导数切线方程11种题型(解析版)

第5讲 导数切线方程11类

【题型一】 求切线基础型：给切点求切线

【典例分析】 已知函数()2sin 1

x

f x x =

+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________. 【答案】20x y -=

【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程． 【详解】因为()()()

2

21cos 2sin 1x x x

f x x +-'=

+，所以()02k

f ='=，

则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.

【变式演练】

1.曲线()()1x

f x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.

【答案】310x y -+=

【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程. 解：由()()1x

f x x e x =++，得()'

(1)1x x f

x e x e =+++， 所以在点()0,1处的切线的斜率为()'

000(01)13f

e e =+++=，

所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=， 故答案为：310x y -+=，

2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a =+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.

【答案】

32y x =-- 【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.

【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a

=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，2

2x y x =+，

对函数求导得()()

()

2

22

2

22422x x x x x

y x x +-+'=

=

++，

则曲线在点P 处的切线斜率为1

3x k y =-'==-，

因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--. 故答案为：32y x =--.

3.已知曲线2

()ln x f x x a

=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1

2

-

D ．4-

【答案】B

【分析】求出函数()2ln x f x x a =+的导数'

12()

x f x x a ,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34

π

得

'(1)1f =-,由此可求a 的值. 解:函数()2ln x f x x a

=+的导数'

12()

x f x x a ,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34

π

,

∴'(1)1f =-,∴2

1

1a

,∴1a =-故选B.

【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点

【典例分析】

曲线()3

2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A ．()1,0

B ．()2,8

C ．()1,0和()1,4--

D ．()2,8和()1,4-- 【答案】C 【详解】令()'

2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，

故选C. 【点睛】

本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.

【变式演练】

1.已知函数()x

x a

f x e e

=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） A 2 B ．2

C ．2ln 2

D ．ln 2

【答案】D

【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.

【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0x

x

x x x x a a f x e e e e a e e

----=+

=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003

'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，

（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D

2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫

⎪⎝⎭

且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（ ）

A ．2π32303x -=

B 3π

3210x y +-= C ．2π32303x -= D 3π

3210x y += 【答案】A 【分析】

求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程. 【详解】

解：∵cos y x =，∵sin y x '=-， 曲线在点π1,32P ⎛⎫

⎪⎝⎭

处的切线斜率是π3

π3sin

3x y =

'

=-= ∵过点P 且与曲线在点P 3

∵所求直线方程为1π233y x ⎫-

=-⎪⎭，即2π32303x -=． 故选：A.

3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1 【分析】

由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即