高中数学专题-函数的对称性

函数对称性

1. 函数自身的对称性探究

高考题回放：设函数

，，且在闭区间［0，7］上只有

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

定理1函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是

即

证明（略）

推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是

定理2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是

证明（略）

推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是

偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

定理3①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。

②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则

是周期函数，且是其一个周期。

③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。

以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。

所以代得：

又因为函数的图像关于直线成轴对称。

所以代入（*）得：

得

代入（**）得：

是周期函数，且是其一个周期。

2. 不同函数对称性的探究

定理4函数的图像关于点成中心对称。

证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点

在的图像上。

同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。

推论函数与的图像关于原点成中心对称。

定理5函数与的图像关于直线成轴对称。

证明设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图

像上。

同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。

推论函数与的图像关于直线y轴对称。

定理6①函数与的图像关于直线成轴对称。

②函数与的图像关于直线成轴对称。

现证定理6中的②

设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以

代入

之中得。所以点在函数的图像

上。

同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。

推论函数的图像与的图像关于直线成轴对称。

3. 函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数

解：因为为偶函数，所以。

所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和

的函数图像关于直线对称，若，那么（）

A. 2002

B. 2003

C. 2004

D. 2005

解：因为的函数图像关于直线对称，所以

的反函数是，而的反函数是，所以，所以有

故，应选（C）。

例 3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________

解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；

又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以

例4 函数的图像的一条对称轴的方程是（）

解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。

例 5 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：

_____________

解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以