反演问题的计算方法及其应用 王彦飞 pdf
《反演公式及其应用》课件
PART 04
反演公式的扩展和深化
REPORTING
反演公式的变种和推广
反演公式的变种
除了基本的反演公式，还有多种变种形式，如双反演公式、多反演公式等，这些变种公式在不同情况下具有更广 泛的应用。
反演公式的推广
为了解决更复杂的问题，反演公式被推广到更广泛的数学领域，如复数域、矩阵论等，这些推广使得反演公式在 更广泛的领域中发挥作用。
要点一
适用范围
要点二
限制条件
反演公式主要用于解决特定类型的问题，如线性方程组、 积分方程等。
反演公式在应用时需要满足一定的条件，如数据完整性、 噪声水平等。
反演公式在实际应用中的困难和挑战
数据需求
反演公式需要大量的计算复杂性
反演公式的计算过程可能非常复杂，需要高性能的计 算资源。
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REPORTING
《反演公式及其应用 》ppt课件
REPORTING
• 反演公式简介 • 反演公式的数学原理 • 反演公式的实际应用 • 反演公式的扩展和深化 • 反演公式的局限和挑战
目录
PART 01
反演公式简介
REPORTING
反演公式的定义
反演公式是指通过已知函数值来求解 未知数的一种数学方法。
它通常用于解决一些难以直接求解的 方程或问题，通过反演变换将问题转 化为另一种形式，从而简化求解过程 。
优化设计
在机械、建筑等领域中，可以利用反 演公式对设计参数进行优化，提高产 品的性能和稳定性。
控制系统设计
在控制工程中，可以利用反演公式设 计控制器，使得控制系统具有更好的 动态特性和稳定性。
在数学问题中的应用
解决方程组
反演公式可以用于求解线性方程组和非线性方程组，提高求解效率和精度。
反演问题计算及应用的优化与正则方法学术研讨会会议纪要
地 球 物 理 学 报 （ ｈｎｓ ．Ｇ ｏ ｈ ｓ ） Ｃ ｉｅｅ Ｊ ｅｐ ｙ．
５ １卷
反演 问题计 算及 应 用 的优 化 与正 则方 法 学术研 讨 会 会 议 纪 要
反 演 问题 计 算 方 法 及 其 应 用 的优 化 与 正 则 化 方 法 学 术研 讨 会 于 ２ ０ 年 ７ ２ ０８ 月 １日～２ ５日在 北 京 中 国科 学 院 地 质 与 地 球
Ｎ ｓ ｅ 授 ， 地 利 科 学 院 的 Ｓ ｅｅ ｅ ｚ ｅ 授 以及 俄 罗斯 天 文 研 究 所 的 Ｅ Ｓ ｉ ｎ ｖ ｋ ｙ ａ ｈ ｄ教 奥 ．Ｐ ｒｖ ｒｙ ｖ教 ．ｈ ｍａ ｏ ｓ ａ ａ研 究 员 对 反 演 问 题 进 行 基 础
和 前沿 研 究 的介 绍 ． 内的 著 名优 化 专 家 袁 亚 湘 研 究 员 和 东 南 大 学 刘 继 军 教 授 ， 北 工 业 大 学 的 肖庭 延 教 授 ， 旦 大 学程 晋 国 河 复 教 授对 各 自的研 究 领 域进 行 了精 彩 的 报 告 ， 中国 科 学 院 地 质 与 地 球 物 理 研 究 所 的刘 洪 研 究 员 对 反 演 问 题 在 地 球 物 理 中 的 应 用 进 行 清楚 的介 绍 ， 国科 学 院 计算 数 学 与 科 学 工 程 计 算 研 究 所 的戴 或 虹 研 究 员 报 告 了最 优 化 方 法 的 前 沿 领 域 研 究 ． 位 专 中 各 家 的报 告 深入 浅 出 ， 既包 括 反演 问题 的基 础 知识 ， 包 括 当前 反演 领 域 的理 论 和 应 用． 不 同层 次 的老 师 和 学 生 都 有 很 大 收 获． 又 使 会议 上 大 家 都 专 心 听讲 ， 告 完后 都 有 发 人 深 思 的提 问 和 精 彩 的解 答 ． 议 希 望 通 过 组 织 此 次 学 术 研 讨 会 ， 引 更 多 的 报 会 吸
反演问题的数值解法研究
反演问题的数值解法研究第一章引言反演问题是指通过观测数据得到模型参数或物理参数的过程。
在许多领域中，反演问题都是非常重要的，如地球物理学、医学成像、无损检测等。
由此带来的数值计算问题也是非常重要的，因为反演问题涉及到从离散的观测数据中推断出连续的参数，需要依赖数值方法来求解。
本文主要呈现了一些常用的反演问题的数值解法的研究，包括线性反演问题和非线性反演问题。
我们将对各种反演问题的数值解法进行介绍，包括正则化方法、Bayesian方法、梯度下降等。
第二章线性反演问题线性反演问题是指观测数据与模型参数之间的函数关系是线性的反演问题。
我们通常将这种问题表示为$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中$A$是线性算子，$\mathbf{x}$是模型参数，$\mathbf{b}$是观测数据。
线性反演问题的数值解法可以使用奇异值分解（SVD）或者正则化方法。
其中，SVD可以将线性反演问题转换为一个完全指定和完全可逆的问题，可以得到唯一的解。
但是，由于数值算法的限制和观测数据误差的影响，SVD不一定是最好的解决方案。
为了解决这个问题，我们可以使用正则化方法。
正则化方法是一种通过增加稳定性约束条件来处理不适定反演问题的技术。
这些约束条件可以有效地减少反演问题的不确定性。
常用的正则化方法包括Tikhonov正则化和阻尼最小二乘法。
Tikhonov正则化是通过加入二次惩罚项来限制解的大小，从而使得解更加平滑。
阻尼最小二乘法是通过同时加入观测数据误差和模型误差的项来解决线性反演问题。
这两种方法都可以通过基于SVD的方法求解。
需要注意的是，对于线性反演问题，只有当观测数据是无误的时候才能得到正确的解。
这是因为线性反演问题的解非常敏感，即使存在微小的误差，也会导致解的失真。
第三章非线性反演问题与线性反演问题不同，非线性反演问题的观测数据与模型参数之间具有非线性关系。
常见的非线性反演问题包括逆时偏移（RTM）、全波形反演（FWI）和电磁成像等。
反演原理及公式介绍
第一章反演理论第一节基本概念一．反演和正演1．反演反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。
在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。
有反演，还有正演。
要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。
2．正演正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。
在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。
3．例子考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。
二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4．对问题有无物理约束？5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？6．问题是线性的还是非线性的？7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？8．什么是问题的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？第二节反演的数学基础一．解超定线性反问题1．简单线性回归可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：bx a y+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。
此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。
地球物理学反演第三章广义反演法
x y
4 7
cond(A) 17.9443
x y
2 1
1 2
2 3
x y
4.001 7.001
x 1.999
y
1.001
1.001 2.001
2.001 3.001
x y
4 7
cond(A) 17.9603
x y
2.003 0.997
2. 特征值对观测数据的影响（正演）
2. G是M阶非对称、非奇异矩阵
G = UΛVT
U、V分别是GGT和GTG 对应的特 征向量组成的特征向量矩阵， 正交矩阵
Λ是GGT或GTG的特征值正根组成 的对角线矩阵
UTU = UUT = EM VTV = VVT = EN VTU UTV E
第二节 奇异值分解和自然逆
奇异值分解：SVD（singular value decomposition）
• 纯欠定 单位矩阵
非单位矩阵
• 超定 非单位矩阵
单位矩阵
• 混定 非单位矩阵
非单位矩阵
层析成像原理
CT (Computerized tomography) 技术
与地震层析成像技术
s(x)dl ti
Pi
地震ＣＴ
数据
天然地震 层析成像
混定情况
1 0 1 0
G=
0 0
1
0
1
2
2
0
2 0 0 2
•条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。
•对于线性方程组Ax=b， 如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。 它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。
cond ( A) A • A1 max
带粒子滤波约束的PP-PS联合反演的稀疏解算法
带粒子滤波约束的PP-PS联合反演的稀疏解算法王彦飞;唐静;耿伟峰;王成祥【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2018(061)003【摘要】随着地震勘探目标从构造型油气藏向岩性油气藏的转变,地震勘探难度日益增大,这就要求从地震数据中获得更多可靠且具有明确地质含义的属性信息,并充分利用这些属性信息来对储层的岩性、岩相进行分析.AVO三参数反演能够从振幅随炮检距的变化信息中直接提取纵波速度、横波速度以及密度来估计岩石和流体的性质,进而对储层进行预测.然而,AVO反演本身是一个不适定的问题,加上地震纵波反射系数对横波速度和密度的不敏感,会造成单纯利用纵波地震数据进行反演的结果误差大.随着地震接收和数据处理技术的发展,越来越多的学者对PP-PS联合反演方法进行了研究并在实际资料中得以运用.融合转换横波地震数据的联合反演在一定程度上提高了反演的精度,降低了解的不稳定性.但是在信噪比较低的情况下,联合反演的效果受到了限制.本文从优化理论出发,提出了基于粒子滤波提供先验知识的l1范数约束极小化问题的稀疏解算法.并将上述方法运用到了不同的模型中,通过比较分析,证实了该方法在不同信噪比资料中的有效性和在信噪比较低情况下的优势.%With the seismic prospecting target changing from structural reservoirs to lithologic reservoirs,it requires more reliable attribute information with clear geological meanings from seismic data to identify the lithology or lithoface information of the reservoirs.The three-term AVO inversion can be used to estimate the P-wave velocity,S-wave velocity and density of the rock and fluid's properties through the amplitude variationswith offset.However,the AVO inversion is essentially an ill-posed problem.The pure seismic P-wave approaches are not sensitive to the shear wave velocity and density,which causes errors in the inversion results.With the development of seismic data acquisition and data processing technology,more and more scholars begin to study the PP-PS joint inversion and apply it to field data.The joint inversion can improve the inversion accuracy and to some extent reduce the inversion instability.However,in the low signal-to-noise ratio situations,we cannot obtain good results from the joint inversion.In this paper,we propose the l1 norm constrained sparse optimization method with the initial model generated from the particle filtering.The effectiveness of this method is verified through model tests with three different signals-to-noise ratios and its advantage in the low SNR inversion is verified by comparing it with the conventional method.【总页数】9页(P1169-1177)【作者】王彦飞;唐静;耿伟峰;王成祥【作者单位】中国科学院地质与地球物理研究所,中国科学院油气资源研究重点实验室,北京100029;中国科学院大学,北京100049;西南石油大学地球科学与技术学院,成都610500;中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司物探技术研究中心,河北涿州 072751;中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司物探技术研究中心,河北涿州 072751【正文语种】中文【中图分类】P631【相关文献】1.解域约束下的微地震事件网格搜索法、遗传算法联合反演 [J], 宋维琪;杨晓东2.带稀疏约束的分裂可行问题的算法 [J], 畅含笑;孙军;屈彪;;;3.一种带稀疏间隙约束的并行模式匹配算法 [J], 周开来;陈红;熊子绎;李翠平;孙辉4.一种基于最小距离和稀疏图正则约束的非负矩阵解混算法 [J], 李恒宇;刘善军;祁玉馨;王东5.解一类带洞非凸域上函数极值的动约束同伦算法 [J], 商玉凤;党杨;吴睿;刘庆怀因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第二届反演问题计算方法及其应用国际会议在北京召开
众 多专家 、 学者 、 学生 ， 供 了 良好 的交 流平 台 ， 提高反 演 问题应 用研究 、 提 在 当代优化 研究 、 鼓励 交叉学 科 的合 作 、 动正 则化 及优 化技 术应 用 于实际 生产等 方 面发挥 了重 要 的作 用． 议 展示 了我 国科 学家 在此类 研究 上 推 会
了第 一届 “ 演 问题 计算 方法 及其 应用 国际会 议 ” 反 取得 的丰 硕成果 及重 要影 响． ｝ 办者 ， 会 义协 俄罗斯 莫斯科 大
学 教授 Ｙａ ｏａ 述 了其 导师 Ｔｉｈ ｎ ｖ院士所创 立 的“ ｇｌ讲 ｋｏｏ 不适 定 反演 问题 ” 的正 则化 方法 体 系 的诞 生 、 现状 及
理等， 与会 代 表进行 了广 泛而 深入 的交 流与探 讨 ， 展示 了反 演 的正 则化 理论 以及各 种先 进 的最优化 迭代求 解
方 法 的理 论性 质和 应用 现状 ． 会议 在 中 国科 学 院地质 与地球 物 理所举 行 ． ２日上午 举 行 开幕 式 ， 国科 学 院地质 与 地球 物 理研 究 所 １ 中 副所 长吴 福元 研究 员致欢 迎 词并介 绍 了该所 的基 本情 况． 议发 起者 ， 会 中国科学 院地质 与地 球物理研 究所 王 彦 飞研究 员致 辞． 简述 了求 解反 演 问题 的正则 化 、 优化 方 法在 各个 领 域 的应 用 现状 及 发展 前 景 ， 回顾 他 最 并
的研 究成果 和 国际上 的重要地 位 ．
会议 得到 了 中国 国家 自然 科 学基金 及其 中俄 国际合作 基 金 、 技 部 国家 重 大基 础研 究 ９ ３项 目以及 国 科 ７ 家 重大油 气专 项 的资助 ．
（ 刊 编辑部 ） 本
港 中文 大学邹 军教 授 、 国普 渡 大学李 培军 副教 授 、 北工 业大 学 肖庭 延教 授 、 南 大学刘继 军教 授 、 美 河 东 印度工 业 大学 Ｎａｒ 授 、 ｉ教 兰州 大学 傅初 黎教 授 、 山东理 工大 学李 功 胜教 授 、 汉 大学 李 兰 教授 、 国科学 院数 学与 武 中 系统科 学研 究 院张波研 究员 、 华大 学 向志 海 副教 授 、 国科 学 院地 质 与 地 球 物理 研 究 所宋 海 斌 副 研究 员 清 中
工程数学反演公式
工程数学反演公式
反演公式是一种数学技巧，用于求解满足某种关系的两个序列的元素。
具体来说，如果序列F(n)和f(n)之间满足关系Fi=α(i)f(i)，那么我们可以通过反演公式求得f(i)=β(i)F(i)。
例如，莫比乌斯反演公式是一种常用的反演公式，它涉及到莫比乌斯函数。
这个函数有三种取值：
如果ai≥2且k mod 2=0，那么μ(x)=0。
如果k mod 2≠0，那么μ(x)=−1。
如果x=1，那么μ(x)=1。
如果F(n)=∑dnf(d)，那么可以使用莫比乌斯反演公式来求解f(n)。
具体来说，令S(x)=∑ixxμ(i)，其中x=p1a1p2a2...pkak，t=p1b1p2b2...pkbk，0≤bi≤ai。
对于任意一个含有大于2的指数的约数，我们可以不考虑，因为它对S(x)无影响。
于是就有S(x)=Ck0(−1)0+Ck1(−1)1+...+Ckk(−1)k。
根据二项式定理，可以得到S(x)=(1−1)k=0。
如果F(n)=∑dnf(d)，则可以使用反演公式f(n)=∑dnμ(d)F(nd)来求解f(n)。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。
第七章反演公式及其应用
3)圆排列的展开: 将长为n的圆排列从n个位置断开可 得n个线排列; 对长为n、元素可重复出现的圆排列 从n个位置断开得到的n个线排列中有可能有相同的. 4)圆排列的周期: 圆排列展成的线排列的周期.
对任一长为n、周期也为n的圆排列,从n个不同的位 置断开得到的n个线排列是互不相同的; 对任一长为 n、周期也为d<n的圆排列, 断开得到的线排列中有d 个是互不相同的.
例3 证明Norlund公式
[xy]nkn0kn[x]k[y]nk,
▪ 2. 第一反演公式
定理6.1.3 设 n(x)和 n(x)为满足条件
n
n
j( x ) jk k ( x ), j( x ) jk k ( x ),j 0 ,1 ,2 , ,n
k 0
k 0
的两个多项式簇, a0,a 1, ,an和 b0,b1, ,bn为两组数,
定理7.2.4 令 ,则 m gn c 1 ,n 2 d , ,n (r)
M
(n1, n2 , , nr ; n)
1 n
d |m
(d )
n1
n d
!
! ,
nr
!
d d
T
(n1, n2 , , nr ; n)
1 n
d |m
(d )
n1
n d
!
! ,
nr
!
d d
▪ 例5 用两颗红珠、三颗黄珠和四颗绿珠能摆成多少 个不同样式的圆环？
Q2(0) 1!
Qn(0) 1!
2Q2(0)
2! 2Qn(0)
2!
0
nQ nn!(0)
互为可逆.
▪ 定理6.1.4(逆二项式公式) 若数列a0,a1, ,an和b0,b1, ,bn
偏微分方程反问题的数值解法教案
A.M.Cormack 共同获得诺贝尔医学奖 G.N.Hounsfield 寄语：如果你考试没有通过，不用太担心，只要你感到你的确理解了所学的 课程；将自己常用的推理方法充分使用后，通过对身边发生的事物基本要素的掌握，你就会 对你所能达到的理解能力和所掌握的知识感到吃惊。
基本原理：不损伤物体本身结构的情况下，发射各种可通过物体的讯号（各种射线，波， 粒子，电磁场等） ，然后通过对从体外接收到的信号。利用数学方法和计算机进行加工和处理， 获得物体内部结构的信息，形成物体内部结构的三维透视图像，也称为图像重建或图像恢复。 考虑二维情况，通过人体的某一平面用 ρ ( x, y ) 表示点 ( x, y ) 的密度，而用 L 表示该平面 内的任意直线，假定发射一束 X 光沿直线 L 穿过人体，并测量 X 光闯过人体后的强度变化。 用参数 ( s, δ ) 来刻画直线 L， 其中 s ∈ R, δ ∈ [ 0, π ] 。 射线 Ls ,δ 可表示为 se + iue ∈ C , u ∈ R ，
1 2a π T
∫
+∞
−∞
φ (ξ ) exp ⎨
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ ⎬dξ = uT ( x) 2 ⎩ 4a T ⎭
（2）若 φ ( x) ≡ 0 ，但 f ( x, t ) = z (t ) χ D ( x) ，则有
u ( x, t ) =
1 2a π
1
∫∫
t
+∞
0 −∞
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ z (τ ) exp ⎨ 2 ⎬d ξ dτ t −τ ⎩ 4a (t − τ ) ⎭
（1）若 f ( x, t ) ≡ 0 ，则有
u ( x, t ) =
反演算法的原理和应用教案
反演算法的原理和应用教案一、引言本节课主要介绍反演算法的基本原理和应用。
反演算法是一种常见的科学计算技术，被广泛应用于地质勘探、医学成像、物理模拟等领域。
通过这门课程的学习，学生将了解反演算法的数学基础、常见算法和实际应用。
二、反演算法概述反演算法是一种根据观测数据推断模型参数或模型的技术。
它与正演算法相反，正演算法是根据给定的模型参数，计算出预测的观测数据。
通过反演算法，我们可以根据观测数据反推出符合数据特征的模型参数或模型，从而达到了理解和解释观测数据的目的。
反演算法可以分为确定性反演和概率反演两种形式。
确定性反演是指根据给定的观测数据，求解出唯一的模型参数或模型，得到解的精确值。
概率反演是指根据观测数据求解出一组可能的模型参数或模型，得到解的概率分布。
三、反演算法的数学基础反演算法的数学基础主要包括优化理论、统计学和数值计算方法。
优化理论提供了求解最优化问题的数学工具和算法；统计学提供了处理不确定性的数学方法；数值计算方法提供了求解数值问题的数值算法。
在反演算法中，我们通常需要定义一个目标函数，该函数度量模型预测值与观测数据之间的差异。
优化理论提供了求解最小化目标函数的算法，如梯度下降法、Levenberg-Marquardt算法等。
统计学提供了参数估计以及不确定性分析的方法，如最大似然估计法、贝叶斯推断等。
数值计算方法提供了数值求解偏微分方程等数值问题的算法。
四、常见的反演算法1.线性反演算法：–高斯-牛顿法–伴随状态法2.非线性反演算法：–Levenberg-Marquardt算法–共轭梯度法3.概率反演算法：–马尔科夫链蒙特卡洛法–遗传算法上述算法是反演算法中最常见的几种算法，它们在不同的应用领域具有广泛的应用。
五、反演算法的应用案例反演算法在地质勘探、医学成像、物理模拟等领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.地震勘探中的反演算法：–利用地震波数据反演地下介质的速度模型和反射界面的位置。
偏微分方程反问题的数值解法教案
E +U =
可知速度 v 满足：
1 2 mv + mgy = mgh 2
ds = v = 2 g (h − y ) dt
于是，有任一点 p1 滑到 p0 所需要的总时间为：
T = T ( h) = ∫
2
p1 p0
2 h 1 + ψ ′( y ) ds dy, h > 0 =∫ 0 v 2 g (h − y )
1 2a π T
∫
+∞
−∞
φ (ξ ) exp ⎨
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ ⎬dξ = uT ( x) 2 ⎩ 4a T ⎭
（2）若 φ ( x) ≡ 0 ，但 f ( x, t ) = z (t ) χ D ( x) ，则有
u ( x, t ) =
1 2a π
1
∫∫
t
+∞
0 −∞
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ z (τ ) exp ⎨ 2 ⎬d ξ dτ t −τ ⎩ 4a (t − τ ) ⎭
1.1 反问题的若干例子
背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的 Cauchy 问题时开始研究反问题的不适定性。
20 世纪 40 年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法， 《Solutions of ill-posed problems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》 （王秉忱，1979，地质出版社）)， Landweber 和 Fridman，迭代正则化方法。Morozov 和 Groetsch 把不适定问题的正则化放在抽 象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。
第一章 绪论
近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之 所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动 的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法 如广义脉冲谱方法（GPST） ，最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法 本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。
反演原理及公式介绍
第一章反演理论第一节基本概念一．反演和正演1．反演反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。
在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。
有反演，还有正演。
要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。
2．正演正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。
在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。
3．例子考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。
二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4．对问题有无物理约束？5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？6．问题是线性的还是非线性的？7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？8．什么是问题的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？第二节反演的数学基础一．解超定线性反问题1．简单线性回归可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：bx a y+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。
此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。
反问题的计算方法(一)
反问题的计算方法(一)在数据分析中，经常会遇到需要通过数据来推导出答案的情况。
但是有时候我们遇到的数据只能告诉我们一部分信息，而我们最关心的答案又隐藏在数据中。
这时候，我们就需要用到反问题的计算方法。
反问题的计算是指通过已知的结果来反推出数据的过程。
这种方法在实际应用中非常重要，比如在地震研究中，科学家们通过地震的波形来推断地震的震源位置、规模等信息。
以下是几种常用的反问题计算方法：一、反演方法反演方法是通过对观测结果进行反推得到模型参数的方法。
这种方法常用于地球物理学中，比如通过地震波的传播时间和路径来推断地下岩石的密度和速度分布情况。
二、统计方法统计方法是通过对一定样本数据进行统计分析，来推断总体数据的特征。
这种方法常用于市场调研、经济预测等领域。
三、优化方法优化方法是通过寻找最能符合观测结果的模型参数来推断未知数据的方法。
这种方法常用于工程学领域，比如控制系统设计中，设计最优控制器时采用这种方法。
贝叶斯方法是基于贝叶斯定理来进行推断的一种方法。
这种方法常用于机器学习、数据挖掘等领域。
通过先验概率和后验概率的计算，可以得到最合理的结论。
五、人工神经网络方法人工神经网络方法是通过对已知数据进行训练，然后将该模型应用到未知数据中。
这种方法常用于图像识别、语音识别等领域，可以有效的解决反问题的计算问题。
总之，反问题的计算方法在不同领域有着广泛的应用，对于从数据中获取未知信息，是一种非常有效的手段。
六、插值方法插值方法是将一些已知点上的数据，用数学函数推导出它们之间数值的一种方法。
这种方法常用于地图制作、地理信息系统等领域，可以通过已知地形点的高程信息，推导出其他位置的高程信息。
七、反褶积方法反褶积方法是通过对观测信号进行反演，推导出信号源的特征，如位置、强度等。
这种方法常用于地震勘探、自然地震的研究中，可以帮助研究人员了解地震的发生机理和规律。
反投影方法是将信号在一定范围内进行反向传播，在接受端重建出原信号。
反演问题的计算方法及其应用
反演问题的计算方法及其应用嘿，咱今儿就来聊聊反演问题的计算方法及其应用这档子事儿。
你说啥是反演问题呀？简单来说，就好像是从结果去倒推原因。
就好比你看到地上有个脚印，你得通过这个脚印去琢磨到底是谁留下的，咋留下的。
这可不简单呐！那计算反演问题都有啥方法呢？咱先说说迭代法吧。
这就好像你要爬上一座高山，一步一步慢慢来，每次都朝着目标靠近一点。
虽然可能过程有点漫长，但只要坚持，总能爬到山顶不是？还有正则化方法，这就像是给问题加上了一把锁，让它不至于乱跑，能乖乖地被咱解决掉。
再来说说反演问题的应用，那可真是广泛得很呐！在地球物理勘探里，就像是地质学家的秘密武器。
他们能通过一些数据，反演出地下的结构，找到那些隐藏的宝藏，比如石油啊、矿产啥的。
这就好比是拥有了一双能看穿大地的眼睛，厉害吧！在医学领域，也有它的用武之地呢。
医生们可以通过一些检查结果，去反推身体内部的情况。
是不是有点像侦探在破案呀？找到病因，才能对症下药，把病魔给赶跑。
还有在图像处理中，反演问题能帮我们把模糊的照片变得清晰，就像给照片施了魔法一样。
让那些美好的瞬间重新变得清晰可见，多棒啊！你想想，如果没有这些计算方法，很多事情不就变得没法解决了吗？那我们不就像没头苍蝇一样乱撞啦？反演问题的计算方法就像是一把钥匙，能打开很多难题的大门。
咱再深入想想，生活中不也有很多类似反演问题的情况吗？比如你看到一个人的行为，你得去想想他为啥这么做，这也是一种反演呀。
或者你看到一个现象，得去琢磨背后的原因，这也是在进行反演呢。
总之，反演问题的计算方法及其应用可真是太重要啦！它们就像是隐藏在幕后的英雄，默默地为我们解决着各种难题，让我们的生活变得更加美好。
咱可得好好了解了解它们，说不定哪天咱自己也能用上呢，你说是不是呀？。
带先验约束的地表参数提取的有效反演方法_王彦飞
中国科学D辑:地球科学 2009年 第39卷 第3期: 360~369 360 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS带先验约束的地表参数提取的有效反演方法王彦飞①*, Shiqian Ma④, 杨华②③, 王锦地②③, 李小文②③①中国科学院地质与地球物理研究所油气综合地球物理重点实验室, 北京 100029;②北京师范大学遥感与GIS中心, 北京 100875;③北京师范大学与中国科学院遥感应用研究所联合遥感科学国家重点实验室, 北京 100875；④Department of Industrial Engineering and Operations Research, Columbia University, New York, NY 10027-6902, USA* E-mail: yfwang_ucf@收稿日期: 2008-06-12; 接受日期: 2008-10-22国家自然科学基金项目(批准号: 10501051, 10871191)和国家重点基础研究发展计划(编号: 2007CB714400, 2005CB422104)资助摘要地球表面的各向异性特性可以用地表二向反射函数(BRDF)恰当地描述. BRDF的核心是利用线性核驱动模型, 数学上表述为各向同性核、体散射核和几何光学核的线性组合. 随着多角度遥感领域的发展, BRDF模型越来越被看作是可以反演重要的有关地表生物的或气候的参数, 比如说叶面积指数和地表反照率. 一个线性逼近的核驱动BRDF模型通常可以写成下述形式(Roujean等, 1992): f iso+k vol(t i, t v, φ)f vol+k geo(t i, t v, φ)f geo=r(t i, t v, φ), 其中r表示地表的二向反射; k vol和k geo为通常所说的核函数, 即为已知的入射和观测几何特性的函数, 分别描述了体散射和几何散射(包括折射和反射); t i是太阳方向天顶角, t v是观测方向天顶角; φ表示太阳-观测方向的相对方位角; f iso, f vol和f geo为未知的待反演参数, 可以用来拟合观测. 计算过程的稳定性是由核矩阵的代数算子特征谱和观测噪音/误差来刻画的. 因此为了计算地表反照率, 成功反演模型参数是至关重要的环节. 我们首先考虑了为计算BRDF模型反演的光滑解方法. 业已知道, 这是一个不适定的反问题. 不适定性是由线性核驱动BRDF模型的欠定性表征的, 比如说观测严重不足或观测方向范围有限, 或者是观测数据高度线性相关以及噪音的污染等. 例如, 一次单角度观测可以导致一个欠定的系统(核算子的零空间含有非零向量)或者系统无解(系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩). 因此, 光滑性或正则化技巧应当加以利用来压制不适定性. Li 等(2001)应用先验知识把原始模型转换为一个超定的模型并求得最小二乘解. Pokrovsky等(2002)应用QR分解反演BRDF模型. Wang等(2007)考虑到了反演的正则化策略并提出了不适定地表参数反演的一个完整的正则化理论. 在文中, 强调从不同的空间添加先验信息于反演模型中. 首先从数学物理的观点, 第一次提出了一个用于反演的施加先验约束的一般的正则化模型, 接着阐述了两种正则化策略. 第一个是正则化的奇异值分解方法(Wang等, 2007), 接着提出了一个基于l1空间的反演方法. 我们证明了新提出的方法对于有效观测数据不足情况下反演地表参数是可行的, 并通过数值试验验证了新提出方法的反演有效性. 关键词不适定问题地表参数提取最优化正则化中国科学 D 辑: 地球科学 2009年 第39卷 第3期361随着多角度遥感的发展, 二向反射函数(bidirec- tional reflectance distribution function, 简写为BRDF)模型越来越表明可以用来反演并估计地表覆盖类型的结构参数和光谱组分信息[1]. 因此, 定量遥感可以做为一个合适的手段处理这类问题. 因为真实的物理系统耦合了大气和地表信息, 这个过程相当复杂并且是一个连续统, 因此有时要求具有全面的参数来描述这么一个系统, 所以实际可操作的物理模型只能通过具有有限个最重要的参数来逼近, 而这些参数正是描述了一个实际系统变化的主要因素. 一般来讲, 一个离散的正向的物理模型描述该过程可以写作下述形式:y =h (x , S ), (1)其中y 表示单次观测, x 表示可控观测条件比如说波段、观测方向、观测时间、太阳位置和极化方向等的向量, S 表示逼近系统的状态参数, h 是关联x 和S 的参数, 通常是连续的非线性的.随着卫星传感器可以获得多波段、多视角数据能力的提高, 而保持状态参数S 本质上不变, 则可以获得下述的非齐次系统:D =h (x , S )+n , (2) 其中D 为属于M \空间的一个向量, 它是相应于M 次不同观测条件的带有M 个观测值的M 维观测空间中的一个向量, M n ∈\为长度为M 的随机向量. 设只有m 个要恢复的不确定参数. 显然, 若M =m , 则方程(2)是一个确定的系统, 因此不难发展合适的算法求解该系统. 如果对于模型中设定的参数可以收集到更多的观测信息, 即M >m , 则系统(2)是超定的[2]. 在这种情况下, 问题的传统解是不存在的. 我们必须定义解的其他意义, 比如说, 最小模最小二乘解(Least Squares Solution with Minimum Norm). 但是如文献[3]指出的那样, “对于一个带有十个参数(单波段)的物理模型, 在可以预见的未来时间内该模型是否可以变成超定的从而利于遥感反演是值得疑问的.” 因此, 在某种意义上说, 地球科学反问题似乎总是欠定的. 不过, 欠定的系统有的情况下总能利用多角度的遥感数据或者收集先验信息变成超定的[4].众所周知, 地表各向异性可以用BRDF 来最佳地描述. BRDF 的核心是利用线性核驱动模型, 数学上表述为各向同性核、体散射核和几何光学核的线性组合. 计算过程的稳定性是由核函数组成的核矩阵的代数算子特征谱以及观测误差刻画的. 因此, 提取模型参数对于计算地表反照率具有十分重要的意义. 在文献[5, 6]中, 作者应用QR 分解方法反演BRDF 模型. 在文献[7]中, 作者研究了不适定的地表参数反演的正则化理论并提出了一个正则化的数值截断奇异值分解方法(NTSVD). 该正则化通过数值计算过程中截断极小的奇异值实现. 他们通过作大量的数值试验表明如果观测数据不足, 则该方法可以用来反演地表参数, 即使是对于观测糟糕的情况; 也可以同时用来反演多角度数据获得地表参数. 我们这里指出的是他们的方法是基于l 2空间的正则化. 在本文中, 我们第一次从数学物理的观点, 提出了一个一般的添加先验信息约束的正则化模型, 在此基础上接着提出了一个基于l 1空间先验知识反演的方法. 在附录中, 我们介绍了如何应用该方法. 该方法以及正则化的奇异值分解方法一并可以看作是地表参数反演的有效工具.在整个文章中, 采用下述数学上约定的记号: “:=”表示“定义作”; “x ”表示一个向量, 其他变量符号类似含义; “argmax” 表示“参数极大化”; “max”和“min”分别表示“极大化”和“极小化”某个泛函; “diag()” 表示一个对角矩阵; “A T ” 表示矩阵A 的转置; “s.t.” 表示“受某条件限制” .1 线性核驱动BRDF 模型及其离散不适定性1.1 线性核驱动BRDF 模型事实上, (2)式的显式线性化模型很难获得. 我们只能得到某种程度的近似. 随着多角度遥感领域的发展, BRDF 模型越来越看作是可以反演重要的有关地表生物的或气候的参数, 比如说叶面积指数和地表反照率[8]. 为了达到这个目的, 线性核驱动的BRDF 模型发展起来了. 线性核驱动模型通常表示成下面的形式[1]:(,,)(,,)(,,)iso vol i v vol geo i v geo i v f k t t f k t t f r t t φφφ++=, (3)其中r 表示地表二向反射; k vol 和g geo 就是所谓的核, 即为已知的入射和观测几何特性的函数, 分别描述了体散射和几何散射(包括折射和反射); t i 是太阳方向天顶角; t v 是观测方向天顶角; φ表示太阳-观测方向王彦飞等: 带先验约束的地表参数提取的有效反演方法362的相对方位角; f iso , f vol 和f geo 为未知的待反演参数, 可以用来拟合观测.一般来讲, BRDF 模型应当包括不同的许多类的核函数. 但是, 实践证明RossThick 核(k vol )和LiSparse 核(k geo )的组合可以最好地整体拟合BRDF 观测以及外推BRDF 和计算地表反照率. 一个合适的核函数 k vol 的表达是由Roujean 等[1]提出的, 即为RossThick核, 其归一化的形式为 1ππ(,,)cos sin .cos cos 24vol i v i v k t t t t φξξξ⎛⎞⎛⎞=−+−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠(4)当t i =t v =0时, 这里的ξ表示散射角度定义作函数cos cos cos sin sin cos i v i v t t t t ξφ=+ (5)的逆函数. 关于几何光学核k geo 的一个合适的表达是LiSparse 非互易核, 它的形式为(,,)(,,)(sec sec )geo i v i v i v k t t O t t t t φφ′′=−+1(1cos )sec ,2v t ξ′′++ (6) 这里1(,sec ),cos sec sec cos cos cos sin sin cos ,tan tan ,i v i v i v i v O t t t t D t t t t b rξφββ′′′′′′−′=+=′=+⎛⎞′=⎜⎟⎝⎠,i v t t β表示和 h , b , r 是给定参数.但是LiSparse 非互易核不能克服当观测天顶角很大时的带来的计算误差. 这是因为在这种情况下, 为导出LiSparse 所需的数学逼近exp()1x x ≈+不再胜任[9], 并且计算出的地表反照率值可能为负值. 为了克服这个问题, 研究者们提出了互易的LiSparse 核(LiSparseR), 即取而代之(6), 有(,,)(,,)(sec sec )geo i v i v i v k t t O t t t t φφ′′=−+1(1cos )sec sec .2i v t t ξ′′′++ (7) 但接着人们又指出LiSparseR 仍然不能完全避免负的反照率值得情况. 因此, 一个新的GO 核, 即LiTransit 核生成了:Sparse Transit2Sparse,2,, 2,B k B k k B ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤ (8) 其中B 定义作:(,,)(,,)sec i v i v i B B t t O t t t φφ′==−++ sec .v t ′ 我们将利用RossThick 和LiTransit 为组合的核函数进行地表参数提取研究, 因为如上描述, 这两个核很好地描述了地表覆盖特性.1.2 离散不适定性注意到式(3)是一个线性模型, 因此很方便把它写作一个有限秩的算子方程表示的形式:Kx =y , (9)并记[,,]T iso vol geo f f x f =和[]j y y =, 其中j y = (,,),j i v r t t φ y 代表观测数据. 现在的问题就是如何根据给定的观测数据y 来重构参数x .离散不适定性是由线性核驱动BRDF 模型的欠定性表征的, 比如说观测严重不足或观测方向范围有限, 或者是观测数据高度线性相关以及噪音的污染等等. 例如, 一次单角度观测可以导致一个欠定的系统(核算子的零空间含有非零向量)或者系统无解(系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩).考虑到问题的内在不适定性, 应当研究新的求解方法, 进而可以获得真实地表参数的有效逼近.2 计算方法2.1 对解施加先验约束为了有效地反演不适定的核驱动模型, 我们必须对感兴趣的参数添加先验知识. 这就导致我们需要求解一个约束的最小二乘误差问题:min J (x ), (10) s.t. Kx =y , (11) 12(),c x ∆∆≤≤ (12) 其中J (x )表示一个目标泛函, 它为x 的函数, c (x )表示对解x 的约束, ∆1和∆2为约束条件给出了c (x )的界. 通常, J (x )取作不同规范下的x 的模. 如果参数x 由连续形式演变而来, 则取J (x )为光滑泛函, 否则可取J (x )为非光滑泛函.中国科学 D 辑: 地球科学 2009年 第39卷 第3期363约束条件c (x )可以是光滑的也可以是非光滑的. 通常人们采用的约束条件是光滑约束, 即假定参数的物理性质在空间的某一区域内或者在时间的某一区域内具有一致性并且不再剧烈变化. 在应用问题中, 比如说图像视觉过程[10], 我们总能发现一些物理现象在一定的比较短的时间段内具有正则性(规律性). 有关待反演参数的光滑性先验假设已经成为反演应用问题中最为重要的先验假设之一. 有关这方面的理论基础和框架即为所谓的正则化策略, 我们将在下一节讨论.2.2 正则化: 一个自然的先验信息 2.2.1 统计及非统计正则化方法当采样点不足时, 即观测太少或者方向不足时, 反演过程一般来说是欠定的, 这就导致了一个正规化系统的巨大的条件数从而导致误差的极大传播. 并且, 最小二乘解可能不存在. 为了减轻反演地表参数时的困难Li 等[4]发展了一个先验约束的方法, 该方法是基于协方差矩阵C p 的特征分解, 此处C p 表示有关解x 的先验知识的协方差矩阵. 我们把他们的方法称作是基于统计的方法. 值得指出的是该方法在反演基础理论中已经发展并应用到地球物理反演 上[11~13]. 事实上, 我们可以证明这种基于统计的先验约束方法等价于离散的正则化方法[7], 后者在于求解一个包含了正则项的最小二乘问题, 即求解泛函2222()l l J x Kx yDxαα=−+ (13)的极小化, 其中D 为约束/规范化算子, 比如说可取D 为离散的微分算子, α即为所谓的正则参数. 光滑泛函J α(x )的极小化就定义了不适定反演问题的一个正则化技巧.2.2.2 数值截断奇异值分解(NTSVD)正则化在许多情况下, 历史的经验的知识很难获得, 更糟糕的是, 有时历史的经验的知识不可信(比如说, 对于太老的先验知识, 而植被结构早已变化). 在这种情况下, 我们应该如何获取地表参数? 幸运的是, 我们发现奇异值分解方法可以帮助我们完成这项工作. 一个修改的奇异值分解可以自然地包含某种先验信息. Pokrovsky 等[5]利用QR 分解法反演线性核驱动系统并建议利用奇异值分解方法求解该系统. 但奇异值分解方法不能直接使用. Wang 等[7]仔细地研究了地表参数反演的正则化理论并提出了一个正则化的数值截断奇异值分解方法(NTSVD).记核矩阵K 的奇异值分解为1NTT i i i i K U V u v σ==∑=∑,其中U =[u i ]和V =[v i ]均为归一化正交矩阵, 即U 和它共轭阵的乘积以及V 和它共轭阵的乘积均为恒等矩阵; Σ为对角阵其非零数组组成了矩阵K 的奇异值. 注意到对于地表参数反演问题, K 可能包含各种各样的噪音/误差而且可能是亏秩的. 因此, σi 可能逼近0对于大的N 值, 这将导致数值计算的不稳定性并且需要面对从整个解空间找到一个合适的解[7]. 我们把这些问题叫做不适定性. 正则化技巧用来克服不稳定性并提供给人们一个唯一的稳定的解. 对于奇异值分解来说, 正则化指的是数值计算上把小的奇异值截断并寻求最小模解, 因此称作数值截断奇异值分解方法(NTSVD), 该方法的显式表达式如下:NTSVD11(),ipT i i i xu y v σ==∑ (14) 这里p表示数值秩[7]. 事实上, NTSVD 是模型问题(10)~(12)的一个特殊情况, 这只要注意到令22()1/2l J x Kx yα=−以及()c x x =∈(,)−∞∞即可.很明显, 基于核表示的地表参数反演问题可以通过NTSVD 方法求解. 对于更详细和精妙的描述以及误差传播估计, 请见文献[7].2.2.3 l 1空间反演值得指出的是, 不适定性是任何反演问题的内在的基本属性. 除非附加的先验信息或某种知识比如说单调性、光滑型、边界条件或源数据的误差界等加入进反演模式中, 否则反演的困难性是几乎不可能解决的. 一般来讲, 核驱动BRDF 模型是半经验的, 待提取的参数x 很多情况下可以看作是加权函数, 尽管它是叶面积指数(LAI), Lambertian 反射, 日照树冠反射以及观测和入照角度的函数. 因此, 参数x 不一定是正数. 但由于该参数可以看作是加权函数, 适当的安排x 的组分可以获得同样的计算结果. 也就是说, 我们可以“令”x 为非负的向量. 于是剩余的问题就是王彦飞等: 带先验约束的地表参数提取的有效反演方法364发展合适的计算方法求解这么一个“人造”的问题. 我们关于求解最优解x *的新观点是求解一个l 1极小化问题:1min ,x l x(15a)s.t. Kx =y , (15b) x ≥0, (15c)该模型利用了l 1空间的知识, 于是自动加入了先验信息. 由于观测系统的限制, 人们容易看出反演的地表参数为离散的和稀疏的. 因此, 如果一个反演算法不具有强适性, 距离真解比较远的“野值”将会出现.在这种情况下, 先验约束的l 1空间极小化可能会比传统的正则化技巧反演效果好. 模型(15)容易化作一个线性规划问题[14,15], 因此线性规划方法可以用来求解反演问题(见附录A 的详细描述).基于1l 模极小化求解的方法要求在可行集中寻找一个可行解:{:, 0}.S x Kx y x ==≥因此, 事实上是要求在可行集S 中寻找一个内点, 所以该方法又叫做内点法. 式(15)的对偶形式可以写成:max y T g , (16)s.t. s =e −K T g ≥0, (17)其中e 是一个向量, 其所有的元素值均为1. 于是, 关于三元组(x , g , s )的最优性条件就是满足下述方程组的原始-对偶三元组解:Kx y =, (18)T K g s e +=, (19) 0SFe= , (20) x ≥0, s ≥0, (21)其中12diag(,,,)N S s s s = ", 12diag(,,,)NF x x x = ", 并且s i , x i 分别为向量s 和x 的组分. 其中记号diag(·)表示一个对角阵, 其唯一的非零元素为主对角线.内点算法生成迭代点列{,,}k k k x g s , 使得 x k >0和s k >0. 随着迭代指数k 趋于无穷, 等式约束违反度||y −Kx ||和||K Tg k +s k −e ||以及对偶间隙Tk kx s 将指向零,从而生成一个极限点同时求解了原始的和对偶的线性问题.有关该算法的推导和可实现的算法的描述, 请见附录A.2.2.4 一点注记为了降低核驱动模型的不适定性, 选择合适的解空间以及适当的正则化技巧都是很关键的问题. 并不奇怪的是正则化方法可以用来求解地表参数提取问题, 因为该方法相当巧妙地利用了先验知识, 该先验知识是由解空间的模以及参数的界表征的. 注意到方程(10)~(12)的表达, 正则化的格式不必拘泥于同一模式; 因此, 读者和用户可以根据该表达生成一大类正则化算法. 此外, 我们没有认为单角度或两个角度的反演结果要比多角度的计算效果好. 我们只是想说明正则化方法为用户提供了一个有效的反演手段特别是当有效观测不足时. 众所周知, 多角度观测是假定地表反射在一定时间周期范围内是稳定的情况下, 通过累积非多角度卫星仪器的每日观测获得的. 而问题是发生在地表作物快速生长的季节, 这是地表覆盖类型变化是飞快的. 这种情况下, 用于反演BRDF 并获得地表反照率的强适的算法是十分值得期待的. 此外, 对于一些高空间分辨率的传感器, 拟多角度数据很难获得. 这也就是为什么没有高分辨率地表反照率产品的原因. 利用我们的算法, 我们仍然可以获得其反演结果, 因而为用户提供了有关地表参数信息的一般知识.3 数值试验在这一节我们给出求解地表参数反演问题的计算实例. 我们采用的数据是公认的用于测试方法好坏的73组经典数据[4]. 在这73组BRDF 观测数据中, 只有18组野外观测的BRDF 数据有着详细的试验选取、生物物理量和仪器设备信息的描述. 表1概括了本次实验用到的数据性质. 从表1看出, 这些数据覆盖了一大类地表覆盖类型, 相当好地代表了自然的和人工栽培的作物类型.为了验证算法的强适性, 我们需要生成不适定问题的情形, 这可以通过把观测数据集表1中的数据极大地减少得到. 在本次实验中, 我们只取一次观测作为有限观测数据(极端情形)并比较由NTSVD 反演中国科学 D 辑: 地球科学 2009年 第39卷 第3期365表1 观测数据、覆盖类型及LAI观测数据 覆盖类型 LAI kimes.irrwheat 灌溉地小麦 4 kimes.hardwood 阔叶林 4.2 kimes.soy 大豆 4.6 kimes.corn玉米 0.65kimes.orchgrass果园草1的结果和基于l 1空间反演的结果.由NTSVD 方法分别对可见光(VisRed)和近红外(Nir)波段反演计算得到的地表反照率值的结果见表2, 3以及由1l 空间方法分别对可见光(VisRed)和近红外(Nir)波段反演计算得到的地表反照率值的结果见表4和5. 在表2中, 真实的WSAs 值表示的是由相应的多角度观测数据计算出的结果. 从计算结果看出, 尽管反演结果不是足够令人满意, 但至少对于仅仅一次观测数据能够在合理的区间内给出带反演的参数值. 这对于地表覆盖快速变化的时段, 比如说植物积极生长季节, 是十分有用的文献[7]. 从实验结果来看, l 1空间方法反演方法似乎比NTSVD 方法生成更为精确的反演结果. 我们同时从文献[4]的数据集中生成不适定数据并作了更多的反演计算. 数值表现是类似的. 由于这些数据集可以生成大量的不适定反问题模型, 因此没有一一列出. 感兴趣的读者可以参见文献[16]见更多的数值例子.接下来, 我们应用获得的某一天的在某一观测表2 由NTSVD 反演算法计算得到的WSAs 值与真实的WSAs 值在可见光(VisRed)波段的对比覆盖类型 单次观测真实值玉米 0.060975284 0.077371794 阔叶林 0.030110122 0.036017748 灌溉地小麦 0.055554622 0.066419290 果园草 0.108295684 0.078334436 大豆0.031414520 0.037576732表3 由NTSVD 反演算法计算得到的WSAs 值与真实的WSAs 值在近红外(Nir)波段的对比覆盖类型 单次观测 真实值玉米 0.239921484 0.288654970 阔叶林 0.252075923 0.369430037 灌溉地小麦 0.364501461 0.513398848 果园草 0.389020678 0.296322714 大豆0.283347191 0.515229716表4 由l 1空间反演算法计算得到的WSAs 值与真实的WSAs 值在可见光(VisRed)波段的对比覆盖类型 单次观测 真实值玉米 0.101101803 0.077371794 阔叶林 0.039901819 0.036017748 灌溉地小麦 0.050401846 0.066419290 果园草 0.057701894 0.078334436 大豆0.028101856 0.037576732表5 由l 1空间反演算法计算得到的WSAs 值与真实的WSAs 值在近红外(Nir)波段的对比覆盖类型 单次观测 真实值玉米 0.272701813 0.288654970 阔叶林 0.263901792 0.369430037 灌溉地小麦 0.497901847 0.513398848 果园草 0.280401851 0.296322714 大豆0.520901852 0.515229716方向上的大气校正后的中分辨率成像光谱仪(MODIS)1B 产品作为单次观测BRDF 的例子进行反演计算. 该观测数据中的每一格像元都具有不同的观测天顶角和相对方位角. 采用的数据MOD021KM.A2001137(水平阶砖数26, 垂直阶砖数为4)是在中国北京顺义县城做遥感试验时获得的. 针对1B 产品数据, 我们利用NTSVD 以及基于l 1空间的方法反演出了3个参数. 图 1画出了DOY=137的波段1的BRDF 分布. 我们必须指出标准的MODIS Ambrals 算法对于如此极端的情形是不能给出反演结果的, 即使是对于MODIS 的等量反演(比如说见文献[2]和[17])也是如此. 但我们的方法对于如此极端的情形仍然适用. 对于MODIS 数据, 由于观测数据的限制以及低分辨率的限制, 在计算出的反照率值中有一些低能量的反常的黑像素值. 注意我们并不是指低的反射率值. 但这不是反演算法的问题. 注意到反照率是BRDF 在各个角度的积分; 因此, 其应当具有与BRDF 类似的性质. 所以, 对于低能量的反常的反照率黑像素值, 我们采取了多项式插值方法, 即计算BRDF 和反演计算得到的反照率中表现正常的像素值的相关系数并插值得到新的对应于反常点的反照率值. 图2和3分别列出了基于NTSVD 和l 1空间方法反演的结果. 从图2和3发现根据两种不同的方法对于观测不足数据计算出的结果均能给出合理的反照率轮廓. 尽管结果不是十分完美, 但大部分的细节得到了保留.王彦飞等: 带先验约束的地表参数提取的有效反演方法366图1 单次观测MOD021KM.A2001137波段1的BRDF图像图2 由NTSVD 方法反演得到的单次观测MOD021KM.A2001137波段1的反照率4 讨论和结论在本文中, 我们首先描述了一个用于线性核驱动模型反演的正则化的经济有效的数值截断奇异值分解方法, 接着提出了用于线性核驱动模型反演的l 1空间正则化方法.这些方法可以用来求解多角度的地表参数反演问题. 事实上, 业已证明数值截断奇异值展开法对于求解抽象的第一类算子方程来说是一种正则化方 法[11,18,19]. 一般来讲, 正则化要求在最小二乘模型上施加一个惩罚项或正则项, 即求解一个Tikhonov 泛函图3 基于l 1空间反演方法得到的单次观测MOD021KM.A2001137波段1的反照率2222()nl l J x Kx y Dxαα=−+ (22)的极小, 这里D 表示约束或规范化算子, 通常可以取作一个微分算子的离散化, α为所谓的正则参数. 模型(22)只是模型(10) 的一个特殊情形. 截断奇异值分解方法属于直接的正则化方法, 该方法依赖于线性算子K 的奇异系统. 如果(22)中的模是p l 规范的(p >0, 且p ≠2), 则对应于更一般的p l 空间的正则化. Tikhonov 正则化方法在各类反演科学问题中被广泛采用, 因此可以用来求解地表参数反演问题(见文献[7]中的详细理论推导). 对于遥感传感器MODIS, 由于其低分辨率和大尺度, 我们认为基于l 1反演是可行的, 并且距离真解比较远的“野值”可以得到遗弃. 由计算对比结果可见, l 2空间和l 1空间的正则化均可以用来求解地表参数反演问题. 但对于更一般的反演问题, 计算结果可能不一样.我们注意到BRDF 模型的驱动核可以预先建立, 因此只要观测不足且有噪音存在, 其不适定性就潜在存在. 但是根据正则化性质, 只要观测到的反射值r δ满足, 1,r r r δδωδω−>≤≤即信噪比(SNR)大于1, 该方法就可以胜任. 这里r 代表真实的无干扰的地表反射, δ表示 (0,1)上随机噪音的噪音水平(上界).致谢 审稿人对本文提了很多具体的修改建议, 我们对此表达真诚的感谢.。
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社会企业与经济发展的相互关系分析
随着社会意识的觉醒和对可持续发展的追求，社会企业在如今的商业世界中愈发受到关注。
社会企业，即以解决社会问题为使命、追求社会效益和经济效益的企业形式，与经济发展之间存在着密切的相互关系。
本文将从不同视角分析社会企业与经济发展的关系，并探讨其潜在影响。
从社会角度来看，社会企业在面对各种社会问题时起到了积极的作用。
当公共部门无法满足社会需求时，社会企业能够填补空缺。
例如，在一些贫困地区，传统商业企业不愿进入的领域，社会企业却能够提供相应服务，改善当地居民的生活质量。
同时，社会企业也推动了社会创新，通过尝试新的商业模式和解决方案，促进社会进步。
因此，社会企业在推动社会公平和可持续发展方面起到了重要的作用。
然而，社会企业的发展也需要经济支持。
经济发展为社会企业提供了良好的环境和资源。
对于社会企业而言，只有在经济稳定发展的环境下，才能够获得足够的资源和投资，从而实现其社会使命。
例如，社会企业在市场经济中运作，需要进行生产、销售、供应链管理等一系列商业活动。
只有当经济发展良好和市场需求稳定时，才能够为社会企业提供稳定的商业机会，使其能够蓬勃发展。
社会企业与经济发展之间的相互关系也体现在市场机制的改善方面。
市场经济中，传统企业通过追求经济效益来获取商业成功。
然而，这种商业模式往往忽视了社会责任。
而社会企业的兴起使得市场机制得到调整，追求经济效益的同时也注重社会效益。
这种市场机制的改善有助于推动经济发展的道德化和可持续化。
社会企业通过倡导社会责任和可持续经营，引导企业界关注社会和环境影响，从而推动经济的进步和可持续发展。
此外，社会企业还促进了创新和人才培养。
社会企业通常致力于解决特定的社会问题，需要寻求创新的商业模式和解决方案。
这种创新不仅带来了社会效益，也促进了经济的发展。
同时，社会企业也吸引了一批具有社会意识和责任感的人才。
这些人才的加入为企业带来了新的思路和能量，并且在成长中也培养了更多拥有社会意识和责任感的人才。
这一连锁反应对于经济的创新和发展具有重要的影响。
尽管社会企业在推动社会问题解决和可持续发展方面具有积极作用，但也面临着一些挑战。
由于受到商业模式和资源限制的限制，社会企业往往难以扩大规模和影响力。
此外，在商业成功和社会使命之间的平衡也是一个难题。
社会企业需要在商业运营中实现经济效益，才能够持续地履行社会使命。
而这种平衡对于社会企业的可持续发展至关重要。
综上所述，社会企业与经济发展之间存在着密切的相互关系。
社会企业通过解决社会问题和推动社会创新，促进了社会公平和可持续发展。
同时，经济发展为社会企业提供了发展的资源和环境。
社会企业的兴起也推动了市场机制的改善，促进了经济的道德化和可持续化。
社会企业通过创新和人才培养，为经济的创新和发展提供了助力。
尽管社会企业面临一些挑战，但其在社会领域和经济发展中所发挥的作用不容忽视。
只有进一步推动社会企业的发展，才能够实现经济和社会的双赢。