运筹学附录DEF答案
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学（第五版）习题答案
运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max 12z x x =+51x +102x £50 1x +2x ³1 2x £4 1x ，2x ³0 （2）min z=1x +1.52x 1x +32x ³3 1x +2x ³2 1x ，2x ³0 （3）max z=21x +22x 1x -2x ³-1 -0.51x +2x £2 1x ，2x ³0 （4）max z=1x +2x 1x -2x ³0 31x -2x £-3 1x ，2x ³0 解：（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-2 1x +2x +33x -4x £14 -21x +32x -3x +24x ³2 1x ，2x ，3x ³0，4x 无约束无约束（2）max kk z s p =11nmk ik ik i k z a x ===åå11(1,...,)mikk xi n =-=-=åik x ³0 (i=1(i=1……n; k=1,…,m) （1）解：设z=-z ¢,4x =5x -6x , 5x ,6x ³0 标准型：标准型：Max z ¢=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t . -41x +2x -23x +5x -6x +10x =2 1x +2x +33x -5x +6x +7x =14 -21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =2 1x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ³0 初始单纯形表: j c ® 3 -4 2 -5 5 0 0 -M -M i qB C B Xb 1x 2x 3x 5x6x7x 8x9x10x-M 10x 2 -4 1 -2 1 -1 0 0 0 1 2 0 7x14 1 1 3 -1 1 1 0 0 0 14 -M 9x2 -2 [3] -1 2 -2 0 -1 1 0 2/3 -z ¢4M 3-6M 4M-4 2-3M 3M-5 5-3M 0 -M 0 0 (2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得：，得： Max s=(1/kp )1n i=å1m k =åik a ik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t. 11mi ik k x x =+=å(i=1,2,3(i=1,2,3……,n) ik x ³0, i x ³0, (i=1,2,3(i=1,2,3……n; k=1,2….,m) M 是任意正整数是任意正整数 初始单纯形表：初始单纯形表： jc-M -M … -M 11k a p 12k a p… 1mk ap (1)n k a p 2n k a p …mnkapi qB C BXb 1x2x … n x11x12x … 1mx … 1n x2n x… nmx -M 1x1 1 0 … 0 1 1 … … 0 0 … 0 -M 2x 1 0 1 … 0 0 … … 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … … … … … … -M n x 1 0 0 … 1 0 0 … 0 … 1 1 … 1 -s n M 0 0 … 0 11k a M p +12ka Mp + … 1mk a M p + (1)n k aM p +2n k a M p +…mnk a M p +1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
《运筹学》课后答案
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学(第五版) 习题答案
d
4
1
0
0
2
-1
-3
0
1
-1
0
3
-5
0
0
-4
1
0
0
-3
0
解：
（1）有唯一最优解时，d 0， 0， 0
（2）存在无穷多最优解时，d 0， 0， =0或d 0， =0， 0.
（3）有无界解时，d 0， 0， 0且
（4）此时，有d 0， 0并且 ， ，3/ d/4
1.9某昼夜服务的公交线路每天个时间段内所需司机和乘务员人数如下：
班次
时间
所需人数
1
6点到10点
60
2
10点到14点
70
3
14点到18点
60
4
18点到22点
50
5
22点到2点
20
6
2点到6点
30
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续上班8小时，问该公交线路至少配备多少司机和乘务人员。列出线型规划模型。
解：
设 （k=1，2，3，4，5，6）为 个司机和乘务人员第k班次开始上班。
丙
原料成本（元/千克）
每月限制用量（千克）
A
60%
15%
2
2000
B
1.5
2500
C
20%
60%
50%
1
1200
加工费
0.5
0.4
0.3
售价
3.4
2.85
2.25
问该厂每月应当生产这三种牌号糖果各多少千克，使得获利最大？建立数学模型。
解:
解：设 ， ， 是甲糖果中的A，B，C成分， ， ， 是乙糖果的A，B，C成分， ， ， 是丙糖果的A，B，C成分。
运筹学课后习题答案
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
运筹学1至6章习题参考答案
运筹学1至6章习题参考答案(总80页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
运筹学课后习题答案
6
5
6
3
σ34=15+50=1;至此;六个闭回路全部计算完 ;σ11=4;σ14=2;σ22=0;σ31=2;σ32=2;σ34=1;即全部检验数σ均 大于或等于0 即用上述三种方法计算中;用沃格尔法计算所
得结果z*=35为最优解
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16
表329
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
22
4
A3 销量
4
33
3
3
B3
6 3 28 2
B4 B5 产量
1 4 30
5
⑤
2
0
2②
15 0
6⑧
2
3
③
④
⑦
⑥
①
x11=1;x14=1;x15=3;x21=2;x32=3;x33=2;x34=1;总费用=1×3 ＋1×4＋3×0＋2×2＋3×3＋2×8＋1×5＝41
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18
②西北角法求解：
3 2 运输问题的基可行解应满足什么条件 试判断形表 326和表327中给出的调运方案是否作为表上作业法迭 代时的基可行解 为什么
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1
表326
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
0
A2
A3
5
销量
5
15
15
15
10
25
5
15
15
10
解：表326产地个数m=3;销地个数n=4;m+n1=3+41=6个;而 表326中非零个数的分量为5个≠6个;所以表326不可作为表上 作业法时的基可行解
物流运筹学附录1习题答案
物流运筹学附录1习题答案附录1：习题参考答案【习题1】1.1 填空（1）线性规划，图论，决策论，排队论，存储论；（2）系统论，控制论，信息论。
1.2 判断（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；（5）×。
1.3 略。
1.4 略。
1.5 略。
1.6 略。
【习题2】2.1 填空（1）可⾏解；（2）01≥-b B ，01≤--A B C C B ；（3）零；（4）增加或减少⼀个单位的该产品⽬标函数的增加或减少值；（5）零。
2.2 判断（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√。
2.3 略2.4 可⾏域如右图阴影部分所⽰。
（1）当2/11=c 时，有⽆穷多组最优解，参看线段BC 。
（2）当11=c 时，有⽆穷多组最优解，参看线段AC 。
（3）当11>c 时，有唯⼀最优解，见图中点B 。
（4）当2/112.5 （1）这个问题可⾏域为（ EABF ）；（3）这个问题基础解为（ ABCDEFGHIJ ）；（3）这个问题基础可⾏解为（ EABF ）；（4）这个问题最优解为（ E ）；（5）G 点对应的解中，⼤于0的变量为（ 21,x x ），等于0的变量为（ 53,x x ），⼩于0的变量为（ 4x ）；（6）F 点对应的基变量为（ 321,,x x x ），⾮基变量为（ 54,x x ）；（7）E 点对应的基变量为（ 432,,x x x ），⾮基变量为（ 51,x x ）；（8）从F 到E 的单纯形叠代，进基变量为1=x 02=x 03=x 123221=+x x 04=x 6321=+x x 05=x 3321=+-x x 5.1221=+-x x ACDI JAoBC621=+x x 1x 2x 10221=+x x（ 4x ），离基变量为（ 1x ）；（9）E 点对应的对偶变量，⼤于0的是（ 5w ），等于0的是（ 43,w w ），⼩于0的是（⽆）。
运筹学课后习题答案 熊伟(第二版)
【解】虚拟一个发点和一个收点
T6.11－1
得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。求解过程参看第4章PPT文档习题答案。
T6.11－13
最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。
6.12如图6－43所示，（1）求解旅行售货员问题；（2）求解中国邮路问题。
图6-43
【解】（1）旅行售货员问题。
总费用最小的设备更新方案为：第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。总费用为11.5万元。
6.8图6－43是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
表5-56
B1
B2
B3
B4
Ai
A1
9
15
4
8
10
A2
3
1
7
6
30
A3
2
10
13
4
20
A4
4
5
8
3
43
bj
20
15
50
15
【解】（1）
(2)
5.4求下列运输问题的最优解
（1）C1目标函数求最小值；（2）C2目标函数求最大值
15 45 20 40 60 30 50 40
(3)目标函数最小值,B1的需求为30≤b1≤50, B2的需求为40，B3的需求为20≤b3≤60,A1不可达A4，B4的需求为30．
【解】（1）
（2）
（3）先化为平衡表
B11
B12
B2
B31
B32
运筹学(第五版) 习题答案
1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-3 +4 -2 +5
4 - +2 - =-2
+ +3 - 14
-2 +3 - +2 2
， ， 0， 无约束
（2）max
0 (i=1…n; k=1,…,m)
（1）解：设z=- , = - , , 0
标准型：
从行差额或者列差额中找出最大的选择它所在的行或者列中的最小元素丙列中的最小元素为3由此可以确定产地的产品应先供应丙的需要而产地的产量等于丙地的销量故在2丙处填入0同时将运价表中的丙列和第二行的数字划去得到
运筹学习题答案
第一章（39页）
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
初始单纯形表：
-M
-M
…
-M
…
…
…
b
…
…
…
…
-M
1
1
0
…
0
1
1
…
…
0
0
…
0
-M
1
0
1
…
0
0
…
…
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-M
1
0
0
…
1
0
0
…
0
…
1
1
…
1
-s
nM
运筹学课后习题答案__北邮出版社
No .2 两阶段法和大M 法 解：将原问题变为第一阶段的标准型⎪⎩⎪⎨⎧≥=+-+=+-+--⋅+⋅=0,,,,,753802 ..00)(max 654321642153216521x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f答：最优解为x 1 =14，x 2 =33，目标函数值为254。
No .3 线性规划的对偶问题 3、用对偶单纯形法求下面问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,753802 ..64)(min 21212121x x x x x x t s x x x f1、用两阶段法解下面问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,753802 ..64)(min 21212121x x x x x x t s x x x f答：最优解为x1 =14，x2 =33，目标函数值为254。
No.5 运输问题1、分别用西北角法、最低费用法和运费差额法，求下面运输问题(见表)的初始可行解，并计算其目标函数。
(可不写步骤)2、以上题中最低费用法所得的解为初始基础可性解，用表上作业法（踏石法）求出最优解。
（要求列出每一步的运费矩阵和基础可行解矩阵）OBJ ＝955 ⇓)4 (15) 4 -7 10 -7 -3 12 -6 -3 9 640 10 8 1 4 5 5 20 6 9 6答：x 13=5, x 14=15, x 24=30, x 32=15, x 33=25,x 41=25, x 43=5, x 45=30, OBJ=850。
习题课11、某工厂生产用2单位A 和1单位B 混合而成的成品出售，市场无限制。
A 和B 可以在该工厂的3个车间中的任何车间生产，生产每单位的A 和B 试建立使成品数量最大的线性规划模型。
解：设车间1生产x 1A 单位A 、生产x 1B 单位B ；设车间2生产x 2A 单位A 、生产x 2B 单位B ； 设车间3生产x 3A 单位A 、生产x 3B 单位B ； 则有生产安排最优化的模型如下：OBJ ＝850OBJ ＝850⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥++≥++≤+≤+≤+++=3,2,1,0,)(21005.15.112021002..)(max 321321332211321i x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f iB iA B B B A A A B A B A B A BB B 这是一个可分解的线性规划，这类问题就容易出现退化现象。
运筹学答案(熊伟)下
运筹学答案（熊伟）下习题七7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
(2)用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16工序ABCDEFG－IC,E,F,HJD,GKC,ELIMJ,K,L紧前工序－－－ACAF、D、B、E表7-17紧后工序D,EGEGGG工序紧前工序A-B-C-DBEBFA,BGBHD,G紧后工序FE,D,F,GI,H,I,H,IIKJKJMLMM－【解】（1）箭线图：节点图：（2）箭线图：7.3根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18工序紧前工序A-BA6CA12DB,C19EC6FD,E7GD,E8工序时间（周）9【解】(1)网络图(2)网络参数工序A000B9156C990D21210E213413F40411G40400最早开始最迟开始总时差(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
7.4表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19工序紧前工序ABC--5-7D12E8F17GE16HD,G8IEJKLM15N12A,BBB,CEHF,JI,K,LF,J,L工序时间(天)81451023（1）绘制项目网络图。
（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序tTESTEFTLSTLF总时差S自由时差FA80891790B5050500C7077700D12820172999E851351300F1772472400G1613 29132900H82937293700I14132733472020J51318192466K103747374700L232 447244700M154762476200N124759506233(4)关键路线及对应的关键工序11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：C,F,L,M第二条：①→④→⑧→⑨→○（5）项目的完工期为62天。
运筹学(第五版) 习题答案
运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥12x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解： （1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束（2）max kkz s p =11nmk ik ik i k z a x ===∑∑11(1,...,)mikk xi n =-=-=∑ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)（1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型：Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t .-41x +2x -23x +5x -6x +10x =21x +2x +33x -5x +6x +7x =14-21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =21x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0(2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑1mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.11mi ik k x x =+=∑ (i=1,2,3…,n)ik x ≥0, i x ≥0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)M 是任意正整数1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
运筹学1至6章习题参考答案
，运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为（2345681012342567368947910min 0.50.50.528002120026002239000,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
《运筹学》课后答案
1.1 （1）无界解；（2）无解；（3）唯一最优解（15，8）；（4）无界解1.2 （1）令z z -='，444x x x ''-'=，则该问题的标准形式为 65443210055243max x x x x x x x z ++''+'-+-=' ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'''=-''+'-++-=+''-'+-+=''-'+-+-0,,,,,,2321422224654432164432154432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）令z z -='，11x x -='，333x x x ''-'=，则该问题的标准形式为 4332103322max x x x x x z +''+'-+'=' ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=+''+'-+'=''-'++'0,,,,62443321433213321x x x x x x x x x x x x x x 1.4 （1）顶点：O （0，0）；A （0，2.25）；B （1，1.5）；C （1.6，0）有唯一最优解（1，1.5），此时z=17.5；（2）顶点：A （0，0）；B （0，3）；C （3.75，0.75）；D （4，0） 有唯一最优解（3.75，0.75），此时z=8.251.51.6 由L 和分别解出其下界和上界214max :x x z L +=' 2163max :x x z L +='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1065853212121x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+-0,1442122212121x x x x x x 由L '解出下界5/32___*=z ，由L ''解出上界21___*=z1.7 （1）有无界解；（2）有唯一最优解T x )0,0,3,0,2(*=；（3）有唯一最优解T x )0,1,5/9,5/2(*=；（4）1.8 0,2/3,5,5,0,1,3,2,2,4,2,3=-=======-====l k j i h g f e d c b a 1.9 证明：设)2()1()1(X X X αα-+=为)1(X和)2(X连线上任一点由已知，)2()2()1()1(CX z z CX===则])1([)2()1(X X C CX αα-+=)1()2()2()2()2()1(z z CX CX CX CX ===-+=αα1.10 证明：*0CX CX≥ ，0)(0*≤-∴X X C （1）又0***X C X C ≥，有0)(0**≥-X X C （2）)1()2(-得0))((0**≥--X X C C1.11 （1）先列出两个新的约束β99333)(431+=-+'x x x i β3333)(32+-=+-'x x ii以1x ，2x 为基列出初始单纯形表如下：（2）0=β时，43≤≤α时，最优基不变（3）3=α时，11≤≤-β时，最优基不变1.12 （1）*X 仍为最优解（2）除C 为常数向量外，一般*X 不再是问题的最优解 （3）最优解变为*X λ，目标函数值不变1.13 设选择五种饲料的公斤数分别为54321,,,,x x x x x ，则543218.03.04.07.02.0min x x x x x z ++++= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥++++≥++++0,,,,1008.022.00.15.0305.022.05.07001862354325432154321543211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1.14 设654321,,,,,x x x x x x 分别代表于早上6：00，10：00，…，早上2：00开始上班的护士数，则654321min x x x x x x z +++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+0,,30205060706061655443322116x x x x x x x x x x x x x x 1.15 用i =1，2，3分别代表商品A ，B ，C ，j =1，2，3分别代表前、中、后舱，ij x 为装于j 舱位的i 种商品的数量，目标函数为总运费收入最大，约束条件需分别考虑舱位载重限制，舱位容量限制，商品数量限制及各舱位载重的平衡限制。
运筹学课后答案
运筹学课后答案3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数学模型具有什么特征?答： 1、运输问题一定有有限最优解。
2、约束系数只取0或1。
3、约束系数矩阵的每列有两个1， 而且只有两个1。
前m 行中有一个1，或n 行中有一个1。
4、对于产销平衡的运输问题，所有的约束都取等式。
3.2 运输问题的基可行解应满足什么条件？将其填入运输表中时有什么体现？并说明在迭代计算过程中对它的要求。
解：运输问题基可行解的要求是基变量的个数等于m+n-1。
填入表格时体现在数字格的个数也应该等于m+n-1。
在迭代过程中，要始终保持数字格的个数不变。
3.3 试对给出运输问题初始基可行解的西北角法、最小元素法和V ogel 法进行比较，分析给出的解之质量不同的原因。
解：用西北角法可以快速得到初始解，但是由于没有考虑运输价格，效果不好；最小元素法从最小的运输价格入手，一开始效果很好，但是到了最后因选择余地较少效果不好； V ogel 法从产地和销地运价的级差来考虑问题，总体效果很好，但是方法较复杂。
3.4 详细说明用位势法(对偶变量法)求检验数的原理。
解：原问题的检验数也可以利用对偶变量来计算 ：其中，ui 和vj 就是原问题约束对应的对偶变量。
由于原问题的基变量的个数等于m+n-1。
所以相应的检验数就应该等于0。
即有：由于方程有m+n-1个， 而变量有m+n 个。
所以上面的方程有无穷多个解。
任意确定一个变量的值都可以通过方程求出一个解。
然后再利用这个解就可以求出非基变量的检验数了。
3.5 用表上作业法求解运输问题时，在什么情况下会出现退化解？当出现退化解时应如何处理？ 解：当数字格的数量小于m+n-1时，相应的解就是退化解。
如果出现了退化解，首先找到同时划去的行和列，然后在同时划去的行和列中的某个空格中填入数字0。
只要数字格的数量保持在m+n-1个的水平即可。
3.6 一般线性规划问题具备什么特征才能将其转化为运输问题求解，请举例说明。
运筹学课后习题答案
s1 = 2, s2 = 0
5 、解： 标准形式： min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
10x1 + 2x2 − s1 = 20 3x1 + 3x2 − s2 = 18 4x1 + 9x2 − s3 = 36 x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 13 6 、解：
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。 d 3 车间，因为增加的利润最大 e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变
f 不变 因为在 [0,500]的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440]变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件）
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型： min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9 x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
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运筹学附录DEF答案第一篇：运筹学附录D E F 答案附录D 判断题答案线性规划1.× 不一定有最优解2.√ 3.×不一定4.√ 5.√ 6.× 是非线性规划模型，但可以转化为线性规划模型7.× 可行解集非空有界时结论正确8.√ 9.×不一定是可行基，基本可行解对应的基是可行基10.√ 11.√ 12.√ 13.√ 14.×原问题可能具有无界解15.√ 16.√ 17.√ 18.√ 19.√20.× 存在为零的基变量时,最优解是退化的；或者存在非基变量的检验数为零时，线性规划具有多重最优解线性规划的对偶理论21.√ 22.√ 23.× 不一定24.√ 25.× 对偶问题也可能无界26.（1）× 应为CX*≥Y*b（2）√（3）√（4）√（5）√（6）√ 27.√ 28.× 应为对偶问题不可行29.× 应为最优值相等30.× 不一定31.× 影子价格是单位资源对目标函数的贡献32.× 用单纯形法计算；或原问题不可行对偶问题可行时用对偶单纯形法计算33.× 原问题无可行解34.× 求解原问题35.× 应为 max⎨i⎧-bi⎩βir⎫⎧-bi⎫|βir>0⎬≤∆br≤min|β<0⎨⎬ iri⎭⎩βir⎭36.√37.√ 38.× 不一定39.√ 40.× 同时变化时最优解可能发生变化整数规划41.× 取整后不一定是原问题的最优解42.× 称为混和整数规划43.√ 44.√ 45.√ 46.√ 47.× 48.√ 49.× 应是∑axijj=1nj≥bi－Myi50.√目标规划51.× 正负偏差变量全部非负52.√ 53.√ 54.× 至少一个等于零55.√ 56.× 应为minZ=d-57.√ 58.× 一定有满意解59.√ 60.√运输与指派问题61.× 唯一62.× 变量应为6个63.× 一定有最优解64.√ 65.√66.×有可能变量组中其它变量构成闭回路67.√ 68.× 有mn个约束69.√ 70.× r(A)＝m+n－1 71.√ 72.√ 73.× 应为存在整数最优解，但最优解不一定是整数74.× 效率应非负。
正确的方法是用一个大M 减去效率矩阵每一个元素75.× 变化后与原问题的目标函数不是一个倍数关系或相差一个常数关系76.√ 77.√ 78.× 纯整数规划79.√ 80.× 参看第75题网络模型81.× 取图G的边和G的所有点组成的树82.√ 83.× 没有限制84.× 容量之和为割量85.× 最小割量等于最大流量86.√ 87.√ 88.× 最大流量唯一89.× 可以通过多条路线90.× 单位时间内最大通过能力91.√ 92.√ 93.× 不超过最小割量94.× 等于发点流出的合流或流入收点的合流95.× 是求最短路的一种算法96.× 直到有n －1条边97.√ 98.× 满足流量 f ＞0 99.× 最大流量与最大流是两个概念100.× 遍历每一个点。
附录E 选择题答案线性规划 1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C,D 7.B,D 8.A,C,E 9.B,E 10.B,C,E 对偶理论11.D 12.B 13.C,D 14.A,B 15.A,D 16.B,C 17.D 18.C 19.C 20.D整数规划 21.A 22.D 23.A,B,C,D 24.B,D 25.D目标规划 26.B 27.D,E 28.A,C,D,E 29.A,B,C 30.D运输与指派问题 31.A,D 32.A,D,E 33.A,B 34.B,C,D,E 35.A,B,C,D 36.B,D,E 37.A,D 38.A,B,C 39.B,C,D,E 40.A,B,E网络模型 41.B,D 42.C 43.C 44.A,B 45.D 46.C 47.A,C,E 48.A 49.C 50.B填空题答案线性规划1.（决策变量、目标函数和约束条件；目标函数是决策变量的线性函数并且求最大值或最小值、约束条件是决策变量的线性不等式组）2.（-2）3.（-4/3）4.(7,3)5.(6,2),(26)6.(-M),(M)7.(-4,12)8.(0,11/3,5)9.(maxZ=2x1-x2+x3-MR),(2+M,-1+2M,1+M,0,-M,0)10.(minw=R),(-1，-2，-1，0，1，0)11.（非基变量）（0）12.（1）b1≥0,b2≥0,a<-3（2）b1≥0,b2≥0,a=-3,λ=(-2,0,0,0) 13．某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）14．目标函数值大于零线性规划的对偶理论15.（4，-1）16.（0，0）17.（无可行解）18.（80），（3，0，1）19.(-∞，-λj+cj)20.[2,4],[8,16]-21.B1的第i列22.（10，15）23．≤，≤ 整数规划⎧x1+2x2≥5-(1-y1)M⎪⎪4x1-x2≤18+(1-y2)M⎪24.⎨5x1+x2≤30+(1-y3)M⎪y+y+y≥122⎪1⎪⎩yj=0或1，j=1,2,3⎧x1≤6+yM⎪x>6-(1-y)M1⎪⎪25.⎨x2≤4+yM⎪x≥5-(1-y)M⎪2⎪⎩y=0或126.（分枝定界法和割平面法）27.（x1≤3），（x1≥4）28.（s-5x4-5x5＝-1）或（s-5/8x4-5/8x5＝-1/8）29．（1，1）目标规划30.(不低于目标值)，（恰好等于目标值）31.minZ=p1(d1+d1)+p2d2 32.（0，3）及（1，2）33.（9，0，2，0）34.（G4＞G1＞G3＞G2＞G5）运输与指派问题35.（1，2，3，2，6），（4，1，2，2）-+-150⎤⎡15⎢⎥,Z=5502036.（1）X1=⎢⎥⎢⎥100⎣⎦⎡15105⎤⎢⎥,Z=5801010(2)X2=⎢⎥⎢10⎥⎣⎦150⎤⎡15⎢⎥,Z=550(3)X3=⎢⎥⎢100⎥⎣⎦(4)X1,X3最接近最优解37.（闭回路法），（位势法）38.（mn），(m+n)，(m+n－1)39.(不包含任何闭回路)40.（线性规划）41.（求最小值、效率非负、工作数等于人数）42.（B）43.（最少直线数等于m）44.(m+n－1)45．11，30 网络模型46.（连通）47.（所有点）48.（破圈法和加边法）49.（发点vi到点vj的最短路长），（b(j)+wij）50.（Floyd算法）51.（使最大服务距离达到最小、使总运量最小）52.（单位时间内弧的最大通过能力）53.（最大流）54.（fij0）55.（费用）第二篇：运筹学附录D,附录E答案3附录D 判断题答案线性规划1.× 不一定有最优解2.√ 3.×不一定4.√ 5.√ 6.× 是非线性规划模型，但可以转化为线性规划模型7.√ 8.√ 9.×不一定是可行基，基本可行解对应的基是可行基10.√ 11.√ 12.√ 13.√ 14.×原问题可能具有无界解15.√ 16.√ 17.√ 18.√19.√应为|B|≠0 20.×存在为零的基变量时,最优解是退化的；或者存在非基变量的检验数为零时，线性规划具有多重最优解线性规划的对偶理论21.×当原问题是max时。
22.√ 23.× 不一定24.√ 25.× 对偶问题也可能无界 26.（1）× 应为CX*≥Y*b（2）√（3）√（4）√（5）√（6）√ 27.√ 28.× 应为对偶问题不可行29.× 应为最优值相等30.× 不一定31.× 影子价格是单位资源对目标函数的贡献32.× 用单纯形法计算；或原问题不可行对偶问题可行时用对偶单纯形法计算33.× 原问题无可行解34.× 求解原问题35.× 应为max⎨i⎧-bi⎩βir⎫⎧-bi⎫|βir>0⎬≤∆br≤min|βir<0⎬⎨i⎭⎩βir⎭36.√37.√ 38.× 不一定39.√ 40.× 同时变化时最优解可能发生变化整数规划41.× 取整后不一定是原问题的最优解42.× 称为混和整数规划43.√ 44.√ 45.√ 46.√n47.×可行解数小于等于2 48.√ 49.× 应是∑axijj=1nj≥bi－Myi50.√目标规划51.× 正负偏差变量全部非负52.√ 53.√ 54.× 至少一个等于零55.√ 56.× 应为minZ=d-57.√ 58.× 一定有满意解59.√ 60.√运输与指派问题61.× 唯一62.× 变量应为6个63.× 一定有最优解64.√ 65.√66.×有可能变量组中其它变量构成闭回路67.√ 68.× 有mn个约束69.√ 70.× r(A)＝m+n－1 71.√ 72.√ 73.× 应为存在整数最优解，但最优解不一定是整数74.× 效率应非负。
正确的方法是用一个大M 减去效率矩阵每一个元素75.× 变化后与原问题的目标函数不是一个倍数关系或相差一个常数关系76.√ 77.√ 78.× 纯整数规划79.√ 80.× 参看第75题网络模型81.× 取图G的边和G的所有点组成的树82.√ 83.× 没有限制84.× 容量之和为割量85.× 最小割量等于最大流量86.√ 87.√ 88.× 最大流量唯一89.× 可以通过多条路线90.× 单位时间内最大通过能力91.√ 92.√ 93.× 不超过最小割量94.× 等于发点流出的合流或流入收点的合流 95.× 是求最短路的一种算法96.× 直到有n －1条边97.√ 98.× 满足流量 f ＞0 99.× 最大流量与最大流是两个概念100.× 遍历每一个点。