初三数学图形的相似知识点

1.各角分别相等、的两个多边形叫做相似多边形,根据这个定义,两个形一定是相似的.

2.正方形ABCD的边长为3,正方形A'B'C'D'的边长为2,则正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的相似比为,正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比为.

3.下列判断正确的是()

A.两个对应角相等的多边形相似

B.两个对应边成比例的多边形相似

C.边数相同的正多边形都相似

D.有一组角对应相等的两个平行四边形相似

4.如果六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,∠B=52°,那么∠B1

等于()

A.128°

B.26°

C.52°

D.54°

一、相似三角形

(1)相似三角形的定义:若两个三角形的三角分别相等,三边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的定义是由相似多边形的定义迁移得到的.

(2)相似三角形的表示:如果ΔABC与ΔA'B'C'相似,就记作ΔABC∽ΔA'B'C',符号“∽”读作“相似于”,利用“∽”表示两个图形相似时,对应顶点要写在对应的位置上,主要目的是为了指明对应角,对应边.

(3)相似比:两个三角形相似,对应边的比叫做相似比,相似比是有顺序的,若ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比为1/k [知识拓展]

(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比等于1∶1的两个相似三角形是全等三角形.

(2)两个等腰直角三角形一定相似，两个等边三角形一定相似。

(3)书写两个三角形相似时,注意对应点的位置要一致,即若ΔABC ∽ΔDEF ,则说明A 的对应点是D ,B 的对应点是E ,C 的对应点是F.

(4)相似三角形的传递性:如果ΔABC ∽ΔA'B'C', ΔA'B'C'∽ΔA ″B ″C ″,那么ΔABC ∽Δ

A ″

B ″

C ″.

5.黄金分割比值:若设AB =1,AC =x ,则BC =1-x ,由黄金分割的定义得方程: ,解方程得 ,所以黄金比值为= ≈ .

6.点C 是线段AB 上的一个黄金分割点,且AC >BC ,若AB =5 cm,则

AC = ,BC = .

7.如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点,则点C 应满足的条件是 .(用比例式表示)

2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,则图中相似三角形共有( )

A.1对 B .2对 C .3对 D .4对

4.在△ABC 与△A'B'C'中,AB=6,BC=12,AC=15,A'B'=8,B'C'=16,当A'C'= 时,△ABC ∽△A'B'C'.

1.定理:两角 的两个三角形相似.

2.定理:两边 且夹角 的两个三角形相似.

3.定理:三边 的两个三角形相似.

4.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (如图),如

果 ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的 , 的比叫做黄金比.

8.若点P是AB的黄金分割点,则线段AP,PB(AP>PB),AB满足关系式:,即AP是与的比例中项.

9.如图所示,已知ΔABC∽ΔADE,AD=6 cm,DB=3 cm,BC=9.9 cm,∠A=70°,∠B=50°.求:

(1)∠ADE的大小;

(2)∠AED的大小;

(3)DE的长.

6利用相似三角形测高

方法一:利用阳光下的影子来测量旗杆的高度

思路一

【操作方法】一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长.

∵太阳的光线是平行的,∴AE∥CB,

∴∠AEB=∠CBD,

∵人与旗杆是垂直于地面的,

∴∠ABE=∠CDB=90°,

∴ΔABE∽ΔCDB.

∴,即CD= .

因此,只要测量出人的影长BE,旗杆的影长DB,再知道人的身高AB,就可以求出旗杆CD的高度了.

1.某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的标杆影长为2 m,那么该建筑物的高为m.

2.如图所示,身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B 向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,并测

得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()

A.4.8 m

B.6.4 m

C.8 m

D.10 m

方法二:利用镜子的反射测旗杆的高度

【操作方法】选一名学生作为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子,固定镜子的位置,观测者看着镜子来回调整自己的位置,使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.

点拨:反射角=入射角.

∵反射角=入射角,∴∠AEB=∠CED.

∵AB⊥BD,CD⊥BD,

∴∠B=∠D=90°,∴ΔABE∽ΔCDE.

∴,∴CD= .

因此,测量出人与镜子的距离BE,旗杆与镜子的距离DE,再知道观测者的眼睛与地面的距离AB,就可以求出旗杆CD的高度。

4.如图,小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,当

镜子与铁塔的距离EB=20 m,镜子与小华的距离ED=2 m时,小华刚

好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度

CD=1.5 m,则铁塔AB的高度是.

7相似三角形的性质

1.定理:相似三角形、、

都等于相似比.

2.定理:相似三角形的周长比等于,面积比等

于.

1.若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的面积比

为()

A.1∶3

B.1∶9

C.3∶1

D.1∶3

2.两个相似多边形的面积比是9∶16,其中较小多边形的周长为36

cm,则较大多边形的周长为()

A.48 cm

B.54 cm

C.56 cm

D.64 cm

4.两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们对应中线之比为

()

A.1∶2

B.1∶3

C.1∶4

D.1∶8