江苏省2022年专转本高等数学考试题和答案

江苏省2022年普通高校专转本选拔考试《高等数学》试题和答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.要使函数2()(1)

x x

f x x -=-在区间(11)-，内连续，则应补充定义(0)f =（ A ）

A.2e -

B.1e -

C.e

D.2e 2.2sin ()(1)

x

f x x x =

-的第二类间断点的个数为（ C ）

A.0

B.1

C.2

D.3

3.设(1)1f '=，且0(1)(1)

lim 1h f ah f ah h →--+=，则常数a 的值为（ B ）

A.1-

B.12-

C.1

2 D.1

4.设()F x 为()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（ D ） A.()()dF x f x C =+⎰ B.()()df x F x C =+⎰ C.()()F x dx f x C =+⎰ D.()()f x dx F x C =+⎰

5.

设二重积分=D

π，其中222{(,|,0}D x y x y R x =+≤≥，则R 的值

为（ D ）

6.下列级数条件收敛的是（ C ）

A.21sin n n n ∞

=∑ B.211(1)sin n n n ∞=-∑

C.1(1)n

n ∞=-∑ D.21

1(1)sin n n n ∞

=-∑

7.若矩阵113A 12102a --⎛⎫

⎪= ⎪

⎪-⎝⎭

的秩为2，则常数a 的值为（ A ） A.4- B.2- C.2 D.4

8.设1

1000011

11

111

2

3

4

D --=

--，ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则41424344+++=

M M M M （ B ）

A.2-

B.0

C.1

D.2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

9.sin lim n n n

→∞= 0 . 10.设函数2

0()arctan 0x x f x x x ⎧≠⎪

=⎨⎪⎩

，=0，则(0)f '= 1 .

11.设函数()sin3f x x =，则2022(0)f =（） 0 . 12.若+242=x a

e dx e ∞-⎰

，则常数a = -2 .

13.若幂级数1n

n n n x a ∞

=∑的收敛半径为2，则幂级数1

(1)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为

13

()22

， . 14.若向量组1234(1,0,2,0)(1,0,0,2)(0,1,1,1)(2,1,,2)k αααα====，，，线性相关，则k = 4 .

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

15. 求极限sin 0sin 1

lim sin x x e x x x

→--

解：sin 0sin 1lim sin x x e x x x →--sin 20sin 1=lim x x e x x →--sin 0cos cos =lim 2x x e x x

x →- sin 0cos 1=lim 2x x x e x →-⋅0cos sin =lim 2x x x x →⋅1=2

16. 求极限1arctan x dx x

⎰

解：1

arctan x dx x

⎰21=arctan 2x d x ⎰2211=arctan arctan 22x x d x x ⋅-⎰

2222111

=arctan ()1221+x x dx x x

x ⋅-⋅⋅-⎰22211=arctan +221+x x dx x x ⋅⋅⎰ 22111=arctan +(1)221x dx x x ⋅-+⎰211=arctan +(arctan )22

x x x C x ⋅-+

17.

设3

1()x f x x <=≥ 1，求定积分51

()f x dx -⎰。 解：51

()f x dx -

⎰31

5

1

=+dx -⎰⎰

5

1

=0+⎰

31=1t tdt t ⋅+⎰2

3111=1t dt t -++⎰311=(1)1t dt t -++⎰ 23

11=[+ln 1]2t t t -+=2+ln2

18. 设(,)z z x y =是由方程z e xy yz zx =++所确定的函数，求全微分dz 。 解：设(,,)z F x y z e xy yz zx =---，x F y z '=--，y F x z '=--，z z F e x y '=--

z x z z F y z x F e x y '∂+=-='∂--，z y z

z F x z

y F e x y

'∂+=-='∂--，z z y z x z dz dx dy e x y e x y ++=+---- 19. 求微分方程+234x y y y e '''-=的通解。 解：特征方程2+230r r -=，解得12=3=1r r -，

312x x Y C e C e -=+为+230y y y '''-=的通解。

1λ=是特征方程2+230r r -=的单根，所以*x y axe =为原微分方程的特解

*()(1)x y a x e '=+，*()(2)x y a x e ''=+，代入原微分方程得44x x ae e =，所以=1a *x y xe =为原微分方程的特解，所以*312x x x y Y y C e C e xe -=+=++为原微分方程

的通解。

20. 求二重积分D

xydxdy ⎰⎰，其中D

为由曲线y 20x y x +==，所围成的闭

区域。

解：D

xydxdy

⎰⎰1

20=x dx xydy -⎰

1201=[2

xy dx

⎰1201=[2xy dx ⎰ 13201=(54)2x x x dx -+⎰4321015=[+]86x x x -7

=24