等比数列的前n项和优质课比赛课件(优秀公开课课件)
合集下载
等比数列的前n项和优质课课件
a1 q(a1 a2 an2 an1 )
a1 q ( S n an )
提取公比法
(1 q)Sn a1 an q
方法拓展2
an a2 a3 q， a1 a2 an1 a2 a3 an q. a1 a2 an 1 S n a1 q. 即 S n an
2 当q 1时,
S2 k Sk ak 1 ak 2 ... ak k q k (a1 a2 ... ak ) q Sk ,即S2 k Sk q Sk , 同理S3k S 2 k q Sk ,
k k 2k
知识拓展3
S偶 等比数列的项数是偶数时， ＝q. S奇
例3 求
Sn a a ... a (a 0).
2
n
解析：
,a 1 n Sn n a(1 a ) ,a 0且a 1 1 a
分 类 讨 论 的 思 想
归纳小结：
1、两个公式：
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1 (1) a1 an q (q 1) Sn 1 q (2) na (q 1) 1
推导过程:
S偶 S偶
a2 1 q 2 n 1 q
2
, S奇
a1 1 q 2 n 1 q
2
,
a2 q. S奇 a1
当堂检测：
1 、数列1 ，a ,a 2 ,a 3 ,...,a n 1,... 的前n 项和为( 1 an A. 1 a 1 an 2 C. 1 a 1 a n 1 B. 1 a )
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
等比数列前n项和公式的推导及性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
…… 5000 1.12台 第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内旳总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}旳前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
列，故可用错位相减法求前n项和．
[解] 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1， 两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
Hale Waihona Puke 2, n5, a1
1 2
.求an
和sn
(3)a1 1,an 512,sn 341.求q和n
当q 1时，S 1 (1) 阐明： 解(3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个n0第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 2a5s1据量,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q812q来 一aSqn21,题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n2q2，1， q,。 注 [11qSn3n选((中 ， 4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的 适(]只以 当取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
则n年内旳总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}旳前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
列，故可用错位相减法求前n项和．
[解] 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1， 两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
Hale Waihona Puke 2, n5, a1
1 2
.求an
和sn
(3)a1 1,an 512,sn 341.求q和n
当q 1时，S 1 (1) 阐明： 解(3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个n0第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 2a5s1据量,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q812q来 一aSqn21,题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n2q2，1， q,。 注 [11qSn3n选((中 ， 4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的 适(]只以 当取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
等比数列的前n项和(优质课比赛)ppt课件
10
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式； 2、前n项和的推导方法我们称之为错位相减法； 3、由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二。
最新课件
11
知能巩固
1.已知a1
27,
a9
1 ,(q 243
0),求S8
2.若等比数列1，1，1，...前n项和是63，求n
248
64
3.已知a1
a3
通项公式: an=a1• q n-1
最新课件
5
例题分析
例1 求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项的和. 248
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
Sn
a1(1 qn ) 1q
255 . 256
最新课件
6
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 n
等比数列的前n项和
最新课件
1
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q a n1
(n≥2)
通项 公式 中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A= a b 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
m+n=p+q
前n项和
am+an=ap+aq
10,
a4
a6
5 4
,
求S5
最新课件
12
作业: 课本P66 练习1、２、３
最新课件
13
谢谢大家
最新课件
高考数学总复习6.3等比数列及其前n项和ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
【答案】 2n－1
11/39
5．(·开封模拟)正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16， 则数列{an}前9项和等于________．
【解析】 ∵{an}为正项等比数列，∴q2＝aa42＝146＝4，∴q＝ 2，
S9＝a1（11－－qq9）＝2（11－－229）＝210－2＝1 022.
【答案】 1 022
26/39
题型三 等比数列的性质及应用 【例 3】 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋ a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝________． (2)(2016·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10 ＝185，a8a9＝－89，则a17＋a18＋a19＋a110＝________．
【解析】 由等比数列性质知 a2a3＝a1a4，又 a2a3＝8，a1＋ a4＝9，所以联立方程aa11a＋4＝a48＝，9，
解得aa14＝ ＝18，或aa14＝ ＝81， ，又∵数列{an}为递增数列， ∴a1＝1，a4＝8，从而 a1q3＝8，∴q＝2. ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn＝11－－22n＝2n－1.
2/39
2．等比数列相关公式 (1)等比数列通项公式 设等比数列{an}首项为a1，公比为q，q≠0，则它通项公 式an＝_______a_1·__q_n_－．1
3/39
4/39
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n， {a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
(3)由(2)知，an＋1－12an＝2n1－1(n∈N*)，等式两边同乘 2n，得 2nan ＋1－2n－1an＝2(n∈N*)，又 20a1＝1，
11/39
5．(·开封模拟)正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16， 则数列{an}前9项和等于________．
【解析】 ∵{an}为正项等比数列，∴q2＝aa42＝146＝4，∴q＝ 2，
S9＝a1（11－－qq9）＝2（11－－229）＝210－2＝1 022.
【答案】 1 022
26/39
题型三 等比数列的性质及应用 【例 3】 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋ a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝________． (2)(2016·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10 ＝185，a8a9＝－89，则a17＋a18＋a19＋a110＝________．
【解析】 由等比数列性质知 a2a3＝a1a4，又 a2a3＝8，a1＋ a4＝9，所以联立方程aa11a＋4＝a48＝，9，
解得aa14＝ ＝18，或aa14＝ ＝81， ，又∵数列{an}为递增数列， ∴a1＝1，a4＝8，从而 a1q3＝8，∴q＝2. ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn＝11－－22n＝2n－1.
2/39
2．等比数列相关公式 (1)等比数列通项公式 设等比数列{an}首项为a1，公比为q，q≠0，则它通项公 式an＝_______a_1·__q_n_－．1
3/39
4/39
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n， {a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
(3)由(2)知，an＋1－12an＝2n1－1(n∈N*)，等式两边同乘 2n，得 2nan ＋1－2n－1an＝2(n∈N*)，又 20a1＝1，
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和
等比数列前n项和公式ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1 （1）已知 a1 4 , q 2 ，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
拓展训练 、深化认识
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整顿 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn 1 q
)
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
深化学生对公式旳认识和了解：
等比数列旳前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
例。1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…旳前n项和公式并求
出数列旳前8项旳和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
变式强化： 深化对公式旳了解与灵活利用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
陛下，请您在这张棋盘旳第一 种小格内，赐给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这么下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这么摆满棋盘上所 有64格旳麦粒，都赐给您旳仆 人罢！
鼓励学生合作讨论， 经过自己旳努力处理问题， 激发进一步进一步学习旳爱好和欲望。
第1格： 1 第2格： 2
等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件
,
n
6.
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
总结归纳，提炼深化
1.等比数列的前n项和公式;
na1, (n
1 q
, (q
1).
na1, (q 1)
Sn
a1
anq
1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
2.公式的推导方法：错位相减法； 3.公式的简单应用 知三求二；
S30 1 2 22 23 229.
1 (1 230 ) 230 1 1073741823分
1 2
≈1073.74万元
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2) a1
8, q
1 2
,
an
1 64
(3)a1
2.7,
q
1 3
A= a b 2
Sn
Sn=
(a1 an )n 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
G= ab
？
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上了重点大学。王勇虽然 很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后 成了大款。一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清 苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一 天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此 类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”王勇听了，立刻答应 下来心想:这太简单了。没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。 同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
2 前n项和
$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
如何求等比数列的前n项和？
• 确定数列的首项和公比 • 利用前n项和的通, 16, 32$
首项
$a_1=2$
公比
$q=2$
前3项和
$S_3=\frac{2(12^3)}{1-2}=14$
《等比数列的前n项和》 优质课比赛一等奖PPT课 件
欢迎来到《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖PPT课件。让我们一起探 索等比数列的奇妙世界吧！
什么是等比数列？
首项和公比
等比数列由首项和公比两部分组成
公比的定义
公比指的是相邻两项之间的比值
等比数列的通项公式
1 第n项
$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$
总结
• 等比数列是数学中一种重要的数列类型 • 可以利用通项公式求出其前n项和 • 在数学竞赛和应用数学等领域有极高的实用价值 欢迎大家继续探索等比数列的魅力！
《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖PPT课件
件：
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 12330S30 1 1, 2 2, 2 22 2, 2 23 3 , ,2 22 29 465(万元)
等比数列的前30项和
每天投资100万元， 连续一个月(30天)
小结
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
a1 anq
Sn
1q
q1
na1
q 1
na1
q 1
数
知三求二
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
思考
资料：
上海卫视０７好男儿总冠军即将 产生，据主办方透露，若某位选手的 人气指数超过１２５才有机会夺冠， 现在某位选手第一天的人气指数从0上 升到２５，以后每天上升指数为前一 天上升指数的８０％，你看好这位选 手么？
qSn a1q a1q 2 a1qn2a1qn1a1q n
(1 1 - q q)Sna1a1qn
Sn
a1(1 qn) 1q
点击
判断是非
555 55(11n)0
11
n个
1 2 4 8 1 6 ( 2 )n 1 1 (1
2
n
)
（ 2）n
1 (2)
1 2 2 2 2 3 2 n 1 (1 2n ) n+1
第三天八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数46530万元等比数列的前30项和每天投资100万元连续一个月30天第一天返还1分第二天返还2分第三天返还4分八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数万元等比数列的前30项和连续一个月30天第一天返还1元第二天返还2元第三天返还4元46530等比数列的前等比数列的前nn项和等比数列公比为n1判断是非1279663解法1此等比数列的第5项到第10项构成一个102463的等比数列公比为项数解法210102463乘公比错位相减小结等比数列的前n项和公式1书面作业
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 12330S30 1 1, 2 2, 2 22 2, 2 23 3 , ,2 22 29 465(万元)
等比数列的前30项和
每天投资100万元， 连续一个月(30天)
小结
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
a1 anq
Sn
1q
q1
na1
q 1
na1
q 1
数
知三求二
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
思考
资料：
上海卫视０７好男儿总冠军即将 产生，据主办方透露，若某位选手的 人气指数超过１２５才有机会夺冠， 现在某位选手第一天的人气指数从0上 升到２５，以后每天上升指数为前一 天上升指数的８０％，你看好这位选 手么？
qSn a1q a1q 2 a1qn2a1qn1a1q n
(1 1 - q q)Sna1a1qn
Sn
a1(1 qn) 1q
点击
判断是非
555 55(11n)0
11
n个
1 2 4 8 1 6 ( 2 )n 1 1 (1
2
n
)
（ 2）n
1 (2)
1 2 2 2 2 3 2 n 1 (1 2n ) n+1
第三天八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数46530万元等比数列的前30项和每天投资100万元连续一个月30天第一天返还1分第二天返还2分第三天返还4分八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数万元等比数列的前30项和连续一个月30天第一天返还1元第二天返还2元第三天返还4元46530等比数列的前等比数列的前nn项和等比数列公比为n1判断是非1279663解法1此等比数列的第5项到第10项构成一个102463的等比数列公比为项数解法210102463乘公比错位相减小结等比数列的前n项和公式1书面作业
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
qS qSnn
2 n1 n2 n a1 q a q a q a q a q 1 q， a 1 a 1 a 1 a a
3
n 1
n
n
n a1a (1 q )q a s 当 时 1 n 当qq 时 , 1 Sn 11 q n .
当 时 11 当qq 时,
错位相减法1
2 n2 n1 a q S a a q a q a q 1 1 1a Snn a 1 a2 3 1 an 1 1an，
错位相减法2
n ( 1 q ) S a a q (1 q)S n a 1 a 1 q.
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题? 需注意什么?
q≠1,q=1 分类讨论
和
a1 (1 q n ) ，q 1， 或 Sn 1 q na ，q 1. 1
等比数列的前n项和
想一想
设等比数列 an 公比为 q ，它的前n项 和 Sn a1 a2 an ，如何用 a1 , q, n 或 an 来表示 S ？
n
问题讲解
qq nn aa } 等比数列 , 公比为 ,它的前 项和 等比数列{{ , 公比为 ,它的前 项和 n} n
例２、 已知等比数列 {an } 的前4项和是 S 4 40，公比
q3
解：
，求首项
a1
请学生填空
S4 40, q 3, n 4
n
a1 (1 q ) a1 1 3 S4 40 1 q 1 3
4
a1 1
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
等比数列的前n项和公式
人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐？
每个格子里放 的麦粒数都是 前一个格子里 陛下赏小 放的的2倍， 你想得到 直到第64个格 子
…
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，
n
1
s 1 , Snn na na 1
nபைடு நூலகம்
1 q
例1、 求下列等比数列前８项和：
1 1 1 1 , , , 2 4 8 16
解：
请学生填空
a1 (
1 2
), q (
1 2
), n ( 8 )
1 1 8 [1 ( ) ] 1 8 2 255 S8 2 1( ) 1 256 2 1 2
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263
② －① 得S64= 264－1. + 264 ， ①
②
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求. 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第 第 第 第 第 1 2 3 4 ……64 格 格 格 格 格
3 1 26 S6 1 2
3 26 1
a 1 2
189
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
3
2
q
2
3
n
6
5
Sn
189
(1)
(2)
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、
n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
1 2 2 2
1 2
64
3
2
63
1 (1 2 ) 64 2 1 1 2
= 18446744073709551615(粒).
算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 7000 亿吨 麦粒；如果按人 _____ 1000克 粮食计 均每天吃______ 算,此棋盘上的粮食可 70 亿人吃 供全世界_____ 上_____ 274 年.
题号 (1) (2)
a1
3 ?
q
2 3
n
6 5
Sn
? 242
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1) (2)
a1
3
2
q
2 3
n
6 5
Sn
189
242
解：(1) a1 3, q 2, n 6
(2) S 242, q 3, n 5 5
a1 1 35 S5 242 1 3
… …… ……
思考
第二层 n=2
第七层 n=7
数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
……
……
Thank you！
返回
a1 an q ，q 1， Sn 1 q na ，q 1. 1
知三求二
思考 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一
幅美丽的夜景的同时，也留
给了大家一个数学问题，你
能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
第一层 n=1
qS qSnn
2 n1 n2 n a1 q a q a q a q a q 1 q， a 1 a 1 a 1 a a
3
n 1
n
n
n a1a (1 q )q a s 当 时 1 n 当qq 时 , 1 Sn 11 q n .
当 时 11 当qq 时,
错位相减法1
2 n2 n1 a q S a a q a q a q 1 1 1a Snn a 1 a2 3 1 an 1 1an，
错位相减法2
n ( 1 q ) S a a q (1 q)S n a 1 a 1 q.
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题? 需注意什么?
q≠1,q=1 分类讨论
和
a1 (1 q n ) ，q 1， 或 Sn 1 q na ，q 1. 1
等比数列的前n项和
想一想
设等比数列 an 公比为 q ，它的前n项 和 Sn a1 a2 an ，如何用 a1 , q, n 或 an 来表示 S ？
n
问题讲解
qq nn aa } 等比数列 , 公比为 ,它的前 项和 等比数列{{ , 公比为 ,它的前 项和 n} n
例２、 已知等比数列 {an } 的前4项和是 S 4 40，公比
q3
解：
，求首项
a1
请学生填空
S4 40, q 3, n 4
n
a1 (1 q ) a1 1 3 S4 40 1 q 1 3
4
a1 1
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
等比数列的前n项和公式
人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐？
每个格子里放 的麦粒数都是 前一个格子里 陛下赏小 放的的2倍， 你想得到 直到第64个格 子
…
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，
n
1
s 1 , Snn na na 1
nபைடு நூலகம்
1 q
例1、 求下列等比数列前８项和：
1 1 1 1 , , , 2 4 8 16
解：
请学生填空
a1 (
1 2
), q (
1 2
), n ( 8 )
1 1 8 [1 ( ) ] 1 8 2 255 S8 2 1( ) 1 256 2 1 2
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263
② －① 得S64= 264－1. + 264 ， ①
②
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求. 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第 第 第 第 第 1 2 3 4 ……64 格 格 格 格 格
3 1 26 S6 1 2
3 26 1
a 1 2
189
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
3
2
q
2
3
n
6
5
Sn
189
(1)
(2)
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、
n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
1 2 2 2
1 2
64
3
2
63
1 (1 2 ) 64 2 1 1 2
= 18446744073709551615(粒).
算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 7000 亿吨 麦粒；如果按人 _____ 1000克 粮食计 均每天吃______ 算,此棋盘上的粮食可 70 亿人吃 供全世界_____ 上_____ 274 年.
题号 (1) (2)
a1
3 ?
q
2 3
n
6 5
Sn
? 242
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1) (2)
a1
3
2
q
2 3
n
6 5
Sn
189
242
解：(1) a1 3, q 2, n 6
(2) S 242, q 3, n 5 5
a1 1 35 S5 242 1 3
… …… ……
思考
第二层 n=2
第七层 n=7
数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
……
……
Thank you！
返回
a1 an q ，q 1， Sn 1 q na ，q 1. 1
知三求二
思考 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一
幅美丽的夜景的同时，也留
给了大家一个数学问题，你
能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
第一层 n=1