《函数的概念习题课》示范课教学设计【高中数学人教版】

《函数的概念及其表示习题课》教学设计

◆教学目标

1．复习函数的概念以及构成函数的要素，能求简单函数的定义域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；能用分段函数正确表示一些相关的函数问题，构建函数性质的概念及其表示的知识结构．2．能应用函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合的思想进行抽象概括、运算求解，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养．

◆教学重难点

◆

教学重点：理解函数的概念，结合实际问题选择恰当的方法表示函数，掌握分段函数的表示及其图象．

教学难点：在具体的问题中，如何抓住条件，解决问题．

◆课前准备

用软件制作动画；PPT课件．

◆教学过程

一、复习导入

问题1：请同学们浏览第3.1节（课本P60～P71）的内容，你能梳理一下本小节的学习过程吗？

师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充．

预设的答案：答案如图1．

图1

设计意图：引导学生梳理学习内容，构建函数的概念及其表示的知识结构． 引语：函数是贯穿高中数学课程的主线，这节课我们一起来夯实与之相关的基本概念．（板书：函数的概念及其表示习题课）

二、新知探究

1．函数的概念及其构成要素 例1 （习题3.1 P 72第1题） 求下列函数的定义域： （1）f (x )＝

3x

x －4

； （2）f (x )＝x 2； （3）f (x )＝6

x 2－3x ＋2；

（4）f (x )＝

4－x

x －1

． 师生活动：老师先引导学生回忆求定义域的一般步骤，然后学生独立完成，老师点评． 追问：求解函数定义域的一般步骤是什么？（第一步：根据解析式有意义转化成不等式；第二步：解不等式或不等式组求得原来函数的定义域．）

预设的答案：

（1）要使该函数有意义，则需x －4≠0．

解得：x ≠4．

所以函数f (x )的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)． （2）要使该函数有意义，则需x 2≥0．

解得：x ∈R ．

所以函数f (x )的定义域为R ．

（3）要使该函数有意义，则需x 2－3x ＋2≠0．

解得：x ≠1且x ≠2．

所以函数f (x )的定义域为 {x |x ≠1且x ≠2}．

（4）要使该函数有意义，则需⎩

⎪⎨⎪⎧4－x ≥0x －1≠0．

解得：⎩

⎪⎨⎪⎧x ≤4

x ≠1．

所以函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，4]．

设计意图：例1借助求解函数的定义域，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力．

例2 （习题3.1 P 72第2题）

下列哪一组中的函数f (x )与g (x )是同一个函数？ （1）f (x )＝x －1，g (x )＝x 2

x －1；

（2）f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4； （3）f (x )＝x 2，g (x )＝3

x 6．

追问：判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么？（第一步，求两个函数的定义域．第二步，判断定义域是否相同．若否，则不是相等函数，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，化简两个函数的解析式，若解析式也相同，则为相等函数；若解析式不相同，则不是相等函数．）

师生活动：老师先引导学生回忆判断函数是否相等的一般步骤，然后学生独立完成，老

设计意图：例2借助判断函数是否相等，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用化归与转化的思想进行运算求解的能力．

例3 （习题3.1P 74第16题）

给定数集A ＝R ，B ＝(－∞，0]，方程u 2＋2v ＝0，①

（1）任给u ∈A ，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断v ＝f (u )是否为函数并说明理由；

（2）任给v ∈B ，对应关系g 使方程①的解v 与u 对应，判断u ＝g (v )是否为函数并说明理由．

追问1：判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么？（函数的概念，具体内容是：对于数集A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．）

师生活动：老师引导学生寻找判断的依据，学生应用函数的概念独立判断，老师点评． 预设答案：（1）根据

u 2＋2v ＝0，可得

v ＝－u 22，任给u ∈A ，根据对应关系v ＝－u 2

2

，在

数集B 中都能找到唯一的元素v ＝－u 2

2

与之对应，所以是函数．

（2）根据u 2＋2v ＝0，可得u ＝±－2v ，任给v ∈B 且v ≠0，根据对应关系u ＝±－2v ，在数集A 中都能找到两个元素u ＝±－2v 与之对应，所以不是函数．

追问2：结合v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象验证你的判断，其中v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象分别如图2和图3．

点（u 0，v 0），即对于任意的u 0∈R ，按照对应关系①有唯一的v 0与之对应，所以v ＝f (u )是函数．根据图5，在横轴负半轴上任取一点v ＝v 0，过该点作横轴的垂线，与曲线有两个交

∙

点（v0，u0）、（v0，－u0），即对于任意的v0∈(－∞，0)，按照对应关系①有两个值与之对应，所以u＝g(v)不是函数．）

（u＝－－2v 追问3：根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函数．

或u＝－2v．）

设计意图：通过例3对函数概念进行辨析，帮助学生深入理解函数的概念，感受函数对应关系的多样性．

2．求函数的解析式

例4（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；

（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；

（3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．

师生活动：第（1）小题大部分学生能比较顺利地完成，其它两个小题需要老师合理的引导、讲解、示范以及学生的模仿练习完成．

预设答案：

（1）由f(x)是二次函数，设f(x)＝a x2＋bx＋c（a≠0），

由f(0)＝1，得c＝1，

则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(a x2＋bx＋1)＝2a x＋a＋b＝2x

这个式子对于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，

解析式为f(x)＝x2－x＋1．

（2）方法一：令x＋1＝t，则x=t－1．

将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，

则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．

方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1

＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，

则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．

（3）因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2……②，

所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2……③，

2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，