数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第四章

S (1)

v
1.05g
;
v3

S (1
0.01) 0.01
S (1)

v
1.005g
(2)由于S ' dS y gt,于是S '(1) v g,在t 1的瞬时速度为v g. dt
3.试确定曲线y ln x在哪些点的切线平行于下列直线：(1) y x 1, (2) y 2x 3
x0
x

lim 3x02x 3x2 x0
x0
x
x3
3x02;
f
'(x0 )

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim (x0 x)3 (x03 )
x0
x
lim x03 3x02x 3x2 x0 x3 x03
x0
x
x0 x
f
'( x)

3x2 3x2
x0 .
x0
３
(2)
f
(
x)

x 1
1
x0 x0
解：对于x0 R有 对于x0 R有 当x 0时有
f
'(x0 )

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim (x0 x) 1 (x0 1)
为y x 1, y x 3.
(2)函数y cos x的导函数为y ' sin x,则在P点的切线斜率为k y '(0) 0;因此由点斜式
可以求得在P点的切线为y 1.
由于在同一点的法线与切线相垂直,于是在此点的法线为x 0.
２
6.求下列函数的导函数： (1) f (x) x 3
x0
x
lim x 1; x0 x
f
'(x0 )

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim 11 lim 0 0; x0 x x0 x
因此f '(0)不存在.
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x 11 1,
于是有
Байду номын сангаасS S
(1) v 1 g 2
(11) 2v
2g
S
(1
0.1)

1.1v

1.21 2
g
;
S
(1
0.01)

1.01v

1.0201 2
g
v1

S(11) 1
S (1)

v
1.5g
v2

S (1
0.1) 0.1
第四章 微商与微分
第一节 微商的概念及其计算
1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B(2, 4)点的切线方程和法线方程。
解：函数y x2的导函数为y ' 2x,则它在A(1,1), B(2, 4)的切线斜率分别为
y '(1) 2, y '(2) 4;
于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1, y 4x 4.
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim 11 0,
x0
x
x0 x
综上可得
f
'( x)

1 0
x0 .
x0
４
7.设函数f
(
x)


xm
sin
1 x
x

0 ,
(m为正整数).
x
2
2
１
4.设f
(
x)

x2 ax

b
x 3 ,试确定a,b的值，使f (x)在x 3处可导。 x3
解：可以求得 lim f (3 x) f (3) lim (3 x)2 32 lim 6x x2 6；
x0
x
x0
x
x0
由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1, 故可以求得在这两点的法线斜率分别为
k1


1 2
,
k2

1； 4
那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y 1 x 3 , y 1 x 9 . 22 42
2.若S vt 1 gt2,求 2
(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设t 1, 0.1, 0.01); (2)在t 1的瞬时速度。 解：(1)可以求得
(1) y x2 , 4
P(2,1);
(2) y cos x, P(0,1).
解：(1)函数y x2 的导函数为y ' x ,则在P点的切线斜率为k y '(2) 1;由于同一点的切线与
4
2
法线相垂直，于是法线斜率为k1

1 k

1.因此由点斜式可以求得在P点的切线与法线分别
解：函数y ln x的导函数为y ' 1 ; x
(1)令y ' 1 1,可得x 1; y(1) ln1 0,故曲线在点(1，0)的切线平行于直线y x 1； x
(1)令y ' 1 2,可得x 1 ; y(1) ln 1 ln 2,故曲线在点(2， ln 2)的切线平行于y 2x 3.
x0
x

lim
x0
3x02x 3x2 x0 x
x3

3x02 ;
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x
令
lim f (3 x) f (3) lim a(3 x) b 32 lim 3a a x b 9 6,
x0
x
x0
x
x0
x
那么必有
解得：a 6,b 9.
3a b 9 0 a 6
5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程。
解：f (x)
x3

x3

x3
对于x0 R有
当x 0时有
因此f '(0) 0. 综上可得
x x

0 0
,
那么对于x0

R
有
f
'(x0 )

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim (x0 x)3 x03
x0
x
lim x03 3x02x 3x2 x0 x3 x03