等差数列与通项公式

例:已知数列an 中， a1
1, a2
2
, an2
2 3
an1
1 3
an
，求 an
。
7
1.已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an2 3an1 2an (n N *).
（I）证明：数列an1 an是等比数列；（II）求数列an 的通项公式；
（III）若数列 bn 满足 4b1 4 1 b2 1...4bn 1
均为常数） 。
例:已知数列an 中， a1
5 6
, an1
1 3
an
(
1 2
)
n1
，求
a
n
。
（或 an1 pan rqn ,其中 p，q, r
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q n1 ，得： an1
q n1
p q
•
an qn
1 引入辅助数列 q
bn
（其中 bn
an qn
），得：
bn1
2、等差中项
若 a, A,b 成等差数列，那么 A 叫做 a, b 的等差中项。两个实数 a, b 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数
ab。 2
3、等差数列的性质
①等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d am (n m)d
(n N *) ， d an am 。 nm
an dn (a1 d ) 当 d 0 时，它是一个一次函数。
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
3、等差数列{an}中，已知 a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则 n 为(
)
A．48
B．49
C．50
D．51
(1)等差数列{an} 中， a10 30 ， a20 50 ，则通项 an
；
（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
解出 x, y ,从而转化为an xn y是公比为 p 的等比数列。
类型 8 an1 panr ( p 0, an 0)
例：已知数列｛ an
｝中， a1
1, an1
1 a
an2
(a
0) ，求数列an的通项公式 .
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an1 pan q ，再利用待定系数法求解。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1
t
p(an
t) ，其中 t
q 1
p
，再利用换元法转化为等比数列求解。
在数列an 中，若 a1 1, an1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 an _______________
6
类型 4 an1 pan q n （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ）。
。
解法：把原递推公式转化为 an1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
例
2:已知
a1
3，
an1
3n 1 3n 2
an
(n 1) ，求 an 。
类型 3 an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）。
例:已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an .
项数为奇数的等差数列{an} 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数.
（6）若等差数列{an} 、{bn} 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，且
An Bn
f (n) ，则 an bn
(2n 1)an (2n 1)bn
A2n1 B2n1
f
(2n 1) .
设{
a
n
}与{
bn
}是两个等差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和
Tn
，若
Sn Tn
3n 1 ，那么 an
4n 3
bn
___________；
4
(7)“首正”的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 n 项和的最小值
是所有非正项之和。法一：由不等式组
an an
1
0
0
或aann
1
0
0
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前
提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为
基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， a 2d, a d, a, a d, a 2d …（公差
(an
1)bn
(n
N *),
证明bn
是等差数列新疆 源头学子小屋 /wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn f (an ) )
n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 n N * 。上述两种方法是运用了哪
种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
等差数列{an} 中， a1 25 ， S9 S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
6、（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错．误．的是（ ）
p q
bn
1 再待定系数法解决。 q
类型 5 递推公式为 an2 pan1 qan （其中 p，q 均为常数）。
(待定系数法)：先把原递推公式转化为 an2 san1 t(an1 san )
其中
s，t
满足
s t st
p q
解法一（待定系数——迭加法）:
数列 an ： 3an2 5an1 2an 0(n 0, n N ) ， a1 a, a2 b ，求数列an 的通项公式。
环球雅思学科教师辅导学案
辅导科目：数学
年级：高一
学科教师：
课 时 数： 3
授课类型 教学目的
等差数列与通项公式 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
教学内容
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 d 就
叫做这个数列的公差。即 an an1 d (n 2, n N )
1
⑧若{an}与{bn}为等差数列，且前
n
项和分别为
Sn
与
S
n
′，则bamm＝
S2n1 S'
2n1
5、知三求二
等差数列有 5 个基本量， a1, d , n, an , Sn ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。
6、特殊设法
三个数成等差数列，一般设为 a d, a, a d ； 四个数成等差数列，一般设为 a 3d, a d, a d, a 3d 。
4、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝________.
5、已知数列{an}为等差数列，若aa1110<－1，且它们的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn>0 的 n 的最大值为(
)
A．11 B．19
C．20 D．21
（1）数列
{an} 中， an
例：已知数列an 前
n
项和 Sn
4
an
1 2n2
.
（1）求 an1 与 an 的关系；（2）求通项公式 an .
解法：这种类型一般利用 an
SS1n
(n 1) Sn1 (n 2)
与 an
Sn
Sn1
f (an )
f (an1 )
消去 Sn
(n 2) 或与
Sn f (Sn Sn1) (n 2) 消去 an 进行求解。
类型 7 an1 pan an b ( p 1、0，a 0)
例:设数列 an ： a1 4, an 3an1 2n 1, (n 2) ，求 an .
8
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an1 x(n 1) y p(an xn y) ，与已知递推式比较，
同步讲解
1、等差数列的判断方法：定义法 an1 an d (d为常数）或 an1 an an an1(n 2) 。
1、设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
A.d＜0
B.a7＝0
C.S9＞S5
D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
（2）等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项 公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
（ 4 ） 若 {an} 、 {bn} 是 等 差 数 列 ， 则 {kan} 、 {kan pbn} ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {apnq}( p, q N*) 、
Sn , S2n Sn , S3n S2n ，…也成等差数列，而{aan }成等比数列；若{an} 是等比数列，且 an 0 ，则{lg an} 是等差数