有序Banach空间非线性四阶边值问题的正解

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Banach空间中一类四阶两点边值问题的正解的存在性

Banach空间中一类四阶两点边值问题的正解的存在性姚晓闺;彭宜青【摘要】利用Darbo不动点定理，研究了Banach空间中一类四阶两点边值问题x（4）（t）＝f（t，u（t），u″（t）），t∈I，x（0）＝x′（1）＝x″（0）＝x （1）＝θ，正解的存在性。

并给出了例子用来阐明该文的结果。

%In this paper,by using the Darbo-fixed-point theorem,the existence of positive solution for the fourth-order two-point boundary value problemx(4)(t)=f(t,u(t),u″(t)),t∈I, x(0)=x′(1)=x″(0)=x(1)=θin Banach spaceE is studied,whereI=[0,1],f∈C[I×E×E,E].θis the zero element ofE.As an applica-tion,one example to demonstrate our results is given.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】6页(P43-48)【关键词】Banach 空间;正解;不动点;四阶两点边值问题【作者】姚晓闺;彭宜青【作者单位】中国人民解放军陆军军官学院基础部数学教研室，230031，安徽省合肥市;中国人民解放军陆军军官学院基础部数学教研室，230031，安徽省合肥市【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionRecently,the existence and uniqueness of positive solutions to the fourth-order boundary value problem have been studied extensively (see,for example,[1-4] and references therein).However,to the author’s knowledge,few papers can be found in the literature for the existence of positive solutions to fourth-order differential equations in Banach space.For example,in [1],the author studies the existence of positive solutions to the following fourth-order two-point boundary value problem x(4)(t)=f(t,u(t),u″(t)), t∈I,x(0)=x′(1)=x″(0)=x‴(1)=0,with the uppe r and lower solution method,where I=[0,1],f∈C[I×R×R,R].So in this paper,we are interested in the existence of positive solutions of the following fourth-order two-point boundary value problem (BVP):x(4)(t)=f(t,u(t),u″(t)),t∈I,(1.1)x(0)=x′(1)=x″(0)=x‴(1)=θ,(1.2)in Banach space E,where I=[0,1],f∈C[I×E×E,E].θ is zero element of E.For abstract space,it is here worth mentioning,Guo and Lakshmikantham[5] discuss the multiple solutions of two-point boundary value problems of ordinary differential equations in Banach spaces.The aim of the present paper is to establish some simple criteria for the existence of positive solutions of the BVP (1.1)-(1.2) in Banach space E.The key tool in our approach is the following Fuzzy Darbo Sadovskii Fixed PointTheorem [6,7].Theorem1.1[6,7] Let K⊂C(I,En) be a nonempty closed bounded convex subset.If(1) T:k→k is a continuous operator;(2) α(TB)≤ρ(α(B)),for every B⊆K. Where ρ:[0,∞)→[0,∞)is a right continuous function with ρ(r)<r,∀r>0. Then T has a fixed point in K.The paper is organized as follows.The preliminary lemmas are in Section 2.In Section 3,we discuss the existence of positive solutions.Finally,in Section 4,we give one example to illustrate our results.Let the real Banach space E with norm ‖·‖ be partially ordered b y a cone P of E,i.e.,x≤y if and only if y-x∈P,and P* denotes the dual cone of P.Denote the normal constant of P by N (see [8]),i.e.,θ≤x≤y implies ‖x‖≤N‖y‖.For arbitrary x∈C[I,E],evidently,(C[I,E],‖·‖) is a Banach space with x(t)‖. Clearly,Q={x∈C[I,E]|x(t)≥θ for t∈I} is a cone of the Banach space C[I,E].A function x∈C4[I,E] is called a positive solution of BVP (1.1)-(1.2) if it satisfies (1.1)-(1.2) and x∈Q,x(t)≠θ.For a bounded set S in a Banach space,we denote α(s) the Kuratowski measure of noncompactness (see [9-11],for further understanding).In this paper,we denote α(·) the Kuratowski measure of noncompactness of a bounded set in E and in C[I,E].Let x(t)∈C[[0,1],E],t0∈[0,1], if there exist z0∈E,such thatThen,x(t) is differentiable on t=t0.similarly,we can define the derivative of higher order for x(t) on t=t0.2 The preliminary lemmasLemma 2.1 Let ,Then the two-point boundary value problem(2.1)x(0)=x′(1)=θ(2.2)has a unique solution x(t)= on C2[I,E]∩Q. WhereProof The proof of this Lemma is easy,so we omit it.Lemma 2.2 Let f∈C[I×E×E,E],then the BVP(1.1)-(1.2) has a solution x=x(t) on C4[I,E]∩Q if and only if x is a solution of the operator equation(2.3)Where(2.4)Proof The proof of this Lemma is easy,so we omit it.From (2.4),it is clearly thatSoIn the following,the closed balls in spaces E and C2[I,E] are denoted by Tl ={x∈E|‖x‖≤l} and Bl={x∈C2[I,E],,≤l}(l>0),respectively.Lemma 2.3 Let f ∈C[I×E×E,E].Suppose that,for any l>0,f is uniformlycontinuous and bounded on I×Tl×Bl and there exist constants Cl≥0,, with such that(2.5)Then,for any l>0,operator A is a strict-set-contraction on Bl∩Q. That is there exists a 0≤Kl<1, such that for any S⊂Bl∩Q,α2(A(s))≤Kl·α2(S).Proof Since f is uniformly continuous and bounded on I×Tl×Bl,we see from (2.3) that A is continuous and bounded on Bl∩Q. Now,let S⊂Bl∩Q be arbitrary given.By virtue of (2.3),it is easy to show that the functions{Ax|x∈S} are uniformly bounded and equicontinuous,and so by [11],(2.6)By [12,Theorem 1.2.6],we see thatwhere(A(S))(t)={(Ax)(t)|x∈S,t∈I},(A′(S))(t)={(Ax)′(t) |x∈S,t∈I},(A″(S))(t)={(Ax)″(t)|x∈S,t∈I}.By (2.5) and using the obvious formula for any x∈C[I,E],while , we find(2.7)where D1={x(s)|s∈I,x∈S}⊂Tl,D2={x″(s)|s∈I,x∈S}⊂Bl.Similarly,we can getFor any given ε>0,there exists a partition with(2.8)Now,choose xj∈Sj(j=1,2,…,n) and a partition 0=t0<t1<…<ti<…<tm=1 such that(2.9)Clearly,,where Dij={x(t)|t∈[ti-1,ti],x∈Sj};and ,where Fij={x″(t)|t∈[ti-1,ti],x∈Sj}.For any two x(t),∈Dij;(t,∈[ti-1,ti],x,∈Sj),we have,by (2.8) and (2.9),which implies diam(Dij)≤2α2(S)+ε,and soα(D1)≤2α2(S)+ε.Similarly,diam(Fij)≤2α2(S)+ε,and so α(D2)≤2α2(S)+ε.Since ε is arbitrary,we getα(D1)≤2α2(S),α(D2)≤2α2(S).(2.10)It follows from (2.6),(2.7) and (2.10) thatand consequently A is a strict-set-contraction on S⊂Bl because of3 Main theoremsIn the following for convenience,we list some conditions which will be used: (H1) Let f ∈ C[I×E×E,E].Suppose that,For any l>0,f is uniformly continuous and bounded on I×Tl×Bl and there exist con stants ,such thatWhereM(r)=sup{‖f(t,u,v)‖|t∈I,u∈Tl,v∈Bl}.Theorem 3.1 If conditions (H1) and (H2) are satisfied,then the BVP (1.1)-(1.2) has at least one positive solution x∈C4[I,E].Proof From Lemma 2.2,the BVP (1.1)-(1.2) has a solution x∈C4[I,E] if and only if x is the fixed point of A.Because (H1) is satisfied,and from Lemma 2.3,we can get that the operator A:Bl→C2[I,E] is a strict-set-contraction. By (H2),there exists r*>0 such that for any x∈Br*,.‖x‖2=max{‖x‖C,andSimilarly,we can getSoA:Br*→Br*.Because the Br* is a nonempty closed bounded convex subset,by virtue of Darbo fixed points Theorem,the operator A has a fixed point on Br*,and that fixed point is the solution of the BVP (1.1)-(1.2) on C4[I,E].4 One exampleIn this section,in order to illustrate our results,we consider an example. Example 4.1 Consider the system of ordinary differential equations:(4.1)(4.2)Set E=C0={u=(u1,…,un,…)|un→0},where ‖u‖=supn|un|,then we can deal with the BVP (4.1)-(4.2) as the BVP (1.1)-(1.2) on E=C0,whereclearly,f∈[I×E×E,E].Let t∈I,l>0,D1⊂Tl,D2⊂Bl,∀ε>0,{um}⊂D1,{vm}⊂D2, whereu(m)=(u1(m),u2(m),…,un(m),…),v(m)=(v1(m),v2(m),…,vn(m),…),and(4.3)so the set {fn(t,um,vm)} is bounded.Taking {mi}⊂{m} with diagonal method,and thenfn(t,u(mi),v(mi))→ωn.(i→∞)(n=1,2,…)(4.4)From (4.3),we can get(4.5)and soω=(ω1,ω2,…,ωn,…)∈C0=E.By (4.4) and (4.5),there exists n0,such that ∀ε>0, when n>n0,|fn(t,u(mi),v(mi))|<ε,|ωn<ε|.(4.6)From (4.4),there exists i0,such that,when i>i0,|fn(t,u(mi),v(mi))-ωn|<ε,(n=1,2,…,n0).(4.7)and from (4.6),we can getso‖f(t,u(mi),v(mi))-ω‖→0,α(f(t,D1,D2))=0,(i→∞),then the condition (H1) is satisfied.Again,sothenandthen the condition (H2) holds.Hence,by Theorem 3.1,the BVP (4.1)-(4.2) has at least one positive solution on Tl.References:[1] Ma Ruyun,Zhang Jinhui,Fu Shengmao.The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems[J].Journal of mathematica Analysis and Applicaions,1997(215):415-422.[2] Yao Qingliu,Bai Zhanbing.The existence of positive solutions to the boundary value problem u(4)(t)-λh(t)f(u(t))=0[J].Chinese Annals of Mathematics,1999(20):575-578.[3] Zhang Binggeng,Kong Lingju.The existence of positive solutions to thefourth-order singular boundary value problem[J].Chinese Annals of Mathematics,2001(22):397-402.[4] Wei Zhongli.The positive solution to the fourth-order singular boundary value problem[J].Acta Mathematic Sinica,1999(42):715-722. [5] Guo D,Lakshmikantham V.Multiple solutions of two-point boundary value problems of ordinary differential equations in Banach spaces[J].Math Anal Appl,1988(129):211-222.[6] DUBIOS D,PRADE H.Towards fuzzy differential calculus.Part1:integration of fuzzy maooing[J].Fuzzy Sets and Systems,1982(8):81-87. [7] DUBIOS D,PRADE H.Towards fuzzy differential calculus.Part2:integration of fuzzy maooing[J].Fuzzy Sets and Systems,1982(8):105-116.[8] Guo Dajun.Positive solutions of nonlinear equations and its applications to nonlinear integral equations[J].Adv Math,1984(13):294-310.[9] Guo Dajun,Lakshmikantham V,Liu Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces[M].Dordrecht:Kluwer Academic,1996.[10] Demling K.Ordinary differential equations in banachspaces[M].Berlin:Springer-Verlag,1997.[11] Lakshmikantham V,Leela S.Nonlinear differential equation in abstract Spaces[M].London:Pergraman Press,1981.[12] Yao Xiaogui.Positive Solutions of a nonlinear four-point boundary value problem in banach spaces(II)[J].Journal of Qufu NormalUniversity(Natural Science),2007,33(3):43-47.[13] Yao Xiaogui,Wang Jingshan.Positive solutions of a nonlinearemph{n}th order boundary value problem with nonlocal conditions inBanach Spaces[J].Journal of Qufu Normal University(Natural Science),2010,36(2):38-44.。

Banach空间中四阶两点边值问题的正解

Banach空间中四阶两点边值问题的正解李强【摘要】Consider the existence of positive solutions to the fourth-order two-point boundary value problem {u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)),t∈[0,l],u(0) =u(1) =u″(0) =u″(1)=θ where α: [0,1]→R,f: [0,1] ×E→E are continuous. Under the certain conclusions on the first eigenvalue of the relevant linear differential equation, the existence and multiplicity results of positive solutions are obtained by constructing a special cone and using the Krasnoselskii fixed point theorem of condensing mapping. By introducing a new estimation technique on non-compact measure, assumption that uniform continuity of the nonlinear term f is deleted. The obtained results are still new even if in special scalar space.%研究Banach空间中的四阶非线性常微分方程两点边值问题u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)),t∈[0,1],u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=θ,正解的存在性,其中a:[0,1]→R,f:[0,1] ×E→E连续.通过构造一个特殊的锥,在相应线性微分方程第一特征值的相关条件下,运用凝聚映射的锥拉伸与锥压缩不动点定理,获得该问题正解的存在性与多重性结果.利用新的非紧性测度估计技巧,删去了非线性项f一致连续的要求,即使在特殊的纯量空间中讨论,所得到的结果也是新的.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(029)006【总页数】7页(P753-758,763)【关键词】Banach空间;边值问题;锥;正解【作者】李强【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8设E为实Banach空间，正元锥P是正规锥，正规常数为N，空间E中的半序关系由锥P引入。

banach空间习题答案

banach空间习题答案Banach空间习题答案Banach空间是数学中的一个重要概念，它是一种完备的赋范线性空间。

在学习Banach空间的过程中，习题是不可或缺的一部分。

在这篇文章中，我将为大家提供一些Banach空间习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题：证明每个有限维赋范空间都是Banach空间。

答案：设X是一个有限维赋范空间，我们需要证明X是一个完备空间。

首先，我们知道有限维空间中的任意Cauchy序列都是收敛的。

因此，对于X中的任意一个Cauchy序列，我们可以找到一个有限维子空间Y，使得这个Cauchy序列也是Y中的Cauchy序列。

由于Y是有限维的，所以Y是一个完备空间。

根据完备空间的性质，Y中的Cauchy序列收敛于Y中的某个点。

由于X是Y的子空间，所以这个点也属于X。

因此，X中的任意Cauchy序列都收敛于X中的某个点，即X是一个完备空间，即是一个Banach空间。

2. 习题：证明L^p空间（1 ≤ p ≤ ∞）是一个Banach空间。

答案：首先，我们知道L^p空间是由满足一定条件的可测函数构成的空间。

我们需要证明L^p空间中的任意Cauchy序列都收敛于L^p空间中的某个函数。

假设{f_n}是一个L^p空间中的Cauchy序列，即对于任意的ε > 0，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，有||f_n - f_m||_p < ε。

由于L^p空间中的函数是可测函数，我们可以找到一个可测集E，使得E的测度有限，并且对于任意的x ∈ E，有|f_n(x) - f_m(x)| ≤ ||f_n - f_m||_p。

由于{f_n}是一个Cauchy序列，所以对于任意的x ∈ E，存在一个函数f(x)，使得f_n(x)收敛于f(x)。

我们可以定义一个新的函数f，使得对于任意的x ∈ E，f(x) = limf_n(x)。

由于Cauchy序列的极限是唯一的，所以这个函数f是良定义的。

有序Banach空间分数阶Robin边值问题的正解

有序Banach空间分数阶Robin边值问题的正解李小龙;张丽丽【摘要】讨论了有序Banach空间E中Riemann-Liouville分数阶Robin边值问题:-Dα0+u(t) =f(t,u(t)),0≤t≤ 1,u(0) =u'(1) =θ正解的存在性,其中1＜α≤2,f:[0,1]×P→P连续,P为E中的正元锥.利用非紧性测度的估计技巧及凝聚映射的不动点指数理论获得了该边值问题正解的存在性结果.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】5页(P111-115)【关键词】分数阶微分方程;Robin边值问题;正解;凝聚映射;不动点指数【作者】李小龙;张丽丽【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000;陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O175.15分数阶微分方程在流体力学、流变学、生物系统的电传导、各种回路、黏弹性力学、分数控制系统与分数控制器、电分析化学、神经的分数模型以及分数回归模型等领域有广泛应用,特别是在与分形维有关的物理与工程问题中.近年来许多学者应用相关的不动点定理与上下解的单调迭代技巧研究了分数阶边值问题的正解及其多个正解的存在性[1—5],但在一般的无穷维Banach空间中对该类问题的研究还比较少,并且讨论的是分数阶Dirichlet边值问题解的存在性,本文研究了分数阶Robin边值问题正解的存在性.在研究无穷维Banach空间中分数阶微分方程边值问题时,非线性项f的连续性保证不了解的存在性,为了对相应的积分算子应用凝聚映射的拓扑度理论及相关的不动点定理,需要给f附加以下条件:紧型条件或者是耗散型条件,而耗散型条件适用于特殊情形;又Banach空间的微分方程与普通微分方程的最大差异是把微分方程转换为与之等价的积分方程后,相应的积分算子不再具有紧性.为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点定理,通常需要给非线性项f附加一些非紧性测度条件.本文使用了下列非紧性测度条件:(H0) 对任意R>0,f(I×PR)有界,且存在常数使得对任意t∈I,D⊂PR,有α(f(t,D))≤Lα(D),其中在研究Banach空间中微分方程的正解时,很多文献(如文献[6])都要求f在有界集上一致连续.文中所利用的新的非紧性测度估计技巧[7]只需要f连续.本文将在一般的有序Banach空间E中讨论非线性分数阶Robin边值问题:(1)正解的存在性,其中是标准的Riemann-Liouville分数阶导数,f:[0,1]×P→P连续,P 为E中的正元锥.1 预备知识设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,正规常数为N,记I=[0,1].设C(I,E)为定义于I取值于E的全体连续函数按范数构成的Banach空间.记C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},则C(I,P)为C(I,E)中的正规锥.正规常数亦为N,以下使用的C(I,E)中的半序“≤”由C(I,P)引出.定义1[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville积分为其中Γ(·)为Gamma函数.定义2[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville导数为其中Γ(·)为Gamma函数,n=[α]+1.由Riemann-Liouville型微分的定义可得下列结论.引理1[1] 设α>0,u∈C(0,1)∩L(0,1)是分数阶微分方程的解,则u(t)具有形式u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理2[1] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1)有α(α>0)阶导数属于C(0,1)∩L(0,1),则ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理3 设1<α≤2,则对任意h∈C(I,E),Banach空间E中的线性分数阶边值问题(2)存在唯一解u(t)=G(t,s)h(s)dsTh(t),(3)其中证明由文献[1]知的解为再由u(0)=u′(1)=θ,可得于是下面证明唯一性.设u1,u2∈C(I,E)为方程(2)的两个解,则对任意φ∈E*,r(t)=φ(u1(t)-u2(t))为纯量线性方程的解,由文献[3]知r(t)=0,由φ∈E*的任意性知u1(t)-u2(t)≡θ,即u1(t)≡u2(t)于I,因此方程(2)的解唯一.引理4 由(3)式知算子T:C(I,E)→C(I,E)满足证明由(3)式知故从而显然算子T:C(I,E)→C(I,E)为正的线性连续算子,T有相应于第一特征值λ1的正特征函数u*,即λ1Tu*=u*.文中E与C(I,E)中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由α(·)表示.对B⊂C(I,E), 记B(t)={u(t)|u∈B}⊂E,t∈I.引理5[8] 设B⊂C(I,E)为等度连续的有界函数族,则α(B(t))在I上连续,且引理6[9] 设B={un}⊂C(I,E)为可列集,若存在ψ∈L1(I)使得则α(B(t))在I上可积,且引理7[7] 设D⊂E有界, 则存在D的可列子集D0,使得α(D)≤2α(D0).定义算子Q:C(I,P)→C(I,P)如下:(Qu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds,(4)则Q:C(I,P)→C(I,P)连续,且方程(1)的解等价于积分算子Q的不动点.引理8 设f:I×P→P满足假设(H0),则由(4)式定义的算子Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.证明由(4)式易证Q把C(I,P)中的有界集映为有界的等度连续集.任取非相对紧的有界集B⊂C(I,P),下面证明α(Q(B))<α(B). 令则对∀t∈I,B(t)⊂PR,设为假设(H0)中的非紧性测度系数. 由引理7知,存在可列集B1={un}⊂B,使得α(Q(B))≤2α(Q(B1)).故对任意t∈I,由引理6及假设(H0)可得α(Q(B1(t)))=2α({G(t,s)f(s,un(s))|n=1,2,…})ds=2G(t,s)α(f(s,B1(s)))ds≤2LG(t,s)α(B1(s))ds≤2LG(t,s)dsα(B1)≤因为Q(B1)等度连续,由引理5知α(Q(B1))=于是有α(Q(B))≤2α(Q(B1))≤因此Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.取C(I,P)的子锥:K={u∈C(I,P)|u(t)≥θ,∀t∈I},容易证明Q(C(I,P))⊂K,从而当f:I×P→P时, Q:K→K为凝聚映射,方程(1)的正解等价于Q在K中的不动点.本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找Q的不动点.引理9[10] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若Q 满足u≠λQu,∀u∈K∩∂Ω,0<λ≤1,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=1.引理10[11] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若存在v0∈K,v0≠θ,使得Q满足u-Qu≠μv0,∀u∈K∩∂Ω,μ≥0,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=0.2 主要结果及其证明定理1 设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,f:I×P→P连续,满足条件(H0).若f满足下列条件之一:(H1) ① 存在ε∈(0,(α-1)Γ(α+1))及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≤εx;② 存在η>λ1及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≥ηx-h0(t).(H2) ① 存在ε>λ1及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≥εx;② 存在η∈(0,(α-1)Γ(α+1))及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≤ηx+h0(t).则边值问题(1)至少存在一个正解.证明由上面的论述知,只需证明由(4)式定义的凝聚映射Q:K→K存在非零的不动点.取0<r<R<∞,记以下分2种情形分别证明当r充分小R充分大时Q在上存在不动点.情形1 f满足假设(H1). 取0<r<δ,其中δ为假设(H1)中的常数, 证明Q满足引理9中的条件:u≠λQu, ∀u∈K∩∂Ωr, 0<λ≤1.(5)反设(5)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.根据Q的定义及条件(H1)中① 得u0(t)=λ0Qu0(t)≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤εG(t,s)u0(s)ds=εTu0(t).累次使用上式,可得u0(t)≤εTu0(t)≤…≤εnTnu0(t),∀t∈I,n∈N.由锥K的正规性和引理4知其中N为正规常数,故这与矛盾.于是(5)式成立,再由引理9知i(Q,K∩Ωr,K)=1.(6)下面证明当R充分大时u-Qu≠τu*，∀u∈K∩∂ΩR, τ≥0.(7)反设(7)式不成立，则存在u0∈K∩∂ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,则u0=Qu0+τ0u*,根据算子Q的定义及条件(H1)中② 得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥ηG(t,s)u0(s)ds-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*=ηTu0-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*.从而有(ηT-I)u0≤G(t,s)h0(s)ds-τ0u*≤G(t,s)h0(s)ds.又由η>λ1知(ηT-I)为正算子,故逆算子(ηT-I)-1存在, 由锥K的正规性得(8)取则(7)式成立,由引理10知i(Q,K∩ΩR,K)=0,从而根据不动点指数理论的区域可加性,由该式结合(6)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=-1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解.情形2 f满足假设(H2). 取0<r<δ,证明u-Qu≠τu*, ∀u∈K∩∂Ωr, τ≥0.(9)反设(9)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,从而u0=Qu0+τ0u*.令τ*=sup{τ|u0≥τu*},即0<τ0<τ*<+∞,且u0≥τ*u*.又由T的正性知λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*.由条件(H2)中① 可得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥εG(t,s)u0(s)ds+τ0u*=εTu0+τ0u*≥λ1Tu0+τ0u*≥(τ*+τ0)u*.这与τ*的定义矛盾.故根据引理10知i(Q,K∩Ωr,K)=0.(10)再证当R充分大时u≠λQu, ∀u∈K∩∂ΩR, 0<λ≤1.(11)假设存在u0∈K及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.从而由条件(H2)中② 得u0=λ0Qu0≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤G(t,s)(ηu0(s)+h0(s))ds=ηTu0+G(t,s)h0(s)ds，即(I-ηT)u0≤G(t,s)h0(s)ds,又所以由微扰定理知I-ηT存在有界逆算子(I-ηT)-1,且从而由锥K的正规性得取ε0>0,使得η+ε0<(α-1)Γ(α+1),则有而收敛,即级数收敛,令则有取则(11)式成立,由引理9知i(Q,K∩ΩR,K)=1.于是,由该式结合(10)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解. 参考文献：【相关文献】[1] BAI Zhanbing, LÜ Haishen.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractionl differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.[2] BAI Zhanbing.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary valueproblem[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):916-924.[3] JIANG Daqing, YUAN Chengjun.The positive properties of the Green function for Dirichlet-type boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and its application[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):710-719.[4] WANG Yingqing, LIU Lishan, WU Yonghong. Positive solutions for a nonlocal fractional differential equation[J].Nonlinear Anal,2011,74(11):3599-3605.[5] LIN Legang, LIU Xiping, FANG Haiqin.Method of upper and lower solutions for fractional differential equations[J].Electronic J Differential Equations,2012,100:1-13. [6] 王永庆,刘永山.Banach空间中分数阶微分方程m点边值问题的正解[J].数学物理学:A,2012,32(1):246-256.[7] 李永祥.抽象半线性发展方程初值问题解的存在性[J].数学学报,2005,48(6):1103-1108.[8] 郭大钧,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,1989:188-222.[9] HEINZ H R. On the behaviour of measure of noncompactness with respect to differentiation and integration of vector-valued functions[J].NonlinearAnal,1983,7(12):1351-1371.[10] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985:234-353.[11] 余庆余.半序Banach空间中凝聚映射及其正不动点[J].兰州大学学报:自然科学版,1979,15(3):1-5.。

Banach 空间中一类奇异积分边值问题解的存在性

Banach 空间中一类奇异积分边值问题解的存在性汪子莲;丁珂【摘要】运用Sadovskii不动点定理讨论了Banach空间中一类二阶奇异积分边值问题解的存在性,获得了此类问题解存在的充分性条件.%The existence of solutions for a class of singular second order integral boundary value problems in Banach spaces was discussed by using the Sadovskii fixed point theorem, the sufficient condition for the existence of solutions to such classes of problems was obtained.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(047)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】积分边值问题;Sadovskii不动点定理;非紧性测度;存在性【作者】汪子莲;丁珂【作者单位】兰州工业学院基础学科部甘肃兰州410075;伊利诺伊大学香槟分校数学学院美国诺伊州香槟450001【正文语种】中文【中图分类】O175.8带有积分边界条件的常微分方程边值问题产生于应用数学及物理学的不同领域.热传导、化学工程等领域中的许多模型都可归为带有积分边界条件的微分[1-2].带有积分边界条件的边值问题是一类十分有趣且重要的研究课题，其包含两点、三点、多点等多种类型的边值问题，且以这些边值问题为特例[3-7].实数空间中积分边值问题解的存在性被许多学者研究过.但是，迄今为止，对Banach空间中带有积分边界条件的边值问题的研究却极少.为此，本文将运用Sadovskii不动点定理研究Banach空间中一类带有积分边界条件的二阶非线性常微分方程边值问题解的存在性.文[8]研究了二阶三点边值问题解的存在性，其中η∈(0,1)，f为一个连续函数.受文[8]的启发，本文考察积分边值问题或者解的存在性，其中f∈C(I×E×E,E),I=[0,1],θ是Banach空间(E,‖·‖)中的零元素，g∈L1[0,1]且非负，h∈C((0,1),[0,+∞))，在t=0和t=1处有奇性.注1 本文将文[8]的结果推广到积分边值问题，并且考虑了h在t=0及t=1处奇异的情形.注2 当g≡0,h≡1且非线性项f不含一阶导项时，边值问题(2)、(3)就退化为文[9]研究的问题.定义1[10] 设E是实Banach空间，S是E中有界集，令,其中d(Si)表示集Si的直径，显然，0≤α(S)<+∞.则α(S)叫作S的非紧性测度.定义2[10] 设E1,E2是实Banach空间，D⊂E,设A:D→E2有界连续.(ⅰ)如果存在常数k≥0，使得对任意有界集S⊂D,都满足α(A(S))≤kα(S),则称A是D上的k-集压缩映象.特别地，当k<1时的k-集压缩映象称为严格集压缩映象. (ⅱ)如果对任意非相对紧的有界集S⊂D都满足α(A(S))<α(S),则称A是D上的凝聚映象.显然，若A是一个严格集压缩映象，则A是凝聚映象.引理1[10] 若H⊂C[I,E]有界且等度连续，则α(H(t))于I连续且其中αC(·),α(·)分别表示H⊂C[I,E]及H(t)⊂E的非紧性测度.引理2[11] 设E是实Banach空间，D⊂E为有界凸闭集，若算子A:D→D是凝聚映象，则A于D中有一个不动点.显然，(C[I,E],‖·‖)在范数‖‖u(t)‖下构成一个Banach空间.令则FC(I,E)在范数‖‖u(t)‖/(1+t)下为一个Banach空间.令‖u(t)‖/(1+t)‖u′(t)‖<+∞},则DC1(I,E)在范数‖u‖D=max{‖u‖F,‖′u(t)‖C}下为一个Banach空间，其中‖‖u′(t)‖.显然，C1(I,E)⊂C(I,E),DC1(I,E)⊂FC(I,E).本文的工作空间为DC1(I,E).记空间E,C(I,E),FC(I,E),DC1(I,E)中的有界集的非紧性测度分别为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为了建立边值问题(2)在DC1(I,E)中解的存在性，本节给出如下假设：.(H2) 存在非负连续函数，a,b,c∈C[0,1]，使得(H3) 对∀r>0,[a,b]⊂I,f(t,x,y)于[a,b]×BE(0,r)×BE(0,r)上一致连续，其中BE(0,r)={u∈E:‖u‖≤r}.(H4) 存在l1,l2∈L1[0,1]，使得对∀t∈[0,1]及任意有界集D1,D2∈E有引理3[12] 若(H1)成立，则边值问题(2)存在唯一解，其中,对于∀u∈DC1(I,E)，定义算子A,引理4 若(H1)～(H3)成立，且条件(H5) h:(0,1)→[0,+∞)连续；h于(0,1)不恒为零；且满足<+∞,其中m(s)=(a(s)(1+s)+b(s))‖u‖D+c(s)成立，则A:DC1(I,E)→DC1(I,E)有界连续.证明由式(7)，(H2),(H5)可知，对∀u∈DC1(I,E),‖‖≤‖‖+‖‖≤(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s)‖u‖+b(s)‖u′‖+c(s))ds=(s)‖u′‖+c(s))ds≤‖u‖D+c(s))ds=∞.由式(7)，(H2),(H5)可知经简单计算可知‖(Au)′(t)‖(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖u‖D+c(s))ds=∞.因此，算子A有定义.由式(8)，(9)可知，对∀u∈DC1(I,E)都有Au∈DC1(I,E)，所以A于DC1(I,E)有界. 下证算子A于DC1(I,E)连续.令{un}⊂DC1(I,E),u0∈DC1(I,E),且‖un-u0‖D→0(n→∞).于是存在R>0,使得‖un‖D≤R(n≥1)且‖u0‖D≤R.类似于文[12]，定义hn,则hn于[0，1]连续，并且，对∀t∈[0,1],hn(t)≤h(t).定义算子An，显然，对∀u∈DC1(I,E)，有Anu∈DC1(I,E),且An连续，事实上，‖‖‖‖ds.由条件(H3)知，对∀s∈[0,1],∃N1>0,对∀n≥N1,有所以同时，对∀ε>0,∀t∈[0,1]及n≥N1有由(12)，(13)可知An:DC1(I,E)→DC1(I,E)连续.由积分的绝对连续性及式(7),(10),(H2),(H5)可知‖(Au)(t)-(Anu)(t)‖(s))‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s))‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s)‖u‖+b(s)‖u‖+c(s),其中].因此，对∀ε>0,∀t∈I,∃N2>0,对∀n≥N2有‖‖≤‖‖+‖‖+‖‖<ε/3+ε/3+ε/3=ε.同理‖(Aun)′(t)-(Au)′(t)‖<ε.于是，A:DC1(I,E)→DC1(I,E)连续.证毕.引理5 假设(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集.则(AV)(t)/(1+t)及(AV)′(t)等度连续. 证明仅需证下列结论成立：(ⅰ) ∀ε>0,∃δ1>0,使得对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],当时，(ⅱ) ∀ε>0,∃δ2>0,使得对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],当时，首先证明集合(AV)(t)/(1+t)等度连续.因为引理4中定义的函数hn于[0,1]连续，所以在[0,1]中有界.假设,∀t∈[0,1],对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],不妨设t1<t2,由(7)可知‖‖‖‖‖‖‖‖‖f(s,u(s),u′(s))‖+‖‖‖hn(s)f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖f(s,u(s),u′(s))‖‖f(s,u(s),u′(s))‖=(s)‖u′‖+c(s))ds=‖f(s,u(s),u′(s))‖.由(H2)可知:(ⅰ) ‖f(s,u(s),u′(s))‖≤((1+s)a(s)+b(s))‖u‖D+c(s);(ⅱ) a,b,c∈C[0,1]为非负函数，则于[0,1]有界.假设a(t)≤M1,b(t)≤M2,c(t)≤M3.对∀t∈[0,1]，令M*=max{M1,M2,M3},由于V有界于DC1(I,E)，所以存在M0>0,使得‖u‖D≤M0,所以，对∀u∈V有‖‖M.令δ=((2+2α/(1-α))(3M*M0+M*)M)-1·(ε/3).于是，对∀u∈V,t1,t2∈I,t1<t2,当时，有‖‖≤‖‖+‖‖+‖‖<ε/3+ε/3+ε/3=ε.若t1≥t2,同理可证(AV)(t)/(1+t)于[0,1]等度连续.类似的可证(AV)′(t)于[0,1]等度连续.证毕.与文献[6]中引理2.5的证明完全类似，可得下面的引理6.引理6 若(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界子集，则定理1 假设(H1)～(H5)成立，则边值问题(2)在DC1(I,E)中至少有一个解.证明仅需证算子A于DC1(I,E)中有不动点.令下证A(B)⊂B.事实上，对∀u∈B，由(7)可知‖‖(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖u‖D+c(s))ds≤,∀t∈I.同理可知‖(Au)′(t)‖≤R，于是，由引理4可知A(B)⊂B.令,即Ω为AB在DC1(I,E)中的凸闭包，易见，Ω为B的非空有界闭凸子集.由引理5可知,(AB)(t)/(1+t),(AB)′(t)于[0,1]上等度连续，结合Ω的定义知(Ω)(t)/(1+t),(Ω)′(t)于[0,1]等度连续.由于Ω⊂B且AB⊂Ω可知A:Ω→Ω.下证A为严格集压缩算子.由引理4可知A:Ω→Ω为连续有界算子.下证αD(AV)≤lαD(V),V⊂Ω,其中事实上，由引理6可知，仅需证成立即可.由(H3)及Ω的定义可知{f(s,u(s),u′(s)):u∈V}于[0,1]等度连续.由(H4)及引理1可知s.由t的任意性知同理可证结合引理6及(18)，(19)可知A:Ω→Ω为严格集压缩算子.显然A是凝聚的.由引理2可知,A于Ω中至少有一个不动点，故边值问题(2)于DC1(I,E)中至少有一个解.证毕.现在，考虑边值问题(2)，(3)，由于方法完全类似于第2部分，所以省略本节主要定理的证明.为方便起见，给出如下假设：存在l1,l2∈L1[0,1]，使得对∀t∈[0,1]及任意有界集D1,D2⊂E.且.首先，类似于引理3的讨论可知,边值问题(2)，(3)等价于积分方程其中,G(t,s)如(6)定义.定义算子显然，边值问题(2)，(3)有解当且仅当此解是算子A*的不动点.通过与第2部分类似的讨论，有如下结果：引理7 若成立，则A*:DC1(I,E)→DC1(I,E)有界连续.引理8 假设(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集，则(A*V)(t)/(1+t)及(A*V)′(t)等度连续.引理9 若(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集，则定理2 假设成立，则边值问题(2)，(3)在DC1(I,E)中至少有一个解.下面给出一个例子来说明结果的正确性.定理3 无穷维积分边值问题(23)至少有一个解.证明令,则E按范数‖u‖构成Banach空间.令(t)=t.显然，无穷维积分边值问题(23)就化为Banach空间E中的积分边值问题(2).取a(t)=l1(t)=t3,b(t)=l2(t)=t3(1+t),c(t)≡0,则容易验证假设条件(H1)～(H5)成立，因此由定理1可知结论成立.证毕.【相关文献】[1] Gallardo J M. Second order differential operaters with integral boundary and generation of analytic semi-groups[J].Rocky Mountain J Math,2000,30(4):1265-1292.[2] KaraKostas G L, Tsamatos P C. Multiple positive solutions of some Fredholm integral equations arise from nonlocal boundary value problems[J].Electron J Differential Equations,2002(30):1-17.[3] Ma Ruyun. Positive solutions for a nonlinear three-point boundary valueproblem[J].Electron J Differential Equations,1999(34):1-8.[4] Liu Bing. Positive solutions of a nonlinear four-point boundary value problems in Banach spaces[J].J Math Anal Appl,2005,305(1):253-276.[5] Chen Shihua, Hu Jia, Chen Li, et al. Existence results for n-point boundary value problem of second order ordinary differential equation[J].J Comput ApplMath,2005,180(2):425-432.[6] 梁秋燕.Banach空间分数阶微分方程边值问题解的存在性[J].郑州大学学报：理学版，2013，45(3)：32-36.[7] 孟宪瑞，曹有好，佟玉霞.奇异Sturm-Liouville边值问题的谱理论[J].郑州大学学报：理学版，2013，45(1)：34-37.[8] Chen Haibo, Li Peiluan. 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Banach空间中n阶非线性脉冲积分-微分方程的边值问题

摘要：用非紧性测度和Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理得到了一类高阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题解的存在性．首先是将其转化成与之等价的积分方程，而转化为算子不动点问进题，然后通过更为精确的非紧性测度的分析，用Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理证明了方程解的存在性．
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第３卷Ｏ
第２期

四阶奇异边值问题的正解的开题报告

四阶奇异边值问题的正解的开题报告一、研究背景和意义奇异边值问题是数学中的一个经典问题，其解决方法在实际工程和科学中有着广泛的应用。

而四阶奇异边值问题是一类更具有挑战性的问题，需要更为深刻的数学理论和方法来解决。

特别地，在实际工程中，四阶奇异边值问题通常出现在弹性力学、流体力学等领域。

例如，在弹性力学中，对于一些具有奇异边界条件的弹性体模型，其形变方程涉及到四阶导数，从而无法直接利用常规方法求解。

因此，研究四阶奇异边值问题的解析表达式，对于指导实际工程中的问题求解与应用，都具有非常重要的意义。

二、目标和内容本文主要研究四阶奇异边值问题的正解表示式，即通过数学方法，得到该问题在解析意义下的精确解。

具体地，本文将首先阐述四阶奇异边值问题的定义和数学模型，然后介绍现有方法对该问题进行求解的局限性和不足之处。

接着，讨论本文所采用的一种新的数学方法——非局部方式，以及如何将其应用到该问题的求解中。

最后，本文将给出四阶奇异边值问题的正解的数学表达式，以及对所得结果的分析和讨论。

三、方法和步骤本文所采用的数学方法为非局部方式。

具体而言，本文首先利用奇异积分算子将四阶奇异边值问题转化为定常弱奇异积分方程。

然后，采用非局部方式（Non-local Means, NLM）对该方程进行求解。

NLM方法是在经典局部图像处理中提出的一种非局部平均滤波算法，其解决了图像噪声去除中的大部分问题。

而在数学领域，该方法也被用于解决一些非线性偏微分方程的数值求解问题中。

本文将首先对该方法进行适当的调整，以适用于求解四阶奇异边值问题。

然后，将其应用到该问题的求解中，并对所得结果进行验证和比较。

四、预期成果和贡献本文的预期成果为：得到四阶奇异边值问题的正解表示式，该表示式将在解析意义下给出该问题的精确解。

同时，本文将对该问题的解析特征进行讨论和分析，从而为实际问题的解决提供相关的参考和指导。

本文的主要贡献在于：首次将非局部方式应用到四阶奇异边值问题的求解中，并给出该问题的正解表示式。

Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在唯一性

Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在唯一性汤小松;王志伟;罗节英【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【摘要】研究如下一类Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题u’=f(t,u(t),v(t)),v’=g(t,u(t),v(t)),(A)t∈J,t≠tk,△u|t=tk=Ik(u(tk),v(tk)),△v|t=tk=Jk(u(tk),v(tk)),k=1,2,…u(∞)=βu(0) ,v(∞)=δv(0).首先利用H.M(o)nch不动点定理和非紧性测度,获得了该问题解的存在性,然后在解存在的前提下,利用反证法证明了解的唯一性,所得结果推广了现有文献中已有的结论.最后,举例说明了结果的有效性.%In this paper, the existence and uniqueness of solutions for the following nonlinear first-order impulsive differential systems with infinite boundary value problems are consideredrnu'=f(t,u(t),v(t)),v'=g(t,u(t),v(t)),VtEj,t=tk,u/t=tk=1k(U(tk),v(tk)),v /t=tk=jk(u(tk),v(tk)),k=1.2.`````u(oo)=Bu(0),v(oo)=8v(0).rnFirstly, the existence of solution for the problem is established based on the H. Monch' s fixed point theorem and the measures of non-compactness. Furthermore, based on the existence of solution, the uniqueness of solution is proved by using the argument of contradiction. The obtained results in this paper are new and extend some known results. Finally, an example is presented to illustrate the effects of the present theorems.【总页数】7页(P802-808)【作者】汤小松;王志伟;罗节英【作者单位】井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.Banach空间中一阶非线性微分方程组边值问题解的存在性 [J], 李耀红2.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解 [J], 李耀红;张祖峰3.Banach空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性 [J], 张海燕;张祖峰4.Banach空间中的一阶脉冲积微分方程无穷边值问题 [J], 石漂漂;王文霞5.Banach空间中含有无穷多个跳跃点的一阶脉冲积分-微分方程的无穷边值问题[J], 袁伟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类四阶四点边值问题正解的存在性和不存在性

一类四阶四点边值问题正解的存在性和不存在性蒋玲芳【摘要】运用上下解方法及不动点指数理论,讨论非齐次边界条件下四阶微分方程四点边值问题{u(4)(t)-f(t,u(t),u"(t))=0,t∈[0,1],u(0)=λ1,u(1) =λ2,au"(ξ1)-bu”'(ξ1)=-λ 3,cu"(ξ2)+du”'(ξ2)=-λ4.得到正解存在的充分条件.给出该非齐次边界条件下,四阶微分方程四点边值问题至少存在一个正解、两个正解及无正解时,参数(λ1,λ2,λ3,λ4)的取值范围.其中:(λ1,λ2,λ3,λ4)∈R4+｛(0,0,0,0)}为参数,0≤ξ1≤ξ2≤1,a,b,c,d为非负常数,f∈C([0,1]×[0,+∞)×(-∞,0],[0,+∞)).%By using the lower and upper solutions method and fixed point index theory,the sufficient conditions for the existence of positive solutions of the following nonlinear boundary value problem with nonhomogeneous four-point boundary condition are discussed.{u(4)(t)-f(t,u(t),u”(t))=0,t∈[0,1],u(0) =λ1,u(1) =λ2,au”(ξ1)-bu”'(ξ1) =-λ3,cu”(ξ2) +du”'(ξ2) =-λ4.Where (λ1,λ2,λ3,λ4) ∈R4+ { (0,0,0,0)} are parameters,0≤ξ ≤ξ2≤1.a,b,c,d are nonnegative constants,f∈C([0,1] × [0,+ ∞) × (-∞,0],[0,+ ∞)).The regions of (λ1,λ2,λ3,λ4),in which the fourth-order differential equation with four-point boundary condition with nonhomogeneous boundary conditions has at least one positive solution,two positive solutions and no positive solution,are determined.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(030)003【总页数】9页(P301-309)【关键词】正解;存在性;上下解方法;不动点指数【作者】蒋玲芳【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.80 引言及主要结果常微分方程多点边值问题在应用数学和物理学等学科中有着重要应用。

四阶奇异边值问题的正解

文章编号：０８４２２０）６— ８８４１０ —１０｛０８００３ —０
四阶奇异边值问题的正解
刘英
（淮阴师范学院数学系，江苏淮安２３０）２３０
摘
要：利用锥拉伸与压缩不动点定理给出了一类四阶微分方程奇异边值问题的正解的存在
性，推广和包含了一些已知结果．
（）＋ｇｒｕｒ，（））ｒｄｒ）（，（）ｒ）ｄ］ｓ（）３则问题（）２有解当且仅当 Ⅱ 是Ａ在Ｃ［，］Ｏ１中的不动点．引理ｌ设Ｐ是实Ｂｎｃ【８ａａｈ空间中的锥，
１，
＋ｇｒｚｒ，（））ｒｄ（，（） ‘ ｒ）ｄ］ｓＩ
和唯一性进行了广泛的研究，见文献［ —３．１］对含弯矩形的一般情形
Ａ【ｂ＋ａ）ｄ＋ｃ１），（ｔ［（ —５］０≤ ｔｓ≤ １ ≤ ．
由（）可取ｐ∈ （，１）Ｖｐ≤ ｔｌ—ｐ有日１，Ｏ ≤ ，
，
≥ ｐ，故
Ｇ￡ｓ（，）≥ ｐ（，）ｐ∈ （，ｃｓｓ，Ｏ１）
＝
．
船
。。：
，ｏ）（或∞ ＝
正解的存在性，其中厂ｇ［，］０＋∞）×（，：０１Ｘ［，一。，］［， ∞）。０一０＋连续，ａ≥ Ｏｂ≥ ０ｃ≥ ０ｄ≥ ，，，
０目 △ ：０ｃ＋６ｄ＋ｂ＞０ｃ．
。寻Ｊ（ｓｓ’ ｍａ（）Ｉｘｌ（）Ｉｘｌｔ的Ｂｎｃａａｈ空间．文用到如下假设：本

Banach空间四阶两点问题正解的存在性

Banach空间四阶两点问题正解的存在性李伟鹏;李小龙【摘要】The existence of positive solutions for fourth-order boundary value problem u4 (t) = f (t ,u(t)), 0 ≤ t ≤ 1 , u(0) = u(1) = u″(0) = u″(1) = θ in Banach spaces E was discussed ,where f :0 ,1 × P→ Pis continuous ,and Pis the cone of positive elements in E .An existence result of positive solutions was obtained by employing a new estimate of noncompactness measure and the fixed point index theory of condensing mapping .%讨论了Banach 空间E中的四阶边值问题:u(4)(t) = f(t ,u(t)), 0 ≤ t ≤ 1 , u(0) = u(1) = u″(0) = u″(1) = θ正解的存在性 ,其中f: 0 ,1 × P → P连续 ,P为E中的正元锥 .通过非紧性测度的估计技巧与凝聚映射的不动点指数理论获得了该问题正解的存在性结果 .【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)005【总页数】6页(P83-88)【关键词】四阶边值问题;闭凸锥;正解;凝聚映射;不动点指数【作者】李伟鹏;李小龙【作者单位】陇东学院数学与统计学院 ,甘肃庆阳 745000;陇东学院数学与统计学院 ,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O175.15设E为实的Banach空间,正元锥P为正规锥,正规常数为N,记,本文讨论E中的四阶边值问题:两端简单支撑弹性梁的形变可以用方程(1)来描述，在一般Banach空间中方程(1)解的存在性已有一些研究结果[1-4],采用的方法主要是拓扑度及相关的不动点方法与上下解的单调迭代方法.本文利用凝聚映射的不动点指数理论讨论了方程(1)的正解的存在性.方程(1)的正解是指满足方程(1),并且u(t)>θ, 0<t<1.Banach空间的常微分方程与普通常微分方程的最大差异是,把微分方程转换为与之等价的积分方程后,相应的积分算子不再具有紧性,为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点理论,通常需要给f附加一些非紧性测度条件.文献[2]使用了如下的非紧性测度条件:θ.对∀R>0,f在I×PR上一致连续,且存在0≤L=LR<12，使得对∀t∈I,D⊂PR,有在条件(P0)下文献[2]用严格集压缩算子的锥拉伸与锥压缩不动点理论,证明了f满足下列增长条件,且存在φ∈P*,使得本文将改进和发展文献[2]中的结论.首先利用新的非紧性测度的计算与估计技巧删去了条件(P0)中的f在I×PR上的一致连续性,并把非紧性测度系数L放宽为.即把条件(P0)改进为(H0) 对∀有界,且存在常数使得对∀t∈I,D⊂PR,有另一方面，文献[2]中的极限形式条件(P1)在Banach空间E中不如序条件易于检验和使用,故本文将使用序条件代替(P1).本文的主要结果为定理1 设E为Banach空间,其正元锥P为正规锥,f∶I×P→P连续,满足条件(H0).若f满足下列条件之一:(H1) (i)存在及δ>0,使得当x∈Pδ时,(ii) 存在η>0及h0∈C(I，P),使得当x∈P时,(t).(H2) (i)存在ε>0及δ>0,使得当x∈Pδ时,(ii)存在及h0∈C(I，P),使得当x∈P时,(t)，则方程(1)至少存在一个正解.定理1中的π4是方程(1)对应的线性边值问题的第一特征值,同时删去了f的一致连续性.将此结果作到了最优. 所得结果改进了文献[1-4]中的相关结论, 并将文献[5]中的结果推广到了无穷维空间.设为定义于I取值于E的全体连续函数按范数‖u‖‖u(t)‖构成的Banach空间, 记C(I，P)则C(I，P)为中的正规锥, 正规常数亦为N,以下使用的中半序≤由C(I，P)引出.定义算子Q∶C(I，P)→C(I，P)如下：为了利用凝聚映射的不动点指数理论,先引入非紧性测度的相关结果. 文中E与中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由表示. 对B⊂, 记B(t)={u(t)|u∈B}⊂E, t∈I.引理1[6] 设B⊂为等度连续的有界函数族,则在I上连续,且引理2[7] 设B={un}⊂为可列集,若存在使得引理3[8] 设D⊂E有界, 则存在D的可列子集D0,使得.引理4 设f∶I×P→P满足(H0),则由(2)式定义的算子Q∶C(I，P)→C(I，P)为凝聚映射.证由(2)式易证, Q把C(I，P)中的有界集映为有界的等度连续集. 任取非相对紧的有界集B⊂C(I,P),下证: <α(B).令则对∀t∈I,B(t)⊂PR,设为假设(H0)中的非紧性测度系数. 由引理3知,存在可列集B1={un}⊂B,使得α(Q(B))≤2α(Q(B1)).故对∀t∈I,由引理2及假设(H0),有由(3)易知,Green函数G(t,s)具有性质:(i) 0≤G(t,s)≤G(s,s),t,s∈I;(s,s),t,s∈I,取C(I，P)的子锥:引理5 设f∶I×P→P,则⊂K.证对∀u∈C(I，P),及∀t,γ∈I,由(2)式和性质(i)有从而当f∶I×P→P时, Q∶K→K为凝聚映射,方程(1)的正解等价于Q在K中的不动点.本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找Q的不动点.引理6[9] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射,若Ω满足u≠λQu,∀u∈K∩∂Ω,0<λ≤1.则不动点指数.引理7[10] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射,若存在v0∈K,v0≠θ,使得Q满足u-Q u≠μv0,∀u∈K∩∂Ω,μ≥0.则不动点指数.下面用引理6与引理7证明本文的主要定理定理1的证明由上面的论述知,只需证明由(2)式定义的凝聚映射Q∶K→K存在非零的不动点.取0<r<R<∞,记以下分两种情形分别证明当r充分小R充分大时Q在上存在并不动点.情形1 f满足假设(H1). 取0<r<δ,其中δ为假设(H1)中的常数, 证明Q满足引理6中的条件:另一方面,因为u0∈K,按锥K的定义,取e∈P使得‖u‖=1,令v0(t)=esin πt,则v0(t)是时方程(1)的解,由Green函数的性质易知,下证当R充分大时,有情形2 f满足假设(H2). 取0<r<δ,证明【相关文献】[1] 吕志伟.Banach空间中一类四阶常微分方程两点边值问题的最大解和最小解的存在性[J].应用泛函分析学报,2005,7(4):370-374.[2] 张学梅.Banach空间中四阶常微分方程边值问题的正解[J].数学的实践认识,2007,37(20):150-155.[3] 冯麦强,葛渭高.Banach空间中四阶方程边值问题的正解[J].数学的实践认识,2007,37(21):141-147.[4] 吕志伟.Banach空间中一类四阶奇异边值问题的解的存在性[J]. 数学的实践认识,2008,38(24):195-199.[5] Bai Z,Wang H.On positive solutions of some nonlinear fourth-order beam equations [J]. J Math Anal Appl.2002,270:357-368.[6] 郭大钧,孙经先.抽象空间常微分方程[M]. 济南:山东科学技术出版社,1989:188-222.[7]HEINZ H R.On the behaviour of measure of noncompactness with respect to differention and integration of vector-valued functions [J].Nonlinear Anal,1983,7(12):1351-1371.[8] 李永祥.抽象半线性发展方程初值问题解的存在性[J]. 数学学报,2005,48(6):1103-1108.[9] 郭大钧.非线性泛函分析 [M].济南:山东科学技术出版社,1985:234-353.[10] 余庆余.半序Banach空间中凝聚映射及其正不动点 [J].兰州大学学报(自然科学版),1979,15(3):1-5.。

Banach空间中一类非线性弹性梁方程正解的存在性

ｌｕＩＩｌ－ＩＩＵ．ＩｌＴｃＵｃ，Ｅａ（２）
８月
文章编号：ｌ０－３２（０）０・０２００６７０２１１３０１－４
Ｂｎｃａａｈ空间中一类非线性弹性梁方程
正解的存在性
张培国
（泽学院初等教育系，山东菏泽２４０菏７００）
摘要：讨论了Ｂｎｃａａｈ空间非线性弹性梁方程
Ｉ）２（（）ｔ（＝ｆｔ，，Ｅ ¨ｆ，）Ｊ
Ｉ０＝） “１ｕ（＝）甜（＝）ｒ）０（ｏ（＝ｎ１
正解的存在性．通过构造一个特殊的锥，运用锥拉伸压缩不动点定理，证明了上述微分方程正解存在的条件，并给出一个例子说明主要结果．关键词：Ｂｎｃａａｈ空间；弹性梁方程；不动点；边值问题中图分类号：Ｏ１５８７．文献标志码：Ａ
＞０，Ｊ＝（，，是Ｅ中的零元．令Ｐ＝｛ ∈Ｅｌ）００１） ’ 妒 ’ ， ∈Ｐ，Ｐ是户的对偶锥．本文中假设Ｐ）称．
是正规锥，不失一般性，设正规常数为１．为了方便，首先列出假设条件：
ＺＨＡＮＧＰｅ－ｇｏｉｕ
ｆｐｒｍｅｔｆｅｎａｙＥｕａｉｎＨｅｅＵｉｅｓｔ，ｚ７００ＣｉａＤｅａｔｎｍｅｔｒｄｃｔ，ｚｎｖｒｉＨｅｅ２４０，ｈｎ）ｏＥｌｏｙ

Banach空间非线性四阶奇异积分边值问题正解的存在性

间ｃ［Ｅ】中考察边值问题（）（）１和２．显然，（，．ｌ）ｃｐ，ｌ１也是一个Ｂｎｃ１Ｇａａｈ空间，其中ｆｔＩｌｘｃ＝ｆ（Ｊ如果 ∈ ［ｎＣ［Ｅ满足边值问题（）（）则称为边值问题Ｉｔｔ￣）．，］１和２，（）（）１和２的一个解．如果Ｘ是边值问题（）（）１和２的一个非负且非平凡的解，即 ∈ ［Ｐ】且（ ≠ ｔ，￡， ∈Ｊ则称Ｘ是边值问题（）（））１和２的一个正解．设（：０ｌ一Ｅ连续，如果极限ｌｘｔｔ在，则称抽象广义积分ｘｔｔ￡（，】）ｉ．（ｄ存）（ｄ是）
收稿日期：０８０ —０修订日期：０９０— ８２０ —７１；２０ — ５１
Ｅ－ａｌｈｘ９０＠１３Ｃｒｍｉ：ｚｑ１７５８６．Ｏｎ
｝基金项目；国家自然科学基金（０７７和聊城大学科研启动基金（１０）１６１６）１３８５资助
秀
数学物理学报
２１，０２：６Байду номын сангаас５５００３Ａ（）６７５ｈｔ：ａｔｍｓｐａ．ｔｐ／ｃａ．ｍ．ａ／ｗｉｃｎ
Ｂａａｈ空间非线性四阶奇异积分边值问题ｎｃ正解的存在性
张兴秋
（聊城大学数学科学学院山东聊城２２５）５０９
．
殊的非空凸闭集，利用ＭＳｃ动点定理在有关相应线性算子第一特征值的条件下，研究ｎｈ不Ｂｎｃａａｈ空间中具有积分边值条件的四阶奇异微分方程正解的存在性．本文具有以下特征：首先，我们是在抽象空间中研究的，这不同于文献【７其次，非线性项ｆｔ）５］～；（乱不但允许在，ｔ，＝０１处具有奇异性，而且还允许在＝０具有奇异性；再次，我们使用的方法本质上不同于文献即通过引理６我们首先把四阶边值问题转化为二阶边值问题，然后通过定义，个线性算子和构造特殊的凸闭集，利用ＭＳｃｎｈ不动点定理获得主要结果；最后，本文使用的条件自然而简单．本文的最后给出了主要结果在无穷系统中的应用．

奇异非线性四阶两点边值问题的正解

奇异非线性四阶两点边值问题的正解
万阿英;许晓婕;蒋达清
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(35)3
【摘要】利用锥不动点定理获得了奇异非线性四阶微分方程u(4)(t)-q(t)f(u(t))=0满足边界条件u(0)=u(1)=u′(0)=u′(1)=0的正解的存在性,这里q在t=0和t=1时具有奇性.
【总页数】8页(P1-8)
【关键词】四阶非线性方程;两点边值问题;正解;存在性;奇异
【作者】万阿英;许晓婕;蒋达清
【作者单位】呼伦贝尔学院数学系;东北师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.08
【相关文献】
1.一类四阶两点非线性奇异特征值常微分方程边值问题正解的存在性 [J], 席进华
2.奇异四阶两点边值问题的正解 [J], 王玉霞;刘希玉
3.奇异四阶两点边值问题的正解 [J], 王玉霞
4.四阶非线性奇异微分方程两点边值问题的正解 [J], 谢胜利
5.一类奇异非线性四阶两点边值问题的正解 [J], 杨雯抒
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Banach空间四阶边值问题的拟上下解方法

径ｒ（）＝．其中Ｇｔ）为纯量二阶边值问题（，ｓ
① 收稿日期：００—０２２１９— ０
Hale Waihona Puke 作者简介：孔冠桥（９４一）男，１８，甘肃兰州人，兰州市第三十二中学教师，中教二级．主要研究方向为非线性泛函分析
第６期
孔冠桥：ａａｈ空间四阶边值问题的拟上下解方法Ｂｎｃ
第２８卷第６期
２１年１月００１
佳木斯大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏａｕｉｎｖｒｔＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆｉｍｓＵｉｓｙ（ａａＳｉｃｄｔｎｎＪｅｉｕｅｉ
Ｖ０．８Ｎｏ６１２．
９３５
（１对Ｖｕ，２，，ｏ，ｕ ≤ Ｍ，Ｈ）１Ｍ，１２Ｅ［０ｗ］当１２
１≥ 时，２有
＋（Ｊ（ｒ（，（ｈｈｄ７ｔ｛０￡）Ｔ）ｓ２ｓ上，Ｃｓ，，）ｄＩＧｆ
∈Ｂ｛｝ｈ２ｕ｛｝）１ｕ０，２ＥＢ０｝
解的存在性．
文献［］１通过构造一拟上下解对的单调迭代
过程，在序条件下获得了一阶常微分方程＝ｔ，
，
（（）；Ｂ）
“ ）的初值问题及边值问题解的存在性．文在本
２ｃＪ（ｄ ∈ ｝≤０Ｂ）ｓ）｛ｓｓＢｆ（ｓｄ０ｃ）（Ｉ）＂（）ｎ．
存在唯一解
，
则称Ｗ，为边值问题（）的一个拟上下解对．。１若

有序Banach空间正则锥的刻画

有序Banach空间正则锥的刻画
李富民
【期刊名称】《西安石油大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(020)006
【摘要】本文在序Banach空间中引入了序闭区间套的概念,获得了闭凸锥正则的两个充要条件.
【总页数】2页(P82-83)
【作者】李富民
【作者单位】西安石油大学,理学院,陕西,西安,710065
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.在有序Banach空间锥上的逼近定理和不动点定理 [J], 李国祯;Chen,YC
2.一些正则图的锥的拉普拉斯谱刻画 [J], 刘群;张亮
3.带多面体控制锥的锥约束凸向量优化问题的有效解集的非空有界性的刻画 [J], 陈瑶;黄学祥;郭丽
4.弱正则锥和正则锥的等价性 [J], 周德堂
5.弱正则锥与正则锥的等价性 [J], 徐斌
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一类四阶奇异边值问题正解的存在性

一类四阶奇异边值问题正解的存在性
刘启德;王新华;宋颖
【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(018)002
【摘要】研究了非线性项不具有单调性的四阶奇异边值问题,利用锥上不动点定理,得到问题的C3[0,1]正解.
【总页数】4页(P14-16,20)
【作者】刘启德;王新华;宋颖
【作者单位】聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类四阶奇异边值问题正解的存在性 [J], 薛妮娜
2.一类四阶两点非线性奇异特征值常微分方程边值问题正解的存在性 [J], 席进华
3.一类四阶奇异超线性m-点边值问题正解的存在性 [J], 智婕
4.一类四阶奇异边值问题对称正解的最优存在性 [J], 张艳红
5.一类四阶奇异半正边值问题正解的存在性 [J], 盛信青;李丽杰;赵增勤
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四阶离散边值问题正解的存在性

四阶离散边值问题正解的存在性王勇【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【摘要】讨论四阶离散边值问题Δ4 u（t-2）＝ f （t ，u（t）），t ∈ T2， u （1）＝ u（T＋1）＝Δ2 u（0）＝Δ2 u（T）＝0正解的存在性，其中 f ：T2×[0，∞）（-∞，＋∞）是连续且下方有界的，T是大于或等于5的正整数，T2＝｛2，3，…，T｝。

通过线性和算子谱的性质获得正解的先验估计，在此基础上，借助Krasnoselskii-Zabreiko不动点定理给出了四阶离散边值问题正解的存在性结果。

%The paper is concerned with the existence of positive solutions for the fourth order discrete boundary value problemΔ4 u(t -2) = f (t ,u(t)) , t∈ T2 , u(1) = u(T + 1) = Δ2 u(0) = Δ2 u(T) = 0 , where f :T2 × [0 ,∞) (- ∞ ,+ ∞) is continuous and bounded below , T is an integer with T≥5 andT2={2 ,3 ,… ,T} . By use of Krasnoselskii-Zabreiko fixed point theorem and priori estimates of positive solution derived by spectral properties of associated linear summation operators , the existence results of positive solution for the four order discrete boundary value problem is given .【总页数】4页(P25-28)【作者】王勇【作者单位】江南大学理学院，江苏无锡 214122【正文语种】中文【中图分类】O175.15【相关文献】1.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋2.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋;3.带2个参数四阶边值问题的正解及多个正解的存在性 [J], 王珍燕4.一类四阶四点边值问题正解的存在性和不存在性 [J], 蒋玲芳5.四阶两点边值问题3个对称正解的存在性 [J], 达举霞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。