高中数学知识点--坐标系平移

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§8-4 坐标系平移

★★在直角坐标系中平移坐标轴,把原点O(0,0)移到O '(2,-5),点A 在新坐标系中的坐标为(-3,7),则点A 在原坐标系中的坐标是______.

(A)(-1,2) (B)(1,-2) (C)(-5,12) (D)(5,-12)

解析:由已知得⎩⎨⎧-'=+'=5y y 2x x ,点A 有⎩

⎨⎧='-='7y 3x ,所以,点A 在原坐标系中的坐标是(-1,2),答案为A.

★★平移坐标系,使原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是(3,-2),则原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是______.

(A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(-5,5) (D)(5,-5)

解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==0

y 0x 时,⎩⎨⎧-='='2y 3x ,解得⎩⎨⎧=-=2k 3h ,于是,原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是(1,1),答案为A.

★★如果坐标平面内的点M(0,m)(m ≠0)经坐标系平移后的坐标是(m,0),则新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是______.

(A)(m,m) (B)(m,-m) (C)(-m,m) (D)(-m,-m)

解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==m y 0x 时,⎩⎨⎧='='0y m x ,解得⎩

⎨⎧=-=m k m h , 所以,新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是(-m,m),答案为C.

★★平移坐标系,将原点移到O '(-3,1),则曲线(y-3)2=2(x+5)在新坐标系中的方程是______.

(A)(y '-2)2=2(x '+2)

(B)(y '-6)2=2(x '+6) (C)(y '-6)2=2(x '+8) (D)y '2=2x '

解析:由已知得⎩⎨⎧+'=-'=1

y y 3x x ,所以,曲线在新坐标系中的方程是(y '-2)2=2(x '+2),答案为A.

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★★经过坐标系平移,点P 的坐标由(1,2)变为(2,1),则原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是______.

解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==2y 1x 时,⎩⎨⎧='='1

y 2x ,解得⎩⎨⎧=-=1k 1h ,于是,原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是(1,-1).

★★平移坐标系,将抛物线方程4x 2-8x+y+5=0化为标准方程2x '=a y '(a ≠0),则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是______.

解析:抛物线方程4x 2-8x+y+5=0可化为

4(x-1)2=-(y+1),令⎩⎨⎧+='-='1y y 1x x 可将其化为标准方程2x '=-y ',所以,新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是(1,-1).

★★★在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程是y=cosx,现平移坐标系,把原点移

到点O '(

2π,-2

π),则在y O x '''中,曲线C 的方程是______. (A)y '=sin x '+2π (B)y '=-sin x '+2π (C)y '=sin x '-2π (D)y '=-sin x '-2

π 解析:由已知得⎪⎩

⎪⎨⎧π-'=π+'=2y y 2x x ,所以,曲线C 在新坐标系中的方程是y '-2π =cos(x '+2π),即y '=-sin x '+2π,答案为B. ★★★★双曲线9y 2-x 2-2x-10=0的渐近线方程是______.

(A)y=±3(x+1) (B)y=±3(x-1) (C)y=±31(x+1) (D)y=±3

1(x-1) 解析:曲线方程9y 2-x 2-2x-10=0即为y 2-9)1x (2+=1,令⎩⎨⎧='+='y

y 1x x ,则在新坐标系y O x '''中,双曲线方程是2

y '-9x 2'=1,渐近线方程是y '=±31x ',所以,双曲线渐近

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线方程是y=±31(x+1),答案为C. 8.4.9★★★★与抛物线(x-1)2=4(y+1)关于原点中心对称的曲线是______. (A) (B) (C) (D)

解析:设P(x,y)是与已知抛物线关于原点中心对称的抛物线上的任意一点,它关于原点的对称点(x 1,y 1)有⎩⎨⎧=+=+0

y y 0x x 11,于是,所求抛物线方程是(x+1)2=-4(y-1),这是一条顶点为(-1,1),开口向下的抛物线,答案为B.

8.4.10★★★★将椭圆19

y 25x 2

2=+绕其左焦点按逆时针方向旋转90︒后所得椭圆方程是______.

(A)19

)4y (25)4x (2

2=-++ (B)19)4y (25)4x (22=+++ (C)125)4y (9)4x (2

2=-++

(D)125)4y (9)4x (22=+++ 解析:椭圆19

y 25x 2

2=+的左,右焦点是(-4,0)和(4,0),将其绕左焦点按逆时针方向旋转90︒后,所得新椭圆的焦点是(-4,0),(-4,8),中心坐标是(-4,4),令⎩⎨⎧+'=-'=4

y y 4x x ,则在新坐标系y O x '''中,椭圆方程是19

x 25y 2

2='+',所以,旋转后所得椭圆的方程是

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125)4y (9)4x (22=-++,答案为C. 8.4.11★★★★当0

31时,关于x 的方程|x 2|-=kx 的实根的个数是______. (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

解析:方程y=|x 2|-的曲线如图所示.当x ≥2

时,其方程是y 2=x-2(y ≥0),若它与直线y=kx 仅

有一个公共点,则由⎩⎨⎧=-=kx

y 2x y 2得

k 2x 2-x+2=0,∆=1-8k 2=0,解得k=221

>3

1,所以,当0

1时,直线y=kx 与曲线y=|x 2|-有三个公共点,即方程有三个实数根,答案为D.

8.4.12★★★★已知曲线C 1的方程是y=f(x),平移曲线C 1,使曲线上的点P 1(1,1)移到P 2(2,3),则平移所得新曲线C 2的方程是______.

(A)y=f(x+1)+2 (B)y=f(x-1)+2 (C)y=f(x-1)-2 (D)y=f(x+1)-2 解析:设P(x,y)是新曲线C 2上的任意一点,它是由曲线C 1上的点(x ',y ')平移得到的,

由已知可知是将曲线C 1向右平移1个单位,再向上平移2个单位,于是⎩⎨⎧+'=+'=2

y y 1x x ,所以,曲线C 2的方程是y=f(x-1)+2,答案为B.

8.4.13★★★★在坐标系平移变换中,(1)点的坐标;(2)曲线的方程;(3)两点间的距离;(4)曲线的形状;(5)封闭图形的面积,其中一定不发生变化的是______.

(A)(3)和(5) (B)(3),(4),(5) (C)(1)和(2) (D)全部

解析:在坐标系平移变换中,原坐标系中的图形不发生变化,所以,两点间距离,曲线的形状,封闭图形的面积不变化,而点的坐标和曲线的方程发生变化,答案为B.

8.4.14★★★★中心在(2,3),一个顶点为(3,3),一个焦点为(2,5)的椭圆方程是______. 题8.4.11