定量分析测定中的误差(精)
定量分析的误差.
如，在进行新的分析方法研究时，常用标准试样来检验 方法的准确度，或用国家规定的标准方法对同一试样进行分 析
③试剂误差：试剂不纯引起的。（纯度：工业 纯<化学纯<分析纯<优级纯 ）
④操作误差：是指在正常条件下,分析人员的操 作与正确的操作稍有差别 而引起的误差。
例如,习惯性的试样分解不完全、沉淀洗涤不完全或 洗涤过分;滴定管的读数系统偏低或偏高,对颜色的 不够敏锐等。
系统误差的检查与减免方法：系统误差的消除要依据其 来源进行检验和确定减免的方法，常用的方法有以下几种：
定量分析的误差
定量分析的 误差
误差的分类 误差的表示方法
1、误差的分类
定量分析的目的是准确测定试样中组分的含 量，因此分析结果必须具有一定的准确度。在定 量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试 剂和分析工作者主观条件等多种因素的限制，使 得分析结果与真实值不完全一致。即使采用最可 靠的分析方法，使用最精密的仪器，由技术很熟 练的分析人员进行测定，也不可能得到绝对准确 的结果。
E1=1.6380-1.638= -0.0001 g
E2=0.1637-0.1638= -0.0001ห้องสมุดไป่ตู้g 两者的相对误差分别为： Er1= 0.0001 100% = -0.006%
2.偶然误差—它是由难以控制、无法避免的因素 （环境的温度，湿度，气压的微小波动，仪器性能 的微小变化）所引起的，也称随机误差、不可测误 差。
特点：（1）重复测定时，有时偏高，有时偏低， “非单向性”。
定量分析中的误差
定量分析中的误差
误误差的分类及产生原因 误差的表示方法 误差的减免方法
有效数字及运算规则 分析结果的数据处理
第一节 误差的分类及产生原因
一、 系统误差
（1） （1）仪器误差。仪器误差主要是仪器本 身不够准确或未经校准所引起的。
（2） （2）试剂误差。试剂误差主要是由于 试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质引起 的误差。
绝对误差和相对误差都有正负值，正值表示分析结果偏高， 负值表示分析结果偏低。
第二节 误差的表示方法
【例2-1】
测定某食盐中氯化钠的含量时，测定结果为98.66%，真实 值是98.77%，测定结果的绝对误差和相对误差各为多少？
解：绝对误差为E=x-T=98.66%-98.77%=-0.11% 负值表示测定值比真实值少0.11%。 相对误差为Er=(-0.11/98.77)×100%=-0.11%
绝对偏差d为
(2-3)
相对偏差dr为
(2-4)
第二节 误差的表示方法
一、 精密度与偏差
平均偏差 为
相对平均偏差 为
或
(2-4) (2-5)
第二节 误差的表示方法
【例2-2】
平行测定某盐酸的浓度，三次测定结果分别为：0.1025 mol·L-1 、0.1024 mol·L-1、0.1022 mol·L-1，[JP]求测定结果平均值( )、 绝对偏差（d）、平均偏差（ ）和相对平均偏差( )。
（2-7）
式中,xi为每次的测定值；x-为测定总体的平均值；n为测定次 数。
第二节 误差的表示方法
【例2-3】
两名分析人员测定铁矿石中铁含量时，结果如下：
分别计算两组分析结果的相对平均偏差和相对标准偏差。 解：用式（2-5）、式（2-6）、式（2-7）计算结果为
定量分析中的误差
第二章定量分析中的误差及其处理分析结果必须达到一定的准确度，满足对分析结果准确度的要求。
因为不准确的分析结果会导致产品的报废和资源的浪费，甚至在科学上得出的错误的结论，给生产或科研造成很大的损失，人民生活造成巨大困难或灾难。
但是分析结果是由分析者对所取样品(供试品或样品)利用某种分析方法、分析仪器、分析试剂得到的，必然受到这些分析的限制，分析结果不可能和样品的真实组成或真实含量完全一致，在一定条件下分析结果只能接近于真实值而不能达到真实值。
测定值与客观存在的真实值的差异就是所谓的误差(error)。
因此分析误差是客观存在、不可避免的，我们只能得到一定误差范围内的真实含量的近似值，达到一定的准确度。
采用哪些措施可能减小误差，依赖于误差本身的性质。
所以，我们应当了解误差的有关理论，明确误差的性质和来源，根据分析目的对误差的要求，选择准确度合适的分析方法，合理安排分析实验，设法减小分析误差，使分析结果的准确度达到要求，避免追求过高的准确度。
同时，也应当了解对分析结果的评价方法，以判断分析结果的可靠程度，对分析结果做出正确的取舍和表示。
2.1 分析结果的误差一、真值、样本平均值和总体平均值1. 真值与相对真值真值(true value)是指某物理量本身具有的客观存在的真实数值，表示物质存在的数量特征，用T来表示。
由于分析误差是不可避免的，因此真值是不可能测得的，实际工作中往往将理论值、约定值和标准值当作真值来检验分析结果的准确度，分别称为理论真值、约定真值和标准真值。
理论真值是指由公认理论推导或证明的某物理量的数值。
如水的组成常数或组成分数即为理论真值：1 mol H2O含2mol H和1 mol O，再如H+与OH-的反应的化学计量关系即H+与OH-的反应量之比为1 mol H+ : 1 mol OH-，该比值也是理论真值。
约定真值是指计量组织、学会或管理部门等规定并得到公认的计量单位的数值。
如国际计量大会定义的长度、时间、质量和物质的量等物理量的基本单位：光在真空中传播(1/299 792 458)s所经过的路径长度为1 m，国际千克原器的质量为1 kg、铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间为1 s等。
2定量分析的误差
例1 测定硫酸铵中氮含量为20.84%，已知真实值为20.82%，
求其绝对误差和相对误差。
解：Ea x T 20.84% 20.82% 0.02%
0.02% Ea 100 % 0.1% Er 100% 20.82% T
空白试验- blank test
校准仪器-calibration instrument 分析结果的校正-correction result
(1) 对照试验
→与标准试样的分析结果进行对照试验;
→用其它可靠的分析方法进行对照试验;
国家颁布的标准分析方法或公认的经典分析方法
→由不同单位、不同分析人员分析同一试样来进行对照试验。
(3) 校准仪器
仪器不准确引起的系统误差，可以通过校准仪器来 减小其影响。例如砝码、移液管和滴定管等，在精确的分 析中，必须进行校准，并在计算结果时采用校正值。
(4) 方法校正
某些分析方法的系统误差可用其它方法直接校正。例 如，在重量分析中，使被测组分沉淀绝对完全是不可能的， 必须采用其它方法对溶解损失进行校正。
2. 表示方法
a. 绝对误差(Absolute error) 测量值(x)与真实值(T)之差。
Ea x T
b. 相对误差(Relative error) 绝对误差在真实值中所占的百分率。
Ea Er 100% T
注意：
绝对误差和相对误差都有正值和负值。当测定结果 大于真实值时，误差为正值，表示分析结果偏高；反 之，误差为负值，表示分析结果偏低。
b. 仪器误差(instrument error)
主要是仪器本身不够准确或未经校准所引起的。如砝 码重量、容量器皿刻度和仪表刻度不准确等。
定量分析的误差及分析数据的处理
二、减少随机误差 增加平行测定次数 三、消除系统误差 （一）对照试验 —— 检验有无方法误差 1、用标准试样进行对照试验 : 比较测定值与标准值的差异
标准试样的真实值 校正系数 标准试样的测定值
待测组分含量 = 校正系数 待测试样测定值
2、用标准方法进行对照试验 :
对同一样品用标准方法和所选方法进行结果比较
对有限次测定( n ＜ 20 )，S 代替σ ，则平均值的置信区间为：
X
tS n
—— 结果表达式
t : 称为置信因子， 其大小与置信度和自由度( n-1) 有关 ,
见P24 表1 - 4
例：碳原子量的十次平行测定结果如下，计算在95%置信度下平均值的置信 区间 。 12. 0080、 12. 0120、 12. 0095、 12. 0118、12. 0097、 12. 0113 、12. 0101 、 12. 0111 、12. 0106、 12. 0102、
（二）Q 值检验法（适用于n = 3 ～ 10 次）
步骤：1）将数据由小到大排序X1 , X2 , X3 , …, X n 2）求出Q =︱邻差 / 极差︱
3）若Q ＞Q 表（P26 表1 - 5），则X 舍弃，反之保留
例：在1.11、1.12、1.16、1.12、1.13五个数据中，判断在95%置信度 下1.16 能否舍弃？ 解：1）排序 1.11、1.12、1.12、1.13、1.16 2）邻差 = 1.16 - 1.13 = 0.03 ， 极差 = 1.16 - 1.11 = 0.05
Sr ,甲
0.9 2 0.7 2 2 0.2 2 4 0.12 0.40 n 1 10 1
2
100 0 0.80
定量分析中的误差
第一节 定量分析中的误差
一、 准确度和精密度 二、误差的表示方法 三、误差的表示、种类、 性质、产生的原因及减 免
2023/12/27
§1.1 定量分析的误差
1.1.1 准确度和精密度
典型实例:甲、乙、丙三人同时测定一铁矿石中Fe2O3的含 量（真实含量以质量分数表示为50.36%），各分析四 次，测定结果如下：
d.主观误差——操作人员主观因素造成
例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅； 滴定管读数不准。
e.操作误差（分析人员的操作差异——灼烧
温20度23控/12制/27）
2. 偶然误差
( 1) 特点 a.不恒定，时大时小，时正时负 b.难以校正 c.服从正态分布(统计规律) ( 2) 产生的原因
偶然因素：例如环境温度、压力、湿度 、仪器的微小变化、分析人员对各份试样
2023/12/27
二、 误差的表示方法
1.误差（error）
误差（E）是指测定值（x）与真实值（μ）之间 的差。误差越小，表示测定结果与真实值越接近 ，准确度越高；反之，误差越大，准确度越低。
一般用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差E = xi – μ 相对误差RE = E/μ ×100%
2023/12/27
• 3．过失误差 认真、细心
2023/12/27
误差判别练习
• 2、由于测量过程中某些经常性的原因所引起的A误差属 于( B )
A、随机误差
B、系统误差
C、偶然误差
D、过失误差
• 3、用25.00mL移液管移取溶液体积,就记录为( C )
A、25
B、25.0 C、25.00
D、25.000
• 4、天平称量时把13.2566g记录为13.2655g，应属于偶然
第九章 化学分析法第二节 定量分析中的误差
（2）算术平均值
x (79.38 79.45 79.47 79.50 79.58 79.62 79.80) / 7
2023/2/2079.54
16
（3）平均偏差
d (0.16 0.09 0.07 0.04 0.04 0.08 0.26) / 7 0.11
例 1.52 + 0.476 = 2.00； 25.64－0.0121 = 25.63
2. 乘除法 几个数据的积或商的有效数字位数的保留应以其中
相对误差最大的那个数，即以有效数字位数最少的为依据
例 0.0325 5.103 60.06
139.8 解：各数的相对误差分别为：0.0325为
0.0001 100% 0.3%
2.误差的分类 分为系统误差、偶然误差和过失误差三类
（1）系统误差
●定义 测定过程的固定因素引起的误差。是误差的主要来源
●特点
——单向性 多次测定重复出现，增加测定次数不能减小 ——大小、正负可以确定性 ——可消除性 找出产生的原因，即可消除。又称可测误差
●产生原因
——方法误差 由分析方法本身引入。例，重量分析中沉淀溶解损
第九章 化学分析法
第二节 定量分析中的误差 一、基本概念与术语 （一）准确度与误差 1.定义和表示法 ●定义 ——准确度 测定值x与真实值xT（true）的接近程度 ——误差 测定结果与真实值的差异。是度量准确度高低的物理
量
2023/2/20
1
●误差表示法
——绝对误差E (error)= 测定值—真实值 = x-xT
•引入 两组平均偏差均为0.28；但甲组的精密度不如乙组
定量分析中的误差
如在计算机应用前，用核磁共振（C13谱）测一 些有机物含量时，因为C13丰度本身就小（1.1%）， 再加上有机物含量不大，因而测量信号往往被“噪音” 掩盖而测不出来。
目前解决办法是连续进样，计算机进行成千上 万次的处理，则噪音信号（即偶然误差）被相互抵 消，从而使被测信号明显地显示出来。
但精密度高的也不一定准确度高，好的结果应 是精密度和准确度都高。
三、误差产生的原因及避免方法
在分析化学实验中，我们可以将误差分为系统 误差、随机误差和过失误差。
1 .系统误差(systematic errors)
由某种固定因素所引起的误差，使测量 结果系统偏高或偏低。当重复进行测量时， 它会重复出现。系统误差的大小理论上是可 以测定的，所以系统误差又称确定误差或可 测误差。
特点：
1) 非确定误差。
2) 服从统计规律：当测定次数足够多时，即 绝对值相近而符号相反的误差出现的机会 相同，大误差出现的机会少而小误差出现 的机会多，个别特大误差出现的机会特别 少。
3) 随机误差完全符合正态分布规律，即
68.3%；2 95.5%；3 99.7%。
减免的方法
3. 过失误差(gross mistake)
对于初学者，除了产生上述两类误差外，往往 还可能由于工作上的粗枝大叶，不遵守操作规程等 而造成过失误差。如器皿不洁净、丢失溶液、加错 试剂等，这些都属于不应有的过失，会对分析结果 带来严重影响，必须避免。
d1 = -0.20 d 2 = 0.15 dr1 = -0.28% dr2 = 0.21%
d3 = 0.05 dr3 = 0.07%
二、准确度和精密度的关系以 Nhomakorabea靶为例来说明：三人打靶，每人打五发。
1定量分析中的误差
1.4准确度与精密度 准确度与精密度
A的系统误差小，随机误差大，精密度、准确度 的系统误差小，随机误差大，精密度、 的系统误差小 都不好； 都不好； B说明系统误差大，随机误差小，精密度好，但 说明系统误差大， 说明系统误差大 随机误差小，精密度好， 准确度不好； 准确度不好； C系统误差和随机误差都很小，精密度和准确度 系统误差和随机误差都很小， 系统误差和随机误差都很小 都很好。 都很好。
1.3 精密度与偏差
（2）标准偏差：是用来表示测定数据的分散程度， ）标准偏差：是用来表示测定数据的分散程度， 在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。 在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。 （3）相对标准偏差：是指标准偏差在平均值中所占 ）相对标准偏差： 的百分率，也叫变异系数（cv）。在生产和科研的 的百分率，也叫变异系数（ ）。在生产和科研的 ）。 分析报告中常用相对平均标准偏差表示精密度。 分析报告中常用相对平均标准偏差表示精密度。
1.2 准确度与误差
准确度：表示分析结果与真值的接近程度。 准确度：表示分析结果与真值的接近程度。准确度 的高低用误差来表示。误差越小， 的高低用误差来表示。误差越小，表示分析结果的准 确度越高；反之，准确度越低。 确度越高；反之，准确度越低。 误差的表示方法有两种， 误差的表示方法有两种，绝对误差和相对误差 。 绝对误差：测量值与真值之差称为绝对误差。 绝对误差：测量值与真值之差称为绝对误差。 相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。 相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。 通常以％或‰表示。反映测量误差在真实值中所占的 通常以％ 表示。 表示 比例。在分析工作中， 比例。在分析工作中，常用相对误差来衡量分析结果 的准确度。 的准确度。
1.5 误差的来源与消除方法
定量分析的误差
三、增加平行测定次数，减小偶然误差
xi x n
一般要求3~4次
四、消除系统误差
(一)、对照试验
常用已知准确含量的标准试样(人工合成试样)，按同样方法
进行分析以资对照，也可以用不同的分析方法，或者由不同 单位的化验人员分析同一试样来互相对照，标准试样组成应 尽量与试样组成相近。
系统误差可以分为(根据产生的原因)：
(一)方法误差
是由于分析方法不够完善
所引起的；
即使仔细操作也不能克服；
如：选用指示剂不恰当，
使滴定终点和等当点不一 致。
在重量分析中沉淀的溶
解，共沉淀现象等。
在滴定中溶解矿物时间
不够，干扰离子的影响 等。
(二)仪器和试剂误差
仪器误差来源于仪器本身
对于9以上的大数，
如9.00，9.83等其相对误差与10.00，10.08等的相对误差
相近约为1，
所以通常将他们看成是四位有效数字。
1．下列表述中最能说明系统误差小的是：
A. B. C. D. 与已知含量的试样多次分析结果的平均值一致。 标准偏差大； 仔细校正所有的砝码和容量仪器； 高精密度；
定时需读数两次，考虑极值误差为0.02 ml)
若试样称取2.2346 g ，只需称准至2.235 g，即可。 对于低含量的测定<1 %，由于允许的相对误差较大，所以
各步骤的准确度，就不需要象重量法和滴定法那样高，
如相对误差为20 ‰，试样称取0.5 g， 那么称量误差＝0.5×20/1000=0.01 g，至多准确至
规律性，这是这一章所要学习的内容，
掌握误差的规律性，有利于既快速又准确地完成测定任务。
定量分析中的误差
二、 误差的表示方法
1.误差（error）
误差（E）是指测定值（x）与真实值（μ ）之间 的差。误差越小，表示测定结果与真实值越接近 ，准确度越高；反之，误差越大，准确度越低。
一般用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差E = xi – μ 相对误差RE = E/μ ×100%
2019/11/21
第一章 定量分析中的误 差与数据处理
第一节 定量分析中的误差
一、 准确度和精密度 二、误差的表示方法 三、误差的表示、种类、 性质、产生的原因及减 免
2019/11/21
§1.1 定量分析的误差
1.1.1 准确度和精密度
典型实例:甲、乙、丙三人同时测定一铁矿石中Fe2O3的含 量（真实含量以质量分数表示为50.36%），各分析四 次，测定结果如下：
10.37%；10.47%；10.43%；10.40% ，计算单次分析结果的 平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和变异系数。
解： 平均偏差d＝ di 0.18% 0.036%
n
5
相对平均偏差Rd d 0.036% 100% 0.35%
x 10.43%
标准偏差s
di2 8.6107 4.7 104 0.047%
特点：简单；
n
缺点：大偏差得不到应有反映。
标准偏差： S = [∑di2/(n -1)]0.5
特点：较大的偏差能够更显著地反映。
相对平均偏差 = d / X ×100% 相对标准偏差 ：（变异系数）CV% = S / X ×100%
2019/11/21
例题
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。 例: 两组数据 (1) X-X： 0.11, -0.73, 0.24, 0.51,
定量分析中的误差
二、在有效数字中“0”的意义
1、“0”在第一个不为零的数字前面时，只起定位作
用，不是有效数字， 2、“0”在数字中间或最末一位不为零的数字后 面时 ，是有效数字 如： 一个物体重0.0060g，有 2位 有效数字。 若用毫克表示为6.0mg，仍为 2位 有效数字
0.02003 四位
0.010500 五位
i 1
n
2
n 1
di
i 1
n
2
n 1
3、相对标准偏差（变异系数）：标准偏差 在平均值中所占 的百分率
相对标准偏差 s 100% x
有甲乙两组数据，其各次测定的偏差分别为
甲组： ＋0.11、－0.73*、＋0.24、＋0.51 *、－0.14、0.00、＋0.30、－0.21 n1=8
奇数还是偶数
均入
例：将下列数字修约为4位有效数字。 14.4350 27.1652 约。 14.44 27.17 157.450 157.4
在确定修约位数后，应 一次 修约获得结果，不得多次连续修
四、有效数字运算规则
1、加减运算
几个数相加或相减时，它们的和或差的有效数字的保留应
以小数点
后位数最少（即绝对误差最大）的数为准。
1 2 n n 1 2 n i 1 i
相对平均偏差是 平均偏差 在平均值中所占的百分率
相对平均偏差 d 100% x
平均偏差不计正负号，而各次测得值的偏差是有 正负 的
（三）标准偏差
1、总体标准偏差：σ =
( )
i 1
n
2
n
2、标准偏差：（s）测定次数n<20
s
( xi x )
使分析结果总是偏高或偏低，在多次平行测定中
定量分析的误差偏差精密度和准确度
误差（E）=测量值（ xi )－真值（ µ ） 正误差: E >0; 负误差: E < 0
误差绝对值越小,准确度越高,误差绝对值越大,
准确度越低.
4Leabharlann 3.误差的表示方法化学分析
(1)绝对误差: 误差（E）=测量值（ xi )－真值（ µ ）
(2)相对误差
Er
绝对误差 真值 100%
E
100%
练习:求下列数据的误差,并判断哪个准确度高?
x xi
n 2.3 1.8 1.6 2.2 2.1 2.4 2.0 1.7 2.2 1.7 2
10
偏差
di xi x
d1 = +0.3， d2 = 0.2， d3 = -0.4， d4 = +0.2， d5 = +0.1， d6 = +0.4，
d7 = +0.0， d8 = -0.3， d9 = +0.2，
s i1 n 1
变异系数（相对标准偏差）
CV s 100%
(n≤20)
x
16
化学分析
甲 2.3 1.8 1.6 2.2 2.1 2.4 2.0 1.7 2.2 1.7 乙 2.0 2.1 1.3 2.2 1.9 1.8 2.5 1.8 2.3 2.1
平均数 平均偏差 相对平均偏差 标准偏差
甲2
样品 测定值(kg) 真值(kg) 绝对误差 相对误差
A
50.1
50.0
+0.1 +0.2%
B
2.1
2.0
+0.1 +5.0%
用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为准确
5
化学分析
例 求A、B样品的测定误差,并判断哪个准确度高?
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第一章定量分析测定中的误差本章教学目的：1、掌握绝对误差、相对误差、平均偏差、相对平均偏差及标准偏差的概念和计算方法，明确准确度、精密度的概念及两者间的关系。
2、掌握系统误差和偶然误差的概念。
3、掌握有效数字的概念及运算规则，并能在实践中灵活运用。
教学重点与难点：准确度和精密度表示方法；误差来源；有效数字及运算法则。
教学内容：第一节定量分析中的误差教学目的：1、掌握绝对误差、相对误差、平均偏差、相对平均偏差及标准偏差的概念和计算方法，明确准确度、精密度的概念及两者间的关系。
2、掌握系统误差和偶然误差的概念。
教学重点:误差、偏差的概念和计算方法，准确度和精密度表示方法教学难点：误差来源实验引题:1、每位同学测自己20秒的脉搏，测6次，记录每次脉动次数。
2、投影屏开启4～5次，记录每次所需时间。
设问:1、同一块表测得的脉动次数或开启时间相同吗?2、不同的表(定时)测得的脉动次数或开启时间相同吗?引入内容：在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试剂和分析工作者主观条件等方面的限制，使测得的结果不可能和真实含量完全一致；即使是技术很熟练的分析工作者，用最完善的分析方法和最精密的仪器，对同一样品进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观上存在着难于避免的误差。
一、真实值、平均值与中位值1.真实值（x T）物质中各组分的真实数值，称为该量的真实值。
显然，它是客观存在的。
一般来说，真实值是末知的，但下列情况可认为其真实值是已知的。
(1)理论真实值 如某种化合物的理论组成等。
(2)相对真实值 认定精度高一个数量级的测定值作为低一级测量值的真实值，这种真实 值是相对比较而言的。
如分析实验室中标准试样及管理试样中组分的含量等。
2.平均值(1) 算术平均值(x ) 几次测量数据的算术平均值为12311nni i x x x x x x nn =++++==∑ (1-1) (2) 总体平均值(u ) 表示总体分布集中趋势的特征值。
11lim ni x i u x n →∞==∑ （1-2）3.中位值(M x )中位数是将一组平行测量数据（x i ）按由小到大顺序排列，若n 为奇数，中位值就是位于中间的数，若n 为偶数则是中间两数的平均值。
对测定次数少的测定，中位数比平均值更为合理地描述数据集中趋势。
二、准确度与误差准确度：指测定值与真实值相符合的程度。
误差：测定值与真实值之间的差值准确度的高低用误差的大小表示。
误差越小，准确度越高;误差越大，准确度越低。
在实际的分析工作中，常用测定结果的平均值与真实值接近的程度表征分析结果的准确度。
1．误差的表示方法(1) 绝对误差(a E ) 绝对误差表示测定结果与真实值之差。
即a E T x x =- （1-3）(2) 相对误差(r E ) 相对误差是指绝对误差在真实值中所占的百分率。
即ar TE E 100%x =⨯ （1-4） 绝对误差和相对误差都有正负之分。
误差为正，表示分析结果偏高；误差为负，表示分析结果偏低。
例题1-1：用分析天平称得某试样A 的质量为1.2037g ，该试样的真实质量为1.2036;若用同一台天平称试样B 的质量为0.1204g,其真实质量为0.1203g 。
计算两试样的绝对误差和相对误差。
解：试样A 和B 的绝对误差为：()()a,A a,B E 1.2037 1.20360.0001E 0.12040.12030.0001g g g g=-=+=-=+试样A 和B 的相对误差为：r,A r,B0.001gE 100%0.008%1.2036g0.001g E 100%0.08%0.1203g+=⨯=++=⨯=+得出结论：绝对误差相同，但相对误差不同。
被测物质的质量较大，相对误差较小。
因此，在天平的精度保持不变时，适当增大取样量，可以减小称量误差对分析结果的影响。
2．误差的应用(1) 判断测定结果的准确度。
测定结果的误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
(2)绝对误差通常用于说明一些分析仪器测量的准确度。
常用仪器 绝对误差 称量误差或读数误差分析天平 ±0.0001 g ±0.0002 g 托盘天平 ±0. 1 g ±0. 2 g 常量滴定管 ±0.01 mL ±0.02 mL 25 mL 量筒±0. 1 mL±0.2 mL(3) 通过绝对误差，可以对测定值进行校正。
校正值 = -绝对值误差 = 真实值 - 测定值 真实值≈ 测定值 十 校正值校正后的测定值更接近于真实值，但并不是真实值，因为校正值本身也有误差。
当系统误差较小时，可用测定平均值代替真实值。
实际工作中，标准物质可作为"相对真实值。
来校正仪器和评价分析方法。
三、精密度与偏差精密度:多次重复测定(平行测定)结果彼此相符合的程度。
精密度的高低用偏差表示。
偏差越小，精密度越高，表示测定数据的分散程度越小。
在实际工作中，常用重复性和再现性表示不同情况下分析结果的精密度。
精密度有下列表示方法。
1．绝对偏差和相对偏差绝对偏差是指单次测定值(T ，)与平均值(了)之差；相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。
绝对偏差 i i d x x =- （1-5） 相对误差 100%ir d d x=⨯ （1-6） 绝对偏差和相对偏差有正负之分，它们都是表示单次测定值与平均值的偏离程度。
2．平均偏差和相对平均偏差在平行测定中，各次测定的偏差有正有负，也可能为零。
因此，为了衡量一组数据的精密度，通常用平均偏差d 表示。
平均偏差（d ）： 各单个偏差绝对值的平均值ni i 11d d n ==∑ （1-7）相对平均偏差（r d ）：平均偏差在平均值中所占的百分率d100%x⨯r d ＝ （1-8）平均偏差和相对平均偏差小，说明测定结果的精密度高。
平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值，平均偏差有与测量值相同的单位。
3．标准偏差和相对标准偏差标准偏差是指单次测定值与算术平均值之间相符合的程度。
在数理统计中，常用标准偏差来衡量数据的精密度。
有限次测量的标准偏差用s 表示。
s ==(1-9)相对标准偏差： 100%r ss x=⨯ （1-10） 例1-2 有甲乙两组测定数据如下：甲组：10.3，9.8，9.6，10.2，10.1，10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 乙组：10.0，10.1，9.3，10.2，9.9，9.8，10.5，9.8，10.3，9.9计算各组数据的平均偏差和标准偏差。
解：由测定数据可得0.24 d =甲 0.24 d =乙0.28=甲s 0.33=乙s当用平均偏差表示精密度时，两组数据的d 相同，但乙组数据中有个别数据偏差较大，两者的区别未能反映出来;当用标准偏差表示精密度时，由于s 中二s 乙，所以甲组比乙组数据的精密度好，数据分散程度小。
可见，当两组测定数据的平均偏差相同时，用平均偏差不能比较测定结果的精密度，但标准偏差却能解决问题。
用标准偏差表示精密度比用平均偏差好，这是因为将单次测定结果的偏差经平方后，能将较大偏差对精密度的影响反映出来，可以更清楚地说明测定值的分散程度。
标准偏差和相对标准偏差均为正值，标准偏差有与测定值相同的单位。
总结：在一般分析中，通常多采用平均偏差来表示测量的精密度。
而对于一种分析方法所能达到的精密度的考察，一批分析结果的分散程度的判断以及其它许多分析数据的处理等，最好采用相对标准偏差等理论和方法。
用标准偏差表示精密度，可将单项测量的较大偏差和测量次数对精密度的影响反映出来。
例1-3 测定某铁矿中铁的质量分数。
分析人员平行测定5次，数据如下:48.42%，48.40%，48.43%，48.39%，48.44%。
计算：(1)算术平均值;(2)平均偏差;(3)相对平均偏差；(4)标准偏差；(5)相对标准偏差。
解：算术平均值： 48.42%+48.40%+48.43%+48.39%+48.44%48.42%5x == 平均偏差： n i i 110.09%d d 0.018%n 5====∑相对平均偏差：d 0.018%100%=100%=0.037%x 48.42%⨯⨯r d ＝标准偏差：0.024%s ===相对标准偏差： 0.024%100%100%0.05%48.42%r s s x =⨯=⨯= 4.极差极差是指一组数据中最大值(max x )与最小值(min x )之差，用R 表示。
max min R100%R x x x=-=⨯相对极差 一般分析工作中平行测定次数不多，常采用极差来说明偏差的范围。
极差表示方法简单，不足之处是不能利用全部测量数据。
5．允许差允许差又叫公差。
一般分析工作中，只做两次平行测定，允许差是两次平行测定结果的绝对差值，也就是平行测定结果精密度的界限值。
若两次平行测定结果的差值不大于允许差，则两次平行测定结果的算术平均值作为分析结果；若差值超出允许差，称为“超差”，此测定结果无效，必须重新取样测定。
允许差的使用：（1）试样有标准时，采用单面公差（即允许差的绝对值） （2）试样无标准值时，采用双面公差(即允许差绝对值的2倍) 四、准确度与精密度的关系准确度与精密度之间既有区别又有联系。
由图1-1可知:甲测定结果的精密度高，但其平均值与真实值相差较远，说明准确度低;乙测定结果的精密度不高，准确度也不高;丙测定结果的精密度和准确度都比较高。
准确度与精密度的关系：1、精密度是保证准确度的先决条件。
2、高的精密度不一定能保证高的准确度。
但可以找出精密而不准确的原因，从而加以校正。
（系统误差）五、误差的分类及产生 1．系统误差在一定条件下，由某些经常的固定原因引起的误差(1) 特点重现性、单向性、可测性（可校正）。
(2) 分类系统误差按其产生的原因分：①方法误差:由于分析方法本身不完善所造成的误差。
例如，在重量分析中，选择的沉淀形式溶解度较大，共沉淀沾污，灼烧时沉淀的分解或挥发;滴定分析涉及的反应不完全;指示剂的变色点与反应的计量点不吻合等。
②仪器误差:由于仪器、量器精度不够或末经校正而弓起的误差。
例如，分析天平砝码未经校正，滴定管、移液管等容量仪器的刻度不准，分光光度计波长不准等。
③试剂误差:由于试剂不纯或带人杂质引起的误差。
例如，试剂的纯度不够或蒸馏水含有微量的待测组分等。
④操作误差:在正常操作下，由于操作者的主观因素造成的误差。
例如，滴定管的读数经常偏高或偏低，滴定终点颜色的判断经常偏深或偏浅等，是由于个人感官不敏锐或固有习惯造成的，不属于过失误差。
2．随机误差又叫偶然误差，是由于各种因素的随机波动引起的误差。
(1)特点①重复测定时其误差数值不恒定，有时大，有时小，有时正，有时负。