第十章 对策论

第十章 对策论主要内容：1、对策行为的基本要素； 2、矩阵对策； 3、矩阵对策的解法。

重点与难点：矩阵对策的数学模型，最优策略，混合策略，无鞍点矩阵对策的求解方法。

要 求： 准确理解极大极小原理、最优策略，最优混合策略，熟练掌握求解矩阵对策的公式法、图解法和线性规划方法，并能够正确使用这些方法解决实际问题。

§1 概述 一、对策行为和对策论对策论亦称竞赛论或博奕论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。

具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。

二、对策行为的三个要素具有对策行为的模型称为对策模型或对策。

对策模型的种类千差万别，但从本质上都包括如下三个要素：（1）局中人在一个对策行为（或一局对策）中有权决定自己行动方案的对策参加者，称为局中人。

一般要求一个对策中至少要有两个局中人。

（2）策略一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。

局中人所制定的策略全体，称为局中人的策略集合。

在一局对策中，如果各局中人的策略有限，则称之为“有限策略”，否则称之为“无限策略”。

（3）赢得函数（支付函数）一局对策结束时，对每个局中人来说，结果总是肯定的，并以一定的形式表现出来。

我们称这样的结果为“赢得”或“支付”。

一局对策结束时，每个局中人的盈亏是该策略组的函数，通常称为“赢得函数”或“支付函数”。

从每个局中人的策略集中各取一个策略组成的策略组，称为“局势”。

§2 矩阵对策矩阵对策就是有限二人零和对策。

它指的是只有两个参加对策的局中人，每个局中人都具有有限个策略可供选择。

在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。

一、矩阵对策的数学模型用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人，并设局中人Ⅰ有m 个纯策略m ααα，，， 21可供选择，局中人Ⅱ有n 个纯策略n βββ，，， 21可供选择，则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为：{}{}n m s s βββααα，，，，，， 212211==当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略j β后，就形成了一个纯局势),(j i βα。

局中人Ⅰ的赢得值用ij a 表示,便得到一个矩阵A ，称之为局中人Ⅰ的赢得矩阵。

由于假定对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵为-A 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a aa a a a a a A 212222111211 矩阵对策可记为}{A s s G ,,,,21ⅡⅠ=或{}A s s G ,,21=在“齐王赛马”的例子中，齐王的赢得可列成如下表赢得矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=311111131111113111111311111131111113A二、最优策略和极大极小原理 设有矩阵对策{}A s s G ,,21=，其中：{}43211,,,αααα=s ，{}3212,,βββ=s ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=6031019423816A对Ⅰ2)m i n (m a x =ij jia对Ⅱ2)m a x (m i n =ij ija一般地，若等式**max min min max j i ij ijij jia a a ==成立，记**j i G a V =，则称G V 为对策G 的值，该等式是矩阵对策在纯对策下有解的充分必要条件，亦即求解矩阵对策的极大极小原理。

**ji βα，称为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略，),(**j i βα称为最优局势，亦可称为矩阵对策G 的“鞍点”。

三、混合策略设{}A s s G ,,21=，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5423A此时2min max -=ij ji a3m a x m i n =ij ija显然二者不相等，面对这种对策现象，极大极小原理不再适应，局中人可采取混合策略进行对策。

所谓混合策略，就是局中人为了预防对方识破自己的行动，按照一定的概率分布随机地选取各个纯策略。

这时，局中人的赢得称为“期望赢得”。

对本例，若局中人Ⅰ以概率1p 选取纯策略1α，以概率2p 选取2α；局中人Ⅱ以概率1q 选取1β，以概率2q 选取2β，此处12121,1q q p p -=-=于是局中人Ⅰ的期望赢得值：21)21)(149(1459714)1)(1(5)1(4)1(235423),(111111*********2122111+--=+--=--+----=+--==q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p E V G所以，局中人Ⅰ的最优策略{}}145,149{,21==p p p局中人Ⅱ的最优策略{}}21,21{,21==q q q 对策值21=G V§3 矩阵对策的解法矩阵对策可分为有鞍点和无鞍点两大类。

有鞍点矩阵对策用极大极小原理来求解，本节只讨论无鞍点矩阵对策的解法。

一、2×2矩阵对策的公式法 设 {}A s s G ,,21=，其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a A 局中人Ⅰ、Ⅱ的混合策略：{}{}2121,,q q q p p p ==则G V q p a q p a q p a q p a =+++2222122121121111 ⎩⎨⎧=+=+=+≥=+++)2()1(1,0)()(2221212121112122212122121111GG i GV q a q a V q a q a p p p V q a q a p q a q a p同理：∴⎩⎨⎧=+=+=+≥)4()3(1,022211222111121G Gj Vp a p a V p a p a q q q解方程组（1）—（4）得：)()()()()()()()()()(21122211211222112112221121112211222111222121122211121122112221121221a a a a a a a a V a a a a a a q a a a a a a q a a a a a a p a a a a a a p G +-+-=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-=例1 求解矩阵对策{}A s s G,,21=，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2431A 解：双方最优混合策略分别为：25,43,41,21,21=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=G V q p 对策值二、2×n 或m ×2矩阵对策的图解法 （1）2×n 对策的图解法局中人Ⅰ只有两个策略，他的最小收入{}{})1()(min ,,2,1,min 2112122211p p a p a a n j p a p a V j j j j j j jG -=+-==+=他所希望的是上式最小值中的最大者。

例2 求解赢得矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=06145132A 的矩阵对策。

解：在横坐标上截取长度为1的线段，并在0，1处分别作横坐标的两条垂直线Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ（垂线上点的纵坐标值分别表示局中人Ⅰ采取纯策略21αα和时，局中人Ⅱ采取各种纯策略时的赢得值）。

然后取1,021==p p ，并分别绘出在赢得矩阵各列上的G V 图线。

如图：①代表2242221221111+=+=+=p p p p a p a V G ②代表323221222112+-=+=+=p p p p a p a V G ③代表156221223113+=+=+=p p p p a p a V G ④代表55521224114+-==+=p p p a p a V GA 点为所有最小赢得中的最大者，它是②、③的交点。

于是有⎩⎨⎧+=+=+-=+=156323221221p p p V p p p V GG 解得：75,717,7212===p V p G 则 即局中人Ⅰ的最优混合策略为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=72,75p ，期望赢得值717=GV 。

由于最优混合策略与局中人Ⅱ采取的纯策略41,ββ无关，所以041==q q 。

又 ⎩⎨⎧+-=+=+=+=+=+=656123232323222232313212q q q q a q a V q q q q a q a V G G解得：72,7532==q q 所以，局中人Ⅱ的最优混合策略是⎭⎬⎫⎩⎨⎧=0,72,75,0q 。

（2）m ×2对策的图解法 自己讨论三、m ×n 矩阵对策的线性规划解法 设赢得矩阵[]nj m i a A ij,,2,1,,2,1 ===即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 设矩阵对策值为G V ，则将其转化为求解两个不等式方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++≥+++≥+++≥+++1)1(21221122221121221111m Gm mn n n G m m G m m p p p Vp a p a p a V p a p a p a V p a p a p a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++≤+++≤+++≤+++1)2(21221122221211212111n Gn mn m m G n n G n n q q q Vq a q a q a V q a q a q a V q a q a q a即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥∑∑==)0(111i m i i mi G i ij p p V p a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤∑∑==)0(111j nj j G nj j ij q q V q a 令Gj j G ii V q y V p x ==,，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=≥∑∑==01111i G m i i mi i ij x V x x a ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=≤∑∑==01111j G nj j nj j ij y V y y a 对局中人Ⅰ来说，他要获得尽可能大的G V ，就应使m Gx x x V +++= 211最小。

对局中人Ⅱ来说，他要获得尽可能小的G V ，就应使n Gy y y V +++= 211最大。

所以，上述问题可转化为两个线性规划问题；（1）m x x x z+++= 21min ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥∑=011imi i ij x x a（2）n y y y z+++= 21max⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∑=011jnj j ij y y a例3、利用线性规划方法求解赢得矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1109092927A 的矩阵对策。

解：上述问题可化为两个互为对偶的线性规划问题。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++++=0,,11191921927min 3213121321321x x x x x x x x x x x x x z （2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++++=0,,11191921927max 3213121321321y y y y y y y y y y y y y ω用单纯形法求得：415201215101415201332211=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=∴x V p x V p x V p G G G即局中人Ⅰ的最优混合策略⎭⎬⎫⎩⎨⎧=41,21,41p同理求得： 41,21,41321===q q q即局中人Ⅱ的最优混合策略⎭⎬⎫⎩⎨⎧=41,21,41q。