二次函数几何意义
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结在数学中，二次函数最高次必须为二次。
，希望可以帮助到大家，一起来看看下文。
1二次函数及其映象二次函数quadraticfunction是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为fx=ax^2bxca不为0。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般来说，自变量x和因变量y之间的关系如下：一般式y=ax∧2.Bxca≠ 0，a，B和C是常数，顶点坐标是-B/2a，-4ac-B∧2/4A；顶点式Y=AXM∧2kA≠ 0、a、m和K是常数或y=ax-h∧2kA≠ 0、a、h和K是常数，顶点坐标为-m，K对称轴为x=-m。
图像顶点的位置特征和打开方向与函数y=ax∧2的位置特征相同。
有时，本主题会指出，可以使用匹配方法将一般公式转化为顶点公式；交点式Y=ax-x1x-x2[仅适用于相交于ax1,0的抛物线和相交于X轴的bx2,0]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
已知牛顿插值公式，得到了三点函数的解析公式y=y3x-x1x-x2/x3-x1x3-x2y2x-x1x-x3/x2-x1x2-x3y1x-x2x-x3/x1-x2x1-x3。
由此可引导出交点式的系数a=y1/x1*x2y1为截距二次公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
X是自变量，Y是X的二次函数x1,x2=[-b±√b^2-4ac]/2a即一元二次方程的根公式求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中画一个二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果图纸准确，则通过一般平移得到二次函数。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并指出x=什么3与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，顶点坐标。
二次函数的知识点归纳总结
二次函数的知识点归纳总结一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。
二次函数的几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）,我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/ax1·x2=c/ay=ax^2+bx+c=a（x^2+b/ax+c/a）=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2. =a(x-x1)(x-x2)重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。
二次函数和一次函数的关系
二次函数和一次函数的关系二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数形式。
它们之间存在着一定的联系和区别，在实际应用中也有各自的作用和特点。
本文将就二次函数和一次函数的关系进行探讨和分析。
一、二次函数和一次函数的定义首先，我们先来了解二次函数和一次函数的定义。
一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a不等于0；而二次函数则是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
可以看出，二次函数是一次函数的进一步延伸，多了一个平方项。
二、二次函数和一次函数的图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，而一次函数的图像则是一条直线。
二次函数的图像经过抛物线的顶点，而一次函数的图像则为一条斜直线。
通过图像我们可以清晰地看出二次函数和一次函数在几何意义上的不同。
三、二次函数和一次函数的导数导数是函数的变化率，对于一次函数而言，导数是一个常数，代表函数的斜率；而对于二次函数，导数则会随着自变量的变化而发生变化，代表的是函数曲线在某一点的切线斜率。
从导数的角度来看，一次函数和二次函数也有明显的差异。
四、二次函数和一次函数的解析式二次函数的解析式中含有平方项，具有更高次的多项式，相对而言计算复杂度会高一些；而一次函数的解析式更为简单，只涉及到一次幂的计算。
因此，在计算和求解问题时，选择合适的函数形式也显得尤为重要。
五、二次函数和一次函数的应用领域二次函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，例如抛物线运动、开口向上的碗状图案等；而一次函数则在线性规划、直线运动等方面有着重要作用。
在不同的应用场景下，选择适合的函数形式可以更好地描述和解决问题。
六、二次函数和一次函数的关系总结综上所述，二次函数和一次函数虽然在形式上有所不同，但它们之间同样存在紧密的联系。
二次函数可以看作是一次函数向更高阶的发展，具有更为复杂的特性和应用；而一次函数则是更为简单和直接的线性关系。
因此，在实际应用中，了解并灵活运用二次函数和一次函数的关系，可以更好地应对各种问题和挑战。
考点11 二次函数的图象性质及相关考点【无答案】
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。
而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项，一次项系数为，常数项为．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣5D ．y ＝（x ﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2（x ﹣3）2+3 B ．y ＝2（x +3）2+3 C ．y ＝2（x ﹣3）2+1D ．y ＝2（x +3）2+24．抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（6，3）．若抛物线y ＝mx 2+2mx +m +3（m 为常数，m ≠0）向右平移a （a ＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB 上，则a 的取值范围为 ．考向二、二次函数的图象特征与最值1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线a bx 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上 a ＞ 二次函数有最小值ab ac 442-；开口向下 a ＜ 二次函数有最大值ab ac 442-；2. 图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立， 利用排除法，得到最后答案。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结初中数学初中二次函数知识点剖析二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a;0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h 时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点2.二次函数人脸有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口3.二次项系数a决定大小二次函数图像的开口西向和大小。
当a;0时，二次函数图像向上尾端；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在右边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab;0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
提议二次函数图像与y轴交点的因素5.常数项c决定二次函数幻灯片与y轴交点。
二次函数图像与y 轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)与y轴交于（0,C)二次函数图像与x轴交点个数6.二次函数图像与x轴交点个数a0或a;0;k0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y;k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此刻，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程动名词）。
二次函数
2009-2010年学年度下学期九年数学参考资料二次函数2009-11-11目录1、定义与定义表达式 (3)2、二次函数的图像 (3)3、抛物线的性质 (3)4、二次函数与一元二次方程 (5)5、中考典例 (7)1、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)2、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方;的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
3、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
二次函数端点值的公式
二次函数端点值的公式二次函数是一种常见的数学函数，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在二次函数中，端点值是指函数的最高点或最低点的函数值。
本文将介绍二次函数端点值的计算公式及其应用。
一、二次函数端点值的计算公式对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，其端点值可以通过以下公式来计算：1. 最高点的函数值最高点的横坐标为x=-b/2a，将其代入函数表达式可得最高点的函数值为y=(-b^2+4ac)/4a。
2. 最低点的函数值最低点的横坐标为x=-b/2a，将其代入函数表达式可得最低点的函数值为y=(4ac-b^2)/4a。
需要注意的是，在计算最高点或最低点的函数值时，需要保证a不等于0，否则二次函数就变成了一次函数。
二、二次函数端点值的应用1. 几何意义二次函数的端点值在几何上有着重要的意义。
最高点或最低点即为二次函数的顶点，它代表了函数的最大值或最小值。
通过计算端点值，我们可以确定二次函数的开口方向以及函数的极值。
2. 最优化问题二次函数的端点值在最优化问题中有着广泛的应用。
例如，在生产成本最小化的问题中，可以将成本函数建模为一个二次函数，通过计算端点值确定最低点的函数值，即为最小成本。
3. 优化算法端点值的计算也为优化算法提供了重要的依据。
例如，在求解最优解的过程中，我们可以通过计算函数的端点值来判断搜索方向并进行迭代。
三、实例分析为了更好地理解二次函数端点值的计算公式及其应用，我们以一个实例进行分析。
假设有一个二次函数y=2x^2-4x+3，我们需要计算其最高点和最低点的函数值。
1. 最高点的函数值根据公式，我们可以计算最高点的横坐标为x=-(-4)/(2*2)=1。
将x=1代入函数表达式可得最高点的函数值为y=(-(-4)^2+4*2*3)/(4*2)=5。
2. 最低点的函数值根据公式，我们可以计算最低点的横坐标为x=-(-4)/(2*2)=1。
将x=1代入函数表达式可得最低点的函数值为y=(4*2*3-(-4)^2)/(4*2)=3。
人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记
(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。
二次函数专题复习-abc的几何意义
三、引导悟技
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，它与x轴的两个交点分别为（-1,0）, （3,0），判断下列式子的 b2
② 8a+c 0
-1 O
3x
三、引导悟技
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下
图所示，判断下列式子的大小.
问题1：若函数与x轴交点的横坐标分别
为x1，x2(x1<x2)请指出x1,x2的值或者取值
范围 .
y
1
-2 -1 O
4x
三、引导悟技
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下 图所示，判断下列式子的大小. 问题2：请指出对称轴的取值范围.
y
1
-2 -1 O
4x
三、引导悟技
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下
图所示.
问题3：比较下列各式的大小.
y
问题2：① b+2a 0
②b2-4ac 0
-1 O
3x
三、引导悟技
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所
示，它与x轴的两个交点分别为（-1,0）,
（3,0）,判断下列式子的大小. y
问题3: ① a+b+c 0
②4a+2b+c 0
③9a+3b+c 0
-1 O
3x
④a-2b+4c 0
⑤a+b m(am+b)
二次函数的图象和性质 （复习）
——二次函数y=ax2+bx+c中系数a、b、c的几何意义
——黄 建
一、引入悟境 观看微视频
数学二次函数知识点总结
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数学二次函数知识点总结，希望可以帮助到大家，一起来看看下文。
数学二次函数知识点总结一1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数
定义与定义表达式一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。
自变量（通常为x）和因变量（通常为y）.右边是整式，且自变量的最高次数是2。
注意，―变量‖不同于―未知数‖，不能说―二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数‖。
未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。
在方程中适用―未知数‖的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数的解法二次函数的通式是y= ax⒉+bx+c如果知道三个点将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数如题方程一8=a2+b2+c 化简8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点方程二7=a×62+b×6+c 化简7=36a+6b+c 方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简7=36a-6b+c 解出abc 就可以了上边这种是老老实实的解法对(6,7)(-6,7)这两个坐标可以求出一个对称轴也就是X=0 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算或者使用韦达定理一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0 且△=b-4ac≥0)中设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b²/4a)顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤：二次函数(16张)∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
二次函数定义
二次函数定义二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
二次函数的几种表达式一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
[1]例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B （x，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵X1+ X2=-b/a X1·X2=c/a∴y=ax2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a[x2-( X1+ X2)x+ X1·X2]=a(X2- X1)( X1- X2)重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数
第二十二章二次函数满招损，谦受益。
《尚书》怀辰学校陈海峰组长二次函数及其图象二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。
其图象是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图象的开口方向与函数ｙ＝ax２的图象相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图象，可以看出，二次函数的图象是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图象如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和次项系数a共同决定对称轴的位置。
二次函数的图象与方程
交点性质：当a>0时，一个交点在原点，另一个在x轴正半轴；当a<0时， 一个交点在原点，另一个在x轴负半轴
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交点坐标：当a>0时，交点坐标为(0,0)和(√(-b/a),0)；当a<0时，交点坐 标为(0,0)和(-√(-b/a),0)
单击此处添加标题
交点与方程的关系：二次函数与x轴的交点即为方程的根
二次函数与三角 形、四边形等几 何知识的关系： 通过二次函数的 图象，可以研究 三角形、四边形 等几何图形的性
质和特点。
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汇报人：XX
二次方程的解法
二次方程的解的概念
二次方程的标准 形式：ax^2 + bx + c = 0
判别式：Δ = b^2 - 4ac
根的性质：当Δ > 0时，方程有 两个不相等的实 根；当Δ = 0时， 方程有两个相等 的实根；当Δ < 0时，方程无实 根。
解的公式：当Δ ≥ 0时，解为x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
二次函数的表达式
二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为常数 且a≠0
a的符号决定了抛物 线的开口方向，当 a>0时，抛物线开 口向上；当a<0时， 抛物线开口向下
b和c决定了抛物线 的位置，b和c的值 越大，抛物线越偏离 y轴和x轴
二次函数的顶点坐标 为(-b/2a, cb^2/4a)
二次函数的图象与方程
汇报人：XX
单击输入目录标题 二次函数的基本概念 二次函数的图象 二次方程的解法 二次函数的实际应用 二次函数与其他数学知识的联系
添加章节标题
二次函数的基本概念
二次函数 a、b、c的几何意义[下学期]
![二次函数 a、b、c的几何意义[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/eafe4cdf700abb68a882fb25.png)
典型例题分析
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如
图所示，则点M（ b ，a）在（ D ）
A、第一象限
c
y
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
o
x
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练一练：
6、已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大
复习
1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴是什 么?顶点坐标是什么?
2、抛物线与 x轴是否有交点与什么有关？
3、抛物线与 y轴交点的位置与什么有关？
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二次函数的符号问题
（a、b、c、△的几何意义）
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∴a 的取值范围为 0 ＜ a ＜ 1
y o-11 x
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练一练：
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象
如图所示，下列结论中：①abc＞0；
②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;
⑤a-b+c＞0； ⑥4a-2b+c＜0；
6、已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
y
0
-1
x
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归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
二次函数
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax&^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
初三数学二次函数知识点总结归纳
初三数学二次函数知识点总结归纳二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y 最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y 最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
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二次函数几何意义
函数是数学中概念最为重要的概念之一，广泛应用于科学技术、商业运算等领域。
今天，我们将讨论一下二次函数的几何意义。
首先，让我们从数学定义上来谈谈二次函数。
在几何意义上，二次函数是一种多项式函数，它的形式为y=ax2+bx+c，其中a、b、c
是常数，x是变量，y是函数的值。
其次，让我们来看看二次函数的几何意义。
一个二次函数可以用一个抛物线来表示，抛物线被平面内切成两个部分，其中一部分在x 轴的右边，另一部分在x轴的左边。
这条抛物线是一条开口向上的曲线，其图像上形成一个“U”形，其图形有两个交点，即抛物线的凹陷处，而抛物线的凸起处则是它的顶点。
再次，让我们来看看二次函数的特征值。
这类函数的特征值非常重要，它包括函数的顶点、凹陷处的值、单调性、对称性等等。
最后，让我们来讨论一下二次函数的应用。
二次函数广泛应用于工程学、物理学、生物学等领域，其中包括抛物线运动轨迹预测、空气动力学中流体动态计算、热传导计算、医学影像分析等。
此外，它还被用于几何图形分析、椭圆计算、逃逸率计算、圆周率求解等。
总之，二次函数是一个重要的数学概念，具有广泛的应用潜力。
它的几何特征包括顶点、凹陷处的值、单调性和对称性等，在工程学、物理学、生物学等领域都有应用，是很多数学模型的基础。
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