高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数
1.对数
（1）对数的定义：
如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .
（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:
①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a
N
M
=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =
b
N
a a log log （a ＞0，a ≠1，
b ＞0，b ≠1，N ＞0）.
2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？
在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象
O x y y = l o g x a >
x
<a
11
( )底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.
（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+
基础例题
题型1（对数的计算）
1．求下列各式的值． （1）35
5log ＋
21
2
log 1
505
log －145log ； （2）log 2
1
25
×log 318×log 519.
练习题 1．计算：lg 12－lg 5
8
＋lg12.5－log 89·log 278；
2.log 535＋
21
2
log －log 5
150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 51
9
.
4. 3991
log log 4log 32
+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-
221
(6).log 24lg log lg 2log 32
+-- 7.
2lg 2lg3
111lg 0.36lg823
+++
例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z
＞1. (1)求证：
2x ＋1y
＝2
z ； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．
练习题．已知log 189＝a ，18b
＝5，用a 、b 表示log 3645.
题型二：（对数函数定义域值域问题）
例1．已知函数()22log 1
x
f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ． （1）若A R =，求实数a 的取值范围；
（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．
练习题1．已知函数()()
2
lg 21f x ax x =++
（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域
2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.
题型三（奇偶性及其单调性）
例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，
f(x)＝2x
－1.
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12
log 24)的值．
2. 已知f （x ）=log 3
1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.
3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.
练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；
(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围
2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12
()log f x x =.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2
(1)2f x ->-；
3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12
()log (1)f x x =-+．
（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；
（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．
题型4（函数图像问题）
例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是
1 1 1 1
1 1 1
x
x
x
x y y
y y
O
O O
O A
B
C D
2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫
⎪⎝⎭
， 求证：a·b＝1，2
a b
+＞1.
练习题：
1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，x
x g a
-=11
log )(，记)()(2)(x g x f x F +=
（1）求函数)(x F 的定义域及其零点；
（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.
2．已知函数f(x)＝log 4(4x
＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；
(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a
的取值范围．
3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于
题型五：函数方程
1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.
2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,
4),1(,
4,)21(x x f x x
则f （2+log 23）的值为
4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；
（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()
f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.
5．已知函数221log log (28).242
x x
y x =
⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.
6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.
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