二元一次不等式(组)和平面区域讲课教案
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
数学ⅱ北师大版3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第2课时教案
随堂练习1
1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组 表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3某人预备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格〔以班级为单位〕：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
课题
§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能依照实际问题中的条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
重点
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式〔组〕所表示的平面区域画出来；
难点
把实际问题抽象化，用二元一次不等式〔组〕表示平面区域
教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.〔虚线表示区域不包括边界直线〕
二元一次不等式(组)与平面区域教案
一、题目：
高中数学必修5第三章不等式第3.3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第一课时
二、课程分析：
教材中为了引导学生探究二元一次不等式表示的平面区域，采用了类比一元一次不等式的解集在数轴上的表示法，这是一条很好的思路，教学中应该遵循这一思路展开教学，引导学生进行探究，本课的教学设计也是以这一思路为指导的。另外，教材中的探究过程是在直线上和左上方分别取点P和A，使这两点的横坐标相等，比较纵坐标的大小，进而总结出“同侧同号”的结论。这个探究过程的逻辑是严密的，却也是非实质的，“P与A的横坐标相同”这一限制是多余的，在学生小组活动中可以不用兼顾，只需在直线某侧任意取若干点，把坐标代入直线方程，考察计算结果的符号即可，为了弥补这样做的逻辑缺陷，教师可以在小组活动后统一用代数办法进行证明。
总比a_小__.
2、由此，不等式x>a的解集在数轴上表示为：
不等式 的解集在数轴上表示为：
其中虚心点表示__不包括___a，实心点表示_包括__a。
类比迁移：
1、有序数对（x,y）与__平面坐标上的点
_一一对应，故二元一次不等式（组）的解集可以看成 __直角坐标平面内的点构
成的集合（区域）。
2、直线 上的点都满足直线方程，那么把它两侧点的坐标分别代入方程左端，有何确定的规律呢？
三、学情分析：
学生的基础知识较差，分析问题、解决问题的能力还不成熟，需要依据这一学情对教学活动做如下调整：一是放弃教材中由实际情境引出二元一次不等式的相关概念的设计，改为一句话带过：“在日常生活中，有很多不等关系需要用二元一次不等式（组）来表达。所以本节课我们先来探究二元一次不等式（组）的相关知识，为以后的学习生活打好基础。”这样做是因为学生很可能在寻找不等关系、列不等式组这些动作中花费较多时间。二是在小组合作探究活动之前，教师先引导学生理清探究的思路，定好探究目标。这样可以使时间有限的小组探究活动的效率提高，使每一个同学都能在探究中自己的任务。
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
● (2)在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，这样 做可简化运算过程．
● 注意：要注意Ax＋By＋C>0表示直线l某一侧的平面区域，而不包括边界直线l；Ax＋By＋C≥0表 示的平面区域包括边界直线l.
● 2．二元一次不等式组表示平面区域问题
● (1)不等式组所表示的平面区域应是各个不等式所表示的平面点集的交集剖析
● 题型一 不等式表示的平面区域 ● 【例1】 已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)．其中不在2x＋y<4所表示的平面区域内的点是
________． ● 思路点拨：将点的坐标代入不等式检验即可． ● 【答案】C(2,0)
● 【解析】不等式变形为2x＋y－4<0，对应的直线为2x＋y－4＝0，A点是坐标原点，代入2x＋y－ 4得－4，为负值，即原点A在不等式所表示的区域内，把B，C，D点坐标依次代入2x＋y－4，由 所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧，也就判断了B，C，D三点 能否位于不等式2x＋y<4所表示的平面区域内．
二元一次不等式(组)与平面区域
●1．含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元
一 次 不 等 式 ， 使 不 等 式 成 立 的 _ _ _未_ _知_ _数_ _的_ _值_ _ _ 叫 做 它 的 解 ．
● 2 ． 由 几 个 二 元 一 次 不 等 式 组 成 的 不 等 式 组 称 为 _二_ _元_ _一_ _次_ 不 等 式
● 题型二 由平面区域写出二元一次不等式组 ● 【例2】 在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包含边界)所表示的二元一次
《二元一次不等式(组)与平面区域》教案
《二元一次不等式（组）与平面区域》教案一、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确.教学中也特别提醒学生注意0(0)Ax By C ++><表示区域时不包括边界，而0(0)Ax By C ++常则包括边界.（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想.二、教学重、难点重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.难点：如何确定不等式0(0)Ax By C ++><表示0Ax By C ++=的哪一侧区域.三、教学过程（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪.那么，信贷部应如何分配资金呢？提问：1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？2．设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，由于总资金为25000000元，得到：25000000x y +? ① 3．由于计划从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，共创收30000元以上， 所以(12)(10)3000000x y +?%%4．企业和个人贷款不能为负，所以解:分析题意,我们可得到以下式子25000000,12103000000,0,0.x y x y x y ì+?ïïï+?íïï吵ïïî（二）概念1.二元一次不等式：2.我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式. 我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3．满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.例如二元一次不等式6x y -<的解集为}{(,)6x y x y -< （三）问题: 二元一次不等式6x y -<所表示的图形?在直角坐标系中,所有点被直线6x y -=分成三类: 一类是在直线6x y -=上；二类是在直线6x y -=左上方的区域内的点;三类是在直线6x y -=右下方的区域内的点.尝试：设点P ()11,x y 是直线上的点,任取点A ()22,x y ,使它的坐标满足不等式6x y -<,在图中标出点P 和点A.观察并讨论我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式6x y -<.因此,在直角坐标系中,不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域. 类似地, 不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的平面区域.我们称直线6x y -=为这两个区域的边界.将直线6x y -=画成虚线,表示区域不包括边界.结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0Ax By C ++>表示0Ax By C ++=某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0Ax By C ++?表示区域时则包括边界,把边界画成实线.2、二元一次不等式0Ax By C ++>表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即画线---取点---判断.当0C ¹ 时，常把原点（0，0）作为测试点.（四）举例分析例1、画出44x y +<表示的平面区域分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法. 特别是，当0C ¹ 时，常把原点（0，0）作为测试点.例2、画出36020x y x y ì++?ïïíï-+<ïî表示的平面区域. 例3、用平面区域表示不等式组3122y x x y ì<-+ïïíï<ïî的解集. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（五）小结：（1）懂得画出二元一次不等式0(0)Ax By C ++><在平面区域中表示的图形.（2）注意如何表示边界.。
高中数学二元一次不等式(组)所表示的平面区域
实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域 [教学目标]1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
[教学重点]用二元一次不等式〔组〕表示平面区域；[教学过程]Jack 准备在2006年德国世界杯期间，一边看球，一边去卖点纪念品。
现在他有本钱1000美元，准备投入去购买单价50美元球衣和单价20元足球纪念品，希望使足球纪念品，球衣的总数尽可能多，但足球纪念品数量不多于球衣数量1.5倍，那么Jack 买足球纪念品和球衣各多少才行？一般实际问题的求解步骤如下表：你有．．遇到什么难题了吗？．．．．．．．．．设：．．球衣x 件，足球纪念品y 只，总和为S 1.5502010000,0,y x x y x y x y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩ S=x+y 学生此时应该到第三步，无法解决数学模型的解！二元一次不等式所表示的平面区域对于像上面这样有两个参量控制的取值X 围问题，我们都可以用下面的几何方法来求解。
第一步：研究出问题的约束条件，确定数对〔x,y 〕的X 围第二步：在第一步所得到的数对〔x,y 〕的X 围中，通过图形的方法，找出所求问题达到最大数对的〔x,y 〕我们不妨来画出其中一个32y x ≤练一练〔113x + 〔3〕260y +< 小结：一般地，直线y=kx+b 把平面分成两个部分： __________________________________________________________想一想请根据上面所画的图象时所得到的规律，完成下表B>0 表示的区域是直线0Ax By C ++= B<0 表示的区域是 直线0Ax By C ++= 0Ax By C ++> 0Ax By C ++>0Ax By C ++< 0Ax By C ++<请体会你在研究上面新的问题的过程中，用到了什么样的思想？〔化归〕大家有没有发现判断二元一次不等式所表示的平面区域问题，我们可以有新的方法了???〔由上面规律的总结，发现特殊点法〕如果有这样一个二元一次不等式组变化 1.550201000y x x y ≤⎧⎨+≤⎩如何表示出它的几何意义？我们在必修2中，学过曲线与方程的思想，它有这样两句话 〔1〕以方程0Ax By C ++=的解x,y 为横、纵坐标的点(x,y)都在直线0Ax By C ++=上 〔2〕直线0Ax By C ++=上的任一点〔x,y 〕的横、纵坐标值都是方程0Ax By C ++=的解 那么请你试描述一个关于不等式与曲线的关系 见必修5的教学参考书再变化1.5502010000,0y xx yx y≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，那么又有什么变化？？再再变化1.5502010000,0,y xx yx yx y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩那么又有什么变化？？？如果问题现在倒过来怎么办呢？倒过来：如果给出阴影，如何用不等式表示！小结：我们今天学习了：______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ____作业：书P78页练习4，5 80页1，2，3，4！并阅读P88页上的第7题的阅读题，并写下你的感受！。
必修5课件3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
二、新知探究：
（2）探究
特殊：二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形。
作出x – y = 6的图像——一条直线，
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y = 6上的点 b)在直线x – y = 6左上方区域内 c)在直线x – y = 6右下方区域内
y
6
O
左上方区域
-6
x
x–y=6
右下方区域
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（2）探究
验证：设点P（x，y 1）是直线x – y =
y
x–y=6 x
6上的点，选取点A（x，y 2），使它
的坐标满足不等式x – y < 6，请完成 下面的表格，
O
横坐标 x
–3
–2 -8
–1 -73 -3
3.3.1 二元一次不等 式（组）与平面区域
一、引入:
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000
元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个
人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资
金呢？
问题：应该用什么不等式模型来刻画呢？
二、新知探究：
4 x x+4y―4=0
课堂练习1:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x x
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y
x=1
三、例题示范：
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y
0 x-2y=0
高一数学《二元一次不等式(组)与平面区域》教案
芯衣州星海市涌泉学校探究教学课例—二元一次不等式〔组〕与平面区域2、教学策略选择与设计讨论，从而加深对本节课教学内容的理解，使之形成理性认识．3、教学目的知识与技能：知道二元一次不等式〔组〕的几何意义——表示平面区域；会画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域并能用平面区域表示二元一次不等式〔组〕．过程与方法：通过画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域的过程体会不等式的几何意义；通过详细例子，引导学生会用)1,0(),0,1(),0,0(等特殊点检验不等式0(0)Ax By C ++><所表示的平面区域，由此归纳、猜想确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧的一般方法，即“直线定界，特殊点定域〞的方法．情感、态度与价值观：通过画图的过程训练学生养成用直尺标准作图的良好习惯，认同事物是普遍联络的辩证唯物主义观点，体验一些事物在一定的条件下是可以互相转化的．4、教学内容简单的线性规划是应用数形结合思想解题的重要方法之一，应用线性规划解决“最优化〞问题是数学的一个重大应用．“二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〞是简单的线性规划的重要根底，因此本节课内容重点强调“平面区域〞与“不等式的〔组〕〞的对应关系．而建立这种对应关系的过程可以引导学生自主探究发现．本节课内容的难点在于寻求二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，打破难点的有效方法可以通过对详细例子探究、尝试获得结论，培养学生复杂问题简单化、普遍规律一般化的思维方式．同时探究不等式“定域〞方法时，可以鼓励学生发挥协作精神，采用探究的学习方法，充分调动学生的思维．5、教学重点和难点教学重点：二元一次不等式表示平面区域，体会数形结合思想；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答。
解决难点的关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解。
6、教学过程为了表达课改特色以及结合本节课内容的特点，将本节课设计为“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，详细如下：①完成学案：明确课标对本节课的要求；设计预习导引问题；自主学习、解决部分问题；整理疑问、课上解决．②创设情境、导悟要点→生生互释、教师点拨→小组讨论、探究→魅力精讲、概括升华→理论、成就素能→课堂点评、目的反响．学案的精心设计，可以使学生把感悟时间是是置于课前，有利于培养学生的自学才能、质疑才能、探究才能，做到学生有准备的进入本节课的学习；教学过程中“导悟要点、生生互释、小组讨论、魅力精讲、理论〞的设计表达了“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，唤起学生的主体意识，突出学生的主体地位，培养学生的自主学习、探究问题和勇于创新的才能．7、教学媒介本节课的教学内容设计目的在于通过二元一次不等式表示平面区域来让学生体会到数与形的结合，因此为了进步作图的快捷、图示的准确性和直观性，本节课将恰当使用多媒体进展教学辅助．同时多媒体的引入可直观演示本节课所设计问题及相关习题答案，大大节板书时间是是，进步课堂效率．二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〔导学案〕二、教学过程实录〔一〕创设情境、导悟要点【师生活动】一家银行的信贷部方案年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？同学们陆陆续续列出不等式。
《二元一次不等式(组)与平面区域》教案1
3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第一课时二元一次不等式（组）与平面区域一、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。
始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。
教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想二、教学重点、教学难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域三、教学设计（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪。
那么，信贷部应如何分配资金呢？提问：1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？2．设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，由于总资金为25000000元，得到：①3．由于计划从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，共创收30000元以上，所以（12﹪）+（10﹪）4．企业和个人贷款不能为负，所以解:分析题意,我们可得到以下式子（二）概念1、二元一次不等式：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
3、满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.例如二元一次不等式的解集为（三）问题: 二元一次不等式所表示的图形?在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:一类是在直线上; 二类是在直线左上方的区域内的点;三类是在直线右下方的区域内的点.尝试：设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A.观察并讨论我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域.类似地, 不等式表示直线右下方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界.结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.2、二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即画线---取点---判断。
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
[探究问题] 1．若点 P(1,2)，Q(1,1)在直线 x－3y＋m＝0 的同侧，如何求 m 的取值范 围？ 提示：直线 x－3y＋m＝0 将坐标平面内的点分成三类：在直线 x－3y＋m ＝0 上的点和在直线 x－3y＋m＝0 两侧的点，而在直线 x－3y＋m＝0 同侧点 的坐标，使 x－3y＋m 的值同号，异侧点的坐标使 x－3y＋m 的值异号． 故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)>0，即(m－5)(m－2)>0， 所以 m>5 或 m<2.
3．二元一次不等式(组)的解集概念 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成一个有序数对(x，y)，称为 二元一次不等式(组)的一个 解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二 元一次不等式(组)的 解集 . 思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什 么关系？
[提示] 一一对应．
4．二元一次不等式表示的平面区域及确定 (1)直线 l：ax＋by＋c＝0 把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线 l 上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 . ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c>0，另一侧 平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c<0 .
5．二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的 _公__共__部__分__. 思考：y≥ax＋b 所表示的平面区域与 y>ax＋b 表示的平面区域有什么不 同？如何体现这种区别？
[提示] 前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域 不含该直线上的点．画图时用实线表示前者，用虚线表示后者．
人教B版高中数学必修五备课精选教案二元一次不等式组所表示的平面区域
3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案一、教学目标：1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力； 3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣． 二、教学重点、难点：重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域 难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域． 三、教学方法与手段本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．四、教学过程（一）创设情景，引入新课本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个； （2）把文字语言转化为数学符号语言：（少于100元的钱购买） ⇒ 1002<+y x （1） （大球数不少于10） ⇒ 10≥x ，N x ∈ （2） （小球数不少于20） ⇒ 20≥y ，N y ∈（3）（3）抽象出数学模型： 2x y 100x 10y 20,x,y N +<⎧⎪≥⎨⎪≥∈⎩（二）讲授新课1．二元一次不等式（组）的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形？ 直线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax By C 0++=分为几部分？两部分 以x y 10+-=为例进行直观说明，引出以下概念：每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．以不等式解（x,y ）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次不等式x y 10+->的解集所表示的图形． 问题二：平面内所有的点被直线x y 10+-=分成几类？ 如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线． 平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x y 10+-=上的点；第二类：在直线x y 10+-=左下方的区域内的点；第三类：在直线x y 10+-=右上方的区域内的点． 问题三：每部分中的点都有哪些特点？ 在直线的上方、下方取一些点：上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2） 下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1） 分别把点的坐标代入式子x y 1+-中，会有什么结果？直线上方的点使的x y 10+->；直线下方的点使的x y 10+-<． 猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？x y 10+->；x y 10+-<．由学生自行归纳总结，不要求证明．结论：直线Ax By C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax By C ++的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？ 根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．x概括为：“直线定界，特殊点定域”．特别地，当0≠C时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．问题六：0≥++CyAx B表示的平面区域与0>++CyAx B表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．（三）应用新知，练习巩固例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2x y30-->；（2）3x2y60+-≤．设计以下几个问题:(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?学生完成，师指导．例2．画出下列不等式组表示的平面区域（1）2x y10x y10-+>⎧⎨+-≥⎩（2）2x3y202y10x30-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩设计以下几个问题：(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)(2)第二小题中加上条件x,y N∈，又会是什么图形呢？多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：x,y满足的数学关系式为：4x y1018x15y66x0y0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．（四）课堂小结知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域2．判定方法:“直线定界，特殊点定域”．小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)；如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)．思想方法上：数形结合的数学思想方法．（五）布置作业大屏幕展示思考题：（再次回到引例）为下一节课做准备。
二元一次不等式(组)的平面区域教案
二元一次不等式（组）的平面区域教案教学设计3．5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域整体设计教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用．然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型．教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法．其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示．本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程．能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题的重要基础．由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的几何意义，以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．③注重探究手段．信息技术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直线Ax＋By＋C＝0一侧的点P(x，y)的坐标进行跟踪显示，并将点P(x，y)的坐标代入Ax＋By ＋C中，观察所得值的符号，由学生发现处于直线Ax＋By＋C＝0同侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号都相同，直线Ax＋By＋C＝0异侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号不同，由此得到判定Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．三维目标1．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．2．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神．重点难点教学重点：会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式(组)的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究．思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)比较，引出二元一次不等式(或组)的概念．由此展开新课．推进新课新知探究提出问题1 让学生阅读教材，并回答什么是二元一次不等式 组 ？其解集是什么？2 二元一次不等式解集的几何意义是什么？3 怎样判断二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域？4 直线Ax＋By＋C＝0将平面内的点分成了哪几类？活动：教师引导学生得出二元一次不等式(组)的概念后，借助多媒体课件进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直线l：x＋y－1＝0为例．如图．由直线方程的意义可知，直线l上的点的坐标都满足l的方程，并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程．事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内．如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＞0，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点在直线x＋y－1＝0的右上方．(－1,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＝0，(－1,2)点在直线x＋y－1＝0上．(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＜0，(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点在直线x＋y－1＝0的左下方．如图．因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立．这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立．一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分．直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．如把(0,0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.这说明x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x ＋y－1＝0的同一侧．如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．讨论结果：(1)含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象．(3)取点验证．(4)将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧．应用示例例1(教材本节例1)活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域．要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确．注意开区域和闭区域边界的画法．教师要给出示范．直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界．点评：本例的关键是正确画出直线2x－y－3＝0和3x＋2y－6＝0.阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.变式训练画出以下不等式表示的平面区域．(1)x－y＋1＜0；(2)2x＋3y－6＞0；(3)2x＋5y－10≥0;(4)4x－3y≤12.解：(1)(2)(3)(4)例2画出不等式组x＋3y＋6≥0，x－y＋2活动：教师引导学生正确画出边界直线，注意虚线、实线，同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域，将平面区域的公共部分用阴影表示出来．解：x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．如下图阴影部分．点评：在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.变式训练1．画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域．解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如下图中的阴影部分．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．引导学生观察所画出的图形是个封闭图形，三条直线两两相交的交点是个实点．2．若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．答案：74解析：在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，以及直线x＋y＝a从a＝－2到1连续变化时，动直线扫过A中的那部分区域．可以看出，该区域是四边形OCDE(如图)，且C(－2,0)，D(－12，32)，E(0,1)．因此所求区域的面积为12×2×2－12×1×12＝74.例3画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．活动：教师引导学生将题中不等式转化为两个不等式组：x＋2y＋10或x＋2y＋1>0，x－y＋4然后由学生自己操作，教师指导学生严格按要求画图．解：不等式可转化为不等式组：x＋2y＋1>0，x－y＋40表示的区域，如下图．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式训练1．在平面直角坐标系中，由满足不等式组3x－y－8≤0，x≥y，x＋y≥0的点组成的图形为F，则A(4,4)、B(5,0)、C(2，－1)三点中，在F内(含边界)的所有点是________．答案：A、C解析：由题意，如图，A(4,4)、C(2，－1)在区域内，B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证)．2．已知点A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2x＋y＜4所表示的平面区域内的点是________．答案：C(2,0)解析：不等式可变形为2x＋y－4＜0，对应的直线为2x＋y－4＝0.A点是坐标原点，代入2x＋y－4得－4＜0，即原点A在不等式所表示的区域内．把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧．可判断出C(2,0)符合条件．(或将点代入验证)点评：此类型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.例4(教材本节例3)活动：教材安排本例的目的是分散难点．首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决．教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来．由于变量x、y题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成.变式训练甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表：甲乙丙毒素A(单位/千克)600700400毒素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)4911某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56000单位，毒素B 不超过63000单位.用x、y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域．解：由已知，得x＋y＋z＝100，∴M＝4x＋9y＋11z＝4x＋9y＋11(100－x－y)＝1100－7x－2y.又600x＋700y＋(100－x－y)≤56000，800x＋400y＋500(100－x－y)≤63000，∴2x＋3y≤160，3x－y≤130，x＋y≤100，x≥0， y≥0.表示的区域如下图所示：知能训练1．画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域．2．某人上午7：00乘汽车以匀速v1千米/时(30≤v1≤100)从A地出发到距300km的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4≤v2≤20)从B地出发到距50km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是() 3．在平面直角坐标系中，不等式组x＋y－2≥0，x－y＋2≥0，x≤2表示的平面区域的面积是()A．42B．4C．22D．24．若a≥0，b≥0，当且仅当x≥0，y≥0，x＋y≤1时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于()A.12B.π4C．1D.π25．本节探索与研究本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行，让其明白其结论的原理．在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事．实际画图时，也并不需要画出直线的法向量，只需取点验证即可．因此本内容不宜对一般学生进行，以免冲淡了本节的主题．答案：1．解：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入2x＋y－6，因为2×0＋0－6＝－6＜0，所以原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6＜0表示的区域如左下图所示．2．B解析：由题意得xv1＝300，yv2＝50，9≤x＋y≤14，而30≤v1≤100,4≤v2≤20，则不等式组变化为3≤x≤10，2.5≤y≤12.5，9≤x＋y≤14. 3．B解析：画出不等式组表示的平面区域如图．可知面积＝12×4×2＝4.4．C解析：由ax＋by≤1恒成立知，当x＝0时，by≤1恒成立，∴0≤b≤1；同理0≤a≤1，∴以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1.课堂小结1．由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域(不包括边界直线)．2．教师画龙点睛．比较是最好的学习方法，通过两个不等式的比较，寻找出共同的规律，进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论．画图是我们的弱点，而准确画图是学好这部分内容的关键，要有意识地加强这方面的训练．作业习题3—5A组1、2；习题3—5B组1.设计感想1．本小节设计注重了学生的动手操作能力，因为技能的学习必须亲身体验获得．强化格式的规范也相当重要，在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现．2．本小节设计注重了方法的启发引导：从特殊到一般，化陌生为熟悉，先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面区域．让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程，这是本节的主要环节．备课资料一、备用习题1．已知点P1(0,0)、P2(1,1)、P3(13，0)，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是()A．P1、P2B．P1、P3C．P2、P3D．P22．不等式x－2y＋6＞0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的() A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方3．不等式组 x－y＋5 x＋y ≥0，0≤x≤3表示的平面区域是一个() A．三角形B．矩形C．梯形D．直角梯形4．不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积为________．5．直线3x＋y－3＝0上位于x轴下方的一点P到直线x－y－1＝0的距离为32，则P点坐标为________．6．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式组________表示．7．画出不等式x2＋xy－2y2＋3y－1＜0表示的平面区域．8．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？参考答案：1．C解析：将点代入验证．2．B解析：取特殊点(0,0)验证．3．C解析：不等式组 x－y＋5 x＋y ≥0，0≤x≤3，可转化为x－y ＋5≥0，x＋y≥0，0≤x≤3或x－y＋5≤0，x＋y≤0，0≤x≤3，画图即可．4．8解析：去掉绝对值符号后，可得该不等式表示的区域面积为12×2×2×4＝8.5．(52，－92)解析：设P(t,3－3t)，P在x轴下方，则3－3t＜0.∴t＞1，d＝|t－ 3－3t －1|2＝32，|t－1|＝32.由t＞1，得t＝52.于是P(52，－92)．6.x＋2y2x－y7．解：x2＋xy－2y2＋3y－1＜0 (x－y＋1)(x＋2y－1)＜0x －y＋1>0，x＋2y－10.其表示的平面区域如图阴影部分(不包括边界)所示．8．解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得60x＋70y≤500，x≥3且x∈N，y≥2且y∈N.二、二元一次方程组的图象解法看一个二元一次方程y＝2x＋3，我们可以列表把这个方程的解表示出来：在坐标平面内描点、画图(如图)．这样得出来的图形就是二元一次方程y＝2x＋3的图象．图象上每一个点的坐标，如(－3，－3)就表示方程y ＝2x＋3的一个解x＝－3，y＝－3.对比一次函数的图象，不难知道，二元一次方程y＝2x＋3的图象就是一次函数y＝2x＋3的图象，它是一条直线．引申：怎样利用图象解二元一次方程组呢？看下面的例子：x＋y＝3，①3x－y＝5.②先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象(如图)．由方程①，有过点(0,3)与(3,0)画出直线x＋y＝3.由方程②，有过点(0，－5)与(53，0)画出直线3x－y＝5.两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公共解，交点坐标是(2,1)，所以原方程组的解是x＝2，y＝1.这与用代入法或加减法解得的结果相同．提问在解二元一次方程组时，会遇到其中一个方程是x＝3或y＝2这种形式．x＝3或y＝2的图象是怎样的呢？方程x＝3可以看成x＋0•y＝3，它的解列表为X…3333…y…－1012…可以看到，无论y取什么数值，x的值都是3，所有表示方程x＝3的解的点组成一条直线，这条直线过点(3,0)，且平行于y轴．这条直线就是方程x＝3的图象，即直线x＝3(如图)．同样，方程y＝2的图象是过点(0,2)，且平行于x轴的一条直线，即直线y＝2(如图)．。
二元一次不等式(组)与平面区域第一课时教案
第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域一、学习目标1．知识与技能(1)准确判断二元一次不等式表示的平面区域.（难点）(2)会画出二元一次不等式(组）表示的平面区域.（重点）(3)会根据实际问题中的不等关系列出二元一次不等式组.(4)会利用二元一次不等式组表示平面区域，解决一些较简单的问题.（难点）2.过程与方法通过二元一次不等式(组)表示平面区域的探索，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力，进一步巩固数形结合、分类讨论、化归的数学思想，以及由具体到抽象、由特殊到一般的推理方法．3.情感、态度与价值观在问题的发现、猜想和论证的过程中，让学生感受成功的体验，激发学习的兴趣．二．重点难点教学重点：二元一次不等式(组)表示的平面区域．教学难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．三．专家建议运用数形结合的思想方法，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形，用代点法并结合多媒体课件动态演示突破难点．四．教学方法自学----练习---点拨-巩固训练五．教学过程●新课导入一名刚参加工作的大学生为自己制定的用餐标准是每月最少支出240元，又知其他费用每月最少支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？问题1：应该用什么不等式模型来刻画呢？设用餐费x元，其他费用y元，由题意知，满足下面不等式：问题2：如何在平面直角坐标系中，确定不等式组表示的区域？请进入本节课的学习！●新知探究探究点1 二元一次不等式表示的平面区域思考1：下列各集合所表示的点的集合分别是什么图形？⑴{（x，y)│x=0}；{（x，y）│x >0}；{（x，y）│x≤0}⑵{（x，y）│y=0}；{（x，y）│y＞0}；{（x，y）│y≤0}思考2 集合{（x，y）│x+y-1=0}表示的点的集合是什么图形？提示：过点（0，1）和（1，0）的一条直线.思考3 下面两个集合表示的点的集合又是什么图形呢？①{（x，y）│x+y-1＞0}；②{（x，y）│x+y-1＜0}猜想：表示平面区域，下面我们来具体研究！问题1.在同一坐标系中描出下列各点，并判断各点与直线l：x+y-1=0的位置关系A（-1，2），B（-1，3），C（-1，1），D（1，2），E（-2，2）.点A在直线l上，点B，D在直线l的右上方，点E，C在直线l的左下方.问题2.在直角坐标系中，所有的点被直线l：x+y-1=0分成几类？试说出分类的情况.提示：两类：点在直线l上；点不在直线l上（即点在直线l外）或三类：点在直线l上；点在直线l的右上方的平面区域内；点在直线l的左下方的平面区域内问题3 在直线l上的点的坐标（x，y）满足方程x+y-1=0，不在直线l上的点的坐标（x，y）不满足方程x+y-1=0，即有x+y-1≠0，x+y-1≠0包括哪些情况？（x+y-1>0 或x+y-1<0）猜想：在直线l：x+y-1=0右上方的点（x，y），x+y-1____0；对直线l左下方的点（x，y），x+y-1 0.（填＞、＝、＜)问题4：如何用阴影部分表示各图形？我们已经知道x+y-1>0表示直线l：x+y-1=0某一侧所有点组成的平面区域.问题5：怎样判断二元一次不等式x+y-1>0表示直线l：x+y-1=0哪一侧平面区域？一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0，在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0________________. 我们把直线画成_______以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成______.由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点.直线定界，特殊点定域例1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2x-y-3>0; (2) 3x+2y-6≤0.解: (1)所求区域不包含直线，用虚线画出直线l:2x-y-3=0.将原点的坐标（0,0）代入2x-y-3，得2×0-0-3=-3<0,这样，就可以判定不等式2x-y-3>0所表示的区域与原点位于直线2x-y-3=0的异侧，即不包含原点的那一侧，如图阴影部分.(2)所求区域包含直线l,用实线画出直线l：3x+2y-6=0.将原点的坐标（0,0）代入3x+2y-6,得3×0+2×0-6=-6<0，这样，就可以判定不等式3x+2y-6≤0所表示的区域与原点位于直线3x+2y-6=0的同侧，即包含原点的那一侧（包含直线l）,如图阴影部分.探究点2 二元一次不等式组表示的平面区域思考1.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集还是并集？提示：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足不等式组中的每一个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集.思考2.每一个二元一次不等式组都能表示平面上的一个区域吗？提示：不一定，当不等式组解集为空集时，不等式组不表示任何平面区域.例2．画出下列不等式组所表示的平面区域.（1）2x y10 x y10-+>⎧⎨+-⎩≥（2）2x3y20 2y10x30-+>⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤解：（1）在同一个直角坐标系中，作出直线：2x-y+1=0（虚线），x+y-1=0（实线）.用上一节中的选点方法，分别作出不等式2x-y+1>0,x+y-1≥0所表示的平面区域，则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域，如图中的阴影部分.（2）在同一个直角坐标系中，作出直线：2x-3y+2=0（虚线），2y+1=0（实线），x-3=0（实线）.用上一节的选点方法，分别作出不等式2x-3y+2>0,2y+1≥0,x-3≤0所表示的平面区域，则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域，如图中阴影部分.探究点3 二元一次不等式组表示实际问题思考1.用二元一次不等式组表示实际问题的实质是什么.提示：二元一次不等式组表示实际问题的实质就是将实际问题中的不等关系用不等式组表示出来.思考2.用二元一次不等式组表示实际问题中不等关系的依据是什么？提示：可依据实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义列出所有不等式.例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,如果在此基础上进行生产，设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 解：x 和y 所满足的数学关系式为：41018156600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 分别画出不等式组中，各不等式所表示的平面区域，然后取交集，如图中阴影部分，就是不等式组所表示的区域.● 课堂总结1.会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域，并熟记“直线定界，特殊点定域”.2.会用选点法判断二元一次不等式组表示的平面区域.3.二元一次不等式组表示平面区域：各个不等式所表示平面区域的公共部分.七．当堂检测1..不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=0( ) A.上方的平面区域(不包括直线) B.上方的平面区域(包括直线) C.下方的平面区域(不包括直线) D.下方的平面区域(包括直线) 【答案】.B学习目标(1)准确判断二元一次不等式表示的平面区域.（难点） (2)会画出二元一次不等式(组）表示的平面区域.（重点） (3)会利用二元一次不等式组表示平面区域，解决一些较简单的问题.（难点）探究点 1 2． 3．典例分析 例1 例2 例3学生练习小结： 作业 当堂检测反馈2．画出不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域． 【答案】先画直线2x ＋y －6＝0(画成虚线)． 取原点(0,0)，代入2x ＋y －6， 因为2×0＋0－6＝－6<0， 所以原点在2x ＋y －6<0表示的平面区域内，不等式2x ＋y －6<0表示的区域如图阴影部分．3.在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为 ( )A.2B.32C.322D ．2【答案】.B4．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为【答案】画出三条直线（实线），并用阴影表示三角形区域，如图所示．故可表示为：20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩5.某市政府准备投资1200万元兴办一所中学.经调查,班级数量以20至30个班为宜,每个初,高中班硬件配置分别为28万元和58万元.将办学规模(初,高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来. 【答案】设初中x 个班,高中y 个班,此时办学所需资金为(28x +58y )万元.市政府准备投资1200万元,则28x +58y ≤1200;班级数量是非负整数,且要满足20≤x +y ≤30，即满足28581200,20,30,,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈⎩ N.所以，办学规模应是阴影部分的整数点所表示的规模.。
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》教案2 新人教A版必修5
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】新授课
高二数学教·学案
课后反思：。
人教数学必修五33二元一次不等式组与平面区域
(B ) D．无数个
(5,0)．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.1
x＋y≤1， 3．画出二元一次不等式组x≥0，
y≥0
表示的平面区域，则
1
本 讲
这个平面区域的面积为____2____．
栏 目
解析 平面区域如图所示．
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.1
4．根据下列平面区域，写出它们所对应的二元一次不等 式(组)．
不等式表示为 x－y－6>0.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.1
探究点一 二元一次不等式表示的平面区域
问题 在平面直角坐标系中，画出直线 x－y＋2＝0，并标出
本 讲
以下九点：O(0,0)，A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)，D(1,0)，
栏 目
E(0，－1)，F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)．
3.3.1
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点的坐标(x，y)代入
Ax＋By＋C，所得的符号都 相同 ．
(2)在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧取某个特殊点(x0，y0)，
本
由 Ax0＋By0＋C 的符号就可以断定 Ax＋By＋C>0 表示
讲 栏
语言的理解和应用．
2．解决线性规划问题的基本方法是图解法，它的实质是数形
结合思想方法的具体体现．
填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.1
1．二元一次不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，这组
本
约束条件都是关于 x、y 的 一次 不等式，所以又称为线性
讲 栏
§4.1__二元一次不等式(组)与平面区域
§4.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）宜黄县安石中学 万 杰教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)，(1,0)或(0,1)特殊点去检验不等式0Ax By c ++>（0<）表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式0Ax By c ++> （0<）表示直线0Ax By c ++=的哪一侧区域.教学过程：问题提出:一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元,又知其他费用最少需支出180元，而每月用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？设用餐费为x 元，其他费用为y 元，由题意知x 不小于240，y 不小于180，x 与y 之和不超过500，用不等式组可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+180240500y x y x 如果将上述不等式组的一个解),(y x 看作平面直角坐标系上的一个点，那么使问题转化为：确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域（一）引入：点集{(,)|10}x y x y +-=是以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的集合，它是一条直线，经过(1,0)和(0,1)，那么点集{(,)|10}x y x y +->在平面直角坐标系中表示什么图形呢？（二）新课讲解：1．尝试、猜想、证明在平面直角坐标系中，所有的点被直线10x y +-=分成三类：一类是在直线10x y +-=上；二类是在直线10x y +-=的右上方的平面区域内；三类是在直线10x y +-=的左下方的平面区域内.对于任意一个点(,)x y ，把它的坐标代入1x y +-，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(,)x y 在直线上、在直线右上方、在直线左下方？ 猜想结论：对直线10x y +-=右上方的点(,)x y ，10x y +->；对直线10x y +-=左下方的点(,)x y ，10x y +-<．证明结论：如图，在直线10x y +-=上任取一点00(,)P x y ，过P 作平行于x 轴的直线0y y =，在此直线上点P 右侧的任意一点(,)x y ，都有0x x >，0y y =，所以，00x y x y +>+，00110x y x y +->+-=，因为点00(,)P x y 为直线10x y +-=上任意一点，所以，对于直线10x y +-=右上方任意点(,)x y ，都有10x y +->，同理对于直线10x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有10x y +-<，所以，结论得证.2．得出结论一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。
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§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
董燕
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式
（组）表示的平面区域。
【教学难点】
如何确定不等式0(
Ax By C
++>或<0)表示0
Ax By C
++=的哪一侧区域.
【教学过程】
一．创设情境，引出问题
在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。
数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。
前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。
（板书课题）
现看一个实际例子：
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？
问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？
教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？
2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？
3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？
把实际问题转化数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
（把文字语言转化符号语言）
（资金总数为25 000 000元）⇒25000000
x y
+≤
（1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x+(10%)y30000
≥即12103000000
x y
+≥
（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0
x y
≥≥
（3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
25000000
12103000000
0,0
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥≥
⎩
二．新课解读
（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义:
问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？
教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集:
1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。
也就是直角坐标系内的点构成的集合。
2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。
（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法:
1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？
是数轴上的区间。
2.探究:
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？
我们先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
问题4：在平面直角坐标系中，x-y=6表示什么图形？
教师引导：x-y=6即y= x-6，是直线方程，画出直线，直线上点的坐标（x，y）满足方程x-y=6。
问题5：二元一次不等式x-y<6即y> x-6的解集与y= x-6的解集有什么关系？满足x-y<6的点在哪个区域呢？满足x-y>6的点在哪个区域呢？
教师引导：取几个特殊点代入
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式
x-y<6，请同学们完成下面的表格：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，归纳总结：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
（1）（2）
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图（2）
直线x-y=6叫做这两个区域的边界。
由特殊例子推广到一般情况：
3结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
问题6：你能归纳出判断二元一次不等式表示平面区域的方法吗？试试看
4．方法：判断二元一次不等式表示平面区域的方法：
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x
,y
),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0
表示直线的
哪一侧区域，C≠0
时，常把原点作为特殊点。
三．典例教学，巩固新知
例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。
（让学生按照总结的方法，在坐标系中画出不等式x+4y<4表示的平面区域，教师检查学生画图的情况。
）
师启发：“你们是怎么画出图像的？谁能总结一下画图的过程？”
解：先画直线44
x y
+=（画成虚线）.
取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44
x y
+<表示的平面区域内，不等式44
x y
+<表示的区域
如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特殊地，当0
≠
C时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式12
3
4≤
-y
x所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1
≥
x所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组
312
2
y x
x y
<-+
⎧
⎨
<
⎩
的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式312
y x
<-+表示直线312
y x
=-+右下方的区域，2
x y
<表示直线
2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解
集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-300
5x y x y x 表示的平面区域。
变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）
四．课堂小结
（让学习自己总结：学到了什么知识？掌握了什么方法？还有什么问题？教师再指导补充。
） 1、小结：
（1）二元一次不等式表示平面区域： 是直线某一侧所有点组成的平面区域。
（2）二元一次不等式组表示平面区域： 是各个不等式所表示平面区域的公共部分 （3）判断方法：直线定界，特殊点定域。
五．作业布置
布置作业：课本P 练习1、2、3。