第10章作业答案

第10章振动与波

10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率• ‘、频率；、周期T、振幅A和初相位。

分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式x = Acos( .r )

作比较，即可求得各量。

解：将x = 0.02cos(8 二t 一)与x

4

二Acos( 4 )比较，可得

A = 0.02m，=8: rad / s，

4

=1 = 4H z

4

10-14 一边长为a的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2,用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a,然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木

块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。

分析：要证明木块作简谐运动，需要分析木块在平衡位置附近上下运动时，它所受

的合外力F与位移x间的关系，如果满足 F = -kx，则木块作简谐运动。通过F二-kx即可求得振动周期T =2啜;=2 - . m k 和频率、..=1^ L k m。

证：木块处于平衡状态时，mg -F浮力=mg - i ga2? = 0。当木块上下作微小振

2

动时，取木块处于力平衡时的质心位置为坐标原点0,竖直向下为x轴正向。则当木

块向下偏移x位移时，

则木块所受合外力为

二mg _ ;?ga2(x ―) = m —

2 dt

d2x 二m -

dt2

式中令-'2二1 Jga3「: ga2x _丄^ga3二-;?ga

2 2

「ga2

是一常数。

d2x

二m -

dt2 m

可得木块运动的微分方程为

d 2x 2

2 ，x 二0

dt2

这表明木块在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动。由于•一乎(m*「a3)，可得其振动周期和频率分别为

2*，—y件

\ 2g /丁2兀Y a 10-15已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。

解由振动图线知： A = 0.02m

当t =0 时，x^ = -0.01m ；当t=2s 时，x=0。

将t = 0，X o = -0.01m 代入x = Acos(，t ：1)，得:

-0.01 =0.02cos「，即

2

cos = -0.5，则=

3

又t = 0时，u0 - -A ■ sin「，由图知u0• 0 ,要求

所以：—2二

3

2 j[

将t=2s,x=0 代入x=Acos(t :)，得0=0.02cos( 2 )

3 ”2兀、八2兀兀

即：cos(2 )=0，则2：

3 3 2

2 2

又因u 二一Asin(2 ) 0，则sin(2 ) ：：0

3 3

,, 2兀兀兀

故：2 ，所以：(rad /s)

3 2 12

2 i

谐振动方程为：x = 0.02cos( t -)(m)

12 3

2

速度表达式为：u - -0.005sin( t )(m/s)

12 3

10-16简谐振动的角频率为10rad /s，开始时在位移为7.5cm，速度为0.75m/s，速度方向与位移(1)一致；⑵相反。分别求这两种情况下的振动方程。

分析在角频率••已知的条件下，确定振幅A和初相「是求解简谐运动方程的关键。

解由题意知，• =10rads‘。当t = 0 时，x0 = 7.5cm，u0 =75 cm/s。

振幅:

初相:

1如(育希如(趕"蔦

(1) 速度方向与位移一致时

u° - - A ■ sin 0

TT

得到初相：「

4

振动方程为：x = 10.6cos(10t - )(cm)

4

(2) 速度方向与位移相反时：Uo - - A，sin「：：：0

得到初相：「'

4

振动方程为：x = 10.6cos(10t )(cm)

4

10-17 一质量m = 0.02kg的小球作简谐振动，速度的最大值u max = 0.030m/s，振幅A=0.020m，当t = 0 时，u=0.030m/s。试求：

(1)振动的周期；

(2)谐振动方程；

(3)t=0.5s时，物体受力的大小和方向。

解：(1)根据速度的最大值公式U max - A，得

U max 0.03

CO = =

A 0.02

则周期：4.2(s)

国1.5

(2)由t=O W", u0=O.O3 二—Asin =—0.03si

sin - -1，故

2

谐振动方程为：x =0.02cos(1.5t ) (m)

2

2

(3) 将t =0.5s代入加速度公式a = - Acos( t )，得

a =-(1.5)2次0.02cos(1.5X0.5—中)=—0.045sin ；(%)

3 3

物体受力的大小为： F 二ma =0.02 (-0.045)sin 9 10‘sin (N)

4 4

方向与位移相反。

_2

10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A = 2 10 m，周期T=0.50s •当t=0时,

(1)物体在正方向端点；