罗尔定理定义
一元函数微分学(二)
根据罗尔定理，在（0, ζ3）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0,即 f’(ζ)+2ζf’(ζ)+
ζf’’( ζ)=0，得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
1
f(x)在[1，2]上连续，
（1，2）上可导，f(1)= ，f(2)=2,证明：
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导，
(3) f (a) f (b) ．
则 y f (x) 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ＝0
罗尔(Rolle)中值定理的几何意义
罗尔定理的几何意义
拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理(
拉格朗日定理 )： 设函数 y f (x) 满足下列条件
f(ζ)、ζf’( ζ)，可以考虑原函数为 ζekζ f(ζ),经求导比较，k 取 2。
设 F(x)=x 2 f’(x),F(0)=0。
1
因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=-1，在（0，1）存在一点 ζ1，f(ζ1)= , 在（1，2）
3
1
存在一点 ζ2，f(ζ2)= 。
3
根据罗尔定理，在（ζ1, ζ2）中至少存在一点 ζ3,使得 f’(ζ3)=0，则 F(ζ3)=0。
lim
→0 ln(1 + )
ln 1 + −
→0
2
lim
洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极
限
lim
→0
1 − 2
1 + 2
洛必达(L’Hospital)法则求极限
若f(x)在x=1处的某个邻域中还有连续的一阶导数，且f(1)=1,f’(1)=0,
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理是数学中重要的定理，它在不同的时期有不同的定义、证明和应用，它的定义、证明以及应用在一定程度上表明了拓扑的发展；因此，弄清楚罗尔定理是很有意义的。
本文从定义出发，介绍了罗尔定理的内容，然后讨论了罗尔定理的证明和应用。
一、罗尔定理的定义罗尔定理是拓扑学中的一个重要定理，由美国数学家Joseph L. Roer首次提出，故又称为“罗尔定理”。
它的定义如下：设G是一个有限的无向图，则G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点。
二、罗尔定理的证明罗尔定理的证明主要分为三个部分：假设反证法、归纳法和极限技巧。
1、假设反证法假设反证法也称证明反述法，是一种常用的证明方法。
它的核心思想是假设目标结论不成立，然后通过合理推理得出一个矛盾结论，这样就可以证明目标结论的正确性。
对于罗尔定理而言，可以用假设反证法来证明：有G是一个有限的无向图，非边界顶点数为n，假设G的每个非边界顶点都有少于三个邻接顶点，也就是存在一个非边界顶点V1，有V1的邻接顶点数小于3；反证矛盾，则有G的其他n-1个非边界顶点必定都有3个邻接顶点，但此时n-1个顶点却只有n-2个，这就与G为有限无向图矛盾，所以假设不成立，即G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点，即罗尔定理的结论成立。
2、归纳法归纳法是一种总结归纳的推理方法，从已知事实出发，按照归纳逻辑，对一定范围内的所有情况进行逐一分析，可以得出某种普遍结论。
对于罗尔定理而言，可以用归纳法来证明：假设G是一个有限的无向图，非边界结点数为n，那么有G的每个非边界结点的邻接结点数之和为3n，而G的边数必定小于等于3n。
通过归纳推理，可以把上述结论推广到n=1，2，3，…的情况，得出一般的结论，即G的每个非边界顶点至少有三个邻接顶点，即罗尔定理的结论。
3、极限技巧极限技巧也称定向法，是拓扑学中常用的一种证明方法。
它的核心思想是：用数量极限方法可以证明两个无关的定理及其它事实。
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
微分中值定理【高等数学PPT课件】(2024版)
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
由罗尔定理知至少存在一点 思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
在( a , b ) 内至少存在一点 使 证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例如,
例1 证明方程 至少有一个小于1的正实根.
证： 作辅助函数
显然
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且
由罗尔定理知，在(0,1)内至少
存在一点续， 使
则在区间I上，f(x)=g(x)+c (c为常数).
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
5
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
第四章 中值定理及其应用
则F( x) f ( x) g( x) 0.
F( x) C, 即f ( x) g( x) C.
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例3、证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2
证：(arcsin x arccos x) 1 1 x2
由f ( x)、g( x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，
f ( ) f (b) f (a) (1)
ba
g( ) g(b) g(a) (2)
ba
(1) (2)得： f ( ) f (b) f (a) . 这样证可以吗？ g( ) g(b) g(a)
分析：条件中比罗尔 b a y
定理少了第三个条件.
C
y f (x)
M
B
由于直线AB对应的函数为
A
N
g(x)
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a).o
a
x
D
bx
且从图中可知 f ( x)与g( x)在x a及x b的值相等，
故G( x) f ( x) g( x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件.
证： f ( x)在[a,b]上连续, o a
bx
f ( x)在[a，b]上必取得最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m，则f ( x) C，所以在(a，b)内，有 f ( x) 0.
(a,b)，有f ( ) 0，故结论成立.
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3、罗尔定理：设f ( x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导
2
2
故 arcsin x arccos x (1 x 1).
高等数学6讲中值定理
第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理（RolleTheorem）是求解单变量函数微分方程的一个基本定理，它最初是由法国数学家特朗罗尔在1691年提出来的。
罗尔定理它说明了在满足某些特定条件的情况下，某一个函数的一阶导数存在且满足某一条件，它是实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
一、罗尔定理的内容罗尔定理是指，设在[a,b]上已知f(a) = f(b),且f(x)在区间[a,b]上连续可导，则存在某个c∈(a,b)，使得f(c)= 0。
它概括地说明了，在函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)=f(b)，并且f(x)在区间[a,b]上连续可导的情况下，那么函数f一定存在极值点，也就是一阶导数f(x)在某一点存在且为零，也就是f(c)=0。
二、罗尔定理的证明设f(x)在区间[a,b]上连续可导，f(a)=f(b)（设f(a)≠f(b)，不妨设f(a)>f(b)），证明f(c)=0。
我们假定c∈(a,b)，如果f(a)>f(b)，那么说明f在[a,b]上是连续的凸函数，其一阶导数f(x)也是连续的，存在一点c∈(a,b),使得f(c)=0。
由此，根据函数微分的定义，可知$$f(c)=lim_{xrightarrowc}frac{f(x)-f(c)}{x-c}=frac{f(b)-f(c)}{b-c}+frac{f(c)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-c} +frac{f(a)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于f(a)=f(b),以f(c)=0,即c为f(x)的极值点。
综上所述，罗尔定理说明了在满足某些特定条件的情况下，一个函数f一定存在一个极值点，其一阶导数f(x)在某一点存在且为零，由此可以应用在解决实变函数微分方程的应用中，成为实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
详细的推导过程在本文中已经完全说明，罗尔定理在实际中不断发挥着重要作用。
第四章 微分中值定理
罗尔定理的几何意义，如下图
y
0
a
b
x
注意：定理中的条件是充分条件
y y
.
0
。
.
b
。 x
a
.
0 1
x
y
y
。
0
1
2
x
.
0 1
x
2.
拉格朗日定理
定理2. 拉格朗日 ( Lagrange 定理 ) 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) f (b) f (a ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ba f (b) f (a ) 证明：作辅助函数 F ( x) f ( x ) x ba
n n 例15. 求 lim ( n 1) n ln n
(1 x) e 例16. 求 lim x 0 x
1 x
例17 . 求 lim ln x ln(1 x)
x 1
例18. 确定常数 k 使 1 x 1 x ,x 0 f ( x) e k, x 0 连续。
上式即为一阶泰勒公式
由拉格朗日定理知：
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) , 介于x、x0 之间。
f ( x0 ) 又设 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! 3 k 2 ( x x0 ) f ( ) 同理可得 : k 2 3! f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( ) 3 ( x x0 ) 3!
第二章 一元函数微分学(六)微分中值定理
二 拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 ( a , b )内可导 至少存在一点
O
A
a 1
y
C1
B
C2
2
b x
使 f ( )
或 f b f a f b a
f (b) f (a ) ba
由罗尔定理知, 至少存在一点 使 即
f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b)
x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 证: 设
由推论可知 令 x = 0 , 得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
三 柯西中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 及 满足 : (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 ( a , b )内可导 (3) 对任一 x (a , b), 至少存在一点 问题转化为证 构造辅助函数 注：拉格朗日定理是其特殊情况
f (b) f (a ) F ( ) f ( ) 0 F (b) F (a )
f (b) f (a ) f ( ) . 使 F (b) F (a ) F ( )
( )
f (b) f (a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a )
注：罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况
罗尔定理
罗尔定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。
这个定理称为罗尔定理。
证明首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。
如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。
那么对于任一点，我们都有。
现在假设在处取得最大值。
我们只需证明在该点导数为零。
取，由最大值定义，那么。
令，则。
因为在处可导，所以我们有。
取，那么。
这时令，则有，所以。
于是，。
在处取得最小值的情况同理。
例子第一个例子半径为r的半圆考虑函数（其中r> 0。
）它的图像是中心位于原点的半圆。
这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。
由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。
第二个例子绝对值函数的图像如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。
对于某个a> 0，考虑绝对值函数：那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。
这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。
注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。
推广形式第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限而左极限在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。
如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。
ch51微分中值定理
lim f ( x) f ( x0 ) 0.
x x0
x x0
数学分析
注记：1. f ( x)在一个区间中极值点可以有无数个。如
在(0,1)中考虑函数 f ( x) sin 1 ，则 x
x 2 (n 0,1,2,) 都是 f ( x)的极值点，当n为
(2n 1)
偶数时为极大值点，而当n为奇数时为极小值点。
由于qn ( x)是n次多项式，它在( 1,1)中至多只能有n 个根，因此，qn ( x)在( 1,1)中恰有n个根。
因为 pn ( x)与qn ( x)只相差一个系数，所以以上结论 对于 pn ( x)也是成立的。
Legendre（勒让德）多项式是数学物理中一个重要的 特殊函数。
数学分析
二、拉格朗日 ( Lagrange ) 中值定理
1。再由Rolle 定理，q2n2 ( x) q2 n1 ( x)在( 1,x11)和
(
x11
,1)中至少各有一个根，将它们记为
x
和
21
x22
。
数学分析
q2n2 ( x)在[ 1,1]上至少有四个相异的根：-1， x21， x22和1。
反复使用Rolle定理，运用数学归纳法可以证明：
qn1( x)在[ 1,1]上至少有n 1个相异的根，最后再 用一次Rolle定理，便知qn ( x) qn 1( x)在( 1,1)中至少 有n个相异的根。
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉格朗日中值定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 ,由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。
Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.驻点、奇异点和临界点(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。
Stationary Point, Singular Point, and Critical Point(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .罗尔定理 (Rolle's Theorem)如果函数()f x 满足 :(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。
高等数学第四章中值定理及其应用
当x
x0时，有 f ( x0 ) f(
f (x) x
x0 )
f( x0 lim
x x0
x0 ) f (x)
x
0. f( x0
f (x) x
x0 )
f( x0
0，
x0)0，故f ( x0 ) f( x0 ) f ( x0 ) 0.
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) 0， x0
则f ( x1 ) f ( x2 ) 0， 又f ( x)在[ x1，x2 ]上连续，在( x1，x2 )内可导， 所以至少存在一点 ( x1，x2 ) (0，1)，使得f ( ) 0.
f ( x) 5 x4 1，
当x (0，1)时，f ( x) 0，与f ( ) 0矛盾. 故方程 x5 1 x在(0，1)内有且仅有一个实根.
几何解释:
y f (x)
曲线y f ( x)上至少有一点
C , 在该点处的切线平行x轴.
证：只证f ( x) f ( x0 )情形 o a x0
bx
由f ( x)
f ( x0 )得：当x
x0时，有
f (x) x
f ( x0 ) 0， x0
当x
x0时，有
f
( x) x
f ( x0 ) x0
0.
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一、罗尔定理
1、费马定理：设函数f ( x)在点x0的某邻域U ( x0， )内
有定义且在点x0处可导，若x U ( x0， )，有
f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )）
则f ( x0 ) 0.
证：只证f ( x) f ( x0 )情形
由f ( x) f ( x0 )得：当x x0时，有
中值定理1
(2) f ( x) D(a,b); f (a) A
B
(3) f (a) f (b).
y f (x)
则至少一点 (a,b),
x
使 f ( ) 0.
0 a 1
2
b
罗尔定理
若f ( x)满足： (1) f ( x) C[a,b];
(2) f ( x) D(a,b);
(3) f (a) f (b).
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
问题： 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是否为一个常数？
定理 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零 , 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数 .
证 在区间上任取两点x1、x2( x1 x2 )
例4 设f ( x) x2 2x 3
(x 3)(x 1). 则f ( x) C[1,3],
f ( x) D(1,3),
且 f (1) f (3) 0,
(3) f (a) f (b).
f (x) 2(x 1),
则至少一点 (a,b), 使 f ( ) 0.
取 1, (1(1,3))
4、 证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上.
3、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
罗尔定理条件要求函数在闭区间ab内连续
罗尔定理条件要求函数在闭区间ab
内连续
有关罗尔定理，作为一项重要理论，一直令研究人员著迷。
简单来说，罗尔定
理是一种严格的数学定理，它声称任一定义在定义域内的连续函数的极限存在时，它在任一区间内也是连续的，这就是它所确立的关系。
罗尔定理的前提基础是“连续性”，从数学术语上讲，这是指其对应变量不断
变化以致于其函数图像连续的概念。
因此，罗尔定理要求函数在闭区间ab内连续，也就是说，该函数在区间ab内没有任何离散点或孔。
只有连续函数才能将开区间
ab内的变量转化为关于x的函数。
有了罗尔定理，就能够将函数的极限结果直接运用到ac的闭区间内。
因此，
对于寻求函数的极限值，无论是近似值还是精确值，都大大简化了计算。
由于罗尔定理涉及う到函数连续性，它在数学函数、解析学和其他有关领域中都有广泛的运用性。
从实际应用角度分析，罗尔定理用于保证求真实极值的准确性，能帮助研究人
员快速准确揣测数据的行为特征，为具体的事件及情景推导结论提供支撑。
罗尔定理也可以结合数学渐近理论、量子物理学的理论框架，来证明科学现象的性质及特性。
综上所述，罗尔定理为科学研究道路上的解释提供了依据，可谓关键部分。
罗尔定理[1]
![罗尔定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/90203344a8114431b90dd88e.png)
y
(1) f ( x) C[1,1];
(2) f ( x) D(1,1);
(3) f (1) f (1).
1 0
不 ,使f ( ) 0.
例3 f ( x) x, x [0,1]; y (1) f ( x) C[0,1];
(2) f ( x) D(0,1);
(3) f (0) f (1).
f ( x)在该点的导数等于零，即
f '() 0
几何解释:
y
C
y f (x)
o a 1
在曲线弧AB上至少有一 点C, 在该点处的切线是 水平的.
2 b x
引例：
f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1),
x [0, 3) 2
x3 2
对以上三个函数Rolle定理结论均成立
三、罗尔定理的初步应用
例1
验证罗尔定理对
y
f
(x)
ln
sin
x
在
[
,
5
]
上
66
的正确性.
解 函数f(x)的定义域: 2k x 2k , (k 0,1,)
f(x)在 [ π , 5π] 上连续.
66
又 y cot x 在 ( , 5)内处处存在 66
并且 f () f (5) ln 2
6
6
函数 y ln sin x 在 [ , 5] 上满足罗尔定理 66
的条件.
由 y cot x 0,
在 ( , 5)内显然有解 x .
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罗尔定理是微分学中的一条重要定理，它被命名为法国数学家米歇尔·罗尔而得名。
该定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的现代证明是基于中值定理（也被称为介值定理或零点定理）。
在这个定理的现代形式中，我们注意到的关键条件是在闭区间上[a,b]的连续性和在开区间(a,b)的可导性。
这两个条件保证了函数在区间内的变化是连续的，并在每一点都有切线。
第三个条件f(a)=f(b)则表明函数在两个端点的值是相等的，这意味着函数在整个区间上的变化是平滑的，没有跳跃。
这些条件一起保证了在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的应用非常广泛，例如在微分方程、函数的不等式和积分等领域。