五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用

最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数与最小公倍数的应用比较
在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。

一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。

不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）
1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？
分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。

又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）
或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）
2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？
分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长
（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形
或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）
对比例子（二）
1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？
分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。

已知长方体的长宽高，即已知总体，求小正方体，即求部分，用最大公约数解题。

（56，40，24）=8-------这就是小正方体的棱长。

（56÷8）×（40÷8）×（24÷8）=105块
或用体积计算：（56×40×24）÷（8×8×8）=105块。

2．一种长方体积木，长16CM，宽10CM，高8CM，用这样的长方体积木堆成一个正方体，至少需要多少块？
分析：正方体是用小长方体堆成的，所以正方体是总体，长方体是部分。

题目已知长方体的长宽高，知道部分，所以用最小公倍数解题。

〔16，10，8〕=80------即正方体的棱长。

用体积算：80×80×80÷(16×10×8)=400块
对比例子（三）
1．五（1）班有学生50人，五（2）班有学生45人参加校外活动，要把他们分别分成人数相等的若干小组，每组最多有多少人？一共可以分成多少组？
分析：班包括组，所以班是总体，组是部分。

题目已知总学生人数，即知道总体，求组，即求部分，用最大公约数解题。

（50，45）=5-------即每组的人数。

（50+45）÷5=19（组）
2．五（1）班同学参加校广播操比赛，如果按16人一排或12人一排都正好分完，全班至少有多少学生。

分析：班包括排，所以班是总体，排是部分，题目告诉每排人数，即已知部分，求全班人数，即求总体，所以用最小公倍数解题。

〔16，12〕=48（人）
变形题：
大家仔细看以上的每一道题，题目中都会有这样的词：“最多”、“至少”等，如果题目中没有类似的词语，这时我们只需把上面的法则中的“最大公约数”改成“公约数”，“最小公倍数”改成“公倍数”即可，思路不变。

对比例子：
1．把420个苹果和252个桔子分别平均分配到若干只水果篮里，水果篮的只数在30---50之间，正好分完。

问有多少只篮子？
分析：已知总的水果数，求分后的水果数，用公约数解题。

篮子数×每只篮子苹果数=420
篮子数×每只篮子桔子数=252
可知篮子数为420与252的公约数，而且这个公约数应在30---50间。

420与252的公约数在这个范围内只有42。

所以篮子数是42只
2．幼儿园买来一些糖果，如果每个小朋友分4个或者分6个，都正好分完。

这些糖果的个数在130—140间，幼儿园买来多少个糖果？
分析：已知每个小朋友的糖果数，即部分，求总的糖果数，即总体，用公倍数解题。

由于总的糖果4个4个分，或者6个6个分都正好分完，说明总的糖果数是4、6的公倍数，而且这个公倍数应该在130---140间，是最小公倍数的几倍。

〔4，6〕=12 12×11=132 即为总的糖果数。

例2．用某数去除600余5，去除818余13，去除871少4。

求某数最大是多少？
分析：根据已知条件可知：只要把600减去5、818减去13、871增加4后，这三个数都能被某数整除。

再根据题中要求某数最大是多少，显然就是求（600-5）、（818-13）、（871+4）这三个数的最大公约数。

例3．把450个苹果和250个橘子平均分配在若干只水果篮子里，水果篮的只数在30—50之间。

分到最后苹果余30个，橘子少2个，问有多少只水果篮？
分析：依题意可知：水果篮里需要放苹果450-30=420（个），放橘子是250+2=252（个）。

由于水果篮放的各种水果要分别相同，即篮子数×苹果数=420，篮子数×橘子数=252
所以篮子数应该是420、252的公约数，而且是在30—50间的公约数，只有42。

例4．有一袋水果糖，4块4块地数多3块，6块6块数多5块，15块15块数多14块，这袋糖在150—200块之间，问有多少块？
分析：由题目可知：只要增加一块糖，正好是4、6、15的公倍数，也就是说这袋糖的块数比4、6、15的公倍数少一块，而这个公倍数是在150—200之间，我们可以先求出4、6、15的最小公倍数，再找出这个最小公倍数在150—200的倍数即可以了。

例5．五年级学生去春游，他们乘船过河，如果5人一船则多2人，如果6人一船则少4人，如果7人一船则少5人，问五年级至少多少名学生？
分析：如果6人一船则少4人，实际上是6人一船则多2人；如果7人一船则少5人，实际上也是7人一船则多2人。

所以把总学生数减少2人，正好是5、6、7的公倍数，即五年级总人数应是5、6、7的公倍数加上2人。

而该题是已知部分求总体，所以用最小公倍数的方法解题。

所以五年级学生数是5、6、7的最小公倍数加上2人。

用最大公因数数解决生活中的相关问题
1、有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24个与36个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆？
2、甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有143人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人？这时候甲队可分成多少组？乙队可分成多少组？
3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多，则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？
4、把一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余，裁成的正方形的边长最大是几厘米？一共可以裁成多少个?
5、有两根同样长的铁丝，第一根长15厘米，第二根长18厘米，要把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少？一共能截成多少段？
用最小公倍数解决生活中的相关问题
1、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。

问：拼成的正方形的边长可能是多少？
2、美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次，B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？
3、王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则下一次是几月几日一起回家？
4、新客站是1路车和2路车的起点站，1路车10分钟发一辆车，2路车15分钟发一辆车，早晨6：10两车同时发车，经过多少时间两车再次同时发车？到什么时候两车同时发车？
5、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？有一些糖果，分给8个人或分给10个人，都是还多3粒，这些糖果最少有多少粒？
6、一筐鸡蛋，3个3个数，最后多1个；5个5个数，最后多1个；6个6个数，最后也多1个。

这些鸡蛋至少有多少个？
1、一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？
2、五（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。

这个班可能有学生多少人？
3、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
4、园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽了74棵。

现在要改成每隔6米栽一棵树。

那么，不用移栽的树有多少棵？
5、张大伯卖了一天的水果，晚上数钱时，他发现手头的一叠纸币是一些贰元的和伍元的。

张大伯把这叠钱分成钱数相等的两堆，第一堆中伍元和贰元的钱数相等，第二堆中伍元与贰元的张数相等。

你知道这一叠纸币至少有多少元？
6、光明小学五年级学生，分为7人一组、8人一组或6人一组排队做操，都恰好分完，五年级至少有多少学生？
7、现在有1～10这10个自然数，请你根据学过的数的整除的知识，要求找出与众不同的数，试着写，并写出理由。

8、有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，最后一捆是30本。

这批图书有多少本？
9、有4米和6米两种规格的木条若干根，如果把同样规格的木料相接，那么4米与6米长的木料至少分别要多少根，接成的木料有多长？
10、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？被剪成几块？
11、汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？几辆中巴车？（发第一辆车不需等）
公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。

这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。

解答公约数或公倍数问题的关键是：从约数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公约数问题。

例如：
1、有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。

即：（325、175、75）=25（厘米）
因为325÷25=13
175÷25=7
75÷25=3
所以13×7×3=273（个）
答：能分为小立方体273个，小立方体的每条棱长为25厘米。

2、有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。

求这个两位数是多少？解：这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。

也就是说，这个两位数是48的约数。

同理，这个两位数也是60、72的约数。

所以，这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、
3、
4、6、12，而满足条件的只有公约数12，即（48、60、72）=12。

答：这个两位数是12。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与公倍数问题。

解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。

三、考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

四、典型例题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

解答：
（18、24、30）＝6
（18+24+30）÷6＝12段
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。

例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分析与解：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

解答：
（36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15个
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。

例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
分析与解：
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

解答：
（1）最多可以做多少个花束
（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花
96÷24＝4朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花
72÷24＝3朵
（4）每个花束里最少有几朵花
4+3＝7朵
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
分析与解：
这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

解答：
［5、10、6］＝30
答：最少过30分钟再同时发车。

例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
分析与解：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。

这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。

至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

解答：
（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［3、12、5］＝60
（2）第一道工序应安排多少人
60÷3＝20人
（3）第二道工序应安排多少人
60÷12＝5人
（4）第三道工序应安排多少人
60÷5＝12人
例6、有一批机器零件。

每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少
1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。

这些零件总数在300至400之间。

这批零件共有多少个？
分析与解：
每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。

也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。

解答：
如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。

1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个
［12、18、15］＝180
2、在300至400之间的180的倍数是多少
180×2＝360
3、这批零件共有多少个
360-1＝359个
例7、公路上一排电线杆，共25根。

每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析与解：
不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。

要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。

解答：
1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［45、60］＝180（米）
2、公路全长多少米？
45×（25-1）＝1080（米）
3、可以有几根不需要移动？
1080÷180+1＝7（根）
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
分析与解：
根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。

4×252÷28=1008÷28=36
【模拟试题】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B 两个自然数的和是多少？
【试题答案】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。

其中最大的一个是12。

2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。

3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

答：它们的最小公倍数是35。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是24和40。

5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

答：另一个数是42。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要221块水泥板。

7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。

8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答：这两个数是42和6或18和30。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。

10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B 两个自然数的和是多少？
答：A、B两个自然数的和是48。