2022年最新中考数学知识点梳理 考点18 尺规作图与定义、命题、定理(教师版)

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考点18 尺规作图与定义、命题、定理

考点总结

一、尺规作图

1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图

1）作一条线段等于已知线段；

2）作一个角等于已知角；

3）作一个角的平分线；

4）作一条线段的垂直平分线；

5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

1）已知三角形的三边，求作三角形；

2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；

4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；

5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．

其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1．尺规作图的关键

1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．

三、定义与命题

1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．

2．判断一件事情的语句叫做命题．

3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

二、真命题、假命题

1．正确的命题叫做真命题．

2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．

3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

三、逆命题

1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．

2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．

3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．

4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．

四、公理与定理

1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．

2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．

3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．

4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题

1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．

3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．

六、反证法

1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法的步骤：

①假设命题结论的反面正确；

②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；

③说明假设不成立，从而得出原命题正确．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•高阳县模拟）如图，已知∠MAN ＝60°，AB ＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．3√3

D ．6

【分析】证明△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：由题意，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝6， ∵AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝3， 故选：B ．

2．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l 的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述： 甲：如图1，在直线l 上任取一点C ，以C 为圆心任意长为半径画弧，与直线l 相交于点

A 、

B 两点，再分别以A 、B 为圆心以大于1

2

AB 长为半径画弧，两弧相交于点D ，作直线CD

即为所求．

乙：如图2在直线l 上任取两点M ，N 作线段MN 的垂直平分线． 下面说法正确的是（ ）

A．甲对，乙不对B．乙对甲不对

C．甲乙都对D．甲乙都不对

【分析】根据过一点作已知直线的垂线和作已知线段的垂直平分线的方法即可判断．【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；

根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．

所以甲乙都对．

故选：C．

3．（2021•桥东区二模）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）

A．AH是△ABC中BC边上的高

B．AH＝DH

C．AC平分∠BAD

D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质一一判断即可．