数列的通项与求和(一)教案 高三数学一轮复习

数列的通项与求和（一）

教学目标

1掌握求通项与求和的基本方法.

2能利用基础知识和方法进行合理转化，熟练求通项与求和。 考点一 求数列通项公式

（必会）例1、(1)设数列{a n }满足a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝1－1

2n ，则a n ＝( )

A ．1－12n

B ．12

n －3 C.12n D ．n

2n

(2)已知首项为1的数列{a n }满足点((2n ＋1)a n ＋1，(2n －1)a n )在函数y ＝10x

，y ＝lg x 图象的对称轴上．则a n ＝________．

给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：

一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .

(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于a n ＋1＝a n ＋f (n )型)、累乘法(适用于a n ＋1＝a n ·f (n )型)、待定系数法(适用于a n ＋1＝pa n ＋q 型)求通项公式． 考点二 数列求和 命题角度1 裂项相消法求和

（必会）例2、已知等差数列{a n }满足a n ＋1＋n ＝2a n ＋1. （1）求{a n }的通项公式； （2）(2)记S n 为{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 的前

n 项和T n .

例3、已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝（－1）n a 2n ＋1

a n a n ＋1，数列{

b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .

裂项相消法求和需过的“三关”：

一是定通项关，即会利用求通项的常用方法，求出数列的通项公式； 二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项；

三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和．

命题角度3 错位相减法求和

例

4、（必会）数列{a n }满足：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是公比为2

的等比数列，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 2n 是公差为1的等差数列．

(1)(一题多解)求a 1，a 2的值； (2)试求数列{a n }的前n 项和S n .

运用错位相减法求和的关键：

一是判断模型，即判断数列{a n}，{b n}是不是一个为等差数列，一个为等比数列；

二是错开位置，为两式相减不会看错列做准备；

三是相减，相减时一定要注意最后一项的符号，在解题时常在此步出错，一定要小心．

命题角度1分组转化法求和

例5、数列{a n}中，a n≠0，S n是它的前n项和，a1＝3且S2n＝3n2a n＋S2n－1，n≥2.

(1)证明：数列{a n＋a n＋1}为等差数列；(2)求{a n}的前n项和S n.

分组转化法求和的关键：

即观察数列的通项公式的特征，若其是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列)的通项组成，则求和时可用分组求和法。当堂检测

1、设等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝k·2n－3，则a k＝()

A．4B．8 C．12 D．16

2、在数列{a n}中，a1＝

1

3，a n＝(－1)

n·2a n

－1

(n≥2)，则a3＝()

A．－

16

3B．

16

3C．－

4

3D．

8

3

3、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋log3

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

2

2n＋1，则a41＝() A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log340

4、已知S n是数列{a n}的前n项和，且log5(S n＋1)＝n＋1，则数列{a n}的通项公式为________．

5、已知数列{a n}满足a n＋1＝

2a2n＋3a n＋1

a n＋1

(n∈N*)，且a1＝1，则数列{a n}的通项公式为

6、在①数列{S n－n2}是公差为－3的等差数列，∈S n＝n2＋a n－5n＋4，

∈数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a3a6＝a24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．

已知数列{a n}中，a1＝－2，{a n}的前n项和为S n，且________．

(1)求a n；

(2)若b n＝

1

（n＋1）（a n＋4）

，数列{b n}的前n项和为T n，求证：

1

4≤T n<

1

2.