将介绍勾股定理的推导和证明方法。

勾股定理的推导始于古希腊，最著名的是毕达哥拉斯定理，即a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

以下是勾股定理的推导和证明方法的详细解析。

1. 推导过程：假设存在一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。

用几何方法进行推导如下：首先，假设一个正方形，边长为a+b，将其平分成两个等腰直角三角形。

如下图所示：（图）根据正方形的性质，两个等腰直角三角形的面积相等。

因此，每个等腰直角三角形的面积为(a+b)²/4。

接下来，我们将这个正方形旋转，并将两个等腰直角三角形组合在一起，形成一个更大的正方形，边长为c。

如下图所示：（图）根据旋转后的正方形的性质，其面积为c²。

而这个正方形由两个等腰直角三角形组成，因此其面积为2*(a²/2)=(a²+b²)。

综上所述，我们可以得到等式(a+b)²/4=c²，即推导出了勾股定理。

2. 证明方法：除了几何方法外，还有代数方法用于证明勾股定理。

下面我们将介绍一种基于几何方法的证明。

首先，我们假设一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以构造一个以c为直径的圆，如下图所示：（图）根据圆的性质，半径为c/2的圆的面积为π(c/2)²=πc²/4。

另一方面，根据直角三角形的面积公式，可以得到三角形的面积为ab/2。

现在我们将这个圆分成四个相等的部分，并按下图进行排列：（图）由于四个部分的面积相等，我们可以得到每个部分的面积为πc²/16。

将三角形面积和圆的四个部分的面积相比较，可以得到ab/2=πc²/16。

进一步化简可得a²+b²=c²。

解析勾股定理

解析勾股定理勾股定理是中学数学中的基础定理，也被广泛应用于实际生活和科学研究中。

本文将以解析的方式对勾股定理进行深入分析，揭示其背后的数学原理和应用场景。

1. 勾股定理的数学原理勾股定理以公式的形式表达为：c² = a² + b²。

其中，c为直角三角形的斜边（即最长边），而a和b则为直角三角形的两条直角边。

通过几何证明或代数推导，我们可以得到勾股定理的数学原理。

在直角三角形中，以斜边为直径作圆，则直角所对的两条直角边所对的弧长分别为a和b，而斜边所对的弧长为c。

根据圆周角的性质，我们可以得出两个弧长之间的关系：a² + b² = c²，即勾股定理成立。

2. 勾股定理的应用场景2.1 测量直角三角形的边长勾股定理最常用的应用场景就是测量直角三角形的边长。

通过已知两条边的长度，可以利用勾股定理计算出第三条边的长度。

例如，如果已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此c = 5。

这样，我们就能得出该三角形的所有边长。

2.2 解决几何问题勾股定理在几何问题中也有广泛的应用。

例如，在解决平面几何问题时，我们常常需要利用勾股定理证明两个三角形是否全等或相似。

通过比较两条直角边的平方和，我们可以判断两个三角形是否满足勾股定理，从而推导出它们的关系。

2.3 三维空间中的几何问题勾股定理不仅适用于平面几何，也可以应用于三维空间中的几何问题。

在空间中，三角形的边长变为线段的长度，而勾股定理仍然成立。

利用勾股定理，我们可以计算三维空间中的两点之间的距离，或求解三棱柱、三棱锥等几何体的体积和表面积。

3. 勾股定理的拓展除了基本形式的勾股定理，还存在一些拓展形式，扩展了其应用范围。

3.1 多边形的勾股定理除了直角三角形外，勾股定理也可以推广到其他类型的多边形。

_勾股定理及应用(含解答)-[1]

第17章勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2＋b2 = c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2 =（b －a ）2＋2ab ，则a2＋b2 = c2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S为面积，于是有：（图1）（2）（3）ABC222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．针对练习:1．下列说法正确的是（）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a2＋b2＝c2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a2＋b2＝c2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90=∠A ，则a2＋b2＝c2 D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a2＋b2＝c22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x2—10的立方根为（） A-10 B ． C ．2 D ．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm7．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 338．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为2，斜边上的中线为1，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AB=13cm ，AC 于BC 之和等于 17cm ，求CD 的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm2）．例2：如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3l∙ ∙AB C图3⑵∙∙AB 图3⑴后即可在数轴上作出．3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072 例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a2+b2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99991818；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为三角形的斜边长就是．类似地也可作出请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，=∠E的中线，ABDE⊥于E，求证：22AEAC=解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，2AC在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CD BD =，∴222BE AE AC -=.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件. （五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析（1）由点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt △ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响. 由勾股定理得∴EF ＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560=小时.（3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68 3、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A ）2厘米（B ）4厘米（C ）6厘米（D ）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（）（A ）S 1+S 2>S 3 （B ）S 1+S 2<S 3 （C ）S 1+S 2=S 3 （D ）S 12+S 22=S 32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm 和12cm ，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm ．3、如图，CD 是Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3．已知BC ＝3cm ，则AB ＝ cm ．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为m （结果保留根号）第6题图第5题图8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝＋．化简后即为c2＝．9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为． 10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ，，）．三、解答题1分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示： a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：abc根据以上规律，回答以下问题：商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到，若把它扩大倍，就得到． ⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=；若勾股数为5，12，13，则有131252+=；若勾股数为7，24，25，则有；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ，，则有=2m ，用m 来表示n ＝；当17=m 时，则n ＝，此时勾股数为． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAEaD 'B 'DC ' ABC b c 第4题图ABCDEFGH6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．一、选择题如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（） A 、13B 、85C 、8D 、都不对在Rt △ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或11等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（） A 、56B 、48C 、40D 、32 若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:7一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:2斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为︒30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（） A 、AC2+DC2=AD2B 、AD2－DE2＝AE2C 、AD2=DE2+AC2D 、BD2－BE2＝41BC21……S1A 2S 2A 3S 3S 4S 5A 6A 5A 4A 1O 1111110.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（）A 、6，4B 、6221，4C 、6221，421D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边（1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC 的面积是4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m ，高b=4m ，底d=10m ，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 2m5、如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，4,3,90==︒=∠BC AC ACB 则图中阴影部分的面积是6、在Rt △ABC 中，3:5:,90=︒=∠AC AB C 且BC=136则AC=7、直角三角形的一直角边为8cm ，斜边为10cm ，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为 △ABC 中， ︒=∠︒=∠30,90a C 则a:b:c=三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a ，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm 和80cm ，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x 长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12,3,4,90,90===︒=∠︒=∠BCABADCBDBAD求正方形DCEF的面积3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DEBC,15,90︒=∠︒=∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80,90=︒=∠ACACB米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析由斜边长是2，周长是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB 为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．练习21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-5例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD 就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-122．如图2-13，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从A 出发，沿长方形表面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？2-14勾股定理及应用答案: 练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：（1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB ×BC ，AB=2，∴BC=AD=2S．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：=12（2）以A 、D 为对称点（如图）∴BF=12BC=4S．由∠B=90°，据勾股定理得：AF===． 3．D练习21．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B练习31．B 2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=a2+（2a ）2=54a2．同理：在Rt △ECF 中，EF2=（2a ）2+（4a ）2=516a2，在Rt △ABE 中，BE=34a ，则AE2=a2+916a2=2516a2． ∵54a2+516a2=2516a2，∴AF2+EF2=AE2． ∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5．则△ACD ≌△AED ．又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x2+82=（12-x ）2．解之得x=103． ∴AD2=52+（103）2． ∴AD=3．3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ．即∠ACP=∠BCE ．∴△PCA ≌△ECB （SAS ）． ∴BE=AP=3．在Rt △PCE 中， PE2=PC2+CE2=8．又∵BP2=1，BE2=9， ∴BE2=BP2+PE2．∴△PBE 是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt △PCE 中，PC=CE ， ∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．练习5 1．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2， ∴AC2+BD2=AM2-MD2．又∵AD2=AM2-DM2， ∴AD2=AC2+BD2．2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）． 3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离．∴（cm ）．勾股定理的逆定理1班级姓名号次一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且abc b a 2)(22+=+，则（）A.A ∠为直角B.B ∠为直角C.C ∠为直角D.不能确定 2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )3.下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,内错角相等 B.若ba =,则b a =C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（）D51213 C467 B7 58 A73 5A. 4，5，6B. 6，8，10C. 8，15，17D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。

10种勾股定理的证明方法

10种勾股定理的证明方法1什么是勾股定理勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。

也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。

2勾股定理的表示形式勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。

3关于勾股定理的10种证明方法1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。

2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。

3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。

4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>c²。

5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。

6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。

7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。

8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。

9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。

10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。

4结论勾股定理是一个经典的定理，已被证明是绝对正确的，而证明它的方法也分多种。

从上面这10种证明方法中，我们可以看出，勾股定理可以通过计算、构造、投影和其它几何变换理论来证明。

高中几何知识解析勾股定理的证明与应用

高中几何知识解析勾股定理的证明与应用一、勾股定理的证明勾股定理是数学中最基础的几何定理之一，也是高中数学必学的重要内容。

下面我们将介绍几种常见的证明方法。

1. 几何法证明:勾股定理最常见的证明方法之一是几何法证明。

具体的证明过程可以用一个平面直角三角形来说明。

假设在直角三角形ABC中，角C为直角，边AC与边BC分别记为a和b，边AB记为c。

我们可以通过将边BC沿AC边作为底边展开，构造一个以直角三角形ABC为底面的正方形ABDE以及一个以边AC为直径的半圆。

首先，我们可以发现正方形ABDE的边长等于c，而半圆的直径为AB，即也等于c。

由于正方形的面积等于边长的平方，所以正方形ABDE的面积为c²，而半圆的面积为πc²/4（其中π为圆周率）。

接下来，我们可以将正方形ABDE切割成4个直角三角形，它们与直角三角形ABC面积相等。

将这些三角形沿AC边折叠，可以将它们放置在以边AC和边BC为直径的半圆内。

由于直角三角形ABC的面积等于这些折叠后的三角形的面积之和，即等于半圆的面积减去正方形的面积。

代入式子，我们可以得到：a*b/2 = πc²/4 - c²，化简后可以得到勾股定理的成立：a² + b² = c²。

2. 代数法证明:除了几何法证明外，我们还可以通过代数法来证明勾股定理。

我们可以用平面直角坐标系表示直角三角形ABC，假设顶点A位于原点，点B的坐标为(c, 0)，点C的坐标为(0, b)。

根据直角三角形的定义，我们可以得到点C与点B的连线为直角边AC，点A与点C的连线为直角边BC。

根据坐标公式，直角边AC和BC的长度分别为a和b。

根据两点间距离公式，我们可以得到：a = √((0 - c)² + (b - 0)²) = √(c² + b²)，二次方根表示距离的长度，代入式子，我们可以得到勾股定理的成立：a² + b² = c²。

勾股定理四大核心知识讲义(解析版)

专题02 勾股定理四大核心知识讲义【勾股定理证明】赵爽弦图ab c()22142c ab b a =⨯+-，化简得：222a b c +=.欧几里得证明方法证明：S 1+S 2=S 3；△ABF ≌△ADE →S △ABF =S △ADE →2 S △ADE =S 长方形AENM =S 正方形ABCD =2 S △ABF 同理，S MNPF =S 1 故S 1+S 2=S 3 方法3ABD C BD D BDDAC D S S S S '''''=++△△△梯形，即：()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 方法422211112222c ab ab a b ab ab ++=+++，化简得：222a b c +=.总统证明法A BD C A'D'C'a bca bcca bac bac bac bb ac()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 达芬奇证明法a 2+b 2+2×12ab =c 2+ ab ，a 2+b 2=c 2【勾股定理应用】【勾股数】1. 毕达哥拉斯学派提出2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）是一组勾股数.2. 我国《九章算术》中提到：()2212a m n =-，()221,(2b mn c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数； 3. a 2－b 2，2ab ，a 2+b 2（a 、b 为正整数，且a >b ）4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……5. 直角三角形三边长为a 、b 、c ，斜边c 上的高为h ，则：以111,,a b h为边的三角形是直角三角形.6. 若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】【几个经典图形】结论：S 阴影=S △结论：23c a b a ===、、结论： c a ==、 ∠A =∠B =30°结论：2c a S ==△、、结论：2h S =△、【勾股定理逆定理证明】命题：由题设和结论组成.将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）【典例解析】【题型一】勾股定理及其应用赵爽弦图【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④【答案】B .【解析】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形， ∴x 2+y 2=49，故①正确；由图可知x -y =CE =2，故②正确；四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，即：2xy +4=49，故③正确； 2xy =45， ∵x 2+y 2=49，∴（x +y ）2=45+49=94，故④错误；故答案为：B ．【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．12D．12【答案】D.【解析】解：如图，CB=BD，∵AC=2，CD=2BC=6由勾股定理得：AD==AD+BD=3，+=．∴风车的外围周长是：4×()312故答案为：D．【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形ABCD，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50.【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，即S EFGH=（a+b）2．①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时S EFGH=36．②当a =b ，此时S EFGH =52．③当a =b =S EFGH =50 故答案为：36或50．【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为a ，()b a b >，且3ab =，大正方形的面积为8，则a b -=____．【解析】解：小正方形的边长为a -b ，ab =3，（a -b ）2=8－2ab =2，∴a -b ；【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．【答案】见解析.【解析】证明：如图2，连接BD 、CD ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF =CE =b -a ． ∵△ABC ≌△DAE ∴∠ABC =∠DAE ，∵△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°， ∴∠ABC +∠BAC =90°， ∴∠DAB =∠DAE +∠BAC =90°．∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =212c +1()2a b a -． S 四边形ADCB =S △ADC +S △ACB =21122b ab +，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴a 2+b 2=c 2．勾股定理与面积【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E 的面积是___．【答案】66.【解析】解： A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2， S 1=42+52，S 2=32+42，则S 3=S 1+S 2，S 3=16+25+9+16=66．故答案为：66．【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<【答案】C .【解析】解：设图1最大正方形的面积为S 5,较小正方形面积为S 6，最小正方形面积为S 7，则S 5= S 6+ S 7，图2中空白部分面积为：S 6+ S 7-S 4, 而S 1+S 2+S 3+S 空白=S 5= S 6+ S 7，即S 1+S 2+S 3+ S 6+ S 7-S 4 = S 6+ S 7 S 1+S 2+S 3= S 4 故答案为：C .【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．【答案】2n＋2.【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S n=2n+2，故答案为：2n+2．【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C.【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．故答案为：C．【变式2】（2020·浙江期末）在ABC中，已知::5:12:13AC BC AB=，AD是ABC 的角平分线，DE AB⊥于点E．若ABC的面积为S，则ACD△的面积为（）A．14S B．518S C．625S D．725S【答案】B.【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，S△BED：S△AED=8:5∴S△ACD=518S．故答案为：B.勾股定理及勾股数应用【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】沿北偏西40°方向航行．【解析】解：PQ =16×1.5=24（海里）， PR =12×1.5=18（海里），∵QR =30，242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR =90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS =50°．则∠RPS =∠QPR －∠QPS =90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【解析】解：当n =1，a =12（m 2﹣1），b =m ，c =12（m 2+1）， ∵直角三角形有一边长为5，∴当a =5时，12（m 2﹣1）=5，解得：m，当b =5时，即m =5，得，a =12，c =13，当c =5时，12（m 2+1）=5，解得：m =±3， ∵m ＞0，∴m =3，得，a =4，b =3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【例3】（2021·河南洛阳市期末）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 【答案】B . 【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =13∵三个内角的平分线交于点P∴P 到三角形ABC 三边的距离相等，均为PH 的长S △ABC =S △APC +S △APB +S △BCP =12（AC +BC +AB ）·PH S △ABC =12·BC ·AC ∴12×5×12=12×（5+12+13）·PH ∴PH =2故答案为：B ．【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定【答案】C .【解析】解：由题意知∠ADB =∠ADC =90°∴由勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，∴AC 2－AB 2=CD 2-BD 2，即172-132= CD 2-BD 2同理，CM 2－MB 2=CD 2－BD 2=172-132=120故答案为：C .【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【答案】15，17．【解析】解：当x =8 时，()221382m -=，解得m =5或m =-5（舍），∴y =mn =15，z =17.当y =8时，3m =8，m =83（舍）当z =8时，()221382m +=，解得m =（舍）综上所述，当n =3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．特殊三角形中的应用【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（）A ．210cmB ．225cm 2C 2D ．225cm【答案】B .【解析】解：如图，BC =20，CD =BD =EM ，∴EG =GM ，∴EF =FG =5，∴S =12EF 2=252，故答案为：B .【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【答案】A . 【解析】解：由题意可得：OA =AB =AB 1=1，OB 1=2，∵△OA 1B 1为等腰直角三角形，∴OA 1=A 1B 1，∴OB 2=2OA 1=OA 2=A 2B 2=2，……∴OA n=n， ∵S △OAB =12，S △OA 1B 1=1，S △OA 2B 2=2，…… ∴S △OAnBn =12n -，∴S △OA 2021B 2021=20202，故答案为：A ．【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC 与△BED 全等，点A ，C 分别与点B ，D 对应，点C 在BD 上，AC 与BE 交于点F ．若∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，则AF ：BD 的值为_____．【答案】3：4．【解析】解：根据题意知，△ABC ≌△BED ，则∠ACB ＝∠D ＝60°，∠ABC ＝∠BED ＝90°，AC ＝BD ，∴AC //ED ．∴∠AFB ＝∠E ＝90°∴∠DBE =∠A =30°设AF =x ，BF =a ，在Rt △ABF 中，AB =2BF =2a ，由勾股定理得：（2a ）2=a 2+x 2，即a=3x ，BF=3x ，AB=3x 同理，在Rt △ABC 中，CF =13x ，AC =AF +CF =43x ， ∴3443AF x AC x == 故答案为：3：4．【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，12OA =，130AOx ∠=︒，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，并使1260AOA ∠=︒，再以12A A 为直角边作123Rt A A A △，并使21360A A A ∠=︒，再以23A A 为直角边作234Rt A A A △，并使32460A A A ∠=︒，…，按此规律进行下去，则2020A 的坐标是_______．【答案】(0，1－31010).【解析】解：∵∠A 1Ox =30°，∠A 1OA 2=60°，∴∠A 2Ox =90°，A 2在y 轴上，在Rt △A 1A 2O 中，OA 1=2，∴OA 2=2OA 1=4，A 1A 2∴A 2的纵坐标为：4，∴A 2（0，4），同理，A 3(-1)，A 4（0，-8），A 1在第一象限，A 2在y 轴正半轴上，A 3在第二象限，A 2在y 轴负半轴上，由此发现：点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，每四次一循环，2020÷4=505，∴点A 2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：20201010131⎡⎤--=-+⎢⎥⎣⎦，故答案为：(0，1－31010).影响时间【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．【答案】0.48．【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝12OA＝80m，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝150200250⨯＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】超速，每小时超速3.2千米．【解析】解：根据题意，得AC =18，AB =30，∠C =90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理可得：BC =24即小汽车2秒行驶24米，即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，在A 处有一所中学，120AP =米，此时有一辆消防车在公路MN 上沿PN 方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：过A 作AB ⊥MN 于B ，∵PA =120，∠QPN =30°∴AB =12PA =60 而60<100，故消防车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A 为圆心，100m 为半径作圆交MN 于C 、D ，在Rt △ABC 中，AC =100，AB =60，由勾股定理得：BC =80同理，BD =80∴CD =160，拖拉机在线段CD 上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】超速.【解析】解：根据题意，得AC =30m ，AB =50m ，∠C =90°，在Rt △ACB 中，BC =40m∴小汽车的速度为40÷2=20 m /s =72 km /h >70 km /h ；A C BAB∴这辆小汽车超速．最值问题【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．【答案】4.【解析】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB =AC =5，∴BP =12BC =3，在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP =4由垂线段最短知，AP 的最小值为4故答案为：4．【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．【答案】12013. 【解析】解：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，在Rt △ABD 中，AD ＝12，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AB ×CN ， ∴CN ＝BC ×AD ÷AB ＝12013， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM ≥CN ，即CF ＋EF ≥12013，即CF ＋EF 的最小值是12013，故答案为：12013．【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【答案】C .【解析】解：取AB的中点D，连接CD∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴CD=8，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故答案为：C．新定义问题【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=10c=，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC 是奇异三角形．【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，b=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，b ，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是ABC内部的一点，若经过点P和ABC中的一个顶点的直线把ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）（2）如图，在ABC 中，9,010BAC BC ︒∠==，点P 是ABC 关于顶点A 的均分点，直线AP 与BC 交于点D ，当BP AD ⊥时，4BP =，求CP 的长．【答案】（1）④；（2）【解析】解：（1）①D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点． ②D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点．③不能推出AE =EC ，即不能说明△ABE 和△BCE 面积相等，故不能证明D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．④由AE =EC ，可知△ABE 和△BCE 面积相等，所以D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．故答案为：④．（2）过点C 点作CE ⊥AP 于E ，∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，易证：△BPD≌△CDE，∴PD=DE=3，PB=CE=4，∴PE=2PD=6在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若AD=，试求线段CD的长度．BD=1（2）深入探究>，CD是AB边上试如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA CB探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．【解析】解：（1）是；②由题意知，CD⊥AB，BD AD=1，由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，∴CD2=BC2－AC2，∴CD2=4，解得：CD=2（-2舍去）；（2）AD=CB，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，∴CD2=AC2-BC2，∵CD⊥AB∴AC2-CD2=AD2∴BC2=AD2∴BC=AD【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P 是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC 的直角边上，试求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）AP的长为32或2或78.【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠P AB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠P AB＝∠DPC，∴△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC=4，当P点在AB上，P A＝PB，则AP12=AB32=；当P点在AC上，P A＝PC，则AP12=AC＝2，当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=，即此时AP 78=，综上所述，AP 的长为32或2或78．【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）20，（2）①见解析；②53；（3）52或74．【解析】解：（1）∠B 不可能是α或β，当∠A =α时，∠C =β=50°，此时，α+2β=90°，不成立当∠A =β，∠C =α=50°时，β=20°（2）①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠BCD又∠BAC=90°∴∠ACB+∠B=90°即2∠BCD+∠B=90°∴△BCD是“近直角三角形”．②过点D作DH⊥BC于H在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5 可得：△ACD≌△HCD∴DH=AD，AC=CH=4，∴BH=1设BD=x，则DH=3-x，在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，解得：x=53，即BD=5 3 .（3）①过点E作EF⊥BC于F，设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x由AB=BF=3得：CF=2，在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，解得：x=5 2②当∠ABE =∠C 时，延长EA 至G ，使得AE =AG ，根据条件可得：△ABG ≌△ABE ，∴∠GBA =∠C =∠EBA由∠GBA +∠G =90°，知∠C +∠G =90°，故∠GBC =90°设CE =x ，则AE =AG =4-x ，∴（4-x ）2+32=（8-x ）2-52，解得：x =74综上所述，满足题的CE 值为52或74．【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（12，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）是；（2）1：1；（3252. 【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵22223+=⨯，满足是平方倍三角形的定义，2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt ∆ABC 中，则a 2+b 2=c 2，∵Rt ∆ABC 是平方倍三角形，∴c 2+b 2=3a 2，∴a 2+b 2=3a 2－b 2∴a =b ，c a故该直角三角形的三边之比为1：1；（3）∵Rt △ABC 中，CD 为△ABC 的中线，∴CD =12AB =AD =BD ，设CD =12AB =AD =BD =x ，则AB =2x ， ∵AB ＞BC ，∴2x ＞5，即：x ＞52， ∵△BCD 是平方倍三角形，①当BD 2+CD 2=3BC 2，即x 2+x 2=3×52，解得：x （舍负），∴AB =2x =AC =∴△ABC 的面积=152⨯= ②当BC 2+BD 2=3DC 2，则52+x 2=3x 2，解得：x =2（舍负），∴AB =2x =AC =5，∴△ABC的面积=2555122⨯⨯=，综上所述，△ABC 25 2．【题型二】勾股定理逆定理及其应用判断三角形形状【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C.【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为（）A．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A.【解析】解：如图，连接AC，由题意可得：22221310,125=AB AC BC=+==+=∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故答案为：A．【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC．设AB=x，若ABC为直角三角形，则x=__．【答案】43或53.【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x ∴1+x＞3-x，1+3-x>x解得：1<x<2.①∵1＜x，∴AC不能为斜边，②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1＜x＜2，故答案为：43或53．【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．（1）求∠C的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）135°；（2）10．【解析】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，∴AD2+CD2=AC2∵CD＝AD＝∴AC=4∵AB＝5．BC＝3∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵CD＝AD∴∠ACD=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°. （2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1122AC BC AD CD ⨯+⨯=114322⨯⨯+⨯=10.【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）150；（2）66.【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12 ∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∠BDC=90°在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16∴AB=AD+BD=25∴S△ABC=112512150 22AB CD⋅=⨯⨯=.（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°设AD=x，则BD=x+11由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，解得：x=5∴CD2=144，即CD=12，∴S△ABC=11111222AB CD⋅=⨯⨯=66.三角形存在性问题【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．图1 图2（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．【答案】（1）①见解析；②78；（2）2.5.【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B②由勾股定理，得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，∴x=7 8 .（2）AC为底时，AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD =BD =2.5．【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB cm =，16AC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度向点C 运动，连接PB ，设运动时间为t 秒（0t >）（1）求BC 的长．（2）当PA PB =时，求t 的值．【答案】（1）12；（2）252. 【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC 2+AC 2=AB 2，BC ；（2）由题意知P A =PB =t ，PC =16-t ，在Rt △PCB 中，（16-t ）2=t 2-122，解得：t =252， ∴当点P 运动到P A =PB 时，t 的值为252．【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）4，21；（2）92或252；（3）254或152或9．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=12AB•BC，∴BD=12，CD=，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=25 2，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t=15，解得：t=152（秒）；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，∴2t=18，t=9（秒）；综上所述，当t=254或152或9秒时，△CBD是等腰三角形．41。

2022年七年级数学勾股定理定义与例子解析

2022年七年级数学勾股定理定义与例子解析
定义：
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

例子：
以上图的直角三角形为例，a的边长为3，b的边长为4，则我们可以利用勾股定理计算出c的边长。

由勾股定理得，a + b = c → 3 +4 = c
即，9 + 16 = 25 = c?
c = √25 = 5
所以我们可以利用勾股定理计算出c的边长为5。

勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:
如果a? + b? = c? ，则△ABC是直角三角形。

如果a? + b? > c? ，则△ABC是锐角三角形(若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角)。

如果a? + b? < c? ，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理：
勾股定理(Pythagorean theorem)又称商高定理、毕达哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。

勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。

反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。

勾股定理的实际问题解析

勾股定理的实际问题解析勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理，它是数学中的基础定理之一。

勾股定理的解析就是指该定理在实际生活中的应用和解决实际问题的方法。

本文将通过几个实际问题来解析勾股定理的实际应用。

问题一：建筑施工中的角度计算在建筑施工中，经常会遇到需要计算角度的问题，有时角度无法直接测量，而是需要通过其他已知的长度来计算。

这时，可以运用勾股定理来解决。

假设建筑施工中需要测量一段道路的宽度，但由于施工区域有限无法直接测量。

我们可以先测量出施工区域边界两个点之间的直线距离，然后测量出两个点到施工区域中心点的距离。

利用勾股定理，我们可以计算出这段道路的宽度。

问题二：三角地形测量地学中经常需要测量地面的高度差以及角度变化等信息。

这种情况下，我们可以用勾股定理来解决问题。

例如，某地区的山峰高度和两个地点的水平距离已知，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度，即山峰到两个地点的距离。

然后，通过比较同一水平线上的山峰高度和斜边长度，就可以得到地面的高度差。

问题三：航空航天中的飞行路径规划在航空航天领域中，飞行路径规划是一个重要的问题。

勾股定理可以帮助航空航天工程师确定飞机、航天器等的轨迹和距离。

例如，当我们知道一个航空器的当前位置和目标位置，以及它的方向角度，勾股定理可以用来计算航空器需要飞行多长的距离才能到达目标位置。

这对于航空航天领域中的飞行路径规划来说是非常重要的。

问题四：电子产品中的尺寸测量在电子产品制造中，我们经常需要测量各种元件的尺寸。

而勾股定理可以用来确定各个元件之间的距离。

举个例子，我们要测量一个电路板上两个元件之间的距离，但这个距离无法直接测量。

可以通过勾股定理，先测量出两个元件的水平距离和垂直距离，然后应用勾股定理计算两个元件之间的实际距离。

总结：以上只是勾股定理在一些实际问题中的应用示例，我们可以看到，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。

无论是在建筑施工、地学测量、航空航天还是电子产品制造领域，勾股定理都是解决问题的强大工具。

勾股定理的实际问题解析与求解

勾股定理的实际问题解析与求解勾股定理是初中数学中的重要定理之一，可以帮助我们解决许多实际问题。

本文将针对勾股定理的应用进行分析与讨论，并给出相应的问题求解方法。

一、平面几何中的应用在平面几何中，勾股定理可以帮助我们解决直角三角形相关的问题。

例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，我们可以利用勾股定理求解出斜边的长度c。

根据勾股定理的表达式c²=a²+b²，可以直接计算出斜边的值。

实例一：一座房屋的窗户宽度为3米，高度为4米，求窗户对角线的长度。

解析：将窗户的宽和高分别代入勾股定理的表达式中，得到对角线的平方等于3²+4²=9+16=25。

因此，窗户对角线的长度为5米。

实例二：一块田地的两条直角边长分别为5米和12米，求田地的对角线长度。

解析：代入勾股定理的表达式中，得到对角线的平方等于5²+12²=25+144=169。

因此，田地的对角线长度为13米。

二、三维空间中的应用除了平面几何，勾股定理在三维空间中也有广泛的应用。

例如，在建筑工程中，我们常常需要计算物体的斜高、斜边长度等。

勾股定理可以帮助我们求解这些问题。

实例三：一个立方体的边长为a，求对角线的长度。

解析：立方体的对角线可以看作是空间对角线，由三条边所组成。

根据勾股定理的公式c²=a²+b²+c²，代入a=a，b=a和c=a得到c²=a²+a²+a²=3a²。

因此，对角线的长度为√(3a²)。

实例四：一个棱柱的底面是一个边长为a的正方形，侧边长度为b，求棱柱的斜高。

解析：将底面和侧边构成的三角形看作是平面上的直角三角形，可以利用勾股定理来求解。

根据勾股定理的表达式c²=a²+b²，代入a=a和b=b得到c²=a²+a²=2a²。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结一、引言勾股定理是数学中的基本定理之一，也是初等几何中最重要的定理之一。

它描述了直角三角形中三条边之间的关系，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在本篇文章中，我们将深入探讨勾股定理的概念、证明方法、应用领域以及相关基本定理。

二、概念解析2.1 勾股定理的表述方式勾股定理有多种等价的表述方式，最常见的表述方式是：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

2.2 勾股定理的几何解释勾股定理可以通过几何方式进行解释，即在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。

可以用图形来表示如下：/|/ |/ |/___|在这个图形中，斜边对应的边为c，两直角边分别对应为a和b，根据勾股定理可得c² = a² + b²。

三、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中比较常用的方法有几何证明、代数证明和三角函数证明。

3.1 几何证明几何证明是最直观的证明方法，其中比较著名的有毕达哥拉斯的几何证明和欧几里得的几何证明。

这些证明方法利用了几何图形的性质，从而推导出勾股定理的等式关系。

3.2 代数证明代数证明是使用代数运算的方法，通过对三角形的边长平方进行代数计算，推导出勾股定理的等式关系。

代数证明通常需要应用到二次方程、因式分解等数学知识。

3.3 三角函数证明三角函数证明是将三角函数的性质与勾股定理联系起来，通过三角函数的定义和性质，推导出勾股定理的等式关系。

这种证明方法在高等数学中比较常见，对于熟悉三角函数的人来说较为容易理解。

四、勾股定理的应用领域勾股定理作为数学中的基本定理，被广泛应用于各个领域。

以下是几个常见的应用领域：4.1 地球测量学在地球测量学中，勾股定理被用来计算距离和角度。

通过测量两点之间的直角三角形边长，可以计算出两点之间的距离。

同时，勾股定理也被用来计算两条线之间的夹角，从而实现地球测量学相关应用。

4.2 建筑工程在建筑工程中，勾股定理被用来测量和校正建筑物的正方形和直角。

勾股定理

第四讲勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。

勾股定理的解析与应用

勾股定理的解析与应用勾股定理是一个描述直角三角形边长关系的数学定理，也被称为毕达哥拉斯定理。

它的形式表达为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边长度平方的和。

具体地，设一个直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，但其实在中国古代就已经有人发现这一定理了。

中国古代《周髀算经》中就记载了勾股定理的内容。

但是毕达哥拉斯定理之所以得到如此广泛的应用和传承，可能是因为毕达哥拉斯学派将勾股定理作为其理论体系的核心内容之一，对它进行了系统的研究和推广。

勾股定理不仅在数学理论中有重要应用，还被广泛应用于实际生活和科学技术中。

以下列举几个应用：一、测量三角形的边长勾股定理可以用来测量三角形的边长。

如果已知一个直角三角形的两条直角边的长度，可以用勾股定理求出斜边的长度。

反之，如果已知一个直角三角形的斜边长度和一条直角边的长度，也可以用勾股定理求出另一条直角边的长度。

二、判断三角形是否为直角三角形勾股定理也可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边长度满足勾股定理，即其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是一个直角三角形。

三、计算圆的直径、半径、周长和面积勾股定理可以用来计算圆的直径、半径、周长和面积。

具体地，如果已知圆的直径，可以用勾股定理求出圆的半径；如果已知圆的半径，可以用勾股定理求出圆的直径。

同时，根据勾股定理可以得到圆的周长和面积的公式：圆的周长 = 2πr圆的面积 = πr^2其中，r为圆的半径，π约等于3.14。

四、测量直角三角形的斜边勾股定理最基本的应用是用来计算直角三角形的斜边长度。

当已知两条直角边的长度时，可以使用勾股定理求出斜边的长度。

例如，若一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，那么斜边的长度就是5。

五、计算角度勾股定理也可以用来计算直角三角形中的角度。

勾股定理解析

《勾股定理解析》
同学们，今天咱们来好好聊聊勾股定理。

啥是勾股定理呢？简单说，就是在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

听起来有点抽象，对吧？咱们来举个例子。

比如说，有一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和4，那斜边是多少呢？根据勾股定理，3 的平方是9，4 的平方是16，9 加上16 等于25，25 开平方就是5，所以斜边就是5。

再比如，盖房子的时候，工人师傅要确定一个墙角是不是直角。

他们就会量一下两条边的长度，然后算一下是不是符合勾股定理。

如果符合，那这个墙角就是直角，房子盖起来才结实。

勾股定理在生活里用处可大啦！有一次，小明想知道他家院子里的一棵大树有多高。

他发现树旁边有一个直角的墙角，就量了一下从墙角到树底部的距离，还有墙角到树顶的视线距离。

然后用勾股定理一算，就知道树的高度啦！
还有啊，咱们做数学题的时候，经常会用到勾股定理。

比如求三角形的边长，或者判断一个三角形是不是直角三角形。

同学们想想，如果没有勾股定理，那得多麻烦呀！
其实，勾股定理的发现还有个有趣的故事呢。

据说在很久以前，有个叫毕达哥拉斯的人，他在朋友家的地板上发现了一个有趣的现象。

地板是由一块块正方形的瓷砖组成的，他发现一个直角三角形的三条边对应的正方形瓷砖的面积，正好符合勾股定理。

勾股定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多数学问题，还能让我们更好地理解这个世界。

同学们，只要咱们多练习，多运用，就能把勾股定理掌握得牢牢的！。

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边为c，那么 a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方a c
和等于斜边的平方。
b
在中国古代，人们把弯曲成
直角的手臂的上半部分称为"勾"，
勾
下者在半把部直西分角方称三又为角形"称股较毕"短。达的我直国角古边代称学为哥“勾拉”斯，定较长理的耶直！角边称为
勾a
股 “股”，斜边称为“弦”.
c弦
b 股
A a
Bb c
C
SA+SB=SC
如果设直角三角形
的两条直角边为a,b, 斜边为c，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a
bc
SA+SB=SC
a2+b2=c2
毕达哥拉斯的方法：
A、B、C面积之间发现、猜想直角三角形三边
的数量关系
的数量关系．
一、数学史上的勾股定理——毕达哥拉斯的发现．
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，你也能发现A、
AB
B、C面积之间有什么数
量关系吗？ SA+SB=SC
C
即：等腰直角三角形三边之间存在一种关系：
1977年，美国向外太空发射了“旅行者1号”的探测器，主要携带了一张铜质磁盘唱片，内容包括用55种人类语言录制的问候语和各类音乐，旨在向“外星人”表达人类的问候，唱片上还刻录了直角三角形中的勾股定理。
勾股定理是宇宙智慧生物通用的语言。
为了与外星人取得联系，我国数学家华罗庚曾提出，若要沟通两个不同星球之间的信息交流，最好在太空飞船中带去这样的图形。
命题1 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
证法一：
赵爽
东汉至三国时代吴国人
为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》
赵爽证法
朱实
朱实黄实朱实朱实
a b
bC
a
a
它们的面积:a和 2 b2 =c2
证法二：
现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！
c b
A的面积 B的面积 C的面积
图乙 9
16 25
A
图乙
B C
SA+SB=SC 用了“补”的方法
2.观察图乙，小方格的边长为1. ⑴⑵正正方方形形AA、、BB、、CC的的面积有什么关系？
P
Q CR
用了“割”的方法如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形R的面积吗？
在直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积
两直角边的平方和等于斜边的平方。
毕达哥拉斯的发现
结论一：等腰直角三角形三边上正方形面积关系
ba c
SA+SB=SC
结论二：等腰直角三角形三边关系：
两直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2
以上两个结论对一般的直角三角形成立吗？
二、超越毕达哥拉斯
一般的直角三角形三边为边作正方形
即：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积
bS大正方形=4S1 直角三角形+ S小正方形 ca 2
=4· ab+c2
a
c
c b =c2+2ab
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
b
a ∴a2 +b2 =c2
证法四——总统证法
美国第20任总统
❖ 伽菲尔德（James A.
Garfield； 1831 1881）
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。
（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地
把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把
这个定理叫作 “商高定理”。
毕达哥拉斯定理：
“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．
毕达哥拉斯
相传这个定理是公元前500多年（两千五百多年前）时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．
∠ CBD=90°,AD=2,AB=1,BC=4,求正方形DCEF
的面积.
3 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。
┏
a bc
c a
b
伽菲尔德证法:
1 S梯形 2(ab)(ab)
111 S ab ab c2
2 梯形 2 2
∴ a2 + b2 = c2
命题
定理：经过证明被认为是
勾股定理正（确g的ou命-g题u叫法做则定)理.
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理
性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．
三、定理应用
1. 如图1.1-1,求图中字母M所代表的正方形F的面积.
D
75
A
45
E
B
M
图1.1-1
C
图1.1-2
2. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°,
人教版八年级（下）第十七章
一
❖ 2010年9月，美国权威天文学家麦克•迈尔宣布，在我们的银河系存在着类似于我们的太阳的星体数量众多，在其周围旋转的行星，非常相似于我们的地球。我们的银河系总共有1000亿颗星星，按照迈尔的研究，其中有100—300亿颗是类似地球的行星。
并称2025年有望在银河系类地行星发现外星人。
商高定理就是勾股定理哦！
商高定理：
商高是公元前
十一世纪(约三千多年前)
的中国人。当时
中国的朝代是西周,是奴隶社
会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周
髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…
故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思
就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4
a
弦图
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即：c2=4•
1 2
ab+(b-a)2
C2=2ab+a2-2ab+b2
a2 + b2 =c2
证法三：.a、b、c 之间的系a2 +b2 =c2
用
拼
图法
a
证明b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab