2020-2021学年第一学期高等数学D (B卷)期末试题

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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2021年高一上学期期末考试数学(B)试卷含答案

2021年高一上学期期末考试数学（B）试卷含答案一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设集合，集合，则等于（ D ）A. B. C. D.2、已知函数，则（ B ）A.4B.C.-4D.-3、函数的定义域为，若，，则（ B ）A. B. C. D.4、过点P(-1,3),且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A)A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x+2y+7=05、函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( C)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6、已知两直线l1:x+(1+m)y=2-m,l2:2mx+4y=-16,若l1∥l2则m的取值为( A)A.m=1B. m=-2C. m=1或m=-2D. m=-1或m=27、如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论错误的是( D)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD18、函数的定义域为（ A ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（C）Ａ．或Ｂ．或Ｃ．或Ｄ．或10、已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为( B)A.5B.10C.8D.不确定11、一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( B)12、经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 ( A ) A.(x-4)2+(y-5)2=10 B.(x+4)2+(y-5)2=10C.(x-4)2+(y+5)2=10D.(x+4)2+(y+5)2=10二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、方程的解是．14、已知一个球的表面积为36πcm 2,则这个球的体积为 36π cm 3则的值为116、圆心为且与直线相切的圆的方程是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分） 17、（本小题满分10分）已知直线：，：，求：（1）直线与的交点的坐标；（2）过点且与垂直的直线方程．解：（1）解方程组得，所以交点（2）的斜率为3，故所求直线为即为18、(本题满分12分)已知集合A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求A ∪B;(A)∩B.(2)若A ∩C ≠,求a 的取值范围. 解：B={x|4≤x<8}∪{x|2<x<10} ={x|2<x<10}; A={x|x<4,或x ≥8},(A)∩B={x|2<x<4,或8≤x<10}.1 2 32111 2 3321(2)若A ∩C ≠,则a>4.19、（本小题满分12分）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1解：（1）证明:连结BD . 在长方体中，对角线.又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， .. 又B 1D 1⊂≠ 平面，平面，EF ∥平面CB 1D 1.（2）在长方体中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 20、（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-x-2a. (1)若a=1,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求实数a 的取值范围. 解：(1)当a=1时,f(x)=x 2-x-2. 令f(x)=x 2-x-2=0得x=-1或x=2. 即函数f(x)的零点为-1与2.(2)要使f(x)有零点,则Δ=1+8a ≥0,解得a ≥-, 所以a 的取值范围是a ≥-.21、（本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上. (1) 求直线AB 的方程. (2) 求圆C 的方程.解：1)直线方程为：y=x+1A 12)圆方程为：(x+3)2+(y-6)2=40.22、（本小题满分12分）已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=,f(2)=.(1)求a,b.(2)判断f(x)的奇偶性.【解析】(1)因为f(1)=,f(2)=,所以即解得a=-1,b=0.(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,其定义域是R.又因为f(-x)=2-x+2x=f(x),所以函数f(x)是偶函数. :27122 69F2 槲M23188 5A94 媔#31418 7ABA 窺28462 6F2E 漮35159 8957 襗38285 958D 閍30163 75D3 痓33820 841C 萜 35968 8C80 貀T。

高等数学上册期末考试卷

高等数学上册期末考试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 2C. -2D. -42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)5. 函数\( y = \ln(x) \)的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{x}{1} \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \frac{1}{x} + 1 \)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\( \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 \)，则\( \int_{1}^{2} f(x)dx\)的值是______。

2. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在\( x = 0 \)处的极限是______。

3. 若\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4) = a \)，则\( a \)的值是______。

4. 函数\( y = \ln(1 + x) \)的二阶导数是______。

5. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)的和是______。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

大一高数b下期末考试题及答案

大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。

答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。

答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。

因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。

答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。

因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。

4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

2020-2021学年高等数学期末考试题(含答案)

2020-2021学年高等数学期末考试（含答案）一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. 已知f (x ) =x-11, 则f [f (x )] = .2. 设f (1+Δx ) - f (1) = 2Δx + (Δx )2, 则)1(f '= .3. f (x ) = x + cos x 的单调递增区间为 .4. 不定积分⎰=+xdx x 22tan )tan 1( . 5.⎰-=++113)1cos 3(dx x x x .6. 点M (-1, 2, 3)关于坐标面x o y 的对称点为 . 二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. 设函数f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≥+<0,,0,2sin x x a x x x 在x = 0处连续, 则常数a =( )A . 0;B . 1;C . 2;D . 3. 2. 已知一个函数的导数为x y 2=', 且x = 1时y = 2, 则这个函数是( )A . 12+=x y ;B . 23212+=x y ; C . C x y +=2;D . y = x + 1. 3. 下列函数中在[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理条件的是( )A . ||x y =;B . )1ln(2x y +=;C . )1ln(x y +=;D . x y 1=. 4. 设f (x ) =⎰x tdt 0sin , 则f (f (2π))等于( )A . -1;B . 1;C . -cos1;D . 1-cos1.5. 下列反常积分收敛的是( )A . ⎰∞+e dx xx ln ;B . ⎰∞+e xx dxln ;C .⎰∞+ex x dx2)(ln ;D . ⎰∞+e x x dx ln .6. 同时垂直于向量a = (2, 1, 1)和b = (0, 1, 1)的单位向量是( )A . )21,21,0(; B . )21,21,0(-;C . )31,31,31(-; D . )31,31,31(.三、计算题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)1. 求极限: ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π.2. 求曲线922=-xy y 在点(0, 3)处的切线方程和法线方程.3. 设函数f (x )的一个原函数为xxsin , 求⎰'.)(dx x f x4. 计算I =⎰++70311x dx.5. 计算I =⎰-1.|)12(|dx x x四、应用题(本大题分2小题, 每小题9分, 共18分)1. 已知函数f (x ) =dt t kt t x )2sin (1⎰-在x =6π处有极值, 求常数k 的值, 并讨论是极大值还是极小值.2. 求曲线y = e x , y = e -x 和直线x = 1所围成平面图形的面积A 以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积V x .五、证明题(本大题6分) 证明: 当x > 0时, 有ln(1+x ) >xx+1.一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. x 11-;2. 2;3. (-∞, +∞);4.C x +3tan 31; 5. 2;6. (-1, 2, -3).二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分) 1. C ; 2.A ; 3. B ; 4.D ; 5. C ; 6. B .三、计算下列各题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)1. 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π=x x x 1arctan 2lim -+∞→π (2分) =22111lim xx x -+-+∞→ (2分)=221lim x x x ++∞→ (2分)=1. (2分) 2. 解: 0222='--'⋅y x y y y , (2分)xy yy -=', (1分)10='=x y . (1分) 因此,所求切线方程为y - x = 3; (2分) 法线方程为y + x = 3. (2分)3. 解: 因为2sin cos )(xxx x x f -=, (2分)所以, ⎰'dx x f x )(=⎰)(x xdf (2分) = ⎰-dx x f x xf )()((2分) =2sin cos xx x x x -⋅C x x +-sin (1分) =C x x x +-sin 2cos .(1分) 4. 解: 设t x =+31, (1分)则13-=t x , dt t dx 23=. 当x = 0时, t =1; 当x = 7时, t = 2. (1分)因此⎰++70311x dx =⎰+21213tdtt =(1分)⎰++-2121113tdtt =⎰++-21)111(3dt tt (2分) =))1ln(21(32121212t t t ++- (2分)=)2ln 3ln 123(3-+-=23ln 23+. (1分)5. 解: ⎰-10|)12(|dx x x =⎰-210)21(dx x x +⎰-121)12(dx x x (4分)=210221032132x x+-121212132132x x -+(2分)=81211213281121+--++-=41. (2分) 四、应用题(本大题分2小题, 每小题9分, 共18分)1. 解: )(x f '=x k x 2sin 2-, (2分)若f (x )在x =6π处有极值, 则0)6(='πf , (2分)即得k = 1. (1分)又)(x f ''=221sin 2cos 2x x x x +-, (2分)从而0)6(>''πf ,(1分)所以f (6π)为f (x )的极小值. (1分) 2. 画图, (1分)所求面积为⎰--=10)(dx e e A x x (2分)=110x xe e -+=21-+-e e . (2分)所求体积为V x =⎰--1022)(dx eexxπ(2分)=)2121(10212x xe e -+π=)2(2122-+-e e π.(2分)五、证明题(本大题6分)证明: 设x x x x f -++=)1ln()1()(, (1分)则)1ln()(x x f +=', (1分)当x > 0时, 有0)(>'x f , (1分)即f (x )在[0, +∞)上单调增加, (1分)所以, 当x > 0时, 有f (x ) > f (0) = 0, (1分)因此, 当x > 0时, 有ln(1+x ) >xx+1.(1分)。

天津市部分区2020～2021 学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准

=
4 5
2
2
5 5
……………………………………14
分
设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为，因为 0＜＜
所以 sin=
1 cos2
n, AB
5
5
故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 . 5
18.解：（1）由题意，知 3Sn an 1， n N* ， ①
…………15 分
所以 Tn
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
3 4
1 2
1 n 1
n
1
2
.
………………………………………………13 分
因为 n N* ，
所以
1 2
n
1 1
n
1
2
0
，
所以 Tn
3 4
.
……………………………………………………………………15 分
，又
BAC
90
，
以点 A 为坐标原点，分别以 AC, AB, AD 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 A xyz .
……………………………………………………6 分
则 A0,0,0 ， B0, 2,0 ， C 1,0,0 ， D0,0, 2 .
因为
E
,
F
分别为
AB,
CB
线方程为 x 3 ，
则 P
3,0 , E
3, 3 , F
3,
3
，所以
PE

复旦大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷

2020-2021学年第一学期高等数学期末考试复旦大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 212.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-3.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e4..⎰='dx x f )2( . c x f +)2(215.曲线)1ln(xe y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.2020-2021学年第一学期高等数学期末考试4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点 5.若定积分（）. A.B.C.D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求函数的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）。

2. 设抛物线上有两点，，在弧A B 上，求一点使的面积最大.3. 已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx .确定2x y e =2(x -2)的单调区间.212x x y +=24x y -=(1,3)A -(3,5)B -(,)P x y ABP ∆.4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试数学试题含解析

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由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则等于（）
A.6B.6.05C.6.2D.5.95
〖答案〗C
〖解析〗
由题中数据可得，即样本中心为： .
代入回归方程，得：，解得 .
故选C.
点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.
又圆的圆心坐标为，
所以，解得 .
故选：D.
2.连续掷两次骰子，先后得到的点数为点的坐标，那么点在圆内部的概率是（）
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗
〖分析〗
所有的点共有个，用列举法求得其中满足的点有8个，由此求得点P在圆内部的概率.
〖详解〗所有的点共有个，
点P在圆内部，即点满足，
对于B，，，
，解得：，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.
故选：ACD.
10.下列命题中正确的是（）
A. 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B.已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）
一､单选题
1.若直线平分圆的周长，则的值为（）

2021年大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试欧阳光明（2021.03.07）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x -（D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 20)31(lim .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ.7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2021年高二上学期期末考试数学(B卷)word版含答案

2021年高二上学期期末考试数学（B 卷）word 版含答案一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．若命题，则该命题的否定是（）A. B. C. D.2．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列五个命题:① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④若则； ⑤若，则.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．“双曲线C 的渐近线方程为y =±x ”是“双曲线C 的方程为=1”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分不必要条件4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则z ＝2x ＋3y 的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．23 5．函数y ＝x ＋1x －1＋5（x ＞1）的最小值为（） A ．5B ．6C ．7D ．8 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，S 5等于（）A ．－36B ．－30C ．30D ．207．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c ·cos A =b ，则△ABC （）A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9,则a 1=（）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A=60°，，为使此三角形只有一个，则a满足的条件是（）A. B.C. 或D．或10．若m是5和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．或11．从圆O:上任意一点P向x轴作垂线,垂足为P′,点M是线段PP′的中点,则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．12．下面是关于公差的等差数列{a n}的两个命题:p1:数列{na n}是递增数列；p2:数列是递增数列.其中的真命题为（）A. B. C．D．第Ⅱ卷二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分）13. 已知为一元二次函数，的解集为，则的解集为.14．△ABC中，AB=，AC=1，∠C=60°，则△ABC的面积等于 .15．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于.16．已知数列的通项公式是，则.三、解答题（本题共6小题，共76分,写出必要的文字说明，推理、演算步骤）17．（本题满分12分）（Ⅰ）双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程；（Ⅱ）求焦点在上的抛物线的标准方程.18．（本小题满分12分）已知命题p：关于的不等式的解集为；命题q：双曲线（a＞0）的离心率不小于．若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝5km，AB＝7km，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B与C的距离．（假设A，B，C，D在同一平面内）20．（本小题满分12分）甲、乙两地相距200千米，小型卡车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过150千米／小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（单位：千米／小时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为40元，为了使全程运输成本最小，卡车应以多大速度行驶？21．（本小题满分12分）设数列为等差数列，且；数列的前n项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n.22．（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为F ，离心率为，椭圆与x 轴左交点与点F 的距离为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P （0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，当△OAB 面积为时，求.高二数学（理）试题（B ）参考答案一、选择题：1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（Ⅰ）椭圆的焦点为，……………………………………2分设双曲线方程为，因为过点，得，得，而，，双曲线方程为.………………………………………6分（Ⅱ）由题意知抛物线的焦点在坐标上，又焦点在上，令焦点为（0，－2），求得抛物线为……………… 8分令y =0，得x =4，焦点为（4,0）求得抛物线为所求抛物线为和.…………………………………………………12分18．解：命题p ：关于x 的不等式的解集为空集，所以，即所以 ……………………… 2分则p 为假命题时：或； ………………………………………………… 4分由命题q ：的离心率不小于,所以 ,解得；,则q 为假命题时：； ……………………………………………………………6分命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 、q 中一真一假， …………………… 8分若p 真q 假，则 ; 若p 假q 真，则a 不存在，所以实数a 的取值范围为.…………………………………………………… 12分19．解：在△ABD 中，设BD = x ，则，………………………………………………2分即 ………………………………………………………………4分整理得：，解之：x 1=8 ，（舍去）， …………………………6分由正弦定理，得： , …………………………………………8分∴=（km ）. ……………………………………………………11分答：两景点B 与C 的距离约为km. ……………………………………………12分20．解：设全程运输成本为元，卡车从甲地到乙地所用时间为小时，每小时的运输成本为：元，………………………………………………………………………2分所以2200148000401602505y v v v v ⎛⎫=+==≥= ⎪⎝⎭，………………10分当且仅当，即时等号成立.所以卡车以100千米／小时的速度行驶时，全程运输成本最小. ……………………12分21．解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，则公差因为a 3=5，所以a 1=1. 故a n =2n －1，…………………………………………………3分当n =1时，，当n ≥2时，11111121()21()()222n n n n n n b S S ---⎡⎤⎡⎤=-=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，012211 2 3 2 5 2(23) 2(21)n n n T n n --∴=+++⋅⋅⋅+-+-11 2=1 2 3 2(23) 2(21) 2n n n T n n -++⋅⋅⋅+-=-………………………………………9分11212(12)1 2 2 2 2 2 2(21) 21|2(21)212n n nn n T n n ---∴-=+++⋅⋅⋅+--=---………………………………………………………………11分 .……………………………………………………………………12分22．（Ⅰ）由题意可得，，又，解得，所以椭圆方程为 ……………………………………………………………6分（Ⅱ）根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程，……8分由直线与椭圆相交于A ，B 两点，则有，即，得：，由根与系数的关系得，故，…………………………………………10分又因为原点O 到直线的距离，故△OAB 的面积， ………………………12分，得，此时. ………………………………14分26724 6864 桤28594 6FB2 澲 20557 504D 偍31550 7B3E 笾 38333 95BD 閽39672 9AF8 髸30827 786B 硫25022 61BE 憾LNz36462 8E6E 蹮p。

2020-2021学年高等数学(上)期末试卷

2020-2021学年第一学期《高等数学（上）》课程期末考试试卷题号一二三四五六七八总分得分阅卷一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。

2021年高一上学期期末考试数学(B卷)word版含答案

2021年高一上学期期末考试数学（B卷）word版含答案一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. {4}B. （2,4）C. {4,5}D. {1,3,4}2.下列函数与函数有相同图象的一个函数是（）A. B.C. D. （。

＞0 且。

#1）3.已知函数y=/（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为（）A. 4,4B. 3,4C. 5,4D. 4,34.已知函数/（X）=⑺2+必+为+》是偶函数，且其定义域为[«-i, zd,则。

，力的值为（）A., b=。

B. a = —1, b=0C. 。

=1,力=0D. 。

=3, b=05.三个数的大小关系为（）A. B.C. D.6.设长方体的长、宽、高分别为2a、人”，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. 6na2 C. 12na2 D. 247ttz27.若函数/（x）为奇函数，且在（0, +8）上是增函数,又/（2）=0,则的解集为（）A. (-2,0)U (02)B. (0,2)C. (—X,—2)U(2, +oo)D. (—2,0)8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A. 27rB. 47rC. nD. 8TT侧视图正视图仰视图己知函数（«>0, "1）的图象如图所示,则。

，〃满足的关系是（B.D.第II 部分二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分）13 . .14 .已知平面a,"和直线机，给出以下条件：®iii//a ；②〃i_La ；③m u a ； ®a//fi. 要使U ，则所满足的条件是.（填所选条件的序号）15 .如图，在正方体中，E 、尸分别是A3和AAi 的中点，则下列命题：①E 、C 、）、尸四点共面； ②CE 、小尸、 DA 三线共点；③EF 和BDi 所成的角为90。

《高等数学》 2020-2021学年第一学期期末试卷B卷

河海大学2020—2021学年第一学期《高等数学》期末试卷（B ）一．填空题(每小题4分，共20分)1．()20ln 1lim _______________1x x x x e →+=-; 2. 函数()1x f x x =在区间()0,+∞上的最大值为 ____________3. 求顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形的面积为________4.反常积分21________ln e dx x x+∞=⎰5.设1201()()1f x f x dx x =+,则10()________f x dx =⎰二、单项选择题(每小题4分，共20分)1.曲线的水平渐近线为2sin 2-+=x x x y （）．Ａ．0y =; B ．1y =-； C ．2y =-； D ．0=x ．2. 下列极限正确的是（）。

A ;1sin lim =∞→x x x B ;12sin lim 0=→x x x C ;11sin lim =∞→x x x D 111sin lim 0=→xx x 3 若()f x 二阶可导，且()()f x f x =--，又当(0,)x ∈+∞时，()0,()0f x f x '''>>，则曲线()y f x =在(,0)-∞内( )(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸 (D)单调上升且凹；4. 函数4xy e =-有界且至少有一实根的区间是( )(A)［0，3］ (B) ［1-，0］ (C) (-∞，1) (D) ［2，4］5．下列函数中，在0x =处连续的是（）（A ）()21,00,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ （B ）()sin ,01,0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（C ）()1,00,0x e x f x x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ （D ）()()1212,0,0x x x f x e x ⎧⎪-≠=⎨=⎪⎩三.解下列各题(3⨯6分=18分)1.()232000sin lim sin x xx tdt t t t dt→-⎰⎰2．求曲线sin()ln()xy y x x +-=上点(0,1)处的切线方程3．设00()cos ()sin t u t u x t e udu y t e udu ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰，求22,22d y x dx ππ-<<其中四 .解下列各题(3⨯7分=21分)1.求不定积分⎰+dx x x )1ln(222.求定积分10x ⎰3．求定积分()3222cos sin x x xdx ππ-+⎰ 五．(本题6分)设()f x 在［0，a ］上连续，在(0，a )内可导，且()0f a =，证明存在ξ(0,)a ∈，使 ()()0f f ξξξ'+=六.(本题共7分)已知:()f x 的一个原函数是ln(x +，求(),()xf x dx xf x dx '''⎰⎰七.（本题共8分）（1）求由曲线ln y x =与直线 1y =所围成的封闭图形的面积（2）求上述图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积.。

2020-2021高三数学上期末试题(含答案)(1)

2020-2021高三数学上期末试题(含答案)(1)一、选择题1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．12．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．234．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6 B ．7C ．8D ．95．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（）A ．15B ．25C ．35D ．457．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（）A ．6-B ．5C ．10D ．10-8．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（）A ．63B ．61C ．62D ．579．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝，则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 10．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（）A ．15B ．25C ．40D ．6011．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（）.A ．10B ．8C ．3D ．212．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.14．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为_______.15．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________16．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．17．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 18．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.19．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．己知数列的前n 项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．22．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==，面积3S =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.23．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：产品品种劳动力（个）煤()t电()kW h ⋅A3 94 B1045已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？24．已知()f x a b =⋅v v ，其中()2cos ,32a x x =-v，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线，求边长b 和c 的值． 25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为22b ．26．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．2．C解析：C 【解析】【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =，设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=．考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．4．D解析：D 【解析】【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得．【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+，即q 2-2q-3=0，解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．5．A解析：A 【解析】【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系．【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．6．A解析：A 【解析】【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.7．A解析：A 【解析】【分析】【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍，联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划8．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ，据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.9．B解析：B 【解析】【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==，而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.10．B解析：B 【解析】【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度．【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-．故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．11．B解析：B 【解析】【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.12．C解析：C 【解析】【分析】【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去），则公差d ＝2．故选：C ．二、填空题13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：解析：[]0,9；【解析】【分析】 ()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09，故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.14．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最解析：2 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由()011y y x x -=+--，即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，显然直线AD 的斜率最大，又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02210AD k -==--，所以1yx+的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log}na是以199991991log9999log a==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()an na a-=，得991991log logn na a a-=，∴199991991l9oglog9nnaaa-==，则数列99{log}na是以199991991log9999log a==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log(99)199a=⋅=．故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．16．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．17．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解解析：25【解析】【分析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123123()(3)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅，等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.18．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23--【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-，即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的解析：9 【解析】【分析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出4()()a bf f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ．【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11k a b+=， ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k≥+=，当且仅当4a b b a=时等号成立． ∴91k=，9k =．故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．20．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】【分析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2，所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-，所以122a q =-，当01q <<时，1(0,2)a ∈，当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ，故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.三、解答题21．（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。

2020-2021学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学试题及答案

绝密★启用前大连市2020~2021学年度第一学期期末考试试卷高二数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1．抛物线28y x =的焦点到准线的距离为（） A ．8B ．6C ．4D ．22．若直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,2,2a =-，()2,3,2b =-，则（） A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．1l ，2l 相交但不垂直D ．不能确定3．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=（） A ．PGB ．2PGC ．3PGD ．4PG4．()52x y -的展开式中23x y 的系数为（） A ．80B ．-80C ．40D ．-405．已知直线l 的方程为34x y b -=，圆C 的方程为222210x y x y +-++=，则“2b =”是“l 与C 相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（） A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种7．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c （其中0c >），过焦点1F 向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C 的右支于点P ，若122PF F π∠=，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．0x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．0x ±=8．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，设点M 是棱11AC 的中点，点P 在底面ABC 所在平面内，若平面1B MP 分别与平面11AAC C 和平面ABC 所成的锐二面角相等，则点P 到点B 的最短距离是（）A B ．C ．1D 二、多项选择题9．方程221104x y m m +=--表示的曲线可能是（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线10．已知抛物线24y x =焦点为F ，点()1,3A ，点P 在抛物线上，则下列结论正确的是（） A ．PA PF +的最小值为3 B ．PA PF +的最大值为7 C ．PA PF -的最小值为-2D ．PA PF -的最大值为311．关于20201)及其展开式，下列说法正确的有（）A ．该二项展开式中第六项为610072020C xB ．该二项展开式中非常数项的系数和为-1C ．该二项展开式中不含有理项D ．20209除以100的余数是112．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1AD =，CD =2ADC π∠=．沿直线AC将ABC △翻折成AB C '△，下列说法正确的是（）A ．2B D AC '⋅=- B ．1B C AD '⋅=C ．直线AC 与BD '成角余弦的最大值为6 D ．点C 到平面AB D '的距离的最大值为7第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13．024444C C C ++=______．14．在四棱锥P ABCD -中，()4,2,4AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则这个四棱锥的高h =______．15．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有______种．16．已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，1223F AF π∠=，则221AF F ABF S S =△△______，双曲线C 的离心率为______．四、解答题17．已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）求弦长AB 的最小值，以及此时直线l 的方程． 18．在①4OA OB ⋅=-，②3MAMB=，③以AB 为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l 的一般方程.问题：已知抛物线2:4C y x =，过x 轴正半轴上一点M ，倾斜角为3π的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，____________，求直线l 的一般方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求直线11A B 与平面1A BD 成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知()0,0A x ，()00B y ,两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足52OP OA OB =+．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点()0,2D ，斜率为k 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点．如果DMN △的重心恰好在x 轴上，求k 的取值范围．21．如图，正方形ABCD 边长为1，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==（E ，F 在平面ABCD 同侧），G 为线段EC 上的动点.（Ⅰ）求证：AG DF ⊥；（Ⅱ）求22AG BG +的最小值，并求取得最小值时二面角B AG C --的余弦值．22．已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F ，2F ，且122F F =，左、右顶点为M ，N ．（Ⅰ）若椭圆E 的离心率12e =，设点()4,P n -（0n ≠），直线PN 交椭圆E 于点Q ﹐且直线MP ，MQ 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过2F ，且与曲线E 交于A ，B 两点，当k 变化时，1ABF △的内切圆面积有最大值，求椭圆E 的离心率e 的取值范围．2020~2021学年第一学期期末考试试卷高二数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、单项选择题：1．C ，2．B ，3．D ，4．D ，5．A ，6．C ，7．B ，8．A ．二、多项选择题：9．ABD ，10．ACD ，11．BD ，12．AC ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13．8；14；15．70；16．12．四、解答题17．解：（Ⅰ）圆()22:19C x y -+=的圆心C 坐标为()1,0，又直线过点()2,2P ，所以直线的斜率20221k -==-，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=．（Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则2292AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．所以d 越大，弦长AB 越小，故当d 取得最大值时，弦长AB 取得最小值．而过点()2,2P 的直线l ，当其与直线CP 垂直时，d 取得最大值，此时弦长AB 取得最小值．直线CP 的斜率为：20221-=-，故直线l 的斜率为12-，所以直线l 的方程为()1222y x -=--，即260x y +-=．18．解：若选①设(),0M m （0m >），则直线):l y x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ．则由)24y xy x m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩20y y --=，有()121214044y y y y m⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩ 因为()22121212124416y y OA OB x x y y y y m m ⋅=+=+=-=-，即()220m -=，所以2m =，满足题意．所以，直线):2l y x =-0y --=．若选②设(),0M m （0m >），则直线):l y x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ．则由)24y xy x m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩20y y --=，有()12121404y y y y m⎧∆=-⨯>⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩ 因为3MAMB=，结合题意，有3AM MB =，即()()1122,3,m x y x m y --=-，则有123y y =-，又因为12y y +=，所以有12y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4m ⎛⨯=- ⎝，即1m =．满足题意．所以，直线):1l y x =-0y --=．若选③设()11,A x y ，()22,B x y由题可知，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，因为以AB 为直径的圆与准线相切，所以12122122x x AB x x +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，又因为11AF x =+，21BF x =+，所以AB AF BF =+，可得直线l 过焦点()1,0F ，所以，直线):1l y x =-0y --=．19．（Ⅰ）证明：连接1AB 交1A B 于E ，连接DE ． ∵四边形11ABB A 是矩形，∴E 是1AB 的中点，又∵D 是AC 的中点，∴1DE B C ∥，又∵1B C ⊄平面1A BD ，DE ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ．（Ⅱ）解：（法一）取11AC 中点1D ，连接1DD ．又∵D 为AC 中点，∴11D D A A ∥．在三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1DD ⊥平面ABC ．在ABC △中，AB BC =，AD DC =，∴BD AC ⊥．以D 为坐标原点，以DC ，DB ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.∴()0,0,0D，()B，()1B ，()11,0,3A -，()11A B =，()11,3,0DA =-，(),00DB =．设平面1A BD 的一个法向量为()n x y z =,,所以300x z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴0y =，令1z =，则3x =，则平面1A BD 的一个法向量为()301n =,,，设直线11A B 与平面1A BD 成角为θ，则111111sin cos ,310A B n A B n AB n θ⋅====⨯所以，直线11A B 与平面1A BD （法二）在平面11ACC A 内作1AH A D ⊥于H ，连接BH ．∵11A B AB ∥，所以AB 与平面1A BD 成角即为11A B 与平面1A BD 成角． ∵1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴1A A BD ⊥，在ABC △中，∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1A A ，AC ⊂平面11ACC A ，1A A AC A ⋂=，∴BD ⊥平面11ACC A ．∵AH ⊂平面11ACC A ，∴AH BD ⊥，又∵1AH A D ⊥，1BD A D D ⋂=，1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，∴AH ⊥平面1A BD ，∴直线AB 与平面1A BD 成角为ABH ∠．在1A AD △中，1AD =，13AA =，190A AD ∠=︒，由等面积法，可得AH =，在Rt ABH △中，sin A A H AB BH ==∠．所以，直线11A B 与平面1A BD成角的正弦值为10． 20．解：（Ⅰ）由动点(),P x y 满足52OP OA OB =+，得())()00,,020,x y x y =+,即0012x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1=，所以22154x y +=．（Ⅱ）（法一）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的斜率为k ，则2211222215414x y x y s⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②得()()2222121211054x x y y -+-= 整理得：121245x x k y y +=-⋅+，设DMN △的重心坐标为()3,0x ，有1231203203x x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即1231232x x x y y +=⎧⎨+=-⎩，所以365k x =，又弦MN 中点3312,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭一定在椭圆内部，所以()232312154x ⎛⎫⎪-+⎭<⎝，即333x -<<，所以k << （法二）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程22154y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22245105200kxkmx m +++-=，有()2280540k m ∆=-+>，即22540k m -+>1221045kmx x k +=-+，212252045m x x k -=+ 所以()212121221022245k my y kx m kx m k x x m m k +=+++=++=-+=-+ 即2454k m +=-，又22540k m -+>，所以222545404k k ⎛⎫++--> ⎪⎝⎭，即422540480k k --<，所以2125k <，即k <<． 21．（法一）（Ⅰ）证明：分别作AM ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，取1AM CN ==，顺次连接E ，M ，F ，N ，如图可知，几何体ABCD MFNE -为正方体，连接BD ，∴BD AC ⊥， ∵FB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴FB AC ⊥，又∵FB BD B ⋂=，FB ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥平面BDEF ，又DF ⊂平面BDEF ，∴AC DF ⊥，同理可证AE DF ⊥，又∵AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴DF ⊥平面ACE ，∵AG ⊂平面ACE ，∴AG DF ⊥．（Ⅱ）∵ED ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1E ，()1,1,1F ， ∵G 在CE 上，∴设CG CE λ=（01λ≤≤），则有()()()1,1,00,1,11,1,AG AC CG AC CE λλλλ=+=+=-+-=--， ()()()1,0,00,1,11,,BG BC CG BC CE λλλλ=+=+=-+-=--，()22222222111AG BG AG BG λλλλ+=+=+-++++22111423444λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当14λ=时，22AG BG +取得最小值114，此时在平面ACG 中，()1,1,0AC =-，()0,1,1CE =-，设平面ACG 的一个法向量为()111,,m x y z =，则有0m AC m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，设11x =，得11y =，11z =，()1,1,1m =，此时在平面ABG 中，()0,1,0AB =，311,,44AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABG 的一个法向量为()222,,n x y z =，则有00n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222031044y x y z '=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，设21x =，得20y =，24z =，()1,0,4n =，设二面角B AG C --大小为θ，则1cos 11nn mm θ⋅+===+由题意可知，θ为锐角，所以cos 51θ=．（法二）（Ⅰ）∵ED ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1E ，()1,1,1F ， ∵G 在CE 上，∴设CG CE λ=（01λ≤≤），则有()()()1,1,00,1,11,1,AG AC CG AC CE λλλλ=+=+=-+-=--， ()1,1,1DF =，∵()()1,1,1,1,1110AG DF λλλλ⋅=--⋅=-+-+=， ∴AG DF ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()()()1,0,00,1,11,,BG BC CG BC CE λλλλ=+=+=-+-=--，()22222222111AG BG AG BG λλλλ+=+=+-++++22111423444λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当14λ=时，22AG BG +取得最小值114，此时在平面ACG 中，()1,1,0AC =-，()0,1,1CE =-，设平面ACG 的一个法向量为()111,,m x y z =，则有00m AC m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，设11x =，得11y =，11z =，()1,1,1m =，此时在平面ABG 中，()0,1,0AB =，311,,44AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABG 的一个法向量为()222,,n x y z =，则有00n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222031044y x y z '=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，设21x =，得20y =，24z =，()1,0,4n =，设二面角B AG C --大小为θ，则1cos 5111nnm m θ⋅+===+由题意可知，θ为锐角，所以cos 51θ=．22．解：（Ⅰ）∵122F F =，12e =，∴1c =，2a =，b == 所以椭圆方程为22143x y +=，所以()2,0M -，()2,0N ，设点()00,Q x y ，直线PN 方程为：()26ny x =--，与椭圆E 方程联立：()2214326x y n y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()222227441080n x n x n +-+-=，∵点N 在E 上，∴2是方程的一个根，∴20225427n x n -=+，202225418262727n n ny n n ⎛⎫-=-= ⎪-++⎝⎭， ∴直线MP ，MQ 的斜率分别为1422n n k ==--+，2222189272542227nn k n nn +==+++，故1299224n k k n =-⋅=-；（Ⅱ）如图可知，1ABF △的周长为4a ，故当斜率k 变化时，1ABF △的内切圆面积有最大值，只需1ABF △的面积有最大值，∵直线l 的斜率为k ，且过点2F ，∴l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222211x y a b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222222222220b a k x a k a k a x b +-+-=，有0∆>，22122222a k x x b a k+=+，222212222a k a b x x b a k -=+，112121212ABF S F F y y k x x k =-=-=△22abab===22ab ab ab=≤=，当且仅当()4222211b k k k k +=+，等号成立，若面积有最大值，只需22221111k b k k ==++成立，∵20k >，∴201b <<，故离心率2c e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．。

2020-2021学年度高二级第一学期期末考试数学试题与答案

在锐角 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______．（1）求 A ；（2）若 a 2 ， b c 10 ，求 ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） A ；（2） 3 .
3
2
【详解】（1）方案一：若选①．由已知及正弦定理得， 3 cos Asin C cos B sin B cos C sin 2 A ，
( ) n
（2）由（1）可得 Sn =
4 + 2n + 2 2
= n 2 + 3n ，
Sn
1
2n
1 n2
n
n
1
n 1
1 n
1 n 1
，
因此 Tn
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
1
1 n 1
n n 1 .
19．某市统计局就某地居民的月收入调查了 40 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包
程度，现统计了 2020 年 2 月到 7 月 A，B 两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，
下列说法正确的是（）
A．A 店营业额的平均值超过 B 店营业额的平均值
B．A 店营业额在 6 月份达到最大值
C．A 店营业额的极差比 B 店营业额的极差大
D．A 店 5 月份的营业额比 B 店 5 月份的营业额小
故选：AB
【点睛】本题考查根据折线图进行数据分析，属于基础题.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若平面的一个法向量为 u1 (3, y, 2) ，平面的一个法向量为 u2 (6, 2, z) ，且 / / ，则

新教材2020_2021学年高二数学上学期期末备考金卷B卷

（新教材）2020-2021学年高二数学上学期期末备考金卷（B 卷）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则下列不等式中正确的是（）A ．ac bc >B ．11a b >C ．1ba>D ．33a b >2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是（） A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±3．如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =（）A ．121233--a b cB ．112323-++a b cC ．211323-+a b cD ．121233-++a b c4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A ．75斤B ．70斤C ．65斤D ．60斤5．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，52CD = ） A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．150︒6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249tC t =+，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（） A ．4mg /LB ．6mg /LC ．8mg /LD ．12mg /L7．已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（） A ．2B ．3C ．4D ．68．已知数列{}n a 满足13nn n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（）A ．160B ．241C ．243D ．484二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件 10．设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（） A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >11．已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF △的面积为3，则下列说法正确的是（） A ．P 点纵坐标为3B ．12π2F PF >∠C ．12F PF △的周长为4(21)+D ．12F PF △的内切圆半径为3(21)2- 12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（）A ．直线1AD 与BD 的夹角为60︒B ．平面AED ⊥平面11A FDC ．点1C 到平面11ABD 的距离为32D ．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,3)共线，则x y += ．14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S = ．15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m ，乙车的刹车距离略超过10m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离m s 与车速km /h v 之间的关系分别为21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是车，理由是．16．已知F 为双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”．若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列{}n S n 是首项为1，公差为32的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-．（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点(4,0)的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥？请说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，AD BC ∥，1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且3PC PF =．（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形；（2）求二面角F AE D --的余弦值．22．（12分）已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1依次成等比数列，其离心率为2．过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）当||AB =时，求直线l 的方程；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||||GA MB MA GB =⋅⋅成立，求点G 的坐标．数学（B ）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】0a b >>，则0c ≤时，A 不成立；11a b <，因此B 不成立； 1ab>，因此C 不成立；由3y x =在R 上单调递增，因此D 成立，故选D ． 2．【答案】A【解析】∵双曲线标准方程为22194x y -=，其渐近线方程是22094x y -=，整理得23y x =±，故选A ． 3．【答案】D【解析】空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，所以112232()23MN MO OC CN AO OC CB OA OC OB OC =-++=++=++- 121121233233OA OB OC =-++=-++a b c ，故选D ． 4．【答案】C【解析】设第1个孩子分到的棉花为a ，根据题意可知，第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a 为首项，以17为公差的等差数列，8878179962S a ⨯=+⨯=，解可得65a =．故选C ． 5．【答案】C【解析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++， ∴22222||||cos(π)CD CA AB BD CA BD α=+++⋅-，∴225916234cos α=++-⨯⨯⨯，解得cos 0α=，∴90α=︒，∴这个二面角的度数为90︒．故选C ． 6．【答案】A【解析】0t >，则2242449t C t t==≤=+，当且仅当3t =时取等号．则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为4mg /L ，故选A ． 7．【答案】B【解析】∵F 是抛物线24y x =的焦点，∴(1,0)F ，准线方程1x =-，设11)(,A x y ，22)(,B x y ，∴12||||118AF BF x x +=+++=，∴126x x +=， ∴线段AB 的中点横坐标为3，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3．故选B ． 8．【答案】B【解析】13nn n a a +=，且11a =，可得23a =，2n ≥时，113n n n a a --=，相除可得113n n a a +-=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公差为3的等比数列，可得5913(1392781)(392781)12024113S -=++++++++=+=-，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】BD【解析】对于选项A ：命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”故A 错误；对于选项B ：命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”故B 正确；对于选项C ：“22x y >”是“x y >”的既不必要又不充分条件，故C 错误；对于选项D ：关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件是440Δm m =->⎧⎨<⎩，整理得0m <，故D 正确，故选BD ． 10．【答案】BC【解析】10a >且69S S =，∴1165986922a d a d ⨯⨯+=+，化为170a d +=，可得80a =，0d <．7S 或8S 为n S 的最大值，56S S <．故选BC ． 11．【答案】CD【解析】∵椭圆22184x y +=，∴a =2b =，2c =．又∵P 为椭圆上一点，1F 、2F 为左右焦点，设12F PF θ∠=，∴12||||2F P PF a +==，12||4F F =， ∴2212121212||(||||)2||||2||||F F PF PF F P PF F P PF θ=+--⋅12323||||cos 16F P PF θ=-⋅=，得1216||||cos 3F P PF θ⋅=．又121||||sin 32F P PF θ⋅=，∴9tan 8θ=．对于A ，由等面积法，得14||32P y ⨯⨯=，则32P y =±，故A 错误；对于B ，由9tan 8θ=<12π2F PF <∠，故B 错误；对于C ，12F PF △的周长为221)a c +=，故C 正确；对于D ，设12F PF △的内切圆半径为r ，则14)32r =，得31)2r =，故D 正确，故选CD ． 12．【答案】ABD【解析】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，根据所求的结论，建立空间直角坐标系：如图所示：对于选项A ：连接11B D 和1AB ，所以11AB D △为等边三角形，所以直线1AD 与BD 的夹角即为直线1AD 与11B D 的夹角为60︒，故正确；对于选项B ：根据建立的空间直角坐标系：(0,0,0)D ，1(1,1,)2E ，(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，1(0,,0)2F ，在平面AED 中，设该平面的法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,)2AE =，(1,0,0)AD =-，所以00AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，解得(0,1,2)=-n ，同理在平面11A FD 中，设该平面的法向量为(,,)x y z =m ，则11(1,0,0)A D =-，11(1,,1)2A F =--．所以11100A D A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，解得1(0,2,)2=m ，由于0⋅=m n ，所以平面AED ⊥平面11A FD ，故正确；对于选项C ：设点1C 到平面11AB D 的距离为h ，利用111111C AB D A B C D V V --=，整理得11113111223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，解得3h =，故错误；对于选项D ：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是位于8个顶点的8个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示），故正确，故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32【解析】∵向量(,,2)x y =a ，向量(1,2,4)=b 共线，∴m =b a ，m ∈R ，则(1,2,4)(,,2)(,,2)m x y mx my m ==，即1242mxmy m=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2m =，12x =，1y =，∴13122x y +=+=，故答案为32． 14．【答案】403【解析】由题意可知234a a +=，233a a ⋅=，又23a a <，所以21a =，33a =，故3q =，113a =，441(13)403133S -=-，故答案为403．15．【答案】乙，乙车超过了限定速度【解析】2117610010s v v >=->甲，解得30540v <<+<， 2111020020s v v =->乙，解得50v >．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．故答案为：乙，乙车超过了限定速度． 16．【答案】3【解析】双曲线2222:1x y E a b -=的渐近线方程为by x a=±，若||||OF FB =，可得在直角三角形AOB 中，由30AOF BOF ABO ∠=∠=∠=︒，可得tan 30b a =︒=222233)(a b c a ==-，2234c a =，e =故答案为23．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】9{|6}2k k ≤≤．【解析】因为906x x -<-，所以(6)(9)0x x --<，解得69x <<，22320x kx k -+≤可化为()(2)0x k x k --≤，因为0k >，所以2k x k ≤≤，设69||}x A x =<<，||2}B x k x k =≤≤，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，此时有629k k ≤⎧⎨≥⎩，所以962k ≤≤，故实数k 的取值范围是9{|6}2k k ≤≤． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）30︒．【解析】（1）取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ，因为HN 是ABC △的中位线，所以HN BC ∥，且12HN BC =，又因为1B M BC ∥，且121B M BC =，所以1HN B M ∥且1HN B M =，所以四边形1HNMB 是平行四边形，所以1MN B H ∥，又因为MN ⊄面11ABB A ，1B H ⊂面11ABB A ，所以MN ∥面11ABB A ．（2）连结1A M ，BM ，因为1111A B AC =，M 是11B C 中点，所以111A M B C ⊥，又因为面111A B C ⊥面11BCC B ，1A M ⊂面111A B C ，面111A B C 面1111BCC B B C =，所以1A M ⊥面11BCC B ，所以直线BM 为1A B 在面11BCC B 内的射影，所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角，设2AB =，则在1A MB △中，190A MB ∠=︒，12A M =，122A B =，所以11121sin 222M A A BM A B ∠===，所以130A BM ∠=︒，所以直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为30︒．19．【答案】（1）*32)(n a n n =-∈N ；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意3311(1)222n S n n n =+-=-，所以23122n S n n =-，当1n =时，1131122a S ==-=；当2n ≥时，2213131()[(1)(1)]322222n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又因为11a =适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为*32)(n a n n =-∈N ．（2）由（1）得32n a n =-，可得111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+，所以12111111[(1)()()]34473231n n T b b b n n =+++=-+-++--+11(1)331n =-+，因为1031n >+，所以13n T <．20．【答案】（1）见解析；（2）是的，总有，详见解析．【解析】（1）因为抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F 在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合．又因为抛物线2:4C y x =的准线方程为1x =-，所以条件④不适合题意．当选择条件③时，||1112A AF x =+=+=，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是24y x =．（2）假设总有OA OB ⊥，由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为4x ty =+，设11(,)A x x ，22(,)B x x ，联立方程组244y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得24160y ty --=，所以0Δ>恒成立，124y y t +=，1216y y =-，则22212121212(4)(4)4(16161611)66x x ty ty t y y t y y t t =++=+++=-++=，所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥． 21．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，所以CD AD ⊥，因为AD BC ∥，且AD BC ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形．（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以(0,0,1)P ，11(0,,)22E ，所以11(0,,)22AE =，(1,1,1)PC =-，(0,0,1)AP =，所以1111(,,)3333PF PC ==-，112(,,)333AF AP PF =+=，设平面AEF 的法向量1(,,)x y z =n ，则110AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩，令1z =，则1y =-，1x =-，所以1(1,1,1)=--n ；又平面PAD 的法向量2(1,0,0)=n ，所以1212123cos ,||||3⋅<>-==⋅n n n n n n ，由题意知二面角F AE D --为钝角，所以二面角F AE D --的余弦值为3-．22．【答案】（1）22142x y +=；（2）1y x =±+或112y x =±+；（3）(0,2)G ．【解析】（1）由题意知，222222b acaa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得24a =，22b =，所以椭圆的标准方程为22142x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，||22AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=，其判别式222(4)8(21)8(41)0Δk k k =++=+>，设A 、B 坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则122421k x x k +=+，122221x x k =+(*)，所以222212122224145||1()41213k AB kx x x x k k +=++-=+=+，整理得424510k k -+=，解得21k =或214k =，所以1k =±或12k =±，综上，直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+．（3）因为存在点G ，使||||||||GA MB MA GB =⋅⋅，即||||||||GA MA GB MB =． ①当直线l 与x 轴平行时，此时||||1||||MA GA MB GB ==，所以点G 在y 轴上，可设G 点坐标为0(0,)y ；当直线l 与x 轴垂直时，则A ，B的坐标分别为，(0,，由||||||||GA MA GB MB ==，解得01y =或02y =，因为G 不同于点M ，则G 点坐标只能为(0,2)，②下面证明，对任意直线l ，均有(0,2)G 点，使||||||||GA MB MA GB =⋅⋅成立．当直线l 斜率不存在时，由上知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，由（2）中（*）式得122421k x x k +=+，122221x x k ⋅=+，所以121212112x x k x x x x ++==⋅．易知，点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为22(,)x y -，又因为11111211GA y kx k k x x x --===-2222212111GB y kx k k k x x x x --===-+=-'--，所以GA GB k k ='，即G ，A ，B '三点共线，所以12||||||||||||||||x GA GA MA GB GB G MB ==='，即||||||||GA MB MA GB =⋅⋅成立，综上所述：G 点坐标为(0,2)．。