数列的极限课件

(3) 数列


3
3 2

n

的极限为
3
.
(4)
数列

2n
3
n

没有极限.
A. (1) (2) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (3)
D. (1) (2) (3) (4)
3.
lim
n
an

A
,
lim
1 a 1
不存在 a
1 或 a 1
0
(s t)
(2)
lim
n
a0nt b0 n s

a1n t 1 b1n s1

at1n bs1n

at bs


a0 b0
(s t)
不存在 (s t)
例1. 求下列极限:
n
a2

a4

a6

a2n

则 A , B , C , D 的大小关系为
思考题 :
已知数列an , bn 都是由正数组成的等比数列 ,
公比分别为 p , q . 其中 p q 且 p 1 , q 1 ,
设 cn an bn , Sn 为数列cn 的前 n 项的和.
数列的极限
1
.
已知
lim
n
an

A
, 则在区间(A

,
A
)
外(
为任意
小的正的常数 ) , 数列 an 的项数为
.
( 填 " 有限项" 或 " 无穷项 " )
2 . 下列命题正确的是 (
)
(1) 数列
1n 3
没有极限. (2) 数列
1n

2
n

的极限为0 .

a1a2
an
1 n
,
Sn
b1 b2
bn .
求
lim
n
Sn
.
评析：求一个数列前n项和的极限主要是确定和
的表达式.本题解题关键是先确定 bn
为等比数列，然后求和Sn的表达式， 再求极限.
归纳小结，提高认识： ⑴ 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.
⑵ 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意
(1)
N与有关 .
(2)
lim
n
an

A 的几何意义是
当n N时 , an对应的点全部落在区间( A , A )之内.
2
.
数列极限的运算法则:
如果
lim
n
an

A,
lim
n
bn

B.则
(1)
lim
n
an

bn


A

B
(2)
lim
n
a n bn


AB
(3)
lim an n bn
A B
(bn 0 , B 0 )
3 . 几个常用的极限 :
(1) lim C C (2) lim C 0 (3) lim qn 0 . ( q 1 )
n
n n
n
0 a 1
4 . 两种类型极限: (1)
lim
n
an
(1)
lim n
9 n2

18 n2



9n n2

(2)
lnim1

1 22
1

1 32
1

1 42
1

1 n2

(3)
lim
n
4n
2n n n 3n
1 32n 1
3n1
(4)
lim
n
cosn cosn


s in n s in n

0,
2
评析：1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四 则运算，(1)小题数列个数是无限的，不适用 于四则运算法则，因此应先求和后求极限.
2)对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先求 和(或积)后求极限.
an an
bn bn

6 . 已知 an 是以 a (a 0) 为首项以 q (1 q 0) 为
公比的等比数列, 设
A

lim
n
a1

a2

a3



an

B

lim
n
a1

a2

a3


a2n

C

lim
n
a1

a3

a5

a2n1
D

lim
3)分式的极限通常是分子分母同除以趋向
较快的项. 4)求解含参数式子的极限时，应注意对参数进
行分类讨论.
例2. 已知
nlim
n2 n
1 1

an

b


0
，求实数
a , b的值.
例3.
数列 an 是首项为1
,
公比为 Sin
(0
) 2
的等比数列, 又 bn
2
2
2
2
5.
lim
n
2n2 n 1 的值为 3n2 1
(
)
A. 1 2
B. 2 3
C. 1 2
D. 2 3
1 . 数列 an 的极限定义:
任给 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时 , an A 恒成立 .
记作
lim
n
百度文库an

A.
注意 :
n
n n
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.
1 .已知等比数列an 的公比为q 1 ,
则 lim a1 a2 an 等于 (
)
n a6 a7 an
A. q5
B. q5
C. q
2.
lim n
4 n2
7 n2



3n n2
1
法则适应的前提条件.（参与运算的数列都
有极限，运算法则适应有限个数列情形）
⑶ 求数列极限最后往往转化为
1 nm
m

N

或
qn q 1 型的极限.
⑷求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以 nm 或 an .
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）
再求极限.
③利用已知数列极限
（如 lim qn 0 q 1, lim 1 0 等）.

的值为
(
A. 5 6
B. 3 4
C. 1 2
3.
lim
1

1 2

1 4



1 2n
的值为
n
1

1 3

1 9



1 3n
D. 1 ) D. 3
2
4.
lim
n
n1

1 3
1

1 4
1

n
1
2


5.
若a 0,b0
,
则 lim n
n
bn

B
是
lim
n
an
bn
A B的(
)
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4.
lim 2 n


r
r
1
n


2
,
则
r
的取值范围是
(
)
A. 1 r 1 B. r 1 C. r 1 D. r 1