河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案

河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案
一、选择题
1. B
2. B
3. A
4. D
5. B
6. C
7. A
8. D
9. C 10. D
11. A 12. C 13. B 14. D 15. A
二、填空题
1. 0.4
2. 9/2
3. 1/3
4. 15
5. 15625
6. 18
7. 19
8. 27
9. 32π
10. 15/8
三、解答题
1. 解：设圆上一点为P(x, y)，圆心为O(0, 0)，半径为r。

因为P点在y轴上，所以x=0。

因为三点共线，所以直线OP过点A(-2, 0)，此时OP的斜率为2。

那么OP的斜率为
k1 = (y - 0) / (x - 0) = y / x
因为OP与y轴平行，所以k2 = -1 / k1 = -x / y。

对于圆上的任意一点(x, y)，根据勾股定理可得
x² + y² = r²
将k2带入到直线方程y = k2x + b中，再带入圆的方程可得[(1 + k2²) x² - 4k2] / (1 + k2²) + y² = r²
移项整理可得
[(1 + k2²) x² + (1 + k2²) y²] / (1 + k2²) = r² + 4k2
即
[x² + y² - 4k2] / (1 + k2²) = r²
因为(x, y)在圆上，所以r² = 4k2，代入可得
x² + y² = 8k²
又因为k = -x / y，代入可得
x² + y² = 8(x² / y²)
化简可得
x² = 8 - 8(y² / x²)
代入圆的方程可得
8 - 8(y² / x²) + y² = r²
化简可得
y² = (r² / 9) x²
又因为斜率k1 = y / x，代入可得
k1² = r² / (9x²)
代入圆上的点P(x, y)可得
k1² = 1 / 9
所以k1 = ±1 / 3
因为P点在第一象限，所以k1 = 1 / 3
代入可得x = 6，y = 2\sqrt{7}或-y = 2\sqrt{7}。

所以P点坐标为(6, 2\sqrt{7})或(6, -2\sqrt{7})。

2. 解：
∵ y = log2x
∴ 2^y = x
将x带入到式子y = log2(x + 5)中，可得
y = log2(2^y + 5)
将y = log2x代入到上式中，可得
log2x = log2(x + 5) - log22
移项整理可得
x + 5 = 2x
解得x = 5
所以y = log2x = log25 = 2
3. 解：
已知点A(1, -1)和点P(x, y)的坐标，且AP = 2以及AP与y轴的夹角为π / 3。

设点Q在y轴上，且QP ⊥ OP。

连接AQ、AP、OP三条线段，可得△QAP是一个30°-60°-90°的等腰直角三角形，所以AQ = AB = 1。

设点N在x轴上，且PN ⊥ ON。

∵ AP与y轴的夹角为π / 3
∴ tan(π / 3) = PN / AN
∴ PN = AN*√3 = √3
∵ AP = 2
∴ ON = AN - 2 = √3 - 2
∵ PN ⊥ ON
∴ ONP是一个直角三角形
∴ OP² = ON² + NP² = (3 - 2√3)² + x²
又∵ AP² = OP² + AP² = 4
∴ x² = 5 - 6√3
所以P的坐标为(√(5 - 6√3), -1 + √3)或(√(5 - 6√3), -1 - √3)。