二维麦克斯韦方程的高阶s-fdtd方法

FDTD算法概述

前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n

1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，

时域有限差分法(FDTD)求解Maxwell方程

4
电场z分量被H分量环绕
元胞中心
Hy Ez
元胞中心
Hx
元胞中心
(i-1/2,j+1/2,k+1/2) Hx
元胞中心
Hy z (i,j,k) y
x y
5
x
直角坐标中的FDTD：一维情形（TEM波）

H y z

Ex Ex t
H y Ex z t
6
一维电磁场分量节点取样
TM和TE波不同入射角度的反射率
金属层+隐身材料+等离子体散射截面
2
时域有限差分法简介
• Yee（1966年）首先提出Maxwell方程的差分离散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问题。 • Taflove 等（1975年）用FDTD计算非均匀介质在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射，讨论了时谐场情况的近－远场外推，以及数值稳定性条件。
• Berenger （1994，1996年）提出将麦克斯韦方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配层（PML)。
2 t CA 2 t CP 1 CQ
2t CB 2 t t

8
一维无限大真空
一维真空右侧反射
一维真空与无耗介质
一维真空与有耗介质
二维金属面计算
FDTD离散
中心差分离散
TM波不同厚度的反射率
Ex
Hy
电磁场分量 Ex 空间分量取样
z
时间轴取样
k
n
Hy
k+1/2
n+1/2
7
一维FDTD离散公式
E
n 1 x
k CA E k CB

fdtd光吸收谱

FDTD（有限差分时域）方法可以用来模拟和计算吸收光谱。

通过FDTD仿真能够得到非均匀网格尺寸下的光吸收和散射场监视器，进而可以获得纳米颗粒在光照条件下的吸收和
散射光谱。

FDTD方法基于麦克斯韦的电磁波理论和有限差分法，通过离散化空间并将偏微分方程转换为差分方程来模拟电磁波在介质中的传播过程。

在计算光吸收谱时，可以通过设置合适的边界条件和源来模拟入射光与介质相互作用的过程，并计算反射光和透射光的强度以及吸收光的能量。

FDTD方法具有灵活性和通用性，可以应用于各种不同的光学问题，如光吸收、散射、反射、折射等。

它还可以模拟复杂的光学系统，如光子晶体、微纳结构等。

此外，FDTD 方法还可以结合其他数值方法，如谱FDTD方法或平面波展开法，来提高计算精度和效率。

需要注意的是，FDTD方法的计算精度和稳定性与空间网格尺寸、时间步长以及边界条件的选取等因素有关。

在实际应用中，需要根据具体问题和计算资源进行合理的参数设置和误差分析。

FDTD(2M,2N)的一种实现方法

２ＦＴ）２，Ｎ）ＤＩ（Ｍ２的基本原理
以且角坐杯杀卜耗厦甲日尢ｒ习一维ｌ ’ 力例米说明Ｆｌ２，Ｎ）习Ｊ埋，叮麦兄斯书旋度刀崔Ｍ披ＵＤ（Ｍ２日量尿此
为
ＯｔＯｔａ￡
上式中的对空间的导数均可作２阶差分［为简单见取２Ｎ，Ｎ＝２则，
ＨＨ考去毫＋）一（
丝ｙ＝ａ
ｚＦ１・
… ）
（２１）
，＋１一Ｅ（）），］｛Ｅ（［＋１＋１一２（，，）Ｅ￣ｉ＋１＋Ｅ（）一１，＋１］）
维普资讯
第２卷第４期１
２００６年８月
成
都
信
息
工
程
学
院
学
报
Ｖｏ．．１２１ＮＯ４Ａｕｇ．２０６０
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＨＥＮＧＤＵＮＩＲＳＴＹＮＦＵＶＥＩＯＦＩＯＲＭＡＴＩＯＮＴＥＣＩＮＯＬＯＧＹ－Ｌ
一
［ｉ，）Ｅ（，＋Ｅ（一１）｝Ｅ（＋１一２ｉ）ｉ，］［＋２一３）＋１＋３））一一１］）
（３１）（４１）
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此处Ｆ）【ＴＤ元胞的取法和文献［］同。把（２～（４式代入（１ｘ即得ＦＴ４２中Ｈ的迭代公式。Ｈ４相１）１）１）－￣，ＤＤ（，）
．１ａＨｒ
ａｖＯｔ２
ＯｘＯｔ。ｙＯ盟源自＋ａ国（）９

用FDTD分析部分介质填充同轴传输线的截止频率

程技巧。时域有限差分法（ＤＤ）年来得到了ＦＴ近广泛的应用，是目前电磁场频域内最活跃的数它
值计算方法之一Ｊ该方法把所有问题都当作，
初值问题处理，电磁场的时域特性能被直接反使映出来，给复杂的物理过程提供了清晰的物理图像，时域信息进行傅立叶变换获得频域信息。对
收稿日期：０７— ２２０５— ０
基金项目：家自然科学基金资助项目（０６０２；南省自然科学基金资助项目（０４０２Ｍ）国１３５０）云２０Ａ０８
作者简介：王秀玲（９１，山东省招远市人，１８一）女，硕士研究生，主要从事电磁场理论及应用研究．
截止频率。
的问题之一。求解本征值的数学方法很多，应用较多的主要是有限元法和有限差分法儿。但
这些方法通常需要较大的计算机资源和良好的编
１２Ｄ—ＦＴＤＤ法的基本原理及差分公式
ＦＴＤＤ方法是由微分形式的麦克斯韦方程出发进行差分离散从而得到一组时域递推公式。在研究波导和传输线本征值问题时，设波导结构假
填充波导的分析。本文主要用２Ｄ—ＦＴＤＤ方法计算了内十字形外矩形截面的方形同轴电缆线
的物理量均与坐标无关，ＯＯ＝０即／ｚ。下面给出和：差分公式Ｊ其它场分量可按类似的的，

时域有限差分方法发展

时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。

FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。

本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。

一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。

此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。

1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。

随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。

二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。

其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。

FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。

具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。

该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。

这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。

在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。

三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。

目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。

FDTD方法

： UPML吸收边界中
σ κ的
的
吸收边界条件
FDTD计算区域中 σ 和κ 的特殊取值，如图所示：
吸收边界条件
直角坐标系中旋度的表达式：
∂f y ∂f x ∂f x ∂f z ∂f z ∂f y − ∇ ×f = ( − )i + ( − )j + ( )k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
基本公式
远场计算
利用时域电磁流直接在时域进行远场外推，得到远场点的时域值，这对于计算目标的宽频带远场特性比较有效，但显然这种方法需存储多个时间步的远场时域值，随着场点数目增多，所需内存也越来越大。
先将时域电磁流在FDTD方法的迭代过程中利用离散傅立叶变换(DFT）转化为频域电磁流，然后再在频域进行远场外推，这样可以避免存储时域远场值。但这仅适合在较少的工作频率点上求远场，否则频域电磁流的存储量也会很大。
与这两种场量对应的时域电、磁流分别为： 1 n− n− 1 ) ) J z 2 (i, j , k ) = x × y H y 2 (i, j , k ) ) ) n M yn (i, j , k ) = − x × z E y (i, j , k )
(7.4 - 3) (7.4 - 4)
对于典型的二端口网络电路。其四个S参数为：
U 式中， i ,inc (t ) 和 U i ,ref (t )(i = 1,2)是指每个端门的入射电压和反射电压；是 U i ,trans (t )(i = 1,2) 指相对于其他入射波端口 i 的传输电压端口的传输电压。各个端门的时域电压值由参考面上的时域电场积分可以获得。
逆时针积分
周向电流源激励，如图所示：
其缺点：由于电流源馈电模型中线天线馈电点处被定义为理想导体以符合电流存在的物理条件，因此它无法像电压源激励方式那样可以直接地计算出馈电点处的输入电压，从而导致这种馈电方式无法直接获得天线的输入阻抗参数。

无条件稳定时域有限差分法综述

无条件稳定时域有限差分法综述
林智参
【期刊名称】《数字技术与应用》
【年(卷),期】2018(036)007
【摘要】时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一,可以对电磁问题进行直观的描述,且容易编程分析,已经发展成为一种成熟的数值计算方法.然而,传统FDTD算法的时间步长收到了稳定性条件的限制,这使得FDTD方法的计算效率和应用范围受到了限制,因此无条件稳定算法应运而生,人们提出了多种形式的无条件稳定FDTD算法.本文介绍并分析了几种无条件稳定的时域有限差分法,给出了具有一定参考价值的结论.
【总页数】2页(P228,230)
【作者】林智参
【作者单位】广州民航职业技术学院,广东广州 510403
【正文语种】中文
【中图分类】O441.4
【相关文献】
1.二维无条件稳定时域有限差分方法 [J], 黄斌科;蒋延生;汪文秉
2.三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法 [J], 刘宗信;陈亦望;徐鑫;刘亚文;孙学刚;张书迪
3.二维麦克斯韦方程改进的无条件稳定的时域有限差分方法 [J], 高理平;李琳
4.基于3次B样条无条件稳定的位移元子区间法 [J], 崔旭明;秦玉文
5.无条件稳定时域有限差分法综述 [J], 林智参
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FDTD理论模型

参考书籍:<天线理论与技术> 卢万铮,<Electromagnetic Metamaterials>, caloz< Negative Refraction Metamaterials>, Eleftheriades-Balmain《博士论文集》山大，中科院一、FDTD 理论模型：广义的Maxwell 方程可表示为0B E M tD H J tD B ρ∂∇⨯=--∂∂∇⨯=+∂∇•=∇•= 其中：,m e M H J E σσ==，m σ，e σ分别为导磁率和电导率，分别对应介质的磁损耗和电损耗。

对各向同性，均匀，无耗介质有本构关系：00,,r r D E B Hεμεεεμμμ====（在无电荷源和电流源的无源介质空间，应用麦克斯韦方程组和简单的矢量运算就可以推导出电磁波的波动方程：22222200E E t H H t μεμε∂∇-=∂∂∇-=∂ ））根据以上方程组和本构关系，可得两个旋度方程的分量形式：111111y x z e x y x z e y y x z e z y x z m x y x z m y y x z m z H E H E t y z E H H E t z x H H E E t x y E H E H t z y H E E H t x z E E H H t y x σεσεσεσμσμσμ∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭以上六个微分方程就构成电磁波与三维物体结构相互作用数值算法基础对于二维问题，假设所有问题与z 轴无关，即0z∂=∂，Maxwell 方程组转化为独立的两组方程，分别对应TM 和TE 偏振的电磁波：对TM ：只包含Ex, Ey, Hz111x z m x y z m y y x z e z H E H t y H E H t x H H E E t x y σμσμσε⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭对TE 波：Hx, Hy, Ez 111x z e x y z e y y x z m z E H E t y E H E t x E E H H t y x σεσεσμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂∂⎝⎭为了将上面微分方程转化为差分方程，必须将电磁场在空间和时间进行离散化，采用Yee 氏离散方法********负折射材料中的时域有限差分法为了避免在迭代过程中出现不稳定的情况，需要对负折射材料的介电常数和磁导率进行间接的设置，因为负折射材料中必然存在色散和吸收，所以要在FDTD 模拟中加入负折射材料，就必须引入某种色散模型，在此引入最基本的色散模型DRUDE 模型：在该模型中，负折射材料的介电常数和磁导率可以分别写为：()()202011pe e pm m i i ωεεωωγωμμωωγ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭其中，0ε为介质绝对介电常数，pe ω为电场等离子体频率，e γ为电场的碰撞频率即色散同样，0μ为介质绝对磁导率，pm ω为磁场等离子体频率，m γ为磁场的碰撞频率即色散。

FDTD法计算地闪回击时地下水平电场

·1·文章编号：2095－6835（2021）08－0001－04FDTD 法计算地闪回击时地下水平电场徐黄飞1，林靖2，黄欣怡2（1.广东省气象探测数据中心，广东广州510080；2.河源市气象局，广东河源517000）摘要：闪电放电过程中产生的电磁脉冲会危害地下通信、监控、电力、计算机等现代化系统，不利于地下空间活动的开展，甚至会威胁到人们的生命安全。

主要研究了地闪发生时的地下水平电场。

在MTLL 闪电回击模型基础上，建立地下水平电场的二维柱坐标时域有限差分计算模型，对比分析距离闪电通道水平距离、深度、土壤电导率大小及其分布、回击电流等对地下水平电场特征的影响。

关键词：地下水平电场；闪电回击；FDTD ；分层土壤中图分类号：TM863文献标志码：ADOI ：10.15913/ki.kjycx.2021.08.001随着人类社会的进步，地下空间的发展已经体现在各个方面，如交通设施、大型地下综合体、民防与综合防灾设施、市政管线及其他基础设施的地下化与集约化等。

地下空间的发展与电力联系密切，且对供电的可靠性要求也越来越高。

闪电回击产生的地下电磁场已成为迫切需要研究的课题。

关于闪电电磁场的研究，前人已经做了很多工作，但其研究空间主要位于地表以上[1-3]，对闪电在地下产生的电磁场的研究甚少。

本文主要研究地闪回击时地下电磁场，利用二维时域有限差分法[4]计算地闪发生时距离闪电通道不同水平距离处、不同深度处以及土壤电导率不同时的电场水平分量大小。

通过对地闪发生时地下水平电场基本特征的研究，找出减少雷电对地下电力设施干扰的方法。

1计算方法和电流模型介绍1.1时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain ，FDTD ）在1966年由YEE 首次提出，MIMOUNII 等将FDTD 法应用于闪电地下电磁场的计算[5]。

FDTD 方法是求解麦克斯韦方程的时域方法。

FDTD概况

n 1 / 2
E zn 1 i, j , k 1 / 2 E zn i, j , k 1 / 2 i, j , k 1 / 2 n E x i, j , k 1 / 2 t i, j , k 1 / 2
i 1 / 2, j, k 1 / 2 H yn1/ 2 i 1 / 2, j, k 1 / 2
FDTD——将电场磁场划分到一个晶格的节点上离散分析，时间上每次取一个（或者半个）时间步。抽象模型：将电场线，磁场线分段并转化为定向微电荷，微磁荷，呈空间晶格排布。随时间变化，微电荷，微磁荷转移形成散射波。处理边界问题主要使用平均法。

FDTD理论基础

电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔相差半个时间步。电场和磁场在空间排布上相差半个空间步，两者随时间交替转化。电磁场时间和空间相互独立，使麦克斯韦旋度方程离散后构成显式差分方程，计算简便。
2
, j, k )
( x) 2
第一个式子离散化
H x 1 E y E z t z y
n 1 / 2 n 1 / 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H i , j 1 / 2 , k 1 / 2 H x ↓↓ x t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 Ey 1 i, j 1 / 2, k 1 / 2 z
t n t

上述六个式子离散：用i∆x,j∆y,k∆z,代表坐标x,y,z。
电场和磁场的抽样点在时间轴上相差半个时间步电场和磁场的抽样点在空间轴上相差半个空间步
H x H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 t t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 E y E y z z E z E zn i, j 1 / 2, k E zn i, j 1 / 2, k y y

二维麦克斯韦方程稳定高效的数值算法

二维麦克斯韦方程稳定高效的数值算法
1 二维麦克斯韦方程的介绍
二维麦克斯韦方程（2-dimensional Maxwell equation）是描述电荷和磁场交互作用的数学方程，通常用来计算电磁场的分布特征。

由于和电荷的空间位置有关，二维麦克斯韦方程的解很难获得，为此需要用数值计算方法来求解。

2 稳定高效的数值算法
为了解决二维麦克斯韦方程，研究人员提出了稳定高效的数值解算法。

这类方法在有限元空间中构建半有限差分格式，其独特性质既能保证数值解的精度也可以提升计算效率。

具体到计算二维麦克斯韦方程，解的精度依靠半有限差分格式的构建及计算的高效性，以确保准确无误。

通常在计算中，采用前向时域（FDTD）方法配合算子分散的二阶半有限差分格式，来解决二维麦克斯韦方程的求解问题。

它把复杂的场方程简化为一个个普通微分方程组，用最简单的梯形步骤求解，能够产生准确可靠的结果。

3 改进算法
此外，如果二维麦克斯韦方程的参数有所变化，就需要改进求解算法。

一般而言，可以通过加速线性方程组的求解算法和采用多级步骤求解算法来提高求解效率。

例如，使用矩阵分块算法、快速多尺度
方法、基于卷积非线性方程组的共同解法等，均可有效提高求解计算效率。

4 结论
综上所述，为了准确有效地求解二维麦克斯韦方程，可以采用半有限差分格式、前向时域算法等数值计算方法，以得到经过验证的精确结果。

而当参数有所变化时，可以采用改进的算法，进一步提高解的求解效率和解的精度。

一维fdtd实现麦克斯韦方程

一维fdtd实现麦克斯韦方程
一维FDTD（时域有限差分）方法用于求解麦克斯韦方程的实
现过程如下：
1. 定义网格：首先确定空间的离散网格，在一维情况下，我们将空间分为若干个离散的点，每个点的位置用索引表示，例如
i=0, 1, 2, …, N-1，其中N为网格的节点数。

2. 确定时间步长和空间步长：为了保证计算的稳定性，需要选择适当的时间步长Δt和空间步长Δx。

一般来说，可以根据Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件来选择，在一维情况下，CFL条件为Δt ≤ Δx/ c ，其中c为电磁波在介质中的传播速度。

3. 初始化场变量：初始化电场E和磁场H的值。

通常情况下，可以将它们的值设置为0。

4. 更新电场：根据麦克斯韦方程中的电场更新公式进行计算：E(i,t+Δt) = E(i,t) + Δt/ε * (H(i,t) - H(i-1,t))/Δx
这里ε为介质的电容率，Δx为空间步长。

注意边界条件的处理，可以采用一维开路边界条件或者周期
性边界条件。

5. 更新磁场：根据麦克斯韦方程中的磁场更新公式进行计算：H(i,t+Δt) = H(i,t) + Δt/μ * (E(i+1,t+Δt) - E(i,t+Δt))/Δx
这里μ为介质的磁导率。

注意边界条件的处理，可以采用一维开路边界条件或者周期性边界条件。

6. 重复步骤4和5，直到计算结束。

这样我们就可以通过一维FDTD方法来求解麦克斯韦方程，得到电场和磁场在空间中的分布。

需要注意的是，这里只给出了一维情况下的实现过程，对于二维和三维情况，可以进行类似的推导和实现。

FDTD介绍解析

FDTD介绍解析FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种时域有限差分方法，用于求解电磁波在介质中传播的问题。

它是一种直接的数值求解方法，通过离散化时空域，将电磁波的偏微分方程转化为差分方程，利用时间步进的方式进行数值计算，从而得到电磁波在空间中的传播情况。

FDTD方法最早由美国伊利诺伊大学的Kane S. Yee于1966年提出，是时域有限差分方法中最为广泛应用的一种。

它的优点是简单易实现，计算效率高，适用于各种不规则场景和介质。

因此，在电磁学、光学、天线、无线通信等领域中得到了广泛应用。

FDTD方法的基本思想是将时空域离散化，将电磁场的偏微分方程转换为差分方程。

在FDTD方法中，空间域被划分为一个有限的网格，时间域被划分为离散的时间步长。

通过迭代计算，根据已知的初值条件和边界条件，在每个时间步长内更新场量的数值。

FDTD方法主要包括以下几个关键步骤：1.空间网格的划分：将求解区域按照一定精度进行离散，通常采用矩形网格，也可以根据具体问题选择其他形式的网格。

2. 时间步长的确定：根据Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，确定时间步长，保证波的传播速度不超过网格尺寸的倒数。

较小的时间步长可以提高求解的精度，但会增加计算量。

3.电场和磁场的更新：通过差分方程更新电场和磁场的数值。

根据麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场的更新公式。

其中，电场的更新公式涉及磁场的数值，磁场的更新公式涉及电场的数值。

4.边界条件的处理：为了模拟无限大的介质，需要对边界进行特殊处理。

常见的边界条件有吸收边界条件和周期性边界条件等。

吸收边界条件可以避免反射和波的传播超出边界，周期性边界条件可以模拟波的周期性传播。

5.辅助量的计算：在求解过程中，可以根据需要计算一些辅助量，如场强、功率流密度等。

这些辅助量可以用于分析电磁波传播的特性和效果。

FDTD方法的应用非常广泛。

在电磁学中，可以用于计算二维或三维空间中的电磁场分布、辐射特性、散射特性等。

fdtd基本原理

(12)
1 1 nz 2 1 1 1 nz 2 n z 1 nz H y (t ) [ E x (t ) E x (t )] J my (t ) t 0 z 0
1 1 1 t t H y ( z, t ) [H y (nz ) H y (nz )] O[(z)2 ] z z 2 2 z n z z
( 19)
由(14)与(18)可得(8b)的差分形式：
FDTD基本原理
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
H t
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
1 1 1 1 nz 2 n z 1 nz [ E x (t ) E x (t )] J my (t ) 0 z 0
( nz 1/ 2, nt 1/ 2) Hy
( n z 2 , nt ) Ex
( n z 1, nt ) Ex
E x( n z , nt )
z 2
nz 1 / 2
E x( n z 1, nt )
z 2
nz 1 / 2
z 2
nz 2
z 2
nz 3 / 2 nz 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
( 21)
由(20)整理可得：
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
t t ( n z 2 , n t ) ( n z 1, n t ) ( n z , nt ) [E Ex ] J 0 z x 0 my
H
y
(nz 3/ 2)
(nz 1/ 2)
(nz 1/ 2)

FDTD

2.1 FDTD 演算法FDTD(Finite-Difference Time-domain) 时域有限差分法是对电磁波进行仿真和模拟，FDTD 方法在 1966 年首次被提出，之后便得到迅速发展和广泛应用，现已在诸多领域取得研究成果和应用价值。

该方法使用麦克斯韦方程对电磁场进行计算模拟的数值分析方法，由麦克斯韦方程组可推导出： E r r H r t E )()()(1εσε-⨯∇≡∂∂ （2.1） m J E tB -⨯-∇=∂∂ （2.2） )(),(),(r r rμσε分别是介质的介电系数，电导率，磁导系数，都为位置的函数。

将公式（2.1）、(2.2)在直角坐标系下展开得： z m z x y y m y z x x m x y z H tH y E x E H tH x E z E H tH z E y E σμσμσμ-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂ （2.3） z z x y y y z x x x y z E tE y H x H E tE x H z H E tE z H y H σεσεσε+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂ （2.4）在 FDTD 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2.1所示，这就是著名的Yee 元胞。

图2.1 Yee 元胞示意图由图示可以看到，每一个磁场分量都由四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量由四个磁场分量环绕。

此外，电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使用麦克斯韦旋度方程离散，使之构成显式差分方程，从而可以在时间上进行迭代求解。

因此，由给定相应的电磁场问题的初始值和边界条件，FDTD 方法就可以逐步推广的求解三维空间电磁场。

2.2 差分表达式若设观察点(x,y,z)为x E 的节点，以及时刻t n t ∆+=)1(，于是，(2-3)式中第一式的离散为：111(,,)()(,,)22n n x x E i j k CA m E i j k ++=∙+1/21/21/21/2(1/2,1/2,)(1/2,1/2,)()(1/2,,1/2)(1/2,,1/2)n n z z n n y y H i j k H i j k CB m y H i j k H i j k z ++++⎡++-+-+∙-⎢∆⎣⎤++-+-⎥∆⎥⎦ （2.5）式中)(2)(1)(2)(1)(m t m m tm m CA εσεσ∆+∆-= （2.6）)(2)(1)()(m t m m tm CB εσε∆+∆= （2.7）上式m=(i+1/2,j,k)。

FDTD使用说明文档

FDTD使用说明文档FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种计算电磁波动方程的数值模拟方法。

它通过将空间和时间离散化，将整个问题转化为了差分方程的求解。

FDTD方法适用于计算二维和三维空间中的电磁波的传播和辐射问题，广泛应用于大气物理、电磁学、光学和电磁兼容等领域。

下面是FDTD的使用说明文档，包括基本原理、步骤和参数设置等。

一、基本原理：FDTD方法基于麦克斯韦方程组，将空间和时间划分为网格进行离散化，通过差分形式的麦克斯韦方程进行求解。

具体步骤如下：1.空间离散化：将计算区域划分为网格，每个网格点上都有电场和磁场分量。

2.时间离散化：使用时间步长Δt，将时间进行离散化。

3.更新电场：根据麦克斯韦方程组的电场更新公式，根据磁场的值更新电场的值。

4.更新磁场：根据麦克斯韦方程组的磁场更新公式，根据电场的值更新磁场的值。

5.边界条件：设置适当的边界条件，如吸收边界条件、周期性边界条件等。

6.重复步骤3-5，直到模拟结束。

二、步骤：使用FDTD方法进行模拟一般可分为以下步骤：1.设定计算区域的大小和网格划分，根据模拟需求确定网格节点数和间距。

2.初始化电场和磁场，设置初始场分布。

3.根据模拟需求设置时间步长Δt，以及计算的总时间或模拟步数。

4.迭代更新电场和磁场，按照FDTD的原理进行计算。

5.设置边界条件和吸收边界条件，确保计算区域的边界不会对计算结果产生影响。

6.输出结果，根据需求选择输出电场、磁场以及网格中其他物理量的数值。

7.模拟结束。

三、参数设置：在使用FDTD方法进行模拟时，一些重要的参数需要进行合理的设置，以保证模拟结果的准确性和稳定性：1.网格分辨率：根据模拟的需求和计算资源，设置合适的网格划分和节点数，以充分捕捉到目标问题的细节。

2.时间步长：时间步长Δt决定了模拟的时间分辨率，需要根据模拟的频率范围和计算精度要求设置。

3.边界条件：选择适当的边界条件，可以是吸收边界条件、周期性边界条件等，以避免计算区域的边界对计算结果的影响。

用FDTD法分析二维光子晶体带隙

ｐｏｏｉｒｓａｓＴｈｅｕｔｈｗｈｔｔｅｑａｉ１Ｄｎ一ｃｍｐｅｈｔｎｃｃｙｔｌｂｎｇｐｈｔｎｃｃｙｔｌ．ｅｒｓｌｓｓｏｔａｈｕｓ一ａｄ２Ｄｏｌｘｐｏｏｉｒｓａａｄａｓ
一
晶体是一系列介质圆柱在空间二维周期排列，第三维上均匀无限。当电磁波垂直于圆柱入射时，在透射光
中将出现带隙，带隙的位置宽度与入射电磁波的偏振模式、本身的结构有关。光子晶体传输特性常用的研究方法有平面波展开法、转移矩阵法和时域有限差分（ｎｅｉｅｅｃｔｏｉＦＴ）ｆｉｆｒｎｅｉｄｍａｉｔｄｆｍｅｎ，ＤＤ法等Ｌ。３现用］ＦＴＤＤ法对常见的一维光子晶体和二维正方圆柱光子晶体传输函数进行了研究，并分析其禁带情况。
１引
言
．
光子晶体是一种由不同介电常数的材料间隔周期性排列而成的人工材料［。１当电磁波入射其上时，］某频率范围内的电磁波不能透射过去，很像固体物理学中晶体的能带，以引进禁带与带隙的基本概所念［。它的理论及应用研究是目前物理学材料科学与光电子领域最热门的课题之一。２］二维正方圆柱光子
维普资讯
・
２４・
光
学
仪
器
第２卷９
理任意几何形状的光子晶体；此外，它可以通过傅里叶变换，一次计算出包含很大频率范围的结果。
ｄｍｅｓｏａ１ｉｎｉｎｌ（Ｄ）ａｄｔ — ｉｎｉｎｌ（Ｄ）ｐｏｏｉｒｓａｓａａｙｅｎｉｌｔｄｂｓｎｉｉｎｗｏｄｍｅｓｏａ２ｈｔｎｃｃｙｔｌｉｎｌｓｄａｄｓｍｕａｅｙｕｉｇｆｔｎｅｄｆｅｅｃｉｏｉ（ｉｆｒｎｅｔｍｅｄｍａｎＦＤＴＤ）ｍｅｈｄａｄｎｍｅｉａａｃｌｔｏ．Ｔｈｉｔｉｆｒｎｅｔｏｉｔｏｎｕｒｃｌｃｌｕａｉｎｅｆｎｅｄｆｅｅｃｉｄｍａｎｉｍｅ

FDTD原理及例子

FDTD方式将时间进行差分，并且磁场与电场交替迭代更新
对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0 •D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
E
B t
Jm,
Jm
sH
• B m
• D e
H j ( j )E
E j H
E ( x, y, z, t) E0 ( x, y, z, t)e jt H (x, y, z, t) H 0 (x, y, z, t)e jt
一维标量波动方程为例 2u c2 2u
t2
x2
设在离散空间点xi,tn,离散行波解为 u i n u x i,t n e jn t k ~ i x
将上式代入差分方程
uin1c xt2uin 12uinuin 1 2uinuin1
t2c2Ox2Ot2
得：e j t c t 2 e jk ~ x 2 e jk ~ x 2 e j t x
3） Yee算法以蛙跳算法在时间上安排E和H分量。在某一时刻，使用前一时刻的E数据计算所有H分量。然后，再使用刚计算的H数据计算所有的E分量。如此循环，直至完成时间步进过程。
数值稳定性问题
（1）FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。（2）FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一定值以避免数值不稳定性。（3）数值稳定性分析方法是建立在Courant等人几十年前提出的经典方法基础上。这种方法首先把有限差分算法分解为相互分离的时间和空间本征值问题。

用FDTD方法分析等边三角形微腔中的横模

用FDTD方法分析等边三角形微腔中的横模作者：霍海燕吴根柱来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第7期霍海燕1，吴根柱2（1.呼和浩特民族学院，内蒙古呼和浩特 010051；2.内蒙古大学物理科学与技术学院，内蒙古呼和浩特 010021）摘要：本论文使用FullWAVE 4.0软件中的二维FDTD法模拟了有效折射率为3.2，边长为5微米的等边三角形光学微腔模式分布状况.对腔内的横模模场进行分析，发现等边三角形微腔在低阶模时，光线在三角形边界上几乎发生全反射，但随着模阶数的增大光线的透射逐渐增强，能量损失逐渐变大，在腔内很难形成稳定的模式分布，这说明等边三角形微腔有利于基模工作.关键词：光学微腔；时域有限差分法；等边三角形微腔；模式匹配方法中图分类号：TN248.4 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）07-0005-02光学微腔是指线度约为5μm至500μm的光学介电谐振器.近年来,光学微腔，由于其高品质因子（Q值）和低模式体积等独特的特点，正越来越受到人们的关注，它可应用在要求极细线宽、极高能量密度和亮度或极细微探测能力的场合,例如窄带光学滤波和极低阈值激光器等.随着半导体微加工技术的进步,半导体激光器有了更大的发展，已经由传统的法布里—珀罗谐振腔发展到了微腔阶段,并且微腔激光器已经显示出高品质因子、低阈值电流等优点，但在另一方面这个有利的因素也给光的定向输出方面带来了问题.如何实现光的定向输出，微腔横截面的形状研究就成为了人们非常感兴趣的问题，从最初的微盘，到后来的变形微盘，再到后来的多边形微腔.为了提高输出效率，人们就逐渐研究不同形状的微腔结构，现在研究最多的是正三角形，正方形，以及正六边形和正八边形等.当多边形微腔的边数逐步增加的时候，它的性质应该越来越趋向于微盘.但是当其边数很少的时候，由于对称性比较低它的性质又应该与微盘很不相同.三角形微腔作为其中一种已经开展了广泛的研究，并取得了一定的进展.最近几年,人们在麦克斯韦方程基础上对正三角形光学微腔的模式特性作了较深入的研究，国内，中国科学院半导体研究所黄永箴研究员领导的课题组采用时域有限差分法(FDTD)对等边三角形微腔的模式特性作了较深入研究，并取得了一定的成果.在国内，中国科学院半导体研究所黄永箴研究员领导的课题组，对于边长为5μm的等边三角形光学微腔的模式特征报道过，这里，我们将利用FullWAVE 4.0软件，再次模拟分析了边长为5μm的等边三角形微腔的模式特性，并计算出了模式品质因子Q值.1 用FDTD模拟等边三角形光学微腔模式我们使用FullWAVE 4.0软件对等边三角形微腔进行了图像模拟，为了工艺上容易实现取等边三角形的边长为5μm，内部折射率为3.2，外部为空气，其折射率为1.0，自由空间波长为1.55μm.在激发时，时间步长满足Courant稳定性条件的同时，首先，激发脉冲频谱要足够宽，以覆盖所有赶兴趣的频率范围实现多模激发，为充分激发，模拟中多脉冲多点同时激发.然后，压缩频谱宽度，脉冲中心取在待激发模式的频率位置，激发出单个模式.2 等边三角形微腔的横模模拟结果我们使用FullWAVE 4.0软件对边长5μm的等边三角形微腔进行了图像模拟，时间步长?驻t满足Courant稳定性条件取为0.014ps，时间序列长度取为218，脉冲延迟时间取为1.763ps，脉冲宽度tw取为0.684ps.图形模拟结果为如图1所示的模场分布图：3 结论可以看出等边三角形微腔基模时，光线在三角形边界上几乎发生全反射，但随着模阶数的增大光线的透射逐渐增强，能量损失逐渐变大，在腔内很难形成稳定的模式分布，等边三角形微腔有利于基横模工作.——————————参考文献：〔1〕Yong-Zhen Huang, Qiao-Yin Lu, Wei-Hua Guo, and Li-Juan Yu, Analysis of mode characteristics for equilateral triangle semiconductor microlasers with imperfect boundaries, IEE, Proc.-Optoelectron. 2004，151(4), 202-204.〔2〕黄永箴，国伟华.正三角形及正方形微光学腔模式特性研究.物理，2004，33(7)：515-518.〔3〕Yong-Zhen Huang, Qin Chen, Wei-Hua Guo, Qiao-Yin Lu, and Li-Juan Yu, Mode Characteristics for Equilateral Triangle Optical Resonators, IEEE, J. Sel.Top. Quantum Electron. 2006.12(1),59-65.〔4〕Taflove and S. C. Hagness, Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Dom a in Method[M],Second Edition, Artech House,Boston/London,2000.。