(最新整理)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
2019年最新全国高考数学(理)模拟题及答案带解析(20200421222234)
A． 110 B ． 116 C ． 118 D ． 120
答案 D
解析 如图，过点 A作 AP⊥ CD，AM⊥ EF，过点 B作 BQ⊥CD，
BN⊥ EF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM，QN，将一侧的几
何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为
1 2×10×3＝
15. 棱柱的高为 8，体积 V＝15×8＝ 120. 故选 D.
2
则 z－ z ＝ (
)
A． i B ．2－ i C ．1－ i D ． 0
答案 D
2
2
－
解析 因为 z－ z ＝ 1＋ i － 1＋ i ＝ ＋
－ －1
＋ i ＝1－ i － 1＋i ＝ 0，故选 D.
π1
3．[2017 ·福建质检 ] 已知 sin x＋ 3 ＝ 3，则 cos x＋ cos(
π
差的等差数列， ∴ bn－ 1＝－ n－ 1，∴ bn＝ n＋ 1. 故 b ＝ 2017 2018.
15．[2017 ·河北正定统考 ] 已知点 A(0,1) ，抛物线 C： y2＝ ax( a>0) 的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M，
延长 FA，与抛物线 C的准线相交于点 N，若 | FM| ∶ | MN| ＝1∶
y＋ 1 如果目标函数 z ＝ x－ m的取值范围为
[0,2) ，则实数 m的取值范围为 ( )
1 A. 0，2
1 B. －∞， 2
1 C. －∞， 2
D． ( －∞， 0]
答案 C
解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，
y＋ 1 而目标函数 z＝ x－ m的几何意义为可行域内的点 ( x，y) 与 A( m，
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
【高考模拟】2019理科数学试卷(二)及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学（二）本试题卷共7页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数z的共轭复数为（）A B C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．8C．9D．643．得到函数()f x的图像，（）A B C D4．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．129D ．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ） A ．一鹿、三分鹿之一 B ．一鹿 C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一8 ）A ．B ．C ．D ．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ） A ．12B ．23 C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A．2B1 C1D．212．已知函数()e e x x f x -=+（其中e 是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年高考理科数学模拟卷2(word版含答案)
2019年高考理数模拟试题全国卷Ⅰ一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4}，集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0}，则UA =A ．{1，4}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，3，4} 2．已知复数z =i1im +(m >0)，z ·z =1，则z = A ．22+22i B ．22−22i C ．2+2i D ．2−2i 3．已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，若2017S =4 034，则3a +1009a +2015a =A ．2B ．4C ．6D ．8 4．某几何的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为A ．4π+4B ．3π+4C ．3πD ．32π+4 5．已知0<a <b <1，则下列结论正确的为A ．3a>3bB ．ln aa >ln bb C ．1()ae<1()beD ．log 3a >log 3b 6．如图所示的程序框图，则输出的i 的值是A ．5B ．7C ．9D ．3 7．已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称，则b a 的值为A ．33B ．1C ．3D ．28．已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0，2)，则实数m的取值范围为 A ．[0，12] B ．(−∞，12] C ．(−∞，12) D ．(−∞，0] 9．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为 A．6 B．6 C．3 D．210．已知直线y=5x 与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)交于A ，B 两点，若在双曲线上存在点P ，使得|PA |=|PB|=2|AB |，则双曲线的离心率为 AB11．已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c，x ∈R 的值域为[0，+∞)，其图象过定点(0，1)，且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12，1)上不是单调函数，则实数b 的取值范围为 A ．(0，2．(0，2C ．[2，+∞) D ．(212．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，n S =(−1)nn a +12n+2n −6， 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是 A ．(−74，234) B ．(−∞，234) C ．(−74，6) D ．(−2，234) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(1x−2x )n 的常数项是15，则展开式中3x 的系数为 ． 14．已知AB 与AC 的夹角为150°，|AB |=3|AC |=3，AP =λAB +μAC ，且AP⊥BC ，则λμ的值为 ． 15．已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ，b (a <b )，则21b a x -⎰dx = ．16．已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点，过M 点作两条直线，分别与抛物线交于A 、B 两点，若两直线的斜率之和为0，则直线AB 的斜率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A =2b cos B ，b =3．(1)求证：角A ，B ，C 成等差数列；(2)求△ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；喜食蔬菜喜食肉类合计 男同学 女同学 合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查，记抽P (2K ≥0k )0．10 0．05 0．01 0k2．7063．8416．635到的喜食肉类的女同学的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．2K =2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且AB，∠ABC =60°，点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点O ，PB ⊥AC ．(1)求证：PC =PD ；(2)求平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ，2F ，其离心率e =12，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，AC BD ⋅=0，求|AC |+|BD |的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )xe −2x ．(1)若a =1，x ∈[0，1]，求函数()f x 的最值；(2)若a ∈Z ，函数()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，求a 的最大整数值．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρθ． (1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3)，求|PA |+|PB |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1． (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |；(2)若实数a 满足|x −a |<1，求证：|()f x −()f a |<2|a |+3．2019年高考理数模拟试题答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是UA ={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ，z =2m −2mi ，z·z =22m =1，又m >0，则m ，故z =2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+，由z·z =2||z ，得22m =1，又m >0，则m ，故=2+2i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ． 5．D 【解析】对于A ，由于y =3x为增函数，因而3a<3b，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln bb 的大小关系不确定；对于C ，y=1()xe为减函数，所以1()ae>1()be； 对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2x =22a b +sin(2x +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为 ()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=b a =3，故选C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin 2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称， 则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0，因而b a =3，故选C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示， 而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO =2332⨯=33，∴1OO =63，∴三棱锥的高SD =21OO =263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=34， ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=，故选A ． 10．B 【解析】通解 由22222551y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -，因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|PA |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−52x ，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|PA |=|PB |=32|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴e =221b a+=3，故选B ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OP |=2|OA |=2m ，且OP⊥OA ，设直线AB 的倾斜角为α，则tan α=255，因而sin α=23，cos α=53，不妨设点A 在第一象限，则A (53m ，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得P (−223m ，103m )或(223m ，−103m )，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a−2249m b =1， 且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b，解得22b a =2， ∴e =221b a+=3，故选B ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0，即b >2+3或b <2−3，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−23]， 所以0<b 2−3，从而0<b <2−3，故选A ．12．A 【解析】∵n S =(−1)nn a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)nn a +12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]， 整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n1n a -+2−12n(n 2) (*)．又n S =(−1)n n a +12n+2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74． ①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)； ②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n， 即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n(n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ． 13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C rn (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x 3n r-+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)rC r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m6C m x 63m -+，令−6+3m =3，得m =3， 则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20．14．59【解析】通解 由AP ⊥BC ，得AP ·BC =0，即(λAB +μAC )·(AC −AB )=(λ−μ) AB ·AC −λ2AB +μ2AC =(λ−μ)××1×(−)−λ×2+μ×21 =52μ−92λ=0，因而λμ=59．优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB =(3，0)，AC =(−32，12)，BC =(−332，12)，AP =(3λ−32μ，12μ)，由AP ⊥BC ，得−332(3λ−32μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1， 因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而21bax -⎰dx =1211x --⎰dx ，由定积分的几何意义，知1211x --⎰dx =2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0， 因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)， 设直线MA 的方程为y −2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩， 得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号，即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分） (2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3， 所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P(ξ=0)=3639CC=521，P(ξ=1)=216339C CC=1528，P(ξ=2)=126339C CC=314，P(ξ=3)=3339CC=184．（10分）所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 5211528314184所以ξ的数学期望Eξ=0×521+1×1528+2×314+3×184=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广．19．【解析】(1)如图，连接CO，由题意知PB⊥AO，且AP=AB=2，又PB⊥AC，AO∩AC=A，因而PB⊥平面AOC．又CO 平面AOC，则PB⊥OC，（2分）又O为PB的中点，因而PC=BC=2，（3分）又ABCD是菱形，且∠ABC=60°，则AC=2，所以OA=OC=1．作DH⊥平面PBC于H，连接PH，CH，则PH=DH=1，因而PD=2，即PC=PD．（5分）(2)解法一以O为坐标原点，OC，OP，OA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，0)，D(1，1，1)，PC=(1，−1，0)，PD=(1，0，1)，（7分）设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即0x y x z -=⎧⎨+=⎩，取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n=即平面BAP 与平面PCD（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角． 在直角三角形HCD 中，CD=，则HM=tan ∠PMH2=， 因而cos ∠PMH（10分） 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3． （12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角．20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·b，即c①．（1分） 又椭圆的离心率e =12，所以c a =12②，（2分） 联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分） (2)由(1)知1F (−2，0)， 因为AC BD ⋅=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC |+|BD |=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k -+，所以|AC1x −2x2224(1)34k k++， 直线BD 的方程为y =−1k(x +2)，同理可得|BD |=2224(1)43k k ++，所以|AC |+|BD |=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分）令1+2k =t ，则t >1，所以|AC |+|BD |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t-(t >1)，则()f t '=32t t -+， 所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分）故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t - 14， 所以|AC |+|BD |∈[967，14)． 综上，|AC |+|BD |的取值范围为[967，14]．（12分） 【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC |，|BD |的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值． 21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )xe −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]， 因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减， 当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分）(2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )xe −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立， 即(x +1−a )xe −2x 0，x ∈[0，+∞)，分离参数得1−a2xxe −x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22xxe -−1=22x x x e e --，令()g x '=0，即2−2x −xe =0．（8分）设()h x =2−2x −xe ，由于(0)h =1>0，1()2h =1<0，因而方程2−2x −xe =0在(0，12)上有解，设为0x ， 则0xe =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分）因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1，又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)，因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y)2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩不妨设A (1，)，B (2，，又点P 的坐标为(3． 故|PA |+|PB．（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −t +4=0．由于)2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|PA |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t． （10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |， 当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226x x x -⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226x x x -<<⎧⎨-+++⎩≥或02226x x x <⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226x x x >⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x |x −3或x =0或x 3}． （5分） (2)因为|x −a |<1，所以|()f x −()f a |=|2x −2x −2a +2a |=|(x +a −2)(x −a )|=|x +a −2|·|x −a |<|x +a −2| |x −a |+|2a |+2<2|a |+3．（10分）。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019-2020年高三高考模拟卷(二)理科数学 含答案
17．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求的最小正周期及其单调增区间：
(2)当时，求的值域．
18．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK．
因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．
因为HK平面AHK，所以BC⊥HK，
所以∠AKH为二面角的平面角．
在△AOH中，∠AOH=，，则，，
所以．
在Rt△CHK中，∠HCK=，所以．
在Rt△AHK中，，
所以二面角的正切值为．
19．【解析】(1)日平均销售量为(吨)．
．
所以，即二面角的正切值为．
法二在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，
所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．
如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，
因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，
所以BD⊥平面AOC．
因为AH平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．
(2)①日销售量为1．5吨的概率．
设5天中该商品有Y天的销售量为1．5吨，则，
所以．
②X的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为，日销售量为2吨的概率为，则
；
；
；
；
．
所以X的分布列为
数学期望 ．
20．【解析】(1)由已知得，，，
即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，．
2019年高三第二次模拟考试理科数学含解析
2019年高三第二次模拟考试理科数学含解析本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题【答案】A若﹁p∨q是假命题，则，都为为假命题，所以为真命题，为为假命题，所以p∧q 是假命题，选A.2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.【答案】CA,为非奇非偶函数.B在定义域上不单调。
D为非奇非偶函数。
所以选C.3.如图，是⊙O上的四个点，过点B的切线与的延长线交于点E.若，则A. B. C. D.【答案】B因为A，B，C，D是⊙O上的四个点，所以∠A+∠BCD=180°，因为∠BCD=110°，所以∠A=70°．因为BE 与⊙O相切于点B，所以∠DBE=∠A=70°．故选B．4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.【答案】D因为//，所以，解得。
所以，即。
所以222441245a b a -==+=，选D.5.已知是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】 B作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD ，其中A （1，1），B （5，1），,D （1，2），因为M 、N 是区域内的两个不同的点，所以运动点M 、N ，可得当M 、N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是22(51)(12)17BD =-+-=|,选B.6.已知数列的前项和为,,,则A. B. C. D.【答案】C由得，所以，即。
所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选C.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为336俯视图侧（左）视图A ． B. C. D. 【答案】A视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。
2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)
2019届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1BCD ．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 3．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】命题p ：函数()xxf x e e-=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()xxf x e e-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log ,sin(1)5a b c -===-，则（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 解：1030221-<<=Q ，14441log log 5log 415=>=， (0,1),1,sin(1)0a b c ∴∈>=-<，即b a c >>， 故选：D 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==. 故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求． 【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛===+ ⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解． 【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20- 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 2【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的，由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D 【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +=（1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +=，cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++=，sin (sin )0A B B ∴=，sin 0A ≠Q ，tan 3B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 5343cos 23ABC S AB πθ∆∴==- 142sin 4sin 2AOBS θθ∆=⋅⋅=Q ，()534sin 3cos 538sin()3OACB S πθθθ∴=+-=+-四边形，所以当56πθ=时有最大值538+【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望()E X【答案】（1）25（2）（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=；第2次消费利润600.903024⨯-=；第3次消费利润600.853021⨯-=；第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X=3311111187(0)554410102020200 P X==⨯+⨯+⨯+⨯= 33111119()2()254410102025P X==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X==⨯+⨯=9313()2252050P X==⨯⨯=故分布列为：期望为:87392993249 ()03200225200250200 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（2）16【解析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ最小值为16【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）61k ≥61k ≤- 【解析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，1a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++， 由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得12k ≥+或12k ≤--【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -< 【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x 在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x 在()1上单调递减；则()g x 在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+-124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】解：（1）曲线C ：22t tt t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，23305m ∴--=设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|2|f x x a =-（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得； （2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得； 【详解】解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥，当12x ≤-时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤， 要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项:1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
目要求的.C . 1兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取 礼物都满意，则选法有（ ）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题a i1. [2019南昌一模]已知复数za R 的实部等于虚部，则xx 3n 1,n N , B6,8,10,12,14，则集合AI B 中元素的个数为()A .2B . 33. [2019菏泽一模 ]已知向量 a 1, 1 , b22AB .554. [2019 •州期末 ]已知圆C 2x 1 y A. x y 3 0B . x y 3 0C . 4D . 52,3 ,且a a mb ，则 m ( )5,则过P 3,0 的C 的切线方程为（ )又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、A . 30 种B . 50 种C . 60 种D . 90 种2. [2019梅州质检]已知集合A6. [2019汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（3的等腰三角形，侧视图是直角）函数g x 的图象，则下列说法正确的是（）A •函数g x 的图象关于点 -,0对称 12B •函数g x 的周期是上2C .函数g x 在0, n上单调递增6 D .函数g x 在0, n上最大值是16& [2019临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（）开始/输出s/ 结束A.B .2C . 1D . 19. [2019重庆 中严门80 COS70cos20( )A .3B.1 C.3 D . 2 10..[2019揭阳一模]函数 f x 在 0, 单调递减,且为偶函数.若f 2 1，则满足f x 3 1的x的取值范围是（ )A C7. [2019合肥质检]将函数f x2sin才 ------- 、\zWK'SC . n6n D .—181的图象上各点横坐标缩短到原来的 -（纵坐标不变）得到 2S=O, k=【页2第2 211. ［2019陕西联考］已知双曲线C:£ 召数为（C . 3、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分.13. ［2019江门一模］已知a 、b 、c 是锐角△ ABC 内角A 、B 、C 的对边，S 是厶ABC 的面积，若 a 8 , b 5, S 10丽，则 c _____________ . 14. ［2019景山中学］已知a , b 表示直线， ， , 表示不重合平面①若1 a , b , a b ，贝U;②若a ,a 垂直于 内任意一条直线，则;③若 ,I a , I b ，则 a b ;④若a ,b, a // b ，则//.上述命题中, 正确命题的序号是15. ［2019林芝二中］某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音 主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息：①甲同 学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学 不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的 课程是 （填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）216. ____________________________________________________________________________________ ［2019河南联考］若一直线与曲线 y elnx 和曲线y mx 相切于同一点P ，则实数m _____________________三、解答题：本大题共 6大题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12分）［2019长郡中学］设正项数列 务 的前n 项和为S n ，且.盘 是a n 与a n 1的等比中项，其中 *n N .1 a 0,b 0的右焦点为F 2，若C 的左支上存在点M ，使得直线bx ay 0是线段MF 2的垂直平分线，则C 的离心率为（ C . 512. ［2019临川一中］若函数f x 在其图象上存在不同的两点A x i ,y i ,B X 2,y 2，其坐标满足条件: XX 2-2 2 %■ X 2忌的最大值为0，则称fx 为柯西函数 ”，则下列函数：①:②f Xln x 0 xe :③f xcosx ；2X 1•其中为柯西函数”的个（1）求数列a n的通项公式；18. （ 12分）［2019维吾尔一模］港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项 目，大桥建设需要许多桥梁构件•从某企业生产的桥梁构件中抽取 100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65 ， 65,75 ， 75,85内的频率之比为4: 2:1 .（1） 求这些桥梁构件质量指标值落在区间 75,85内的频率； （2） 若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3件，记这3件桥梁构件中质量指标值 位于区间45,75内的桥梁构件件数为 X ，求X 的分布列与数学期望.⑵设b n n 12a n 1，记数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T 2n 1 .a n an 119. (12 分)[2019 淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD 中，AB// CD , AB 1 , CD 3 , AP 2 , DP 2.3 , PAD 60 , AB 平面PAD，点M 在棱PC 上.(1)求证：平面PAB 平面PCD ;(2)若直线PA//平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.线被椭圆C i截得的线段长为.2 .(1)求椭圆C i的方程;2 2 X y20. ( 12分)[2019泰安期末]已知椭圆G：2 2a b 1 a b 0的离心率为2，抛物线C2: y22 4x的准(2)如图,点A、F分别是椭圆G的左顶点、左焦点直线I与椭圆G交于不同的两点M、N ( M、N都在x轴上方).且AFM OFN .证明：直线I过定点，并求出该定点的坐标.21. （12分）［2019衡水中学］已知函数f x x2 3ax lnx, a R .1(1) 当a 时，求函数f x的单调区间；33(2) 令函数x x2 f x，若函数x的最小值为，求实数a的值.2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. （10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019揭阳一模]以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2COS2 a2（a R , a为常数）），过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的参数方程满足x 2 邑 ,（t2为参数）.（1）求曲线C的普通方程和直线I的参数方程；（2）若直线I与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且PA PB 2，求a和|| PA PB||的值.23. （10分）【选修4-5:不等式选讲】[2019汕尾质检]已知f x 2x 2 x 1的最小值为t .行:：求t的值；1 '若实数a , b满足2a2 2b2 t，求J J 的最小值.a2 1 b222019届高三第三次模拟考试卷理科数学（二）答案12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B【解析】•/ z L2ii a i T~2i-a i 的实部等于虚部，•-2 2 2-，即a 1 .故选C . 2【解析】由题意, 集合A3n 1,n N , B 6,8,10,12,14 • AI B 8,14•••集合 AI B 中元素的个数为2 .故选A .【解析】a mb 1,12m,3m2m,3m 结合向量垂直判定，建立方程, 可得2m 3m0 ,解得m2-，故选A . 5【解析】根据题意，圆 P 的坐标为 3,0 ,2 2 则有3 1 0 2 8，则P 在圆C 上，此时K CP 1，则切线的斜率k 1,则切线的方程为y x3，即x y 3 0,故选B .5.【答案】B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,二共有 C ； 20 , 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,•共有 C 3 C 10 30 , •共有20 30 50种.故选B . 6.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形,侧视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，圆锥的高为 1，底面半径为俯视图是扇形，圆心角为2n,3、选择题：本大题共11.【答案】C几何体的体积为1 11 2n1 n.故选A .3 2397.【答案】C【解析】将函数f x 横坐标缩短到原来的—后，得到g x 2sin 2x —1,2 6 当x上时， f 上1，即函数 gx的图象关于点-,1对称，故选项A 错误;121212周期T 2n2n ,故选项 B 错误；当x0, n 时,2x nn n函数g x 在 0,n上单调递增，故选项 C 正确；6 66 26.•函数g x 在 0,n上单调递增，• g xn dg66即函数g x 在0,n上没有最大值，故选项 D 错误.故选C .6&【答案】A【解析】第一次循环，k 1 , S cosO 1 , k 1 1 2, k 4不成立; 第二次循环， k 2 , S 1n . cos 1 1-,k 2 13 , k 4不成立；3 2 2第三次循环， k 3 , S 3 2 n cos — 3 11 , k 31 4 , k 4不成立;2 3 2 2第四次循环， k 4 , S 1 cos n 11 0 , k 4 15 , k 4成立，退出循环，输出S 0，故选A .9.【答案】C10.【答案】Ax 31 f2 等价于 f X3 f 2 , .•函数f x 在0, 单调递减，••• x 32 , 2 x3 2 , 1 x 5，故选A .【解析】..2sin80 cos70cos202sin 60 20 cos70cos202sin 60 cos20 2cos60 sin 20 cos702sin 60 cos20 sin 20 cos70cos20cos202sin 60 cos20cos202sin 603 .故选 C . 【解析】.•函数f x 为偶函数,【解析】F2 C,0，直线bx ay 0是线段MF?的垂直平分线,可得F?到渐近线的距离为|F?Pbe b，即有|OP ■. e2b a ,由0P MF1F2的中位线，可得|MF i 2 OP 2a，MF2 2b，可得|MF^ |MF i 2a，即为2b 2a 2a，即b 2a，可得e eai ：2 i 4 5 •故选C.12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数X i , y i , X2 , y2, XX2 2y i y220恒成立, （当且仅当X i y2 X2 y i取等号）若函数f x在其图象上存在不同的两点x i,y i ,冷，y2，其坐标满足条件: XX2 y i y2 * y i2X22y22的最大值为0,则函数f x在其图象上存在不同的两点 A x i, y i , 冷，y2uuu UUU，使得OA , OB共线,即存在过原点的直线y kx与y f x的图象有两个不同的交点:对于①,方程kx x ix 0，即k ix2X i，不可能有两个正根，故不存在;由图可知不存在;，由图可知存在;，由图可知存在,柯西函数”的个数为2，故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1S abs inC si nC22•••三角形为锐角三角形，故得到角C为丄,31 2再由余弦疋理得到cos —---- ------- .2 2b cc 7 .故答案为73 2 2ab14. 【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a , a垂直于内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到又a ，则，故正确，对于③，，I a , I b，则a b或a// b，或相交，故不正确，对于④，可以证明/ ，故正确.故答案为②④.15. 【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音.116. 【答案】丄2e 2【解析】曲线y elnx的导数为y'，曲线y mx2的导数为y 2mx ,x由2mx, x 0且m 0，得x ，即切点坐标应为玉，代入y e|n x得eln J e，解得m丄，故答案为—•V2m 2 2 2三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【答案】(1) a n n ； (2)见解析.【解析】(1)^ . 2S?是a n 与a n 1的等比中项，••• 2S n a n a n 1 a n 2 a n ,当 n 1 时，2a i a i Q ，…a 1 .【解析】(1)设区间75,85内的频率为x ，则区间55,65 ,依题意得 0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2x x 1，解得 x•这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率为0.05 .(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取 3件，相当于进行了 3次独立重复实验,• X 服从二项分布B n, p ，其中n 3 . 由(1 )得，区间 45,75内的频率为0.3 0.2 0.1 0.6 ,将频率视为概率得 p 0.6 .v X 的所有可能取值为 0, 1 , 2, 3, 且 P X 0C 0 0.60 0.430.064 , P X 1 C ； 0.61 0.420.288 ,22133P X 2C 3 0.6 0.4 0.432 , P X 3 C 3 0.6 0.4 0.216 .• X 的分布列为：X 服从二项分布B n, p , • X 的数学期望为EX 3 0.6 1.8 .当n 2时，2a n a n 1，整理得 a n a n 1a n a n 1 1又a n 0 anan 11 n2，即数列 an…ana 1n 1 d 1n 1 n .n 12n 1n 111(2) b n11n n 1n n 1 --T 2nb 1 b 2 b 3 Lb 2n1 1 1 1223111 .2n 1是首项为1，公差为1的等差数列.1 1 L 4 1 1 1 1 3 2n 1 2n 2n 2n 165,75内的频率分别为4x 和2x .0.05 .2S n 2S n 1 2a n a n2 an 118.【答案】(1)19.【答案】(1)见解析；(2) —V195 .65 【解析】(1)v AB平面PAD , • AB DP ,1，①2又••• DP 2.3 , AP 2 , PAD 60 ,由—PDsin PADPA sin PDA 可得 sin PDA2， PDA 30 , APD 90 DP AP ,••• AB I AP A ,二DP 平面PAB , ••• DP 平面 PCD ,•••平面 PAB 平面 PCD ; (2)以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴, 如图所示，建立空间直角坐标系, 其中 A 0,0,0 , B 0,0,1 , C 0,4,3uu r uuu从而BD 0,4, 1 , AP 3,1,0uuuu uuiu设PM PC ，从而得M .3 3 设平面MBD 的法向量为n x, y,z,3uu u PC 若直线 PA//平面MBD ，满足 nCBAvITD,D 0,4,0 , P 3,1,0 3,3,3 , 1,3uuu u ,BM,31,3uju u BMUJL TBDuuu AP uuuA得 —，取 n .3, 3, 12，且 BP 4 0，即 3,1, 直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值等于 sin 4y 3x 2X 220.【答案】(1) — y 1 ; (2)直线l 过定点 【解析】(1)由题意可知，抛物线 又椭圆G 被准线截得弦长为 2 ,讨2 2，…e 2由①②联立，解得a 22 , b 2uuu BPj-tuu nBp2156 12,52195.65C 2的准线方程为x 1 •••点详在椭圆上, •椭圆2b 2，②, C 1的标准方程为1 2b 2y 2 1.1 ,21.【答案】（1）见解析；（2）（2）设直线 I : y kx m ，设M x, y ,N X 2,y 2 ,把直线1代入椭圆方程， 整理可得2k 2 1 x 24 km2m 22 0,2 2 16k m 4 2k 21 2m22 16k 2 8m 28 0 , 即 2k 2 m 24km2m 2 2…X 1 X 2 2 ， X 122k 12k 1y 1 • K FM ，K FNy 2 -,M 、N 都在x 轴上方，且 AFMOFN1 0,x 1 1 X 2 1kFN,y 1 X 1 1 ~^y-，即 x 2 1 kx i kx 2 m x i1 ,整理可得 2kx 1x 2 k m x 1 X 22m 2m 2 20 ,• 2k 厂 2 k 2 14km 2k 2 12m即 4 km 2 2 24k 4k m 4km 4k2m2k ,•直线I 为y kx 2k k x，•直线 l 过定点2,0 .令f ''x 0 ，解得X-或 x 1，而 X 0，故x1,2则当 x 0,1 时，f X 0, 即f X在区1 间内递减, 当x1,时，f X, 即f X 在区间'可内递增.(2) 由f X2x 3axln x ,f X 2x 13a —X则 2X X f x 2x 33ax 2X ，故X 6x 26 ax 1 ,又26a4 6 1,故方程 X0有2个不同的实根,不妨记 己为石,,X 2，且儿 X2,又• X^-0 ,故 X 06 X 2 ,当X 0,X 2 时，x 0X 递减，当X X 2,时，x 0,X 递增，故 Xminx 22x 233a x ：22X 2 , ①又 X 20 ,• 6X226ax21 0 , 即a1 6X 22 ，②xx6x 222x x2x 11【解析】（1） a -时，f x3 lnx ，贝U f将a宜6x22代入—式，得2X2 321 6x2 2X26x2X2 31 32x2 x? 3x22X2由题意得 3 1X2 X22 专，即2x23X2即x21 2x222x23 0,解得X25将X2 1代入■式中，得a6X2请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分2 2 22.【答案】（1）x y 3t2( t为参数)；(2) t2【解析】（1）由2cos2a2得2 2 . 2 2cos sin a ,又x cos , y sin ,得x2 y2a2,••• C的普通方程为•••过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的普通方程为y——X3y12t「直线1的参数方程为32t2（t为参数）.(2)将2代入x2£2a2，得t2 2 2.3 a20,依题意知a20,则上方程的根1、t2就是交点A、V t1 t2 a2，由参数t的几何意义知PA PB b| |t2| |t1 t2 ,得t1 对应的参数,2 ,•••点P在A、B之间，「• 1t2 0 ,…t1t22,9即2 3a22，解得a 4 （满足0 )，二a 2 ,•- p A PB t1 t2 t1 t2，又t1 t24.323.【答案】（1）2; (2)3x 【解析】（1） f x2x 1,xx 3, 13x 1,x1 ,故当x 1时，函数f x 有最小值2,.・.t 2 .(2)由( 1)可知2 2 222a 2b 2，故 a 1 b 24,2 2 212 22b a 1 1 1 1 a 1 b 22 a 1 b 22 1a 2 1b 2 22 2a 1b 2441?当且仅当a 2 1 b 2 2 2，即a 2 1 , b 20时等号成立，故1a 21 2的最小值为1 .b 2。
2019年高三第二次模拟考试数学理试题 含答案
2019年高三第二次模拟考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共1 50分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第1I卷j_}=I O．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收同．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 O小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，则a，b ，c的大小关系是A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c3．将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A．B．c．D．4．“m<0”是“函数存在零点"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为A．B．C．D．86．下列四个判断：①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，某次测试教学平均分别是a，b，则这两个班的数学平均分别为；②从总体抽取的样本（1，2，5），（2，3，1），（3，3，6），（4，3，9），（5，4，4），则回归直线必过点（3，3，6）；③已知服从正态分布N （1，22），且=0.3，则其中正确的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个7．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有A．18种B．36种C．48种D．60种8．已知点M（a，b）（a>0，b>0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则实数ax+by一1A ．一定是负数B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数9．等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ．10．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，设∠DAB=，∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，设的大致图像是第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．曲线与坐标轴所围成押科形面积是 .12．已知集合}032|{},22,2|{22≤-+=≤≤-+==x x x B x x x y y A ，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是 .13．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出的p 值是 .14．观察下面两个推理过程及结论：（1）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A CBC B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+= （2）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，则=，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：2s i 2c o 2c o s 22c o s 2c o s 2c o s 222A C B C B A -+= 则：若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。
2019届高三数学二模试卷理科附答案
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。
2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国II卷理科数学试题(解析版)
百师联盟2019届全国高三模拟考（二）全国卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合要求1.集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A. 1个 B. 3个C. 4个D. 7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2.已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A. 1B.C.D. 5【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．3.设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ∨⌝ C. ()p q ⌝∧ D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】命题p ：函数()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假．【详解】解：命题p ：函数()x x f x e e -=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A. 4B. 2C. 2-D. 4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果.【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C .【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 5.已知131412,log ,sin(1)5a b c -===-，则（ ） A. b c a >> B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】解：1030221-<<=Q ，14441log log 5log 415=>=， (0,1),1,sin(1)0a b c ∴∈>=-<，即b a c >>， 故选：D【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（ ）A. 12-B. 23-C. 13-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7.若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 3B. 2C.8113D. 10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8.如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A. 4B. 25C. 2D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求．【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A. 函数()f x 在()0,3上单调递增 B. 函数()f x 在()0,3上单调递减 C. 函数()f x 图像关于32x =对称 D. 函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10.若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A.35B. 45-C.45D. 35-【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A.174π B.214π C. 4π D. 5π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为R ==∴三棱锥外接球表面积为()()22222144514a b a ππππ=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12.已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A. 5ln 2+ B. 5ln 2- C. 3ln 2+ D. 3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min min 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20-【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14.如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯=9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15.已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____【解析】 【分析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16.电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D 【解析】 【分析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考试都必须作答，第22，23题我选考题，考试根据要求作答17.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +-= （1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】 【分析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()534sin 3cos OACB S θθ=+-四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由cos cos 3sin )cos 0(C A A B +-=，cos()(cos 3sin )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos 3sin )cos 0A B A B A A B ∴-++-=， sin (sin 3cos )0A B B ∴-=，sin 0A ≠Q ，tan 3B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 5343cos 23ABC S AB πθ∆∴==- 142sin 4sin 2AOB S θθ∆=⋅⋅=Q ，()534sin 3cos 538sin()3OACB S πθθθ∴=+-=+-四边形，所以当56πθ=时有最大值538+【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18.健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望()E X 【答案】（1）25（2）22.5（3）见解析，249200【解析】 【分析】（1）根据频数计算频率，得出概率； （2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X 的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望． 【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p ++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=； 第2次消费利润600.903024⨯-=； 第3次消费利润600.853021⨯-=； 第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X =3311111187(0)554410102020200P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=33111119()2()254410102025P X ==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X ==⨯+⨯=9313()2252050P X ==⨯⨯=故分布列为：X32392P8720092529200350期望为: 87392993249()03200225200250200E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（216【解析】 【分析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]Mt t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ最小值为163【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）12k ≥+或12k ≤--【解析】 【分析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，离心率为2，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，1a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++，由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得12k ≥+或12k ≤-- 【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -<【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值； （2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数 ()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x 在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x 在()1上单调递减；则()g x 在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+- 124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．（二）选考题，共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t t t te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数） （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】 【分析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；【详解】解：（1）曲线C ：22t t t t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）255x m y m⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y-=，233055m m∴--=设1PA m=，2PB m=，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．23.已知函数()|2|f x x a=-（1）若1a=，不等式(2)(1)2f x f x-+≥的解集；（2）若,(2)2x R f x x∀∈-≥，求实数a的取值范围.【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】分析】（1）依题意可得41|21|2x x--+≥，再用零点分段法分类讨论可得；（2）依题意可得42x a x-≥+对x R∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R，得到不等式即可解得；【详解】解：（1）若1a=，()|21|f x x=-，则(2)(1)2f x f x-+≥，即41|21|2x x--+≥，当12x≤-时，原不等式等价于14212x x-++≥，解得12x≤-当1124x-<<时，原不等式等价于14212x x---≤，解得13x≤-，所以1123x-<≤-；当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤，要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
2019年高考模拟检测考试理科数学(二)及答案
第1页（共8页） 第2页（共8页）2019年高考模拟检测考试理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y ==，{}2320B x x x =+-<，R 表示实数集，则下列结论正确的是（ ） A ．A B ⊆B ．R B A ⊇ðC ．A B ⊆R ðD ．B A ⊆R ð2．复数z 满足()1i i z +=，则在复平面内复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ） A ．35 B ．36 C ．45 D ．544．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是（ ） A ．34B ．23C ．12D ．135．设0534a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，0443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，()334log log 4c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．90B ．72C ．68D ．607．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，4A =，1x =-，则输出的A 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．38．把函数()2sin cos f x x x x =的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） ABCD9．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F，定点()A ．若射线FA 与抛物线C 相交于点M （点M在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点，则FM MN =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2310．已知ABC △中，，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点， 则BQ CP ⋅的最小值为（ ） A ．4-B ．2-C ．1-D ．011．函数()1log 2xa f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0a >，1a ≠．若该函数的两个零点为1x ，2x ，则（ ）A ．121x x >B ．121x x =C ．121x x <D ．无法判定此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
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A． 1
2
B． 1
2
C． 1
D．1
2．［2019·梅州质检］已知集合 A x x 3n 1, n N , B 6,8,10,12,14 ，则集合 A B 中元素的个
数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．[2019·菏泽一模]已知向量 a 1, 1 ， b 2,3 ，且 a a mb ，则 m ( )
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．［2019·南昌一模］已知复数 z a i a R 的实部等于虚部，则 a ( ）
2019 届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
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B．2
C． 5
D．5
12．［2019·临川一中］若函数 f x 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1 ， B x2, y2 ，其坐标满足
条件: x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 的最大值为 0，则称 f x 为“柯西函数"，则下列函数:① f x x 1 x 0 ；② f x ln x0 x e ；③ f x cos x ;④ f x x2 1．其中为“柯西函数”的
1 的图象上各点横坐标缩短到原来的
1 2
(纵坐标不
变)得到函数 g x 的图象,则下列说法正确的是（ ）
A．函数
g
x
的图象关于点
π 12
,
0
对称
B．函数 g x 的周期是 π
2
C．函数
g
x
在
0,
π 6
上单调递增
D．函数
g
x
在
0,
π 6
上最大值是
1
8．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ )
14．［2019·景山中学]已知 a , b 表示直线， , ， 表示不重合平面．
①若 a ， b , a b ，则 ；
②若 a ， a 垂直于 内任意一条直线，则 ；
③若 ， a , b ,则 a b ；
④若 a , b ， a∥b ,则∥ ．上述命题中,正确命题的序号是__________．
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A．0
B． 1
2
C．1
9．[2019·重庆一中] 2sin 80 cos 70 （ ）
cos 20
A． 3
B．1
C． 3
D． 1 D．2
10．[2019·揭阳一模]函数 f x 在0, 单调递减，且为偶函数．若 f 2 1，则满足 f x 3 1
x
个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分．
13．[2019·江门一模］已知 a 、 b 、 c 是锐角△ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边， S 是△ABC 的面积若,
a 8 , b 5 ， S 10 3 ，则 c _________．
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2019 届全国高考高三模拟考试卷数学(理）试题（二)(解析版） 注意事项：
1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
A． 2
5
B． 2
5
C．0
D． 1
5
4．［2019·台州期末］已知圆 C ： x 12 y 22 8 ,则过点 P 3,0 的圆 C 的切线方程为
(）
A． x y 3 0
B． x y 3 0
C． x 2 y 3 0
D． x 2Biblioteka y 3 05．［2019·东北三校］中国有十二生肖,又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物
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各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学
哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有（ ）
A．30 种
的 x 的取值范围是（ ）
A． 1, 5
B． 1, 3
C． 3, 5
D．2, 2
11．［2019·陕西联考]已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的右焦点为 F2
,若 C
的左支上存在点 M
,
使得直线 bx ay 0 是线段 MF2 的垂直平分线，则 C 的离心率为（ ）
A． 2
B．50 种
C．60 种
D．90 种
6．[2019·汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为 3 的等腰三角形，
侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ )
A． π
9
B． π
3
C． π
6
D． π
18
7．[2019
合肥质检]将函数
f
x
2sin
x
π 6
15．［2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公
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共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们 选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电 视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视．若这些信息 都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共 演讲、播音主持） 16．[2019·河南联考］若一直线与曲线 y eln x 和曲线 y mx2 相切于同一点 P ,则实数 m ________．