五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
五年级奥数小学数学培优 第4讲 巧解最大公约数与最小公倍数问题doc.
第___讲巧解最大公约数与最小公倍数问题方法和技巧：任取几个非零数，它们都会有很多相同的约数，也会有一些相同的倍数。
相同约数中最小的一个总是1，最大的一个就是它们的最大公约数；而零则是每个非零整数的倍数，这些数的相同倍数中没有最大的，最小的一个就是它们的最小公倍数。
例1：一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。
现在要把它裁成面积相等的正方形，而且正方形边长为整厘米数，问：有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，问：可以裁成多少块？做一做1：将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。
问：小正方形的面积最大是多少？例2:甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问：至少再过多少天，他们三人又会在图书馆相会？做一做2：五年级一班的同学每周一都要去看望军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天这三个班的同学会再次同一天去张爷爷家？例3:把26,33,34,35,63,85,91,143这8个数分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数都是1。
那么，至少要分几组？做一做3：把下面几个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。
14,33,35,30,75,39,143,169例4:从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形制片上，剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？做一做4：用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余。
问：这些正方形的边长最长是多少？例5:两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？做一做5：两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，问：这两个数是多少？例6:在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
五年级奥数上册第四讲.最大公约数和最小公倍数
分类讨论
• • • • • • 如果d=1时： 由d(a1－b1)=4得a1－b1=4； 由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
• • • • • • • • • • •
如果d=2时： 由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2； 由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数 是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等 于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最 大公约数与最小公倍数的积为252，求这两 个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2
五年级奥数基础教程-最大公约数与最小公倍数小学
最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
(完整word版)五年级奥数-最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。
包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。
如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。
五年级奥数专题 约数、倍数、完全平方数(学生版)
学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。
2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
五年级奥数-最大公约数与最小公倍数
1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。
4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。
7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。
9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。
10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？16．从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？17．在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？18．每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？19．现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？20．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（3）1．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
五年级下册数学专项训练 奥数第四讲 最大公约数和最小公倍数 _ 全国版 (含答案)
第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。
假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。
那么md是a、b的公约数。
又∵m＞1，∵md＞d。
这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。
定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。
答：乙数是32。
解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。
因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。
所以，乙数=4×8=32。
答：乙数是32。
例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。
11北京版小五奥数教材课程十一、最大公约数和最小公倍数
课程十一最大公约数和最小公倍数1.倍数与约数的特性2.倍与倍数的特性3.分解质因数法4.短除法5.辗转相除法1.几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做 这几个数的最大公约数。
2.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做 这几个数的最小公倍数。
1.两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
2.两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。
3.两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
4.两数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两数之积。
5.两数成倍数关系，最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数。
学习目标重 点总 结引 入家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 叫做这几个数的最大公约数。
例如：12，16的公约数有1，2，4，其中最大 的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12,16）=4。
12,15,18 的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个， 叫做这几数的最小公倍数。
例如：4的倍数有4，8，12，16，…，6的倍数 有6，12，18，24，…，4和6的公倍数有12，24，…，其中最小的是12， 一般记为[4,6]=12。
12，15，18的最小公倍数是180。
记为[12，15，18]=180。
分解质因子法把每个数分别分解质因子，再把各数中的全部公有质因子提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如：求24和60的最大公约数，先分解质因子，得24=2×2×3，12 15 18 4 5 632 2 53 60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因子是2，2，3它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
把几个数先分别分解质因子，再把各数中的全部公有的质因子和独有的质因子提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
小学五年级数学上册《最小公倍数》教案：最小公倍数和最大公约数的应用场景有哪些？
小学五年级数学上册《最小公倍数》教案：最小公倍数和最大公约数的应用场景有哪些？最小公倍数和最大公约数是小学数学中的重要概念之一。
在小学五年级数学上册中，我们学习了最小公倍数的概念、求法及其应用。
最小公倍数和最大公约数的应用场景有哪些呢？本篇文章将为大家详细介绍。
一、最小公倍数的概念和求法我们来了解一下最小公倍数的概念和求法。
最小公倍数，简称最小倍数，是若干个正整数公有的倍数中最小的一个。
比如，6和8的公倍数有6、8、12、24等，其中最小的是24，6和8的最小公倍数为24。
求最小公倍数有两种常用方法：1. 分解质因数法将所给的几个数都分解质因数，把每个质因数的最高次幂相乘即可。
比如，求12和20的最小公倍数，将它们分解质因数：12=2×2×320=2×2×5把每个质因数的最高次幂相乘：最小公倍数=2×2×3×5=6012和20的最小公倍数为60。
2. 倍数相乘法将所给的几个数分别乘以一个相同的数，直到它们的倍数相等，把这个相同的数作为最小公倍数即可。
比如，求6和9的最小公倍数，分别将它们乘以2和3：6×2=129×3=27此时，它们的最小公倍数为12×3=36。
二、最小公倍数的应用场景最小公倍数不仅在数学运算中有应用，也经常出现在日常生活中，例如：1. 分糖果和瓜果小学生分糖果或瓜果时，如果每个人分到的个数要一样多，就需要求出糖果或瓜果数的最小公倍数。
比如，班级里有24个学生，老师给他们分糖果，每个学生分到的个数相同且最多为6个，需要求出24和6的最小公倍数，即24÷6=4，每个学生最多分4个糖果。
2. 日历要知道某几个日期中所有日期的排列顺序，就需要使用最小公倍数。
比如，如果要知道在2024年中每隔4天出现的是星期几，就需要求出4和7（一周有7天）的最小公倍数，即28，每隔28天后就是重复的星期几。
五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数 (例题含答案)
五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数(例题含答案)第三讲：最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，称为这几个数的公约数；其中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18.12和18的公约数有1、2、3、6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6.2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数；其中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12、24、36、48、60、72、84……；18的倍数有18、36、54、72、90……。
12和18的公倍数有36、72……，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36.3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数称为互质数。
二、例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：要求的数去除30、60、75都能整除，因此要求的数是30、60、75的公约数。
又因为要求符合条件的最大的数，因此就是求30、60、75的最大公约数。
解：（30，60，75）=5×3=15，这个数最大是15.例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析：由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。
解：［3，4，5］=3×4×5=60，用3、4、5除都能整除的最小的数是60.例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，且无剩余，因此每段长度必是120、180和300的公约数。
又因为每段要尽可能长，因此要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数。
解：（120，180，300）=30×2=60，每小段最长60厘米。
五年级奥数-最小公约数和最大公倍数
五年级奥数-最小公约数和最大公倍数最小公约数和最大公倍数是数学中常见的概念，同时也是五年级奥数考试中的重要内容。
了解并掌握最小公约数和最大公倍数的概念和计算方法，对于解决数学题目和提高数学能力非常有帮助。
最小公约数最小公约数是指两个或多个数共有的约数中最小的那个数。
计算最小公约数有多种方法，常用的方法是因数分解法和短除法。
因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最小公约数的数，将其分解为质因数的乘积形式。
2. 找出所有数的质因数，并列出每个质因数的最小次数。
3. 最小公约数就是这些质因数的乘积。
例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）15和20：15 = 3 * 520 = 2 * 2 * 5最小公约数就是两个数的质因数的公共部分，即5。
短除法短除法适用于两个数字较小的情况。
步骤如下：1. 用一个数除以另一个数，并将商和余数的结果写下来。
2. 用余数再次除以商，直到余数为0。
3. 最后一次的除数即为最小公约数。
例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）24和36：36 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0最小公约数为12。
最大公倍数最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的那个数。
计算最大公倍数有多种方法，常用的方法包括因数分解法和倍数法。
因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最大公倍数的数，将其分解为质因数的乘积形式。
2. 将所有数的质因数以最高次数的形式列出。
3. 最大公倍数就是这些质因数的乘积。
例如，我们要计算最大公倍数18和24：18 = 2 * 3 * 324 = 2 * 2 * 2 * 3最大公倍数为2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72。
倍数法倍数法适用于两个数字较小的情况。
步骤如下：1. 找到两个数的公共倍数。
2. 最小的公共倍数即为最大公倍数。
例如，我们要计算最大公倍数15和20：15的倍数：15, 30, 45, 60, 75, ...20的倍数：20, 40, 60, 80, 100, ...最小的公共倍数即为60。
五年级奥数讲义：最大公约数与最小公倍数
五年级奥数讲义：最大公约数与最小公倍数一、知识点b,称a是b倍数,b是a约数。
1.定义：ba,是整数,若a几个数公共的约数称为公约数,公约数的个数是有限的,其中最大的一个称为最大公约数；几个数公共的倍数称为公倍数,公倍数的个数有无限多个,其中最小的一个称为最小公倍数。
特别地, 1是所有数的公约数。
两个数ba,的最大公约数记为)a；ba,的最小公倍数记为[]b a,。
,(b若，ba称ba,互质。
(=1),2.性质（1）两个数的公约数是这两个数最大公约数的约数；两个数的公倍数是这两个数最小公倍数的倍数；（2）两个数分别除以它们的最大公约数,所得商是互质的；（3）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
3.求最大公约数和最小公倍数的方法（1）列举法；（2）分解质因数法；（3）短除法；（4）辗转相除法。
二、例题精讲例1 24和30的公约数有____________,最大公约数是________,最小公倍数是_________。
54，。
例2 分别用短除法和分解质因数法求：）54,[]90（90,例3 利用辗转相除法求377和221的最大公约数。
例4 已知两个数的最大公约数是，6最小公倍数为，144则这两个数为___________。
例5 两个数的最大公约数是，6最小公倍数是，420这两个数相差，18则较小的数是_______。
例6 有两个正整数b a ,,已知[],280,=b a ()14,=b a ,若,70=a 则=b _________。
例7 老师给班上同学发水果,一共有59个苹果,97个梨,平均分给班上的同学,最后 剩下5个苹果,7个梨,则班级一共有___________名学生。
例8 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。
一个星期一,他们三人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？三、水平测试1.[]__________=28=，（。
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最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
已知长方体的长宽高，即已知总体，求小正方体，即求部分，用最大公约数解题。
（56，40，24）=8-------这就是小正方体的棱长。
（56÷8）×（40÷8）×（24÷8）=105块或用体积计算：（56×40×24）÷（8×8×8）=105块。
2．一种长方体积木，长16CM，宽10CM，高8CM，用这样的长方体积木堆成一个正方体，至少需要多少块？分析：正方体是用小长方体堆成的，所以正方体是总体，长方体是部分。
题目已知长方体的长宽高，知道部分，所以用最小公倍数解题。
〔16，10，8〕=80------即正方体的棱长。
用体积算：80×80×80÷(16×10×8)=400块对比例子（三）1．五（1）班有学生50人，五（2）班有学生45人参加校外活动，要把他们分别分成人数相等的若干小组，每组最多有多少人？一共可以分成多少组？分析：班包括组，所以班是总体，组是部分。
题目已知总学生人数，即知道总体，求组，即求部分，用最大公约数解题。
（50，45）=5-------即每组的人数。
（50+45）÷5=19（组）2．五（1）班同学参加校广播操比赛，如果按16人一排或12人一排都正好分完，全班至少有多少学生。
分析：班包括排，所以班是总体，排是部分，题目告诉每排人数，即已知部分，求全班人数，即求总体，所以用最小公倍数解题。
〔16，12〕=48（人）变形题：大家仔细看以上的每一道题，题目中都会有这样的词：“最多”、“至少”等，如果题目中没有类似的词语，这时我们只需把上面的法则中的“最大公约数”改成“公约数”，“最小公倍数”改成“公倍数”即可，思路不变。
对比例子：1．把420个苹果和252个桔子分别平均分配到若干只水果篮里，水果篮的只数在30---50之间，正好分完。
问有多少只篮子？分析：已知总的水果数，求分后的水果数，用公约数解题。
篮子数×每只篮子苹果数=420篮子数×每只篮子桔子数=252可知篮子数为420与252的公约数，而且这个公约数应在30---50间。
420与252的公约数在这个范围内只有42。
所以篮子数是42只2．幼儿园买来一些糖果，如果每个小朋友分4个或者分6个，都正好分完。
这些糖果的个数在130—140间，幼儿园买来多少个糖果？分析：已知每个小朋友的糖果数，即部分，求总的糖果数，即总体，用公倍数解题。
由于总的糖果4个4个分，或者6个6个分都正好分完，说明总的糖果数是4、6的公倍数，而且这个公倍数应该在130---140间，是最小公倍数的几倍。
〔4，6〕=12 12×11=132 即为总的糖果数。
例2．用某数去除600余5，去除818余13，去除871少4。
求某数最大是多少？分析：根据已知条件可知：只要把600减去5、818减去13、871增加4后，这三个数都能被某数整除。
再根据题中要求某数最大是多少，显然就是求（600-5）、（818-13）、（871+4）这三个数的最大公约数。
例3．把450个苹果和250个橘子平均分配在若干只水果篮子里，水果篮的只数在30—50之间。
分到最后苹果余30个，橘子少2个，问有多少只水果篮？分析：依题意可知：水果篮里需要放苹果450-30=420（个），放橘子是250+2=252（个）。
由于水果篮放的各种水果要分别相同，即篮子数×苹果数=420，篮子数×橘子数=252所以篮子数应该是420、252的公约数，而且是在30—50间的公约数，只有42。
例4．有一袋水果糖，4块4块地数多3块，6块6块数多5块，15块15块数多14块，这袋糖在150—200块之间，问有多少块？分析：由题目可知：只要增加一块糖，正好是4、6、15的公倍数，也就是说这袋糖的块数比4、6、15的公倍数少一块，而这个公倍数是在150—200之间，我们可以先求出4、6、15的最小公倍数，再找出这个最小公倍数在150—200的倍数即可以了。
例5．五年级学生去春游，他们乘船过河，如果5人一船则多2人，如果6人一船则少4人，如果7人一船则少5人，问五年级至少多少名学生？分析：如果6人一船则少4人，实际上是6人一船则多2人；如果7人一船则少5人，实际上也是7人一船则多2人。
所以把总学生数减少2人，正好是5、6、7的公倍数，即五年级总人数应是5、6、7的公倍数加上2人。
而该题是已知部分求总体，所以用最小公倍数的方法解题。
所以五年级学生数是5、6、7的最小公倍数加上2人。
用最大公因数数解决生活中的相关问题1、有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24个与36个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆？2、甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有143人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人？这时候甲队可分成多少组？乙队可分成多少组？3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多，则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？4、把一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余，裁成的正方形的边长最大是几厘米？一共可以裁成多少个?5、有两根同样长的铁丝，第一根长15厘米，第二根长18厘米，要把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少？一共能截成多少段？用最小公倍数解决生活中的相关问题1、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的边长可能是多少？2、美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次，B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？3、王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则下一次是几月几日一起回家？4、新客站是1路车和2路车的起点站，1路车10分钟发一辆车，2路车15分钟发一辆车，早晨6：10两车同时发车，经过多少时间两车再次同时发车？到什么时候两车同时发车？5、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？有一些糖果，分给8个人或分给10个人，都是还多3粒，这些糖果最少有多少粒？6、一筐鸡蛋，3个3个数，最后多1个；5个5个数，最后多1个；6个6个数，最后也多1个。
这些鸡蛋至少有多少个？1、一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？2、五（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。
这个班可能有学生多少人？3、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？4、园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽了74棵。
现在要改成每隔6米栽一棵树。
那么，不用移栽的树有多少棵？5、张大伯卖了一天的水果，晚上数钱时，他发现手头的一叠纸币是一些贰元的和伍元的。
张大伯把这叠钱分成钱数相等的两堆，第一堆中伍元和贰元的钱数相等，第二堆中伍元与贰元的张数相等。
你知道这一叠纸币至少有多少元？6、光明小学五年级学生，分为7人一组、8人一组或6人一组排队做操，都恰好分完，五年级至少有多少学生？7、现在有1～10这10个自然数，请你根据学过的数的整除的知识，要求找出与众不同的数，试着写，并写出理由。
8、有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，最后一捆是30本。
这批图书有多少本？9、有4米和6米两种规格的木条若干根，如果把同样规格的木料相接，那么4米与6米长的木料至少分别要多少根，接成的木料有多长？10、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？被剪成几块？11、汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？几辆中巴车？（发第一辆车不需等）公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。
这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。