2023年九年级中考数学专题练习——二次函数与特殊的四边形(附答案)
2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题(二次函数综合)【含答案】
2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）一、解答题1．如图，直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过B 、C ，且与x 轴另一交点为49A ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在抛物线上，连接EC ，当∠ECB +∠ACO ＝45°时，求点E 的横坐标；(3)点M 从点A 出发，沿线段AB 由A 向B 运动，同时点N 从点C 出发沿线段CA 由C 向A 运动，M ，N 的运动速度都是每秒1个单位长度，当N 点到达A 点时，M ，N 同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D ，使M ，N 运动过程中的某些时刻t ，以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．2．已知抛物线y=ax ²+bx +c 经过点A （-6，0）、B （2，0）和C （0，3），点D 是该抛物线在第四象限上的一个点，连接 AD 、AC 、CD ，CD 交x 轴于E ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S △DAE =S △ACD 时，求点 D 的坐标；14（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得△PAD 中的一个角等于2∠BAD ?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为，求∠CAF -∠CAD 的度数．123y x =--(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ⊥y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．4．已知顶点为A (2，一1)的抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于C 、D 两点，点C 坐标(1，O )；(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB 、BD 、DA ，求cos ∠ABD 的大小；(3)点P 在x 轴正半轴上位于点D 的右侧，如果∠APB =45°，求点P 的坐标．5．如图1，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C()2102y x bx c c =++<作轴，与抛物线交于另一点D ，直线与相交于点M ．CD x ∥BC AD(1)已知点C 的坐标是，点B 的坐标是，求此抛物线的解析式；()04-，()40，(2)若，求证：；112b c =+AD BC ⊥(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线上一点，是否存在这样的点P ，使得是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足BC PGQ △，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．GQP OCA ∠=∠6．抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴相交于点C ，点D 为223y ax ax a =--抛物线的顶点，点O 为坐标原点．(1)若是直角三角形，求抛物线的函数表达式；ABC (2)王亮同学经过探究认为：“若，则”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明：a<02∠=∠DCB ABC 若是错误的，说明理由；(3)若第一象限的点E 在抛物线上，四边形面积的最大值为，求a 的值．ABEC 2547．如图，抛物线经过，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．22y ax ax c =++(1,0)B (0,3)C(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，点E 在抛物线上，连接并延长交x 轴于点F ，连接，若是以为底的等腰三角形，求DE BD BDF BD 点E 坐标．(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M ，使，若存在，求出M 点的坐标；若不存AC BC ACM BCO ∠=∠在，请说明理由．8．抛物线的顶点坐标为，与x 轴交于点两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动2y ax bx c =++(1,4),(3,0)A B 点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求的最大值及此时点M 的坐标；MEAE (3)如图2，已知点，是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理(0,1)Q 1tan 2MBQ ∠=由．9．如图，一次函数y ＝x﹣2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 的坐标为（﹣1，0），二次函数12y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A ，B ，D 三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点G （1，m ）在抛物线上，作射线AG ，点H 为线段AB 上一点，过点H 作HE ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥AG 于点F ，过点H 作HM ∥y 轴交AG 于点P ，交抛物线于点M ，当HE•HF 的值最大时，求HM 的长；（3）在（2）的条件下，连接BM ，若点N 为抛物线上一点，且满足∠BMN ＝∠BAO ，求点N 的坐标．10．已知二次函数．()20y ax bx c a =++>（1）若，，求方程的根的判别式的值；12a =2b c ==-20ax bx c ++=（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点、，且，与y 轴的负半轴交于点C ，()1,0A x ()2,0B x 120x x <<点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ，．ACO ABD ∠=∠1b c x a -+=①求证：；AOC DOB ≅ ②连接BC ，过点D 作于点E ，点在y 轴的负半轴上，连接AF ，且，DE BC ⊥()120,F x x -ACO CAF CBD ∠=∠+∠求的值．1cx 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x 轴交于点A ，B 两点，点A 坐标为，243y ax x c =-+()3,0点B 坐标为，与y 轴交于点C ．()1,0-(1)求抛物线的函数解析式；(2)若将直线绕点A 顺时针旋转，交抛物线于一点P ，交y 轴于点D ，使，求直线函数解析AC BAP BAC ∠=∠AP 式；(3)在（2）条件下若将线段平移（点A ，C 的对应点M ，N ），若点M 落在抛物线上且点N 落在直线上，求AC AP 点M 的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交212y x bx c =-++x (2,0)A -B A B y 于点．(0,3)C （1）求抛物线的表达式；的坐标，并直接写出此时直线的表达式．D DC （3）在（2）的条件下，点为轴右侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，E y E DC P ECP DAB ∠=∠请直接写出点的坐标．E 13．已知函数y ＝（n 为常数）．22()1()222x nx n x n n n x x x n ⎧-++≥⎪⎨++<⎪⎩(1)当n ＝5时，①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值．②求此函数的最大值．(2)当n ＜0时，作直线x ＝n 与x 轴交于点P ，与该函数图象交于点Q ，若∠POQ ＝45°，求n 的值．23(3)若此函数图象上有3个点到直线y ＝2n 的距离等于2，求n 的取值范围．14．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于点A 和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD 的面积为4时，①求点D 的坐标；②联结OD ，点M 是抛物线上的点，且∠MDO ＝∠BOD ，求点M 的坐标；（2）直线BD 、AD 分别与y 轴交于点E 、F ，那么OE +OF 的值是否变化，请说明理由．15．如图，已知，抛物线经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线(2,0),(3,0)A B -24y ax bx =++上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作，垂足PM x ⊥PN BC ⊥为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得？若存在，请直接写出m 的值；若290BCO PCN ∠+∠=︒不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于和，与y 轴交于点C ，连接22y ax bx =++(4,0)A -(1,0)B ．,AC BC(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点M 为直线上方的抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交于点N ，过点M 作x 轴的AC AC 平行线，交直线于点Q ，求周长的最大值；AC MNQ △(3)点P 为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P 的坐标．45ACP BAC ∠=︒-∠17．抛物线经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．23y ax bx a =+-（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;(m,-m-1)（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使，若存在，请求出P 点的坐标；PCB CBD ∠=∠若不存在，请说明理由.参考答案：1．(1)y ＝x 2﹣x ﹣34913(2)或1543916(3)存在，t ＝或或754415845222．（1）；（2）；（3）P 点坐标为综上所述：2134y x x =--+(21)D -+-1P，、、、(617-）2P (-5.00.，175)()3 3.47, 3.48P -4(220P -)5P ，．(14.22,33.30)--6(9.74,30.47)P -3．(1)抛物线的解析式为y =-x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +612(2)45°(3)点P 的坐标为（，3）或（，3），QR 的最短长度为4．（1）y =x 2﹣4x +3；（23）P （3+，0）5．(1)2142y x x =--(2)11(3)t =t =6．(1)2=y x (2)王亮的说法正确(3)23a =-7．(1)抛物线的解析式为：，223y x x =--+(1,4)D -(2)720(,39E -(3)存在，或()4,5M --57(,)24M -8．(1)；223y x x =-++(2)；；916315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在；或（0，3）829,749⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．（1）y ＝x 2﹣x﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣，)12325317910．（1） （2）①1；②=2=8∆1c x 11．(1)224233y x x =--(2)223y x =-+(3)或或()3,8-104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）；（2）D (2，2)，；（3点E 的坐标为(1，3)或211322y x x =-++132y x =-+(，)113179-13．(1)①b =；②此函数的最大值为；92458(2)n 的值是-或-；15232(3)或423n -<<-463n <<-6n =+14．（1）①；②；（2）不变化，值为8)2D ()2M 15．(1)222433y x x =-++(2)，当时，有最大值22655PN m m =-+32m =910答案第3页，共3页(3)存在，74m =16．(1)213222y x x =--+(2)6+(3)或()5,3--2375,749⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）答案第4页，共1页。
2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合(含简单答案)
2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合一、单选题1．已知抛物线()2330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数，则c 的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程231x x +=的根可视为函数3y x的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（ ） A ．112x -<<-B ．1123x -<<-C ．1134x -<<-D ．104x -<<3．如图，已知二次函数()()5144y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则APPK的最小值为（ ）A ．94B ．2C ．74D ．544．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ＜3C ．x ＜﹣3或x ＞1D ．﹣1＜x ＜35．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12-x +m 与C 1，C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（ ）A ．52928m << B ．12928m << C ．54528m << D ．14528m <<6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()213y ax a =≤≤的图象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）A ．3060α︒≤≤︒B ．120150α︒≤≤︒C ．90120α︒≤≤︒D ．6090α︒≤≤︒7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时，函数值y 的取值范围为（ ） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．m ＜y ＜m +4D ．y ＞m8．如图，抛物线21322y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP =PE =①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．则正确的选项为（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①二、填空题9．如图，已知抛物线24y x x c =-+的顶点为D ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线AC 交抛物线于点A ，过点A 作y 轴的平行线AB 交射线OD 于点B ，若OA OB =，则c 的值为_____________．10．已知抛物线()2123y x m x m =-+++以及平面直角坐标系中的点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则m 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系中，抛物线215y x bx c =-+（0b >，b 、c 为常数）的顶点为A ，与y 轴交于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．若ABC 是等腰直角三角形，则BC 的长为________．12．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交y 轴于点Q ，连结OP ，当OAP △和PQC △的面积之和与OBQ △的面积相等时，点P 的坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A ，点B是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为4-，则四边形OCDA 的面积为___________．14．若243P m m m ++（，）是一个动点（m 为实数），点Q 是直线4y x =-上的另一个动点，则PQ 长度的最小值为_____．15．已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点(6,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE 十DE 的值最小时，ACE △的面积为是____16．已知：如图，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线26y ax bx =++的“优美三角形”的斜边长为4，求a 的值______．三、解答题17．抛物线23y ax bx =++顶点为点(1,4)D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．(1)求a 和b 的值；(2)是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MB MC +的值最小时，点M 的坐标是___________；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为点A 、D (点A 在点D 的右侧)，与y 轴的交点为点C ．(1)直接写出A 、D 、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD MC +的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线223y ax ax =++中，当=1x -时，4y =．(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上且位于直线AB 上方的一个动点，不与点A ，B 重合，求ABE 的面积最大时，点E 的坐标．(3)若1t x ≤≤时，y 的取值范围是04y ≤≤，请直接写出t 的取值范围．参考答案：1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．8310．2m <-或m>2或1m = 11．6 12．2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．641415．616．12±17．(1)1a =-，2b = (2)存在，(1,2)或(1,6)-18．(1)248433y x x =--+(2)8(1,)3M -(3)存在，P 点的坐标为(1,0)-或(-或(1,-或13(1,)8-19．(1)()4,0A ，()2,0D -，()0,3C -(2)连接AC 交对称轴于点M ，点M 即为所求，91,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()2,0-或()6,6.20．(1)223y x x =--+(2)315()24-，(3)31t -≤≤-。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊四边形问题)
2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线223y ax ax =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2)若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值及此时点P 的坐标．(3)若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y ax x c =++经过(3,0)B ，52,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)若点M 在直线BC 上方的抛物线上运动（与点B ，C 不重合），求使MBC △面积最大时M 点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．（请在图2中探索）3．如图，抛物线经过A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A +PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．6．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点()1,6A -，()2,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴，交AB 于点Q ，过点P 作PM AB ⊥于M ，当线段PM 的长度取得最大值时，求点P 的坐标和线段PM 的长度；(3)把抛物线2y x bx c =-++沿射线AB C 是新抛物线对称轴上一点，D 为平面上任意一点，直接写出所有使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形的点D 的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （O ，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连接BC 、BE 、CE ．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE 的形状，并说明理由；(3)如图2，点F 为线段BE 的中点，点P ，Q 分别为x 轴，y 轴上的动点，当四边形EFPQ 的周长取最小值时，求P ，Q 两点的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．11．如图，一次函数y＝kx＋2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，B的坐标为（4，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求k的值及抛物线的解析式．(2)直线x＝t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？(3)在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积是多少．12．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)①求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．②当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （1，0）、B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，3）．(1)求抛物线的函数表达式：(2)设P 为抛物线上一动点，点P 在直线BC 上方时，求△BPC 面积的最大值：(3)若M 为抛物线上动点，点N 在抛物线对称轴上，是否存在点M 、N 使点A 、C 、M 、N 为平行四边形？如果存在，直接写出点N 的坐标：如果不存在，请说明理由．14．如图已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图像经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作AB x ∥轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．(1)求该二次函数的表达式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求m 的取值范围；(3)若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点C ．(1)b ＝______，c ＝______；(2)若点D 为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，求出DE +FG 的最大值及此时点D 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一点，点Q 为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x 轴上方是否存在点M ，使四边形OMPQ 为正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于点A （1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D 的坐标；(2)求△BCD 的面积；(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为平面内一点，以A ，M ，I ，N 为顶点作正方形，是否存在点M ，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点A ，点()3,0B ．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，点P 关于y 轴的对称点记作点P '，当四边形POP C '为菱形时，求点P 的坐标；(3)点P 是抛物线上任意一点，过点P 做PD BC ⊥，垂足为点D ．过点P 作PQ x ∥轴，与抛物线交于点Q ．若PQ =，求点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y mx mx =-+的图像与x 轴交于A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且AB ＝4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；(2)点E 是二次函数图像上一个动点，作直线EF x ∥轴交抛物线于点F （点E 在点F 的左侧），点D 关于直线EF 的对称点为G ，如果四边形DEGF 是正方形，求点E 的坐标；(3)若射线AC 与射线BD 相交于点H ，求∠AHB 的大小．19．如图，已知直线3y =-与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线213y x bx c =++的顶点是)1-，且与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点E ，P 是抛物线上一个动点，过点P 作PG AB ⊥于点G ．(1)求b 、c 的值；(2)若点M 是抛物线对称轴上任意点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．(3)当点P 运动到何处时，线段PG 的长最小？最小值为多少？20．综合与探究 如图，抛物线249y x bx c =-++与y 轴交于点()0,8A ，与x 轴交于点()6,0B ，C ，过点A 作AD x ∥轴与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AB ，点P 为AB 上一个动点，由点A 以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动（不与点B 重合），运动时间为t ，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，求PQ 与t 的函数关系式；(3)点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：2．(1)223y x x =+-(2)当32x =-时，△ACP 面积的最大值为278，此时点3(2,)4P --； (3)点F 的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）3．(1)21322y x x =-++，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)315,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当32m =时，S 有最大值为2716 (3)满足条件的点P 坐标为154,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2214,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)25．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)223y x x =+-，(3,0)A -(2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)7．(1)点A （1，0），点B （4，0），点C （0，4）(2)平行四边形(3)存在；F （0，1）或（0，﹣1）或（0，258）8．(1)223y x x =--(2)（2，-3）(3)12m m ==9．(1)26y x x =--+(2)1(2P ，21)4；PM =(3)5(2-，6或5(2-，6或7(2或7(2， 10．(1)y 212x =-+2x +6 (2)直角三角形(3)P ，Q 两点的坐标分别为（2，0），（0，4）11．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-212．(1)k =-12，y =-x 2+72x +2； (2)当t =2时，MN 有最大值4；(3)点D 的坐标为（0，-2）或（0，6）或（4，4）时，以A 、M 、N 、D 为顶点的四边形是平行四边形，平行四边形的面积均为8．13．(1)2y x 2x 3=-++(2)①23DE m m =-，CE =；②m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．14．(1)223y x x =--+(2)278(3)存在，(1-，0)或(1-，8)15．(1)二次函数解析式为224y x x =--，点M 的坐标为（1，-5）(2)24m <<(3)当点Q 的横坐标为3时，四边形CEQP 为顶点的四边形为菱形16．(1)﹣2，3(2)GF +DE 有最大值258，D 57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 点的坐标为或 17．(1)2212y x x 255=-+-，顶点D 的坐标是（3，85） (2)6(3)存在，点M ）或18．(1)2y x 2x 3=-++(2)32P ⎫⎪⎪⎝⎭(3)()2,3P 或1,0或⎝⎭或⎝⎭19．(1)2y x 2x 3=-++；D （1，4）；(2)E （0，3）；(3)45AHB ︒∠=．20．(1)b =3c =．(2)存在，符合条件的点N 的坐标为或(0,3)或)1-．(3)当点P PG 21．(1)244893y x x =-++ (2)PQ 与t 的函数关系式为248255PQ t t =-+（010t ≤<）； (3)存在点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形，点N 的坐标为(3,)98-或()233,4-.。
2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)
2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。
2023年九年级中考数学：二次函数综合题压轴题(特殊四边形问题)(含答案)
(1)求该抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2)设点 的横坐标是 ，问当 取何值时，四边形 的面积最大；
(3)如图，若直线 的解析式是 ，点 和点 分别在抛物线上和直线 上，问：是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 在此抛物线的对称轴上，当 最大时，点 的坐标为_____，此时 的面积为_____；
(3)点 在抛物线上，平面内存在点 使四边形 为菱形时，请直接写出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和直线 交于 、 两点，直线 交 轴于点 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求点 的坐标与 的值；
(2)当点 恰好是 的中点时，求点 的坐标；
(3)连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在线段 上时，则点 的坐标为______ 直接写出答案
6．已知抛物线 与x轴有公共点．
2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题
2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题1．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.2．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？花圃的面积是多少？3．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2.（1）用x的代数式表示BC的长；（2）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？4．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏48米，设AB长x 米．（1）若AD为y米，直接写出y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围；（2）AB长为多少米时，这个花园的面积最大，并求出这个最大值．5．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙(墙长为40m)，饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A、B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C.（1）若A（-1，0），B （3，0），C（0，-3）①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；（2）如图2，若直线y=bx+t(t>c)与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）.直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.7．某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为米（请用含x的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．8．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式．（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．9．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.（1）求y与x的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.10．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）当矩形ABCD空地的面积最大时，利用的墙长是多少m；并求此时的最大面积．11．某社区决定把一块长为50m、宽30m的矩形空地建为居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区均为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的四个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）求y与x的函数表达式并求出自变量x的取值范围，（2）求活动区最大面积．12．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.（1）求y关于x的函数表达式．（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．14．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求△P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当△P的半径为1时，若△P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D （m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos△APD的大小．15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？16．如图，抛物线y=ax2- 43x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（-1，0），且抛物线经过点D（2，-2）。
专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。
2023年九年级中考数学专题训练——二次函数与角度问题(附答案)
2023中考专题训练——二次函数与角度问题1．如图1，直线y x =--24与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ,二次函数23y ax x c =++的图像经过点A ，交x 轴于C 、D 两点，且抛物线的对称轴为直线32x =-，点E 是抛物线的顶点．(1)a =，c =，顶点E 坐标是；(2)过点C 作直线CK ∥AB 交y 轴于点K ，点P 是直线CK 上一动点，点Q 是第三象限抛物线上一动点，求四边形APBQ 面积的最大值与此时点Q 的坐标；(3)如图2，在（2）的结论下，对称轴与x 轴交于点6，直线EQ 交x 轴于点E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得45MFQ CAO ∠+∠=︒，求点M 的坐标．2．如图，直线y=﹣x+3交y 轴于点A ，交x 轴与点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ，点P 为抛物线上直线AB 上方部分上的一点，且点P 的横坐标为t ，过P 作PE ∥x 轴交直线AB 于，作PH ⊥x 轴于H ，PH 交直线AB 于点F ．（1）求抛物线解析式；（2）若PE 的长为m ，求m 关于t 的函数关系式；试卷第2页，共9页（3）是否存在这样的t 值，使得∠FOH ﹣∠BEH=45°？若存在，求出t 值，并求tan ∠BEH 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x 2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3． (1)求点M 、A 、B 坐标；(2)连结AB 、AM 、BM ，求∠ABM 的正切值；(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．4．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．5．已知：在直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线()212y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C ．(1)若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD AB ⊥，求CDAD比值； (3)在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得DCP CAD ∠=∠，求点P 的坐标．6．如图，已知抛物线的顶点M （0，4），与x 轴交于A （－2，0）、B 两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C （0，2），P 为抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q （P 在Q 上方），再过点P 作PR ∥x 轴交直线BC 于点R ，若△PQR 的面积为2，求P 点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D ，使∠MAD ＝45°，若存在，求出D 点坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，圆心M （3，0），半径为5的⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线的解析式．试卷第4页，共9页（2）求圆M 上一动点P 到该抛物线的顶点Q 的距离的最小值？并求出此时P 点的坐标． （3）若OC 的中点为F ，请问抛物线上是否存在一点G ，使得∠FBG ＝45°，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于A （2，0），B （4，0），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H 为射线DA 与y 轴的交点，N 为射线AB 上一点，设N 点的横坐标为t ，△DHN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N 与B 重合，G 为线段DH 上一点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于F ，连接AF ，若∠AGN ＝∠F AG ，求GF 的长．9．在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标； （3）已知E 是x 轴上的点，F 是抛物线上的动点，当B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E 的坐标．10．已知抛物线的解析式y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣1，0）抛物线与y 轴正半轴交于点C ，△ABC 面积为6． （1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）P 为第一象限抛物线上一动点，过P 作PG ⊥AC ，垂足为点G ，设点P 的横坐标为t ，线段PG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，过点B 作CP 的平行线交y 轴上一点F ，连接AF ，在BF 的延长线上取点E ，连接PE ，若PE ＝AF ，∠AFE+∠BEP ＝180°，求点P 的坐标．11．如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.12．如图，已知二次函数239344y x x =-++的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C . (1)求线段BC 的长；(2)当0≤y ≤3时，请直接写出x 的范围；试卷第6页，共9页(3)点P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP ，当∠BCP ＝90o 时，求点P 的坐标.13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2，－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN=6． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ，y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣5（a≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP=∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C （0，8），点D 是抛物线上的动点，直线AD 与y 轴交于点K ． （1）填空：c=；（2）若点D 的横坐标为2，连接OD 、CD 、AC ，以AC 为直径作⊙M ，试判断点D 与⊙M的位置关系，并说明理由．（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线245y mx mx m=+-（m＜0）与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线3y x=相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线3y x=上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线3y=上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．17．如图，抛物线经过A（2,0-），B（1,02-），C（0,2）三点．试卷第8页，共9页（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标； （3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H 满足90AMH ︒∠=若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线=2y -的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．19．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A ，B 两点，OA ＝1，与y 轴交于点C ，连接AC ，tan ∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求点A ，C 的坐标；(2)若点P 在抛物线上，且满足∠P AB ＝2∠ACO ，求直线P A 与y 轴交点的坐标；(3)点Q 在抛物线上，且在x 轴下方，直线AQ ，BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．求证：DM +DN 为定值，并求出这个定值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，点D 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD ，交BC 于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，点P 为抛物线上一动点，是否存在点P ，使得2∠PCB ＝∠OCB ，若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)1，-4，3,252⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)494，521,24Q ⎛⎫--⎪⎝⎭； (3)325,216⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,252⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）先由直线y =-2x +4求出点A 的坐标，再由点A 在抛物线上和抛物线的对称轴为直线32x =，即可求解； （2）根据直线y =-2x +4求出点B 的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点C 的坐标，△ABO 的面积等于△ABC 的面积且为定值，设点Q 的横坐标为x ，过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，用含x 的代数表示△ABO 的面积，再根据二次函数的性质求出当△ABO 的面积最大时的x 值，进而求出四边形APBQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标；（3）通过计算，得出GE =GF ，可得∠GFQ =45°．当点M 在直线EF 下方，则只要作出∠GFM =∠CAO ，则∠MFQ =∠CAO ．可通过求EQ 的解析式的方法求得点F 的坐标，再求MG 的长，从而得到点M 的坐标；当点M 在直线EF 的上方，作点M 关于直线EF 的对称点J ，求直线J 的解析式，再求出另一点M 的坐标． （1）解：∵直线y =-2x +4与y 轴交于点A ， ∴A （0，4），∵抛物线经过点A 且对称轴为直线32x =， ∴c =4，3322a -=， ∴a =-1，∴二次函数的解析式为234y x x =-++；（2）如图，作QH ⊥AB 于点H ，QN ∥y 轴交直线AB 于点N ，设点Q （x ，-x 2+3x +4），则F （x ，-2x +4），当y =0时， -x 2+3x +4=0，解得，x 1=-1，x 2=4，∴C （-1，0），D （4，0），由-2x +4=0，得x =2，∴B （2，0）， ∴222425AB +∵∠EFQ =∠OAB ， ∴525HQ OB QN AB =， ∴225553424)5)HQ x x x x x ==-+++-=-+， ∵CE ∥AB ， ∴13462ABP ABC S S ∆∆==⨯⨯=， ∴ABO ABP APBO S S S ∆∆=+四边形215255)62x x =⨯-++ 256x x =-++2549()24x =-+， ∴当52x =时，四边形APBQ 面积的最大，最大值为494，此时521(,)24Q ； （3）解：存在，理由如下： ∵2232534()24y x x x =-++=-+， ∴点32524E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴254GE =， 设直线EF 的解析式为()0y kx b k =+≠， 把点521(,)24Q ，32524E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：3252452124k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1314k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为314y x =-+， 当y =0时，314x =， ∴点31(,0)4F ， ∴31325424GF GE =-==， ∴△EGF 是等腰直角三角形，若点M 在直线EF 的下方，当14MG CO FG AO ==时，则∠GFM =∠CAO ， ∴∠MFQ +∠CAO =45°，∴此时125254416MG =⨯=， ∴点325(,)216M ； 若点M 在直线EF 的上方，作点M 关于直线EF 的对称点J ，连接EJ ，则△MEJ 是等腰直角三角形，∵EJ ∥x 轴，25257541616EJ EM ==-=， ∴点9925(,)164J ， 设直线FJ 的解析式为()0y mx n m =+≠， 把点9925(,)164J ，31(,0)4F 代入得：99251643104m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：431m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线FJ 的解析式为431y x =-+， 当32x =时，3431252y =-⨯+=， 此时3(,25)2M ， 综上所述，点M 的坐标为325(,)216或3(,25)2． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法以及转化等．2．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）m 与t 的关系式为m=﹣t 2+3t ；（3）存在满足条件的t 的值，t 的值为1，tan ∠BEH 的值为．【解析】试题分析：（1）由直线AB 的解析式可求得A 、B 两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b 、c ，可求得抛物线解析式；（2）由P 点坐标表示出E 点的纵坐标，代入直线AB 解析式，可求得E 点横坐标，则可用t 表示出PE 的长，可得到m 关于t 的函数关系式；（3）过E 作EG ⊥x 轴于点G ，则可用t 表示出GH 和EG ，由三角形外角的性质和已知条件可证得∠EHG=∠FOH ，可证明△FOH ∽△EHG ，根据相似三角形的性质可求得t 的值，则可求得tan ∠EHG ，结合∠BEH=∠FOH ﹣45°，则可求得tan ∠BEH 的值．解：（1）在直线y=﹣x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3，∴A （0，3），B （3，0），∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点，∴把A 、B 两点的坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵P 点在抛物线上，∴P 点坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），∵PE ∥x 轴，∴E 点纵坐标为﹣t 2+2t+3，∵E 点在直线AB 上，∴把E点纵坐标代入直线AB解析式可得﹣t2+2t+3=﹣x+3，解得x=t2﹣2t，∴E点横坐标为t2﹣2t，∴PE=m=t﹣（t2﹣2t）=﹣t2+3t，∴m与t的关系式为m=﹣t2+3t；（3）如图，过E作EG⊥x轴于点G，∵OA=OB=3，∴∠EBO=45°，∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°，∵∠FOH﹣∠BEH=45°，∴∠FOH=∠BEH+45°，∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°，∴△FOH∽△EGH，∴=，∵OH=t，F在直线AB上，∴FH=﹣t+3，由（2）可知EG=﹣t2+2t+3，GH=m=﹣t2+3t，∴=，解得t=1，∴OH=1，FH=2，∴tan∠FOH==2，∵∠FOH﹣∠BEH=45°，∴∠BEH=∠FOH﹣45°，∴tan∠BEH=tan（∠FOH﹣45°）===，综上可知存在满足条件的t的值，t的值为1，tan∠BEH的值为．考点：二次函数综合题．3．见解析【解析】试题分析：（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出AMAB的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=AMAB即可解决问题．（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．试题解析：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）2-3，∴顶点M（1，-3），令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，∴点A（0，-2），x=3时，y=（3-1）2-3=4-3=1，∴点B（3，1），（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB=EA=3，∴∠EAB=∠EBA=45°，同理可求∠FAM=∠FMA=45°，∴△ABE∽△AMF，∴AM AF1 AB AE3==，又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，∴tan∠ABM=AM1 AB3=，（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，∴设点P（x，x2-2x-2），①点P在x轴的上方时，22213x xx--=，整理得，3x2-7x-6=0，解得x1=-23（舍去），x2=3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，2(22)13x xx---=，整理得，3x2-5x-6=0，解得x1597-，x2597+597+y=x2-2x-2=597+∴点P ，，综上所述，点P 的坐标为（3，1．考点：二次函数综合题．4．(1)抛物线的解析式为：2=23y x x --；(2)不存在这样的点P ，理由见解析；(3)M 点坐标是(45)，或315()24-，．【分析】（1）根据点A 的坐标为(10)A -，，3OC OA =可得出C 点坐标，再把A 、C 两点的坐标代入抛物线22(0)y ax ax c a =-+>求出a ，c 的值即可；（2）过点P 作PM y ∥轴分别交线段BC 于点N ，利用待定系数法求出直线BC 的解析式，故可得出23(23)PN x x x =----，，再由243PBC ABC S S ==△△，解一元二次方程即可得出结论；（3）分当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，两种情况讨论，当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，过A 作AK AC ⊥交CM 于点K ，作KH x ⊥轴于点H ，证明(AAS)OAC HKA ≌△△，可得(21)K ，，用待定系数法求出直线CM 的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M 的坐标；当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，同样的方法可求解．【解析】（1）解：∵3OC OA =，(10)A -，， ∴(03)C -，． 把点A ，C 的坐标代入22y ax ax c =-+，得203a a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：2=23y x x --；（2）解：不存在这样的点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二；理由：如图，过点P 作PN y ∥轴分别交线段BC 于点N ．∵抛物线的解析式为2=23y x x --，令0y =，则2230x x --＝，解得1213x x =-=，，∴(30)B ，， ∴4AB =， ∴14362ABC S =⨯⨯=△， 1322PBC B S PN x PN =⨯=△， 由题意得243PBC ABC S S ==△△， ∴342PN =，即83PN =， ∵(30)B ，，(03)C -，， 设直线BC 的解析式为3(0)y kx k =-≠，∴033k =-，解得1k =，故直线BC 的解析式为：3y x =-．设2(23)P x x x --，，(3)N x x -，，则23(23)PN x x x =----， ∴283(23)3x x x ----=，整理得23980x x -+=，∵224(9)4388196150b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<，∴方程无实数根，∴不存在这样的点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二；（3）解：当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，如图，过A 作AK AC ⊥交CM 于点K ，作KH x ⊥轴于点H ，∵45ACM ∠=︒，∴AC AK =，∵90AOC KHA ∠=∠=︒，90ACO OAC KAH ∠=-∠=∠︒，∴(AAS)OAC HKA ≌△△，∴3AH CO ==，1KH OA ==，∴(21)K ，， 同理求得直线CM 的解析式为23y x =-，联立22323y x x y x ⎧=--⎨=-⎩， 解得0x =（舍去），或4x =，∴(45)M ，． 当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，如图，过A 作AD AC ⊥交CM 于点D ，作DE x ⊥轴于点E ，同理可证得(AAS)OAC EDA ≌△△，得到(41)D --，， 同理求得直线CM 的解析式为132y x =--， 联立223132y x x y x ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩， 解得0x =（舍去），或32x =， ∴315()24M -，． 综上，M 点坐标是(45)，或315()24-，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．5．(1)21(2)12y x =+-； (2)23CD AD =； (3)P (25)-，．【分析】（1）利用直线1y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求得点A 、B 坐标，顶点D 在直线AB 上，由抛物线顶点式得出21()12y x m m =-++，进一步代入B 点求得答案即可； （2）由题意表示出点D 和点C 坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质求得答案即可； （3）由（2）的图形延长AC 交对称轴于点F ，求得直线AC 的解析式，进一步证得ADF CDP ∆∆∽，利用相似的性质求得DP ，进一步确定点P 的坐标即可．【解析】（1）解：∵直线1y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点A (10)-，，点B (01)，， ∵顶点D 在直线AB 上， ∴21()12y x m m =-++， ∵点C （非顶点）与点B 重合，把点B (01)，代入得 21112m m =++， 解得：2m =-或0m =（不合题意舍去），∴21(2)12y x =+-； （2）解：如图，由题意可知： 点21(1)(01)2D m m C m m +++，，，， ∵在Rt ΔABO 中，1AO BO CD AB ==⊥，，∴CDB ∆为等腰直角三角形，作DH BC ⊥，则12DH BC =， ∴211(11)22m m m =++-， 解得2m =，∴(05)(23)C D CD AD =，，，， ∴23CD AD =； （3）解：延长AC 交对称轴于点F ，设直线AC 的解析式为：5y kx =+，把A (10)-，代入得05k =-+， ∴5k =∴直线AC 的解析式为：55y x =+，则F (215)，， ∵135DCP CAD ADF CDP ∠=∠∠=∠=︒，，∴ADF CDP ∆∆∽，∴AD DF CD DP =321222DP=， 解得8DP =，又∵点(23)D ，， ∴P (25)-，． 【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题． 6．(1)24y x =-+；(2)P （1，3）；(3)存在，D 点坐标为（53，119）．【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A 的坐标，即可得出抛物线的解析式； （2）由顶点M （0，4），A （−2，0）可得B （2，0），则OC ＝OB ，可得∠OCB ＝∠OBC ＝45°，根据平行线的性质得∠PQR ＝∠PRQ ＝45°，则PQ ＝PR ，根据△PQR 的面积为2可得PQ ＝2，求出直线BC 的解析式为y ＝−x ＋2，设P （m ，24m -+），则Q （m ，−m ＋2），PQ＝()2422m m -+--+=，解方程求出m 的值即可；（3）过点M 作MN ⊥AD 于N ，过点N 分别作NE ⊥y 轴于E ，NF ⊥x 轴于F ，证明△MNE ≌△ANF（AAS ），可得NE ＝NF ，设N （n ，−n ＋2），则n ＝−n ＋2，求出n ＝1，可得N （1，1），求出直线AN 的解析式为y ＝1233x +，联立24y x =-+即可求解． （1）解：∵抛物线的顶点M （0，4），∴设抛物线的解析式为：24y ax =+，∵抛物线与x 轴交于A （−2，0），∴4a ＋4＝0，解得a ＝−1，∴抛物线的解析式为：24y x =-+；（2）解：∵顶点M （0，4），A （−2，0），∴B （2，0），∵点C （0，2），∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝45°，∵PQ ∥y 轴，PR ∥x 轴，∴∠PRQ ＝∠OBC ＝45°，∠PQR ＝∠OCB ＝45°，∴∠PRQ ＝∠PQR ＝45°，∴PQ ＝PR ，∵△PQR 的面积为2， ∴12PR ·PQ ＝122PQ ＝2，∴PQ ＝2，∵C （0，2），∴设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋2，代入B （2，0）得：0＝2k ＋2，解得：k ＝－1，∴直线BC 的解析式为y ＝−x ＋2，设P （m ，24m -+），则Q （m ，−m ＋2），∴PQ ＝()2422m m -+--+=， 解得：m ＝1或0（舍去），∴P （1，3）；（3）解：存在；过点M 作MN ⊥AD 于N ，过点N 分别作NE ⊥y 轴于E ，NF ⊥x 轴于F ，∴NE ⊥NF ，∠MEN ＝∠AFN ＝90°，∴∠MNE ＝∠ANF ，∵∠MAD ＝45°，MN ⊥AD ，∴MN ＝AN ，∴△MNE ≌△ANF （AAS ），∴ME ＝AF ，NE ＝NF ，设N （n ，n ），则ME ＝4－n ，AF ＝n ＋2，∴4－n ＝n ＋2，解得：n ＝1，∴N （1，1），∵A （−2，0），设直线AN 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴120k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得1323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AN 的解析式为y ＝1233x +， 联立212334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩， 解得：20x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或53119x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴D 点坐标为（53，119）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．（1）213442y x x =--；（2）当(3,5)P -时，PQ 的值取最小为54；（3）存在，22186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1450,39G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）求出A 、B 、C 三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式，将A 、B 、C 三点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，根据点的坐标与圆心连线交圆于P 即可得出结果； （3）分两种情况讨论，先求出540:33HB l y x =-，1324:55H B l y x =-+，再分别和抛物线213442y x x =--联立组成方程组，解方程组即可． 【解析】解：（1）连接MC ，∵⊙M 的圆心M （3，0），半径为5，∴OA =AM -OM =5-3=2，OB =BM +OM ==5+3=8，∴A （-2，0）、B （8，0），在Rt △OCM 中，∴OC=，C （0，-4），∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c （a ≠0），∴44206480c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩， ∴14324a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴所求抛物线的关系式为：213442y x x =--．（2）连结MQ 交⊙M 于P ，则PQ 最短， ∵22131254(3)4244y x x x =--=--， ∴抛物线的顶点253,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵圆心M （3，0），∴M 、P 、Q 在平行于y 轴的直线上，而⊙M 的半径为5，∴当(3,5)P -时，PQ 的值取最小， ∴min 54PQ =．（3）∵C （0，-4），OC 的中点为F ，∴(0,2)F -，分两种情况，BG 在BF 下方时，连结FB ，过点F 作FH ⊥BF 交直线BG 于H ，过H 作HE ⊥y 轴于E ，45FBG ∠=︒，∴∠FHB =180°-∠BFH -∠FBH =180°-90°-45°，∴∠FHB =∠FBH =45°，∠HFB =90°，Rt BFH ∴△为等腰直角三角形，∴FH =FB ，∵∠OFB +∠OBF =∠OFB +∠EFH =90º，∴∠OBF =∠EFH ，在△OFB 和△EHF 中，OBF EFH FOB HEF FB HF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OFB ≌△EHF （AAS ），∴OF =EH =2，OB =EF =8，∴OE =OF +EF =2+8=10，∵点H 在第四象限，∴点H （2，-10），设HB 的解析式为:HB l y kx b =+，把(2,10)H -，B （8，0）、代入y kx b =+，10208k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴540:33HB l y x =-， 点G 是直线540:33HB l y x =-与抛物线的交点， 25403313442y x y x x ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩， 消去y 得：2119280463x x -+=， 解方程得：143x ∴=或8（舍）， 则11450,39G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， BG 在FB 上方时，连结FB ，过点F 作FH 1⊥BF 交直线BG 于H 1，过H 1作H 1E 1⊥y 轴于E 1，∴145FBH ∠=︒，∴∠FH 1B =180°-∠BFH 1-∠FBH 1=180°-90°-45°=45°，∴∠FH 1B =∠FBH 1=45°，∠H 1FB =90°，1Rt BFH ∴△为等腰直角三角形，∴FH 1=FB ，∵∠OFB +∠OBF =∠OFB +∠E 1FH 1=90º，∴∠OBF =∠E 1FH 1，在△OFB 和△E 1H 1F 中，11111OBF E FH FOB H E F FB H F ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OFB ≌△E 1H 1F （AAS ），∴OF =E 1H 1=2，OB =E 1F =8，∴OE 1=E 1F -OF + =8-2=6，点H 1在第二象限，∴点H 1（-2，6），设H 1B 解析式为111:H B l y k x b =+代入点坐标得11118026k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得1135245k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴则1324:55H B l y x =-+， 点G 是1324:55H B l y x =-+与抛物线的交点，23245513442y x y x x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩， 先去y 得25181760x x --=， 解得225x ∴=-或8（舍）， 则222186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述：22186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1450,39⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式及圆的性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法及其用辅助线准确画出图形是解题的关键．8．（1）268y x x =-+-；（2）()3322S t t =-≥；（3）2 【分析】（1）把于A （2，0），B （4，0）代入抛物线解析式求解即可；（2）先求出D 点的坐标，然后求出直线AD 的解析式得到H 的坐标，再根据DHN AHN DAN S S S S ==+△△△求解即可；（3）延长FG 与x 轴交于M ，先证明△MAF ≌△MGB ，得到FM =BM ，设M （m ，0），则F（m ，268m m -+-），则4BM m =-，()226868MF m m m m =--+-=-+，则2684m m m -+=-，由此求解即可．【解析】y kx c =+【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．（1）213222y x x =-++；（2）（2,3）；（3）()3,2或2⎫-⎪⎪⎝⎭． 【分析】（1）首先由直线表达式122y x =-+求出点A ，点B 的坐标，然后代入抛物线表达式212y x bx c =-++列出二元一次方程组求解即可． （2）如图，过点B 做x 轴的平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F ，证明∠DEB =∠BAC ，设D 点的坐标为（x , 213222x x -++），利用等角的正切值相等建立方程即可得到答案；（3）分BC 是平行四边形的边和对角线时两种情况讨论，分别画出相应的图形，表示出点B ，C ，E ，F 的坐标，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【解析】解：（1）在122y x =-+中， 令y =0，得x =4，令x =0，得y =2，∴A （4,0），B （0,2），把A （4,0），B （0,2）代入212y x bx c =-++， 得2116402c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴ 抛物线得表达式为213222y x x =-++． （2）如图，过点B 做x 轴的平行线交抛物线与点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F ，∵BE //x 轴，∴BAC ABE ∠=∠，∵2ABD BAC ∠=∠，∴2ABD ABE ∠=∠，即2DBE ABE ABE ∠+∠=∠，∴DBE ABE ∠=∠，∴DBE BAC ∠=∠，设D 点的坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 则BF =x ，DF =21322D B y y x x -=-+，∵tan ,tan ,DF BO DBF BAC BF AO ∠=∠= ∴DF BO BF AO=， 即2132224x x x -+=，解得：120,2,x x ==经检验：10x =不合题意，舍去， ∴22,x =当x =2时，2132322x x -++=， ∴点D 的坐标为（2,3）．（3）令y =0，得2132022x x -++=， 解得：121,4,x x =-=∴C （-1，0），A （4，0），设F 点坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ． 当BC 是平行四边形的边时，如图所示， 当F 点在线段AB 上方抛物线上时，∵BCEF 是平行四边形，∴//CE BF ，所以点F 的纵坐标等于点B 的纵坐标， ∴2132222m m -++=， 解得：10m =（舍去），23m =．∴F 点坐标为()3,2．当点F 在A 点下方抛物线上时，BF 与CE 交于点H ，如图所示，∵四边形BCFE 是平行四边形， 所以点H 是BF 的中点， ∴2B F H x x x +=， ∴20F y +=， ∴2F y =-．即2132222m m -++=-，解得：12341341m m +=－（舍去）， ∴F 点的坐标为3412⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-2．当BC 是对角线时，由题意可得，以B ，C ，E ，F 为顶点围不成平行四边形． 综上所述，点F 的坐标为()3,2或3412⎫+-⎪⎪⎝⎭． 【点评】此题考查了抛物线综合题型，待定系数法求表达式，平行四边形存在性问题等内容，找到线段和点的坐标的关系并列出方程是解题的关键． 10．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）2232d =，0＜t ＜3；（3）P (796,525) 【分析】（1）根据条件易求出A ，B 两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）作PD ⊥x 轴交AC 于点E ，如图3，易知∠A ＝45°，然后利用三角形的内角和可得：∠P ＝∠A ，则2PG =，再利用待定系数法求出直线AC 的解析式，而点P 的横坐标已知，则可用含t 的代数式表示出PE ，问题即得解决；（3）如图4，过点P 作PN ⊥BE 交BE 于点N ，过点C 作CH ⊥BE 于点H ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，设BE 与AC 交于点M ，根据AAS 可证明△PEN ≌△AFG ，可得PN ＝AG ，然后再根据AAS 证明△CHM ≌△AGM ，可得CM ＝AM ，于是由中点坐标公式可求得点M 的坐标，再根据待定系数法可求得直线BM 的解析式，进而求出直线CP 的解析式，然后解由直线CP 和抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P 的坐标． 【解析】解：（1）当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），∴OC ＝3， ∵B （﹣1，0），∴OB ＝1，∴1362ABC S AB ∆=⨯⨯=，解得：AB ＝4，∴OA ＝AB ﹣OB ＝3，∴A （3，0），将A ，B 的坐标代入抛物线的解析式y ＝ax 2+bx +3，得：933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得；12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3； （2）作PD ⊥x 轴交AC 于点E ，如图3， ∵OA ＝OC =3，∴∠A ＝45°，∵∠PEG ＝∠AED ，∠PGE ＝∠EDA ＝90°，∴∠P ＝∠A ＝45°，∴cos PG P PE ∠==，∴PG =，设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b ，把A （3，0），C （0，3）两点代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 为y ＝﹣x +3，设P （t ，﹣t 2+2t +3），∵PD ⊥x 轴，∴E （t ，﹣t +3），∴PE ＝﹣t 2+2t +3+t ﹣3＝﹣t 2+3t ，∴2d PG ==， ∵P 为第一象限抛物线上一动点，∴0＜t ＜3；∴222d =-+，0＜t ＜3；（3）如图4，过点P 作PN ⊥BE 交BE 于点N ，过点C 作CH ⊥BE 于点H ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，设BE 与AC 交于点M ，∵∠BEP +∠PEN ＝180°，∠AFE +∠BEP ＝180°，∴∠PEN ＝∠AFG ， ∵∠PNE ＝∠AGF ＝90°，PE ＝AF ， ∴△PEN ≌△AFG （AAS ），∴PN ＝AG ，∵CP ∥BE ，∴四边形CPNH 是矩形，∴PN ＝CH ＝AG ， ∵∠CMH ＝∠AMG ，∠CHM ＝∠AGM ，∴△CHM ≌△AGM （AAS ），∴CM ＝AM ，∴M （32，32），则可得过点B （－1，0）和点M （32，32）两点的直线解析式为：y =3355x +，∵CP ∥BM ，∴直线CP 的解析式为y =335x +，解方程组：233523y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得：1103x y =⎧⎨=⎩，22759625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P （796,525）．【点评】本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数的解析式、锐角三角函数、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质以及两个函数的交点等知识，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握函数的基本知识和全等三角形的判定与性质是求解的关键． 11．（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式； （2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可； （3）作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB, 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标. 【解析】（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得253050a +-= 1a =-.∴265y x x =-+-；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则∵()5,0B ∴OB=5， ∵Q 在BC 上，∴Q 的坐标为（x ，x-5），∴PQ=2(65)(5)x x x -+---=25x x -+， ∴12PBC S PQ OB ∆=⋅ =21(5)52x x -+⨯ =252522x x -+ ∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258S =， ∴点P 坐标为515,24⎛⎫⎪⎝⎭.（3）如图1，作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB,∵∠CAN=∠NAM 1, ∴AN=CN,∵265y x x =-+-=-(x-1)(x-5),∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5）， 设N 的坐标为（a,a-5），则∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+， ∴a=136, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918，AC 2=26，∴22169113182636AN AC =⨯=， ∵∠NAM 1=∠ACB ，∠N M 1A=∠C M 1A ， ∴∆ NAM 1∽∆ A C M 1, ∴11AM AN AC CM =, ∴21211336AM CM =, 设M 1的坐标为（b,b-5），则∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b -+-=+-+, ∴b 1=7823，b 2=6(不合题意，舍去)， ∴M 1的坐标为7837(,)2323-， 如图2，作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,易知∆ADB 是等腰直角三角形，可得点D 的坐标是（3，-2）， ∴M 2 横坐标= 7860232323⨯-=， M 2 纵坐标= 37552(2)()2323⨯---=-， ∴M 2 的坐标是6055(,)2323-， 综上所述，点M 的坐标是7837(,)2323-或6055(,)2323-. 【点评】本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 12．（1）5 ；（2）10x -≤≤，34x ≤≤；（3）点P 坐标为(119，12527). 【分析】（1）分别求出点B 和点C 的坐标，再运用勾股定理即可求出BC 的长； （2）求出y=0和y=3时相应的x 的值，结合函数的图象即可得到答案；（3）过点P 作PD ⊥y 轴，设点P 坐标为(x , 239344x x -++)，则点D 坐标为(0, 239344x x -++)，表示出PD ，CD ，证明△PDC ∽△COB ，得出CD PDOB OC =，列方程求解即可.【解析】(1)当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0,3)， ∴OC ＝3当y ＝0时2393044x x -++=，解得x 1＝－1，x 2＝4∴A (－1,0)，B (4,0)， ∴OA ＝1，OB ＝4在Rt △BOC 中，BC 5；(2) 当y ＝0时2393044x x -++=，解得x 1＝－1，x 2＝4当y ＝3时2393344x x -++=，解得x 1＝0，x 2＝4∴当0≤y ≤3时，10x -≤≤，34x ≤≤ (3)过点P 作PD ⊥y 轴设点P 坐标为(x , 239344x x -++)，则点D 坐标为(0, 239344x x -++)∴PD ＝x ，CD ＝239344x x -++－3＝23944x x -+∵∠BCP ＝90°，∴∠PCD ＋∠BCO ＝90°， ∵∠PCD ＋∠CPD ＝90°， ∴∠BCO ＝∠CPD ∵∠PDC ＝∠BOC ＝90°， ∴△PDC ∽△COB∴CD PDOB OC =，∴2394443x x x -+=，∴x ＝119或x ＝0(舍去) 当x ＝119时，y ＝12527∴点P 坐标为(119，12527). 【点评】本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到二次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．13．（1）223y x x =--+；（2）当DMN ∆为直角三角形时，点P 的坐标为(1,0)或(3,)12-；（3）存在点Q ，使QMN CNM ∠=∠，点Q 的坐标为(2,3)-或(6,)45-．【分析】（1）根据MN 平行x 轴，6MN =，点N 坐标为(2,5)-，可得出点M 的坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）设抛物线的对称轴=1x -交MN 于点G ，此时抛物线的对称轴是MN 的中垂线，根据DMN ∆为直角三角形，可得出1D 及2D 的坐标，分别求出1MD 及2MD 的函数解析式，结合抛物线可得出点P 的坐标；（3）分两种情况进行讨论，①点Q 在MN 上方，②点Q 在MN 下方，然后根据两角相等，利用三角函数建立方程，解出x 的值后检验即可得出答案．【解析】解：（1）由题意得，MN 平行x 轴，6MN =，点N 坐标为(2,5)-， 故可得点M 坐标为(4,5)--，23y ax bx =++过点()4,5M --、5(2,)N -，∴可得423516435a b a b ++=-⎧⎨-+=-⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，故此抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）设抛物线的对称轴=1x -交MN 于点G ， 若DMN ∆为直角三角形，则12132GD GD MN ===， 可得11(2),D --，21(8),D --，从而可求得直线1MD 解析式为；1y x =-，直线2MD 解析式为：9y x =--， 将2(,23)P x x x --+分别代入直线1MD ，2MD 的解析式， 得2231x x x --+=-①，2239x x x --+=--②、 解①得11x =，24x =-（舍)， 即1(1,0)P ；解②得33x =，44x =-（舍)， 即2(3,12)P -；故当DMN ∆为直角三角形时，点P 的坐标为(1,0)或(3,)12-． （3）设存在点23),2(Q x x x --+，使得QMN CNM ∠=∠， ①若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH MN ⊥，交MN 于点H ，则2235QH x x =--++，(4)MH x =+、 故tan 4QHCNM MH=∠=，即22354(4)x x x --++=+、 解得12x =-，24x =-（舍)， 故可得点1(2,3)Q -； ②若点Q 在MN 下方， 同理可得2(6,45)Q -．综上可得存在点Q ，使QMN CNM ∠=∠，点Q 的坐标为(2,3)-或(6,)45-．14．(1)y=13x 2+23x ﹣5；(2)E 点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P ，其横坐标为94或154．【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；（3）在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA ∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．【解析】（1）把A 、B 两点坐标代入解析式可得255509350a b a b --=⎧⎨+-=⎩，，解得1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴抛物线解析式为y=13x 2+23x ﹣5；（2）在y=13x 2+23x ﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C （0，﹣5），∵S △ABE =S △ABC ，且E 点在x 轴下方， ∴E 点纵坐标和C 点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得13x 2+23x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E 点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P 点，其坐标为（m ，13m 2+23m ﹣5），如图，连接AP 、CE 、AE ，过E 作ED ⊥AC 于点D ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的四边形
中考专题训练——二次函数与特殊的四边形1．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB＝4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，∠ECO＝135°．（1）求二次函数的解析式；（2）若P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，且S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；（3）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN 为菱形，求直线MN的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝12．（1）请用a的代数式表示C点坐标．（2）连接AC，BC，若△ABC的面积为10，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，点P是直线y＝x+2上一点（位于x轴下方），点Q是反比例函数y＝kx（k＞0）图象上一点，若以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，则直接写出k的值（不需要写出计算过程）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t．①求线段MN的长d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；②点Q是平面内一点，是否存在一点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系内，抛物线223=-++与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴y x x交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.△的周长最（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当MQC △面积的最大值；小时，求CME（2）在（1）的条件下，当CME △的面积最大时，过点E 作EN x ⊥轴，垂足为N ，将线段CN 绕点C 顺时针旋转90°得到点N ，再将点N 向上平移16个单位长度.得到点P ，点G 在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H ，使点D ，P ，G ，H 构成菱形.若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点（0，6），其对称轴为直线x =32．在x 轴上方作平行于x 轴的直线l 与抛物线交于A 、B 两点（点A 在对称轴的右侧），过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、C ．设A 点的横坐标为m ．（1）求此抛物线所对应的函数关系式．（2）当m 为何值时，矩形ABCD 为正方形．（3）当m 为何值时，矩形ABCD 的周长最大，并求出这个最大值．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点()5,0A -和点()10B ,．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；(3)如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上(不与A 、B 重合)，作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2x +m （m ＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图象与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB ．（1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标．9．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）10．在平面直角坐标系中,抛物线C 1:y=x²+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3.0)，与y 轴交于C （0，-3）（1）求抛物线C 1的表达式；（2）分别写出抛物线C 1关于B 点，关于A 点的对称抛物线C 2， C 3的函数表达式（3）设C 1的顶点为D ，C 2与x 轴的另一个交点为A 1顶点为D 1，C 3与x 轴的另一个交点为B 1，顶点为D 2，在以A 、B 、D 、A 1、B 1、D 1、D 2这七个点中的四个点为顶点的四边形中，求面积最大的四边形的面积．11．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.12．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接,AQ CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点,,,P M E C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.14．如图①，抛物线2y ax bx a b =+--与x 轴相交于()5,0A -、B 两点，过点A 的直线y x t =+与y 轴和抛物线相交于点C .（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）点P 是抛物线上的一动点，当点P 在直线AC 的上方时，连接OP 、PC ，并把POC ∆沿着OC 翻折得到'P OC ∆，是否存在点P ，使得到四边形'POP C 为菱形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图②，动点E 在线段OA 上，过点E 作x 轴的垂线与AC 交于点M ，与拋物线交于点N ，试问：抛物线上是否存在点Q ，使EQN ∆与BEM ∆的面积相等时，线段NQ 的长度有最小值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.15．如图，已知抛物线1M ：22y ax x =-与直线y x =的一个交点记为A ，点A 的横坐标是3.将抛物线1M ：22y ax x =-向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线2M ，直线y x =与2M 的一个交点记为B ，点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .（1）求抛物线1M 的表达式及顶点坐标；（2）当点C 的横坐标为2时，直线y x n =+恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； （3）在点C 的运动过程中，若直线y x n =+与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围. 16．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、C ，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点在直线4y x =-上，且横坐标为0，已知2OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，将抛物线沿直线4y x =-平移得到新抛物线，设新抛物线顶点的横坐标为m ，在平移过程中，若新抛物线与直线AB 有且只有一个公共点，求m 的值；（3）设新抛物线的顶点为P ，在平移的过程中，在y 轴上是否存在一点Q ，使得以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.17．如图，已知二次函数()31:430L y ax ax a a =-+>与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作直线//CD x 轴交抛物线1L 于一点D ，将抛物线1L 沿着直线CD 翻折，并向右平移m 个单位()0m ≥，得到抛物线2L ，抛物线2L 交直线CD 于E ，F 两点（E 在F 的左边），点M ，N 分别是1L ，2L 的顶点，连接CN ，NF ，FM ，MC 得到四边形CNFM.（1）当1a =，0m =时，直接写出抛物线2L 的解析式；（2）若点D ，E 是线段CF 三等分点，求m 的值；（3）在平移过程中，是否存在以点C ，N ，F ，M 为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m 应满足的关系式，若不存在，请说明理由.18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12x 2﹣72x ﹣3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C（1）求直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点（不与点A ，点C 重合），过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，求PD 的最大值；（3）将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B ′，点O 平移后的对应点为点O ′，点C 平移后的对应点为点C ′，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，O ′，S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S 的坐标．19．已知抛物线23y ax bx =+-经过点(1,1)A -，(3,3)B -．把抛物线23y ax bx =+-与线段AB 围成的封闭图形记作G ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为图形G 中的抛物线上一点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作//PQ y 轴，交线段AB 于点Q ．当APQ △为等腰直角三角形时，求m 的值；（3）点C是直线AB上一点，且点C的横坐标为n，以线段AC为边作正方形ACDE，且使正方形ACDE与图形G在直线AB的同侧，当D，E两点中只有一个点在图形G的内部时，请直接写出n的取值范围．20．如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接(3)是否存在这样的点，使以点请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P P P(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC 面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．6．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．8．如图，抛物线经过等腰的，两点，，．2y ax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C D C AB E :3:5ACE CEB S S ∆∆=CEA ∠P Q x D C P Q P 2y x bx c =-++Rt OAB V A B (03)A ，90OAB ∠=︒(1)求抛物线的解析式；(2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标．9．已知一个二次函数的图象经过A （1，0）、B （3，0）、C （0，）三点，顶点为D ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A 、D 两点的直线的表达式；(3)设P 为直线AD 上一点，且以A 、P 、C 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．C AB CD AB ⊥OB D C ACDO C 3-10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点S关于m的函数关系式，并求出S(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．D AC D DHEF DF x ∥DHEF D14．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．15．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：1()230y ax bx a =+-≠x ()()1,0,3,0A B -y C 2,P Q BC Q P 1P PM y ∥BC M Q QN y ∥BC N PM QN +Q 3()230y ax bx a =+-≠11y 'y 'D E ,,,B C D E E(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F ，交抛物线对称轴于点E ，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B 为直线上方抛物线上一动点，过B 作垂直于x 轴，交x 轴于A ，交直线于C ，过点B 作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G 为直线上一动点，过G 点作x 轴的垂线交抛物线于点H ，点P 在坐标平面内．问：是否存在以E 、G 、H 、P 为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．6m 10m 0.5m 0.2m 6m 3.2m y x =OF OF BA OF BD OF OF D BD CD +OF参考答案：。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))
2023年中考专题训练——二次函数的最值1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B 作直线BD ∥直线AC ，交抛物线y 于另一点D ，点P 为直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求线段AB 的长．(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ，交直线BD 于点F ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标． (3)如图2，将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y '，点M 为新抛物线上一点，点N 为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标，并写出其中一个点N 的坐标的求解过程． 3．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线1x =．(1)求b c +的值；(2)当43x -≤≤时，求y 的最大值；(3)平移抛物线2y x bx c =+-，使其顶点始终在二次函数221y x x =--上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值．4．已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．（1）若它的一个实数根是方程()2140x --=的根，则m =_____，方程的另一个根为_____； （2）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值； （3）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求m n +的最小值．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上． ①求二次函数的解析式；②若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围． （2）当-1≤x ≤1时，函数值y 有最小值为﹣a 2，求a 的值（其中a 为二次函数的二次项系数）．7．已知直线1y kx =+经过点()2,3，与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求k ，b 的值；（2）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<，若22123p x x =-，求p 的最大值；（3）当12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，直接写出c 的取值范围．8．如图，直线:l y m =-与y 轴交于点A ，直线:a y x m =+与y 轴交于点B ，抛物线2y x mx =+的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中0m >）．（1）当12AB =时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当2021m =时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．10．如图，抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为()4,m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．求线段PN 的最大值．（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式（2）若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 的解析式； （3）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）． （1）抛物线的对称轴为，抛物线与y 轴的交点坐标为；（2）试说明直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）一定存在两个交点； （3）若当－2≤x ≤2时，y 的最大值是1，求当-2≤x ≤2时，y 的最小值是多少？14．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B ． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断OAB 的形状；（3）曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线，在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A （﹣2，0），B （3，0）两点，抛物线与y 轴相交于点C ，抛物线上有一动点P 在直线BC 下方． （1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大．求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．16．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）． （1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小； （3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值． 17．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）如图1，点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C 作CP y ⊥轴，P 为垂足，求CP OP +的最大值；（3）如图2，设抛物线的顶点为点D ，点N 的坐标为()2,16--，问在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN '，且点N '恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值； （3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A '．恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)． （1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积； （3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当24x ≤≤时，两个函数：()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值； （2）若2y x=的值不大于2，求符合条件的x 的范围；（3）若(0)ky k x=≠，当()20t x x ≤≤≠时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】（1）先求出点C 的坐标，得到点B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可； （3）存在点P ，设()0,P m ，根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=，代入数值求出m 即可．【解析】（1）二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点，()0,3C ∴-．OB OC =，点A 在点B 的左边，()3,0B ∴．又点A 的坐标为()1,0-，由题意可得：093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）()22=2314y x x x ---=-，二次函数顶点坐标为()1,4-，∴当1x =时，4y =-最小值，当01x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， ∴当0x =时，3y =-最大值，当14x <≤时，y 随着x 的增大而增大， ∴当4x =时，5y =最大值．∴当04x ≤≤时，函数的最大值为5，最小值为4-．（3）存在点P ，如图，设()0,P m ，CC OB '∥，且PC 与PO 是相似三角形的对应边，PC CC PO OB ∴'=，即：()323m m --=， 解得：9m =-或95m =-，()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 2．(1)4(2)当32t =-时，233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭； (3)(1,3N --，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】（1）令232330，求解即可； （2）求直线,AC BD 的解析式，设点232,33P t ⎛ ⎝，则33Q t ⎛ ⎝，33F t ⎛ ⎝⎭，利用30QFC ∠=︒，将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+，再求解即可； （3）推出平移后的解析式，设234383,M m ⎛ ⎝⎭，()2,N n -，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可． 【解析】（1）令232330， 解得1x =或3x =-， ∴()()3,0,1,0A B -，4AB ∴=；（2）232333y x x =-(3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥，∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+，则Q t ⎛+ ⎝，F t ⎛ ⎝⎭， ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点，22PQ ∴==，22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒，,PE AC PF OA ⊥⊥， 30QFC ∴∠=︒，PE ∴=，∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时，3PF +32P ⎛- ⎝⎭；（3）)22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -，∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y '，∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+'，∴2,M m ⎛ ⎝⎭，()1,N n -，①当AB 为平行四边形的对角线时，2311,0m n -=-+=，∴1,m n =-=∴((1,N M --，；②当AM 为平行四边形的对角线时，234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，； ③当AN 为平行四边形的对角线时，24311,3383n m -+-=+=， ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，； 综上，N 点坐标分别为(1,3N -，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭． 【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】（1）根据对称轴公式求出b ，再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，代入求出c ，计算即可；（2）根据二次函数的增减性可知，当x =-4时，y 值最大，代入求解即可；（3）因为平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，故设顶点坐标为()2,21h h h --，可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ，根据二次函数求最值的方法求解即可． (1)解：由题意可知12bx =-=，∴2b =-． 将(3,0)代入22y x x c =--，得3c =， ∴1b c +=． (2)解：由（1）得2223(1)4y x x x =--=--，∴当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大．∵1(4)31-->-，∴当4x =-时，y 取最大值21． (3)解：∵平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，∴设顶点坐标为()2,21h h h --，故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--． 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ， 则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当16h =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-． 【点评】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．4．（1）1，0x =；（2）11m =，21m =-；（3）当1n =-时，m n +有最小值为-2． 【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；解（x -1）(x -2)=m +1，得到另一个根；（2）求方程2(x -m )-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；（3）求方程()240x n --=的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，用含n 的代数式表示m ，构造m +n 与n 的二次函数，利用二次函数的性质确定最值. 【解析】（1）∵2(x -1)-4=0， ∴x =3，∴（3-1）(3-2)=m +1， 解得m =1， ∴（x -1）(x -2)=2， ∴2x -3x =0， ∴123,0x x ==， 故答案为：1，0x =． （2）由()240x m --=，得 2x m =+．则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+， ∴21m =，∴11m =，21m =-． （3）由()240x n --=，得2x n =+．则()()21221n n m +-+-=+． 即21m n n =+-．∴()222112m n n n n +=+-=+-； ∴当1n =-时，m n +有最小值-2．【点评】本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．5．(1) 223y x x =-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(417或(4，17-或(2-，314或(2-，314【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【解析】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：223y x x =-++； (2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ， ∴BP +CP =AP +CP ， BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+， 二次函数的对称轴为12bx a=-=，代入3y x =-+，得到2y =， ∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC；(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )， 分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点， 由菱形对角线互相垂直知：1AC PQk k ，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)； 情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)； 情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3或(-2，3； 纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，或(2-，3或(2-，3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 6．（1）①234y x x =--；②自变量x 的取值范围为12x >-；（2）a 1401-+25541-- 【分析】（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1，求出新增函数21=5y x x +，利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由-1≤x ≤132<，0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程，求出a 的值即可． 【解析】解：（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），∴二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5， ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∴A （-1，0），B （4，0）， 设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254），∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=1a ，∴二次函数解析式为：2=34y x x --， ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1， ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+， ∵1y y >，∴()22534840x x x x x +---=+>，解得12x >-；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当-1≤x ≤132<， 当0a >，二次函数开口向上，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，整理得24+250a a -=，解得a =0a =<（舍去）， 当a<0，二次函数开口向下，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 整理得24+25250a a -=，解得a =或0a =>（舍去）． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键．7．（1）1k =，1b =；（2）p 最大值为1；（3）30c -<≤或1c =【分析】（1）将（2，3）和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值，再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可；（2）抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-，则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的最值方法求解即可；（3）联立方程组可得x 2=1﹣c ，对c 讨论，结合方程根取值范围进行求解即可． 【解析】解：（1）把()2,3代入1y kx =+得：213k +=，则1k =，∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，∴12n =-，∴抛物线的对称轴122b x =-=-，∴1b =；（2）由（1）知1b =，则2y x x c =++，∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ，2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-． ∴211x x =--．∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<，∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时，p 随1x 的增大而增大， ∴当12x =-时，p 取最大值且最大值为1；（3）由（1）知，直线的表达式为1y x =+，抛物线表达式为2y x x c =++，联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得：x 2=1﹣c ， 当c ＞1时，该方程无解，不满足题意； 当c =1时，方程的解为x =0满足题意； 当c ＜1时，方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时，满足12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，综上，满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 8．（1）()3,3-；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B 坐标，B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标，根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可． 【解析】解：（1）当0x =时，y x m m =+=， (0,)B m ∴，12AB =，而(0,)A m -，()12m m ∴--=，6m ∴=，∴抛物线L 的解析式为：26y x x =+，L ∴的对称轴3x =-，又知O 、D 两点关于对称轴对称，则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，当3x =-时，63y x =+=， (3,3)P ∴-；（2）2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 在l 上方，C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）当2021m =时，抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得：12021x =-，21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复， ∴“整点”的个数：404624044-=（个）； 故2021m =时“整点”的个数为4044个．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 9．（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 2458， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【解析】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1）， ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+， ∵PD ⊥AB ， ∴∠EDP =∠COA ， ∴△PDE ∽△AOC ， ∵AO =1，OC =2， ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=，∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE8， 此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =． ①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形， 即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10．（1）21722y x x =-++；（2）352（3）存在，点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】（1）先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中，求得点B 的坐标，再利用,A B 坐标，待定系数法求二次函数解析式；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()21222DE m =--+，当2m =时，DE 有最大值为2，此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ，PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小，勾股定理即可求得；（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠，继而可得：2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+， 71422m =-+=-， ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将(3,2)A ，14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； （2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2m =时，DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++， ∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ∠=︒，90AHM ∠=︒， ∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM 外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2，2t =2∴符合题意的点Q的坐标：(10,2Q、(20,2Q ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键．11．（1）211433y x x =-++；（2）3；（3）存在，点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PQ ，利用三角函数求出PN =PQ cos45°，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，即[]224(4)25m m +--+=；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2，即22[(3)](4)25m m --+-+=；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，分别求解即可． 【解析】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：211433y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式211433y x x =-++，当x=0时，y=4，∴点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为：y kx b =+；把点B C 、的坐标代入解析式得：404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩， 直线BC 的表达式为：4y x =-+；设点(,0)M m ，则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点4(),Q m m -+， 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+， OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒，∵PM ⊥x 轴，∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°，∴∠PQN =∠MQB =45°，∵PN ⊥BC ，∴45NPQ NQP ∠=∠=︒，22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭， 206-<，开口向下，PN 有最大值， 当2m =时，PN 22 （3）存在，理由： 点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-，在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=， 解得：52m =（舍去负值），∴点Q ⎝⎭；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=，解得：1m =或0（舍去0），∴点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣， 解得：2542m =>（舍去）；综上，点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭．．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．12．（1）223y x x =--+；（2）y =x +3；（3）M （-1，2），【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得12b a-=-，然后代入A （1,0），C （0，3）代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可； （2）利用（1）的函数解析式令y =0，解方程即可求出点B 坐标，再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可；（3）由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D （-1，2），由点M 在对称轴上，可得AM =BM ，由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =32【解析】解：（1）依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴223y x x =--+；（2）当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B （-3，0）由直线BC 的解析式为：y ＝mx+n ，代入B （﹣3，0），C （0，3）得：303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x +3；（3）∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点，∴当=1x -时3y x =-1+3=2，∴D （-1，2），∵点M 在对称轴上，∴AM =BM ，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，∴点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，点M （-1，2），∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM ＝ BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键．13．（1）直线x ＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）17-．【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当0x =时，可解得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x ＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．【解析】解：（1）抛物线y ＝ax 2－2ax －12(1)1a x a =--- ，∴抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线y ＝ax 2－2ax －1中，当0x =时，1y =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：(0,1)-故答案为：直线x ＝1，(0,1)-；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得x －2 ＝ ax 2－2ax －1，则原方程可化为 ax 2－（2a ＋1）x ＋1＝0，由根的判别式可得2-4b ac ＝()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜ 0）一定存在两个交点；（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为(1,1)a --，∴当－2≤x ≤2时，∵y 的最大值是1，∴顶点坐标为（1， 1），11a ∴--=2a ∴=-∴当x ＜ 1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些，即x ＝－2时，y 有最小值，∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-，即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.14．（1）2343y x =；（2）直角三角形；（3）存在，点P 坐标为：151353,2⎛ ⎝⎭． 【分析】（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，利用待定系数法解题；（2）利用勾股定理的逆定理解题；（3）连接AB ，利用待定系数法解得直线AB 的解析式为：33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点343N x x ⎛- ⎝，由三角形面积公式，结合二次函数的最值问题解题即可．【解析】解：（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②， ①4⨯-②得，1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：2343y x =；（2）(0,0)O，(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形；（3）存在，连接AB ，OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定，要使四边形OAPB S 面积最大，只需要APB S 最大即可，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把点(3,A -、(12,0)B代入，得：3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为：y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点N ，于是N x ⎛- ⎝，则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时，APB S 最大．2x x = ∴符合条件的点P坐标为：15,2⎛ ⎝⎭．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，过点 的直线 与该抛物线交于另一点 ，且点 的横坐标为 ．动点 在该抛物线上，其横坐标为 ，且点 不与 重合．作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 、 为一组邻边作矩形 ．
(3) ， ，
14．(1) ，
(2) ，
(3)
(4)点Q的坐标为 ， ， ，
15．(1)抛物线解析式为 ，顶点坐标为
(2) 或
(3)在直线 存在一点 ，
16．(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 的最大值为 ；此时，点 ；
(3)满足条件的点P有4个，坐标分别为 或 或 或 ．
17．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
9．如图，抛物线 与x轴交于A， 两点，与y轴交于点C，一次函数 经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作 轴，垂足为Q，交直线 于点D．
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)当点P位于直线 上方且 面积最大时，求线段 的长；
(3)在平面直角坐标系中，以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点P的坐标．
18．综合与探究
如图1（注意：图1与图2完全相同）所示，抛物线 经过点 和点 ，与 轴的另一个交点为 ，与 轴相交于点 ．
(1)求抛物线的函数图1中探究）
(3)设点 在 轴上，点 在抛物线上，要使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．（请在图2中探究）
18．(1)
(2)
(3)P点坐标为： 、 、
(1)求抛物线 的解析式；
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中考专题练习——二次函数与特殊的四边形1．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．2．如图，已知直线y=﹣12x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣212x+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD 交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．6．如图，抛物线y═﹣1x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，30），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠10Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交两点A（﹣1，0），B（3，0），过点A作直线AC与抛物线交于C 点，它的坐标为（2，﹣3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E 点，点E与点A、C围成三角形，求出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，如果不存在，请说明理由．8．如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式及其对称轴；（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．9．如图，抛物线y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），且抛物线与y轴交于点A．（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）若∠BAC=90°，求抛物线的解析式．（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q从点A2/cm s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．11．如图①，直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA＝4，点C是x轴正半轴上的点，且OC＝OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP＝OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．(1)求抛物线的解析式；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．（1）求抛物线的解析式；，求k的值；（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB=214（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，ⅰ）求点P的坐标；ⅱ）已知点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，当四边形PBMN 为平行四边形时，请求出点M 的坐标．15．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.16．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PF=3PE ，求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；AB向点B运动，点Q从点C出（2）点P从点A发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．19．抛物线2y ax bx c=++经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP 的面积，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣24，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．参考答案：1．（1）y=﹣38x2+34x+3；D（1，278）；（2）P（3，158）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-38m2+34m+3），则F（m，-34m+3），表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，解得：a=﹣38，y=﹣38x2+34x+3=﹣38（x﹣1）2+278，∴抛物线的解析式为y=﹣38x2+34x+3，且顶点D（1，278）；（2）∵B（4，0），C（0，3），∴BC的解析式为：y=﹣34x+3，∵D（1，278），当x=1时，y=﹣34+3=94，∴E（1，94），∴DE=278-94=98，设P（m，﹣38m2+34m+3），则F（m，﹣34m+3），∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，∴DE=FP，即（﹣38m2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=98，解得：m1=1（舍），m2=3，∴P（3，158）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，利用方程思想列等式求点的坐标，难度适中．2．（1）213222y x x =++；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）． 【分析】（1）根据直线解析式求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）设M （m ，-12m+2），则N （m ，-12m 2+32m+2），则MN=（-12m 2+32m+2）-（-12m+2）=-12m 2+2m ，根据MN=OC=2列方程可得M 的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；（3）分两种情况：①当D 在x 轴的下方：根据AC ∥BD ，直线解析式k 相等可设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得直线BD 的解析式为：y=2x-8，联立方程可得D 的坐标；②当D 在x 轴的上方，根据对称可得M 的坐标，利用待定系数法求直线BM 的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D 的坐标．【解析】（1）当x=0时，y=2，∴C （0，2），当y=0时，﹣12x+2=0，x=4，∴B （4，0），把C （0，2）和B （4，0）代入抛物线y=﹣212x +bx+c 中得：22{14402c b c =-⨯++=， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的表达式：y=213222x x -++； （2）如图1，∵C （0，2），∴OC=2，设M （m ，﹣12m+2），则N （m ，213222m m -++）， ∴MN=（21322m m -++2）﹣（﹣12m+2）=﹣12m 2+2m ， ∵MN ∥y 轴，当四边形OMNC 是平行四边形时，MN=OC ， 即﹣12m 2+2m=2， 解得：m 1=m 2=2，∴S ▱OCMN =OC×2=2×2=4；（3）分两种情况：当y=0时，﹣21322x x ++2=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣1，∴A （﹣1，0），易得直线AC 的解析式为：y=2x+2，①当D 在x 轴的下方时，如图2，∵AC ∥BD ，∴设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得：0=2×4+b ，b=﹣8，∴直线BD 的解析式为：y=2x ﹣8，则2x ﹣8=21322x x -++2，解得：x 1=﹣5，x 2=4（舍）， ∴D （﹣5，﹣18）；②当D 在x 轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD 于M ，将BE （图2中的点D ）于N ，对称轴是：x=﹣3212()2⨯-=32， ∵∠CAO=∠ABE=∠DAB ，∴M 与N 关于x 轴对称，直线BE 的解析式：y=2x ﹣8，当x=32时，y=﹣5， ∴N （32，﹣5），M （32，5）， 直线BM 的解析式为：y=﹣2x+8，﹣2x+8=﹣21322x x ++2，解得：x 1=3，x 2=4（舍）， ∴D （3，2），综上所述，点D 的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题．3．（1）（1，4）；（2）①点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题．【解析】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE=12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃），∴M（﹣12，74），当点M在x轴下方时，2233m mm---=12，解得m=﹣32或m=3（舍弃），∴点M（﹣32，﹣94），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m，当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m∴满足条件的m．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【解析】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴55-，∴Q55．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.5．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（12，0），四边形CFHG的周长最小值5（3）M的坐标为：M（0，1117-317-117+317+．【分析】(1)根据抛物线上的两点列方程组求抛物线y=﹣x2+bx+c中的系数b和c，(2)根据题目的提示可以画出简图，然后表示出以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长，在根据表示出的线段就可以求出最短的周长，对应的点G、H的坐标也可得出；（3）根据题意可以分两种情况讨论，点N在点M的上方或者下方，然后设出点M，根据题目给出的条件是否能将P、D、M、N为顶点的四边形组成平行四边形，可以根据平行四边形对边相等来入手.【解析】（1）∵y=﹣x2+bx+c经过（3，0）和（2，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）．当x=0时，y=3，∴C（0，3）∴CE=2．OC=3如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则HF=HI．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C点E关于对称轴x=1对称，∴CG=EG．设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴OF=1，CF=2．∵点F与点I关于x轴对称，∴I（0，﹣1），∴OI=1，CI=4．在Rt△CIE中，由勾股定理，得EI==2．∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，∴只要使CG+GH+HF最小即可．∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．设EI的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴直线EI的解析式为：y=2x﹣1，∵当x=1时，y=1，∴G（1，1）．∵当y=0时，x，∴H（，0），∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）∴直线AE的解析式为y=x+1．∴x=1时，y=2，∴P（1，2），∴PD=2．∵四边形DPMN是平行四边形，∴PD=MN=2．∵点M在AE上，设M（x，x+1），①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），∵N点在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得：x=0或x=1（舍去）∴M（0，1）．②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x﹣1）．∵N点在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=或x=，∴M （，）或（，）．∴M 的坐标为：M （0，1）或（，）或（，）．【点评】本题是一道比较综合的解析几何题，涉及到了抛物线方程的求解和在动点的情况下对四边形周长的表示进行求最小周长，第三问考察了学生对动点问题的分类讨论能力，灵活运用平行四边形对边相等这个条件入手解题.6．（1）y=﹣13x2﹣23x +5，点A 的坐标是（﹣5，0）；（2）点Q 坐标（﹣4，73）；（3）以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣23）或（﹣2，3）．【分析】(1)把点B 、C 的坐标代入函数解析式求出b 、c 的值，进而求出点A 的坐标即可;(2) 作FG ⊥AC 于G , 设点F 坐标（m ，0），根据sin ∠AMF=FG FM =; (3)分两种情况讨论①当MN 是对角线时；②当MN 为边时；解答即可.【解析】（1）∵抛物线上的点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，5）∴将其代入y═﹣13x 2+bx+c ，得 130{5b c c -++== ，解得b=﹣23，c=5．∴抛物线的解析式为y=﹣13x2﹣23x+5．∴点A的坐标是（﹣5，0）．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，2m+5），2221(6)EF EM m+++∵sin∠10∴=10 FG FGFM FM==225)21(6)mm+++10整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，73）．（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣13m2﹣23m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]，解得m=﹣3+6或﹣3﹣6（舍弃），此时M （﹣，，当MN 是对角线时，点N 在点A 的左侧时，设点F （m ，0）．∴m+5﹣（﹣13m 2﹣23m+5）=[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]﹣（m+6），解得m=﹣3，此时M （﹣2，3）②当MN 为边时，设点Q （m ，﹣13m 2﹣23m+5）则点P （m+1，﹣13m 2﹣23m+6）， ∵NQ=PM ，∴﹣13m 2﹣23m+6=﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5， 解得m=﹣3．∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣3+23）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是会用待定系数法求解二次函数的解析式，会用分类讨论及方程的思想解决问题.7．（1）直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）S △ACE =278；（3）存在4个符合条件的F 点． 【分析】（1）将A 、B 坐标代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法可求得二次函数解析式，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），由S △ACE =12PE•|x C ﹣x A |，而|x C ﹣x A |的值是确定的，因此只要求得PE 的最大值即可；（3）分CG 与AF 平行、CF 与AG 平行，分别画出符合题意的图形，分别进行求解即可得.【解析】（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c ， 得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴y=x 2﹣2x ﹣3，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入得032m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得：11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵点P在点E的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣12）2+94，∴当x=12时，PE的最大值为94，∴S△ACE=12PE•|x C﹣x A|=12×94×3=278；（3）①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±73），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G 点代入后可得出直线的解析式为y=﹣7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）；综合四种情况可得出，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（0），F4（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等，综合性较强，熟练掌握待定系数法是解题的关键.8．（1）（0，8）；（2）y=23x2﹣163x+8，其对称轴为直线x=4；（3）4【分析】（1）由S△ABC＝12×AB×OC求出OC的长度，进而确定C点坐标；（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（6，0），故可以设二次函数的交点式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C点坐标代入即可求得解析式,进一步得到对称轴；（3）设正方形DEFG的边长为m，再根据题中的条件列出正确的D、E坐标，再将E点坐标代入二次函数求出边长m，进一步求得正方形DEFG的面积.【解析】（1）∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝6﹣2＝4．∵S△ABC＝16，∴12×4•OC＝16，∴OC＝8，∴点C的坐标为（0，8）；（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将C（0，8）代入，得8＝12a，解得a＝23，∴y＝23（x﹣2）（x﹣6）＝23x2﹣163x＋8，故抛物线的解析式为y＝23x2﹣163x＋8，其对称轴为直线x＝4；（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），∴D（4﹣12m，﹣m），E（4＋12m，﹣m）．将E（4＋12m，﹣m）代入y＝23x2﹣163x＋8，得﹣m＝23×（4＋12m）2﹣163×（4＋12m）＋8，整理得，m2＋6m﹣16＝0，解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），∴正方形DEFG的边长为2，∴S正方形DEFG＝22＝4．【点评】本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运用知识点，另外利用面积求出点C坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示D、E的坐标是解答此题的关键.9．（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣12x2+32x+2；（3）点M的坐标分别为：（﹣52，﹣398）或（112，﹣398）或（52，218）．【分析】（1）利用x轴上点的坐标特点即可得出结论；（2）判断出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，进而得出点A坐标，最后用待定系数法即可的结论；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．【解析】（1）令y=0，∴nx2-3nx-4n=0，∵n＜0，∴x2-2x-4=0,∴x=-1或x=4,∴B(-1,0),C(4,0)；（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，易证△AOB ～△COA ， ∴OA BO CO AO =，14OA AO=， ∴OA=2，故A （0，2），则设抛物线的解析式为：y=a(x-x1)( x-x2),把A （0，2）、B （-1，0）、C （4，0）代入上式得，-4a=2， ∴12a =-， ∴()()2113142222y x x x x =-+-=-++， ∴对称轴直线为32x =， ∴设N （32，b ），M （m ，213222m m --+）， 以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AC 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =. ∴M （52，218）. ②当AM 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴112m =. ∴M （112，-398）. ③当AN 为对角线时，()13104222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =-. ∴M （52-，-398）. 即：抛物线上存在这样的点M ，点M 的坐标分别为：M （52，218）或（112，-398）或（52-，-398）. 【点评】二次函数综合题，主要考查了待定系数法，x 轴上点的坐标特点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，求出OA 的是解本题的关键．10．（1）(843t s =- （2）存在，43s 或2s （3）()204s t t =<< 【分析】（1）连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP=BQ ，由此构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别构建方程求解即可；（3）如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F ．则QE=AE ，QF EC =，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根据S=1122QNC PCQ SS CN QF PC QE +=⋅+⋅，计算即可； 【解析】（1）如图1中，连接BP ．在Rt ΔACB 中，AC BC 4==，C 90∠=︒，AB 42∴=点B 在线段PQ 的垂直平分线上，BP BQ ∴=，AQ 2t =，CP t =，BQ 422t ∴=，222PB 4t =+，()22422t 16t ∴=+， 解得t 843=-843+，(t 843s ∴=-时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上． （2）①如图2中，当PQ QA =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，AQP 90∠=︒．则有PA 2AQ =，4t 2?2t ∴-=，解得4t 3=． ②如图3中，当AP PQ =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，APQ 90∠=︒．则有：AQ =，∴)4t -，解得t 2=， 综上所述：4t s 3=或2s 时，ΔAPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形． （3）如图4中，连接QC ，作QE AC ⊥于E ，作QF BC ⊥于F ．则QE AE =，QF EC =，可得QE QF AE EC AC 4+=+==．()ΔQNC ΔPCQ 111S S S ?CN?QF ?PC?QE t QE QF 2t(0t 4)222=+=+=+=<<． 【点评】本题考查了四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．(1) y ＝﹣14x 2﹣12x +2; (2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系可得A 、B 点坐标，再根据OB ＝OC 可得C 点坐标，进而根据待定系数法可得抛物线解析式；（2）根据题意易得∠BAO ＝∠ODC ，然后根据“ASA”证得△AOB ≌△COD ，进而可得OA ＝OD ，∠OAD ＝∠ODQ ，再根据∠POQ ＝∠AOD ＝90°得到∠AOP ＝∠DOQ ，因此可证△AOP≌△DOQ，即可证OP＝OQ；（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，1 4﹣n2﹣12n+2），通过证△OPE≌△OQF（AAS）确定Q，N的坐标，由题意可得PM∥QN，故当PM ＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，分P在M点上方以及P在M点下方两种情况进行讨论，根据PM＝QN求出点P坐标即可.【解析】解：（1）∵OA＝4∴点A（﹣4，0）∵直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，∴点B（0，2），0＝﹣4k+2∴OB＝2，k＝12∴直线解析式y＝12x+2∵OC＝OB＝2∴点C（2，0）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．∴20164042ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－＋＝＋＋，解得：a＝﹣14，b＝﹣12，c＝2∴抛物线解析式：y＝﹣14x2﹣12x+2;（2）∵CD⊥AB∴∠BAO+∠DCO＝90°又∵∠ODC+∠DCO＝90°∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°∴△AOB≌△COD（ASA）∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC∴∠OAP＝∠ODQ∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ∴△AOP≌△DOQ（ASA）∴OP＝OQ（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，14﹣n2﹣12n+2）∵QF⊥x轴，∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°∴∠FQO＝∠EOP又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ∴△OPE≌△OQF（AAS）∴OE＝QF，PE＝OF∴点Q的坐标为（12n+2，﹣n），点N坐标（12n+2，﹣116n2﹣34n）．由题意可得PM∥QN当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形当点P位于点M上方时：如图：∴PM＝（12n+2）﹣（14﹣n2﹣12n+2）＝14n2+nQN＝（﹣n）﹣（﹣116n2﹣34n）＝116n2﹣14n∴116n2﹣14n＝14n2+n解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣20 3∴12×（﹣203）+2＝﹣43∴点P坐标为（﹣203，﹣43）当点P位于点M下方时，如图：∴PM ＝（14﹣n 2﹣12n +2）﹣（12n +2）＝﹣14n 2﹣n QN ＝（﹣n ）﹣（﹣116n 2﹣34n ）＝116n 2﹣14n ∴﹣14n 2﹣n ＝116n 2﹣14n 解得：n ＝0（不合题意舍去），n ＝﹣125， ∴12×（﹣125）+2＝45 ∴点P 的坐标为（﹣125，45） 综上所述：点P 坐标（﹣203，﹣43），（﹣125，45） 【点评】本题考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，弄清题意，综合运用所学知识，掌握数形结合的思想是解答的关键.12．(1) y=﹣x²+2x+3；(2)1;(3)见解析.【分析】（1）由点 A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式， 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时△PCD 的面积；(3)设点 M 的坐标为（m ，0），点 N 的坐标为（1，n ），分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）将 A （﹣1，0），C （0，3）代入 y=ax 2+2x+c ，得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为 y=﹣x 2+2x+3．（2）当 y=0 时，有﹣x 2+2x+3=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴点 B 的坐标为（3，0）．∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴点E 的坐标为（1，4）．设过B，C 两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b，得：303k bb+=⎧⎨=⎩,解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3．∵点D 是直线与抛物线对称轴的交点，∴点D 的坐标为（1，2），∴DE=2，∴当点P 运动到点E 时，△PCD 的面积=12×2×1=1．（3）设点M 的坐标为（m，0），点N 的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：①当四边形CBMN 为平行四边形时，有1﹣0=m﹣3，解得：m=4，∴此时点M 的坐标为（4，0）；②当四边形CMNB 为平行四边形时，有m﹣1=0﹣3，解得：m=﹣2，∴此时点M 的坐标为（﹣2，0）；③当四边形CMBN 为平行四边形时，有0﹣1=m﹣3，解得：m=2，∴此时点M 的坐标为（2，0）．综上所述：存在这样的点M 与点N，使以M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E 的坐标；（3）分四边形CBMN 为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN 为平行四边形三种情况求出点M 的坐标．13．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（173）或（17，3）或（2，﹣3）．【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【解析】（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：9303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，∴直线AM解析式为y=13x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直线AM解析式为y=13x﹣1，联立得：33113y xy x=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3565xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=1±7x=2±7当7m2﹣2m﹣7﹣2﹣7﹣3=3，即P（73）；。