挠度和转角计算公式

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梁的挠度及转角(1)

A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度，设：梁长为L，EI = 常数。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。

5-1梁的挠度及转角

A
x y

cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw

（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正转角由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0

Fab(l b) 6lEI
B
2
xl

Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a）（5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3

l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理

梁的变形及刚度条件

f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用允许挠度和跨长的比值作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后，其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］＝170MPa，。试校核梁正应力强度和刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面（二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作用下的挠度或转角。

理论力学11梁的位移计算汇总.

9
梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
10
梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等。
第十一章梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍。
4
梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指ｙ方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度
y
2l 3 l
x
边界条件
变形连续条件
2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3
2 x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3
11
梁的位移计算
思考：
用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和连续条件是什么？
y
q
x
l
答：边界条件 x = 0 v = 0 连续性条件 x = l
2
A
a
F
b
Bx
a F l
17
例
３
２、分两段积分
b
2

第四章(弯曲挠度3-Lu)

§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位移边界条件拟定。
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EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0

挠度与转角的关系重点

dy tan y dx
因工程中构件的值很小， tan ，则有
dy y dx
即梁横截面的转角函数等于梁的挠度y函数对x的一阶导数。
工程力学
/
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院

工程力学
挠度与转角的关系
主讲人：杨磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-3平面弯曲梁的变形
3.挠度与转角的关系
曲线方程的一般形式为由微分学可知
y y 的函数，则挠挠度与转角的数值随截面的位置而变， x x 和均为
y f ( x)

第十三讲：第九章梁的弯曲-变形刚度计算概要

例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
M e Me x e M e FAy= M M EIy xx M l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
33 5 Fl Fl Fl 2 l 6EI EI 2 EI 3
五、叠加法求梁的变形
基本原理由几个外力同时作用时所引起的梁的变形转角和挠度等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2 2 M l M 2 l e y BM e e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x

y
1'
y
C'
1
在小变形下：即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2.数学方面
A

材料力学-弯曲变形

二、叠加法求梁的变形梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所引起的梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动；转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三）列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：

悬臂梁的挠度计算公式

悬臂梁的挠度计算公式在装饰行业，往往有自己的通用术语和计算方法。

很多人很难达到专业水平，但他们想装修在适当的情况下，应使用一些更好的公式与其他部分进行比较对，整个过程都会顺利进行，那么悬臂梁挠度的计算公式是什么呢？因为梁在弯曲后会在一定的压力下发生变形，那么这个弧就是挠度，而只有它只有经过计算，才能保证安全性，同时在下一步具体操作时，也能使整个设计更加完整原因。

在学习建筑学的过程中，必须了解这一点，许多实际问题可以通过简单的学习来解决。

悬臂梁的挠度公式为：ymax=8pl^3/（384ei）=1pl^3/（48ei）首先，ymax是梁跨中间的最大挠度（mm），主要使用P集中荷载标准值（KN）之和，则e主要指钢材的弹性模量。

不同的情况有不同的标准，比如对于工程结构钢，e为2100000 n/mm^2，I为钢的截面惯性矩，可在型钢表中找到（Mm^4），这是整个公式，可以完全使用。

挠度计算公式：ymax=5ql^4/（384ei）（EI为均布荷载q下长度为L的简支梁的抗弯刚度）挠度与构件的荷载、截面尺寸和材料的物理性质有关。

在弯曲变形过程中，截面质心在垂直于轴线方向上的线性位移称为挠度，用γ表示。

弯曲变形过程中相对于其原始位置的旋转角称为角度，用θ表示。

挠度曲线方程挠度和转角随截面位置的变化而变化。

在讨论弯曲变形问题时，通常选择坐标轴X向右为正，y轴向下为正。

选择坐标轴后，梁各截面的挠度γ将是截面位置坐标X的函数。

该表达式称为梁的挠度曲线方程，即γ=f（X）。

扩展数据：传统的桥梁挠度测量大多采用百分表或位移计直接测量。

目前，它在我国仍被广泛应用于桥梁养护、旧桥安全评估或新桥验收。

该方法的优点是设备简单，可进行多点检测，可直接获得各测点的挠度值，测量结果稳定可靠。

另外，由于缺乏直接测量水下桥梁挠度的方法，无法直接测量水下桥梁的挠度。

无论部署或拆除多少台电表，都是非常复杂和耗时的。

材料力学莫尔定理

l
图七
P0
C
EI 2
x
l 图八
❖ 对于图六旳情况：因为该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上
不但有弯矩，而且还有剪力，所以在梁旳变形中，弯矩不但要产
生影响，剪力也要产生影响，但当
L H
4
时，剪力旳影响相对
于弯矩旳影响来说是很小旳，故可略而不计，而近似地以为梁旳
变形都是因为 M x 旳影响而产生旳。
❖ 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量措施：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是今日这节课旳内容。而且，在变形能概念旳基础上来研究莫尔定理。
理，在此分别研究梁在不同旳加载方式作用情况下，变形能旳情况。
❖ 此时应强调P1、P2、P3…对梁旳作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所变化，所以得出：因为P1、P2、P3…旳作用，C点产生旳位移f ' 应等于f；产生旳变形能也应等于图七情况下梁内旳变形能。即<c>式。
U1
L
M 0 x M
1.从莫尔定理旳证明过程及例题旳分析过程中，能够看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点旳线位移，只需在
该点上沿着线位移旳方向作用一单位集中力就行了。若要求解一
截面旳转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。
2． fc
5ql 4 384EI Z
B
ql 3 24EI Z
中旳正负号所表达旳含义：
M(f )= -PR(1-cosf )
f AP BP
施加单位力如下
M(f )= -R(1-cosf )
最终用莫尔积分可得
d
AB=
3pPR3
————
EI

挠度分析

ql 3 ml 24EI 3 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
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例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
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例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
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F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
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边界条件 x0: w 0 xl : w0
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。

第四篇(弯曲挠度3Lu)

2EI
B
a
C
B
F
B
C
M=Fa
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A1
Fa 2 2EI
,
A1
Fa 3 3EI
F
A wA1 θA1
A2
B
Fa 2 4EI
A wB
A2
B
Ba
Fa 3 6EI
Fa 3 4EI
5Fa3 12 EI
B a
A3
B
Fa 2 2EI
A
A2
B
Ba
Fa 3 4EI
Fa 3 2EI
ql 3 6 EI
ql 4 wc1(q) 8EI
2 AB变形，BC不变形（刚化）。
c 2 (q)
B (q)
ml 3EI
1 2
qa
2
2a
qa3
A
3 EI
3EI
wc2(q) B (q) a
qa4
3EI
q
B
（c）
q
B
（d）
C
C
wc1(q) c1 (q )
qa2/2
B
（e）
C wc2(q)
c 2 (q)
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3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa3 qa3 qa3 4EI 6 EI 3EI
qa3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
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§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角梁是一种常见的结构，在结构设计和分析中经常需要求解梁的挠度和转角。

挠度和转角是评价梁在受载过程中变形情况的重要指标，对于保证梁的安全性和使用寿命有着重要作用。

本文将介绍用积分法求解梁的挠度和转角的方法。

首先，需要明确梁的基本假设及其约束条件。

梁的基本假设包括：梁轴线是直线、截面内部应力分布均匀、横截面形状及尺寸在受力过程中不变、截面在平面内转动的角度很小、且不影响梁内部的应力分布等。

约束条件一般有：端部固定或支承等。

接着，需要根据约束条件和配重条件列出梁的弯曲方程和边界条件。

假设梁长度为L，x轴方向为梁轴线方向，则弯曲方程为：d^2y/dx^2+M/(EI)=0其中，y是梁的挠度，M是弯矩，E是杨氏模量，I是梁的截面惯性矩，上述方程即为梁的弯曲方程。

根据约束条件和配重条件，可以列出边界条件。

对于悬臂梁，端点处有一个支承，因此边界条件为y(0)=0,d^2y/dx^2(0)=0；对于双端支承梁，两端都有支承，因此边界条件为y(0)=y(L)=0,d^2y/dx^2(0)=d^2y/dx^2(L)=0。

根据弯曲方程和边界条件可以解出梁的挠度和转角。

但是，弯曲方程中的弯矩是未知的，需要通过力学分析求解。

通常的做法是，将梁截面分成若干小段，每段长度为dx，考虑该段上下两点的受力平衡条件，可以得到该段的弯矩M。

然后将弯矩代入弯曲方程求解，就可以得到该段的挠度和转角。

最后将所有小段的挠度和转角相加即可得到整个梁的挠度和转角。

具体的计算过程可以用数值方法进行，也可以用解析方法求解。

下面介绍解析方法的两种常用技巧：超定积分法和欧拉-伯努利积分法。

超定积分法是一种较为简单和常用的求解梁挠度和转角的方法。

它的基本思想是将弯曲方程两端同时积分两次，得到整个梁的挠度函数和转角函数，然后根据边界条件解出各个常数。

以悬臂梁为例，弯曲方程为：将上式积分两次，得到：其中，b1和b2是积分常数，需要根据边界条件求解。

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算

x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、叠加法、能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z

单跨梁等静力计算公式及图表

－M最大＝M0（4α/ι－9α2/ι2＋6α3/ι3－1）（C点左一些）
y＝－1/6EI（3 MAX2－RAX3）（AC间）
y＝－1/6EI[（M0＋MA）（3 X2－6ιX＋3ι2）－RA（3ι2X－X3＋2ι3）]（CB间）
y—挠度（m）
θ—截面转角（rad）
ι—梁的跨度（m）
X—截面至坐标原点的距离（m）
E—材料的弹性模量（N/m2）
I—横截面对中性轴的惯性矩（m4）
悬臂梁
集中载荷作用在自由端
RB＝P
Qx＝－P
Mx＝－PX
MB＝－Pι
M最大＝－Pι
yA＝－Pι3/3EI
θA＝－Pι2/2EI
连续均布载荷
RB＝qι
Qx＝－qX（X由0→ι）
两个力作用在外伸端
RA＝RB＝P
Qx1＝－P（CA间）
Qx＝0（AB间）
Qx2＝P（BD间）
Mx＝－Pι1（AB间）
Mx1＝－PX1（CA间）
Mx2＝－PX2（BD间）
y最大＝－Pι2ι1/8EI（在跨中）
θA＝－θB＝Pιι1/2EI
连续均布载荷
RA＝RB＝qι/2
Qx＝qι/2－qX（X由0→ι）
Mx＝－qX2/2（X由0→ι）
MB＝－qι2/2
M最大＝－qι2/2
yA＝－qι4/8EI
θA＝－qι3/6EI
力矩作用在自由端
RB＝0
Qx＝0
Mx＝－M0（X由0→ι）
MB＝－M0
M最大＝－M0
yA＝－M0ι2/2EI
θA＝－M0·ι2/EI
两端自由支承梁
一个力作用在跨度间
RA＝Pb/ι；RB＝Pα/ι
Q最大＝1/2 qι