哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子
求在点
M (1, 2,1)
处的
ur A
解：
ur ur A rot A
D
ur A
z3 4xyz
0 2 x 2 z
3xz2
2
x
2
y
0
2z4 8 yz3
ur ur
r
r
r
A rot A (2z2 2x2 y)i (3xz2 0) j (4xyz 0)k
ÒS (u v)gdS g(u v)dV (vgu uv)dV
同理 uur
ÒS (v u)gdS (vgu vu)dV
两式相减
uur
ÒS (uv vu)gdS (uv vu)dV
证毕.
18. ( A) (gA) A (A Axi Ay j Az k)
下面公式中
19.
r
r r
uur r0
r
rrrr r xi y j zk
r 20. gr 3
22. f (u) f (u)u
r , r r
rr 21. r 0
ur ur ur ur 5. g( A B) gA gB
ur ur
ur ur
6. ( A B) A B
ur
ur
ur
ur
7. g(uC) ugC 8. (uC) u C
以上公式中，Ｃ为常数，Cur 为常矢。
ur
ur
ur
9. (uv) uv vu 10. g(u A) u gA ugA
ur
ur
哈密顿算子的计算
哈密顿算子的计算哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量。
它是由物理学家威廉·罗维·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪提出的，并且在量子力学的发展中起到了关键的作用。
在量子力学中，哈密顿算子被表示为一个算符，通常用H来表示。
它的作用是对波函数进行操作，得到系统的能量本征值和相应的能量本征态。
哈密顿算子可以描述一个单粒子系统或多粒子系统的总能量，并且可以应用于各种不同的物理系统。
哈密顿算子的一般形式如下：H = T + V其中，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
动能可以根据粒子的质量和动量来计算，而势能则与粒子所处的位置和相互作用有关。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算子的本征值问题通常需要使用量子力学中的求解方法，如波函数展开、变分法、微扰理论等。
通过这些方法，可以得到系统的能谱和相应的波函数，从而了解系统的能级结构和性质。
对于简单的系统，如一维无限深势阱，哈密顿算子的求解相对较简单。
在这种情况下，势能V为常数，哈密顿算子的形式为：H = - (h^2 / 2m) * d^2/dx^2 + V其中，h为普朗克常数，m为粒子的质量，d^2/dx^2表示对波函数进行两次偏导数。
通过求解这个本征值问题，可以得到系统的能量本征值和相应的波函数。
对于更复杂的系统，如多粒子系统或具有特殊势能的系统，哈密顿算子的求解就更加困难。
此时需要借助数值计算和近似方法来求解。
一种常用的方法是使用算符分解和离散化的技术，将哈密顿算子表示为一个矩阵形式，并通过对矩阵进行对角化来求解本征值问题。
除了用于求解能量本征值和能量本征态外，哈密顿算子还可以用于描述系统的演化。
根据薛定谔方程，波函数在时间上的演化由哈密顿算子决定。
通过对哈密顿算子进行时间演化，可以预测系统在不同时间点上的状态和性质。
哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量和演化。
哈密顿算子
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈米尔顿算子公式
哈米尔顿算子公式哈米尔顿算子公式，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱先来说说啥是哈米尔顿算子。
它通常用符号“▽”来表示，这就像是数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开好多知识的大门。
哈米尔顿算子的定义是这样的：对于直角坐标系 (x, y, z) ，哈米尔顿算子▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的 i、j、k 分别是 x、y、z方向的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
举个例子吧，有一次我在给学生讲这个的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一个地球仪，跟他们说：“你们看啊，就好比这个地球仪，我们想知道地球上某个点的温度变化，这个哈米尔顿算子就能帮我们搞清楚温度在不同方向上的变化情况。
” 那孩子眨眨眼睛，好像有点懂了。
再来说说哈米尔顿算子公式在物理学中的应用。
在电场和磁场的研究中，它可是大显身手。
比如在静电学中，电场强度 E 和电势 V 之间就有▽×E = 0 和▽V = -E 这样的关系。
而且啊，在流体力学里，它能帮助我们描述流体的速度场。
想象一下水流在河道里奔腾的样子，哈米尔顿算子就能告诉我们水流在各个方向上的变化速度。
在量子力学中，哈米尔顿算子更是核心角色。
它与能量联系紧密，通过薛定谔方程，我们能更好地理解微观世界中粒子的行为。
我还记得有一次，我带着学生们做实验，通过一些简单的仪器和数据，让他们亲自感受哈米尔顿算子在实际中的应用。
看着他们从最初的懵懂到后来的恍然大悟，那种成就感真的没法形容。
总之，哈米尔顿算子公式虽然看起来有点复杂，但它在数学和物理学中的作用可不容小觑。
只要我们用心去理解，就能发现它的奇妙之处，就像在知识的海洋里找到了珍贵的宝藏。
希望大家通过我的讲解，能对哈米尔顿算子公式有更清晰的认识，也能在探索知识的道路上越走越远！。
第九讲 第三章哈密顿算子
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式
摘要：
1.哈密顿算子的定义与含义
2.哈密顿算子的矢量公式推导
3.哈密顿算子的常见运算规则
4.哈密顿算子在物理学中的应用
5.总结
正文：
哈密顿算子是物理学中的一个重要概念，它在磁场、电场理论以及量子力学中都有着广泛的应用。
哈密顿算子是一种矢量算子，具有双重性格，既是一个矢量，又是一个微分算子。
在量子力学中，哈密顿算子对应于系统的总能量，是一个可观测量。
要推导哈密顿算子的矢量公式，首先需要了解矢量叉乘和梯度运算。
在物理学中，矢量叉乘通常用于计算两个矢量之间的相互作用，而梯度运算则用于计算一个标量场在某一点处的梯度。
通过这两个概念，可以推导出哈密顿算子的矢量公式。
哈密顿算子的常见运算规则包括以下几点：
1.标量场通过哈密顿算子运算形成一个矢量场，该矢量场反应了标量场A 的分布。
2.哈密顿算子可以用于求解矢量场的散度和旋度。
在物理学中，哈密顿算子经常用于研究系统的能量转换和守恒定律。
例
如，在电磁学中，哈密顿算子可以用于计算电磁场的能量密度和能量流密度。
在量子力学中，哈密顿算子是薛定谔方程的一个重要组成部分，用于描述系统的总能量和能量演化。
总之，哈密顿算子是一种具有重要意义的物理量，它在物理学中的应用十分广泛。
哈密顿算子点乘
哈密顿算子点乘
哈密顿算子点乘是自旋的基本点乘，是取得量子力学数值计算的基础。
哈密顿算子是一切量子力学理论的基础，用于定义不同物理系统时，当它与某
种特定形式和构成的非松弛系统进行点乘时，就可以计算出该系统对应的总能量。
哈密顿算子点乘的基本概念很简单，可以把它想象成是动量以及其它特定变量
的乘积。
一个具有n个自旋的系统，它可以用下面的公式来表示：
H = p₀¹ + p₁² + p₂³ +... pnⁿ
这里，H代表哈密顿算子，每个p代表一种能量，比如动量。
所以，哈密顿算
子点乘，就是乘积各通道的能量，而且通道的次方也必须一一符合，也就是n个通道的能量构成H，并且各自的幂等于它们的次序，也就是¹、²、³……这样。
哈密顿算子点乘的优势在于能够精确的反映出一个系统的能量状态，以精确的
方式计算出一个系统的能量，因而比较容易地控制量子系统。
因此，它在量子力学以及量子计算领域有着广泛的应用，人们会根据不同的系统设计不同的哈密顿算子，以便精确计算出系统的总能量。
哈密顿算子点乘是自旋和量子计算的基础，它能够帮助我们更准确的了解某种
物理系统，增加我们对它的控制力度。
当理解某种物理力的基础原理，和系统的构成时，哈密顿算子点乘将会发挥出它的重要作用。
哈密顿算符运算原理
哈密顿算符运算原理
在量子力学中，物理量可以用对应的算符表示。
哈密顿算符就是描述
粒子总能量的算符，通常用H表示。
它包含了动能算符和势能算符两部分。
动能算符通常用动量算符p来表示，根据量子力学的假设，动量算符
与位置算符x是对易的，即[p,x]=0。
因此，动能算符可以写为T=p^2/2m，其中m是粒子的质量。
势能算符描述了粒子受到的外力场，一般记为V(x)，其中x是粒子
的位置。
势能算符与位置算符x是对易的，即[V(x),x]=0。
因此，哈密顿算符H可以写为H=T+V(x)。
通过哈密顿算符，我们可以求解量子力学体系的能量谱。
哈密顿算符
作用在量子态上，可以得到对应的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算符的本征值问题可以使用波函数的形式解决。
假设量子
态可以用波函数ψ(x)来描述，那么哈密顿算符作用在波函数上的结果可
以写为Hψ(x)。
根据薛定谔方程，对于一个定态情况，哈密顿算符作用在波函数上得
到的结果应该等于对应的能量本征值与波函数的乘积。
即Hψ(x)=Eψ(x)。
这个方程就是薛定谔方程的定态形式，其中E表示能量本征值。
解这
个方程，可以得到能量本征值E和能量本征态ψ(x)的解析解或数值解。
总之，哈密顿算符是量子力学中描述粒子总能量的算符，包含了动能
算符和势能算符。
通过求解哈密顿算符的薛定谔方程，可以得到量子体系
的能量本征值和能量本征态。
哈密顿算符的运算原理可以通过波函数或矩
阵的表示来揭示。
哈密顿原理的推导
(7)
i r ri d q j dt q j
(8)
ri r d d ri i i i mi ai mi r mi r q j dt q dt q j j
(5)
将(7)式和(8)式代入(5)式中得：
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
已知动力学普遍方程为：
将其展开后得：
n n i 1 i i i 1
( F m a ) r 0
i 1 i i i i
n
F r m a
i
i
ri 0
(2)
(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的 元功的和，可以写为广义坐标的形式为：
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有： t 2 k d L L q j q j dt 0 t1 j 1 dt q j q j
dq d ( ) (q) dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对
自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自
变量的积分。 即：
qdt qdt
t1 t1
t2
t2
(2) Hamilton原理：
a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实 运动邻近，且为约束所能允许的可能运动 的区分准则。
中任一质点Mi的位置，
显然，如果约束是非 定常的，则矢径ri是 广义坐标和时间的矢
量函数：
ri ri (q1 , q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)
第13讲哈密顿算子1
旋度运算公式
v v v v v v 4） div ( A × B ) = B • rot A − A • rot B v v v v v v ∇ • ( A × B) = B • ∇ × A − A • ∇ × B
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇ u ) = 0
（16）
梯度运算公式gradvgraduvugrad310gradcc为常数2cgradugradcuc为常数4vgraduugradvuvgrad0?c1uccu??vuvu???4uvvuuv???9512ugradvvgraduvvugrad?6graduufugradf7gradvvfgraduufvugradf?????12vuuvvvu????uufuf??vvfuufvuf??????2223梯度运算公式散度运算公式2bdivadivbadivvvvv1acdivacdivvv为常数cagraduaudivadivuvvv?3为数性函数uacacvv????babavvvv??????auauauvvv??????2510旋度运算公式2brotarotbarotvvvv1acrotacrotvv为常数cagraduaurotarotuvvv3v为数性函数uacacvv??babavvvv???auauauvv???36114brotaarotbbadivvvvvvv???50gradurot60arotdivvbaabbavvvvvv???????0??u0???av131617旋度运算公式auauavuvvv??????算子如果作用两个场则它对两个场分别起作用
v ∇×r = 0
ro f ' (r ) v ' r = f (r )r ∇ f (r ) = r v ∇ × [ f (r )r ] = 0
哈密顿算子公式
哈密顿算子公式哈密顿算子，也称为向量微分算子，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱们先来说说哈密顿算子的公式长啥样。
它通常用符号“▽”来表示，在直角坐标系中，它可以写成：▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的i、j、k 分别是 x、y、z 方向上的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
这看起来有点复杂，对吧？那我给您举个例子。
比如说，我们有一个函数 f(x,y,z) = x² + y² + z²，那么▽f 就等于 (2x)i + (2y)j + (2z)k 。
这就好像是哈密顿算子给这个函数来了一次“全方位的审视”，得出了它在各个方向上的变化情况。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲解哈密顿算子。
当时有个学生特别可爱，他一脸困惑地问我：“老师，这哈密顿算子到底有啥用啊？感觉好抽象！”我笑着跟他说：“你想想啊，假如你在爬山，你想知道哪个方向坡最陡，哪个方向最平缓，这哈密顿算子就能告诉你！”学生们一听，眼睛都亮了，好像突然对这个抽象的概念有了点感觉。
那哈密顿算子在物理学中的应用就更广泛啦！在电磁学中，电场强度 E 和磁场强度 B 都可以用哈密顿算子来表示和计算。
比如静电场中的高斯定理，可以用▽·E = ρ/ε₀来描述，这里的▽·表示散度运算。
还有在流体力学中，速度场的旋度可以用▽×v 来表示，通过它我们能了解流体的旋转情况。
再比如说，研究电磁波的传播时，麦克斯韦方程组里就有哈密顿算子的身影。
它帮助我们理解电场和磁场如何相互作用、如何传播。
总之，哈密顿算子虽然看起来有点让人头疼，但它可是我们探索自然世界的有力工具。
就像一把神奇的钥匙，能打开很多科学奥秘的大门。
希望通过我的这番讲解，能让您对哈密顿算子公式有更清晰的认识和理解。
要是还有啥疑问，咱们继续探讨！。
哈密顿算符的运算规则
哈密顿算符的运算规则
H=T+V
其中T是动能算符，描述了粒子的动能；V是势能算符，描述了粒子所受到的势能。
哈密顿算符的形式会根据系统的性质和问题的设定而有所不同。
1.哈密顿算符作用于波函数时，其结果为一个新的波函数：
HΨ(x)=EΨ(x)
其中Ψ(x)是波函数，E是对应的能量本征值。
2.哈密顿算符的本征值给出了系统的能量：
HΨ_n(x)=E_nΨ_n(x)
其中Ψ_n(x)是能量本征值E_n对应的本征函数。
3.哈密顿算符是线性的，即对于任意常数c：
H(cΨ(x))=cHΨ(x)
4.哈密顿算符的反对称性质：
[H,A]=HA-AH
其中A是任意一个与H可对易的算符。
5.哈密顿算符的对易关系：
[H,T]=0
其中T是动能算符。
6.哈密顿算符的对易关系：
[H,V]=0
其中V是势能算符。
7.哈密顿算符的期望值：
<H>=<Ψ，H，Ψ>
其中<Ψ，表示左矢（bra），Ψ> 表示右矢（ket），<Ψ，Ψ> 是波函数Ψ 的模方表示的概率。
8.哈密顿算符的时间演化：
iħ(dΨ/dt) = HΨ
其中ħ是约化普朗克常数。
这些运算规则是哈密顿算符在量子力学中的基本性质，通过它们我们可以推导出粒子运动的方程及其解。
它为我们理解量子力学中的能量和系统演化提供了重要的数学工具。
第14讲哈密顿算子2
uv vu 2u v
3.算子运算
，求证 例：设 a, b 为常矢， ， r xi yj zk r r
（习题7第6题）
（1） (r a ) a;
1 （2） ( ra ) ( r a ); r 1 （3） ( ra ) ( r a ); r （4） [(r a )b ] a b ;
3.算子运算 例4：证明
（ ( A B) ( B ) A ( A ) B B( A) A( B ) 14）
证：根据 算子的微分性质，应用乘积的微分法 则，则有，
A ( B C ) B( A C ) C ( A B) ( Ac B) Ac ( B) ( Ac ) B A( B) ( A ) B ( A Bc ) ( Bc ) A Bc ( A) ( B ) A B( A) ( A B) ( B ) A ( A ) B B( A) A( B)
第14讲哈密顿算子2哈密顿算子哈密顿算子的平方哈密顿回路哈密顿哈密顿原理哈密顿量哈密顿路径哈密顿方程哈密顿函数
《矢量分析与场论》
第14讲 哈密顿算子（2）
梅金顺
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
回顾：Hamilton算子1
Hamilton算子 i j k x y z
证：
( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A ( A A) A ( A) ( A ) A A ( A) ( A ) A 2 ( A) 2[ A ( A)] 2[(A ) A]
哈密顿原理的推导
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
2015-7-4 8
第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),
哈密顿算子点乘和叉乘
哈密顿算子点乘和叉乘
哈密顿算子是一个四元数，它由实部和三个虚部组成。
哈密顿算子点乘和叉乘是四元数的两个重要运算。
点乘用来得出两个四元数之间的数量积，叉乘则用来得出两个四元数之间的向量积。
哈密顿算子点乘的计算方法是将两个四元数的实部分别相乘，然后将虚部两两相乘，最后将结果相加。
例如，对于两个四元数a和b，它们的点乘结果为：
a·b = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3
其中，a0和b0分别表示a和b的实部，a1、a2和a3分别表示a的三个虚部，b1、b2和b3分别表示b的三个虚部。
哈密顿算子叉乘的计算方法则是先将两个四元数的虚部向量化，然后进行向量积的计算。
具体来说，对于两个四元数a和b，它们的叉乘结果为：
a×b = (a1b2 - a2b1 + a3b0) + (a2b3 - a3b2 + a1b0)i + (a3b1 - a1b3 + a2b0)j + (a1b2 - a2b1 + a3b0)k
其中，i、j和k分别表示三个虚部的单位向量。
需要注意的是，虚部在进行叉乘运算时需要按照标准的向量积规则进行计算，即先计算向量长度乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
哈密顿算子点乘和叉乘在四元数的运算中具有重要的作用，它们不仅可以用来进行旋转、平移等常见的几何变换，还可以应用于线性代数、量子力学等多个领域。
- 1 -。
球坐标哈密顿算子推导
球坐标哈密顿算子推导球坐标哈密顿算子推导如下：首先，球坐标系的基矢量可以表示为：\(\mathbf{e}_r = \sin(\theta) \cos(\phi) \mathbf{i} + \sin(\theta)\sin(\phi) \mathbf{j} + \cos(\theta) \mathbf{k}\)\(\mathbf{e}_\theta = \cos(\theta) \cos(\phi) \mathbf{i} +\cos(\theta) \sin(\phi) \mathbf{j} - \sin(\theta) \mathbf{k}\)\(\mathbf{e}_\phi = -\sin(\phi) \mathbf{i} + \cos(\phi) \mathbf{j}\)其中，\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\)和\(\mathbf{k}\)分别为直角坐标系的基矢量。
接下来，我们将球坐标系中的位置矢量表示为：\(\mathbf{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \mathbf{i} + r \sin(\theta)\sin(\phi) \mathbf{j} + r \cos(\theta) \mathbf{k}\)球坐标系的哈密顿算子表示为：\(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m} (\mathbf{e}_x\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\mathbf{e}_y\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\mathbf{e}_z\frac{\partial^2}{\partial z^2})\)然后，我们对哈密顿算子的每一项应用链式法则，将直角坐标系的偏导数转换为球坐标系的偏导数。
首先，对于 \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\) 这一项，我们有：\(\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)\)\(= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\)\(= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\)\(= \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\)然后，我们可以使用链式法则将直角坐标系的偏导数转换为球坐标系的偏导数：\(\frac{\partial r}{\partial x} = \sin(\theta) \cos(\phi)\)\(\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{\sin(\phi)}{r \sin(\theta)}\) \(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)\)\(= \frac{\partial}{\partial x} (\sin(\theta) \cos(\phi))\)\(= -\sin(\theta) \sin(\phi)\)\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{\sin(\phi)}{r \sin(\theta)}\right)\)\(= -\frac{\cos(\phi)}{r \sin(\theta)}\)将上述结果代入到 \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\) 这一项中，最终可得：\(\frac{\partial^2}{\partial x^2} = -\sin(\theta) \sin(\phi)\frac{\partial}{\partial r} + \sin(\theta) \cos(\phi)\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{\cos(\phi)}{r \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \phi} -\frac{\sin(\phi)}{r \sin(\theta)}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)类似地，我们可以推导出 \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\) 和\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)。
哈密尔顿算子
哈密尔顿算子哈密尔顿（W.R.Hamilton ）引进了一个向量型微分记号：kzj y i x∂∂+∂∂+∂∂=∇成为哈密尔顿算子，读作Nabla （纳普拉）。
它是一种微分运算符号，同时又可以被看做向量，作用到数量函数u （x ，y ，z ）上，得k zu j y u i x u u k z j y i x u∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)(这就是数量函数的梯度，▽与u 的乘积看作是数量运算。
哈密尔顿算子▽作用到向量函数kz y x R j z y x Q i z y x P M F),,(),,(),,()(++=上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为)()()(M F div k zR j y Q i x P k R j Q i P k zj y i x F=∂∂+∂∂+∂∂=++∙∂∂+∂∂+∂∂=∙∇ 和)()()(M F rot R Q P z y x k j i k R j Q i P k zj y i x F=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=++⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ 注意到▽算子的向量性质，▽·u ，▽F ，▽×u 等记号都是没有意义的，同样，▽（▽u ），▽·（▽·F ）,▽×（▽·F ）也都是没有意义的。
另外，▽算子和一般的向量不同。
例如对一般向量F ，G 及常数λ，有FG G F F G G F F F ⨯-=⨯∙=∙=λλ 可视为向量的交换相乘。
对哈密尔顿算子▽，函数u （x,y,z ）或F （x,y,z ）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u 和F 求微分，但在▽的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，例如k zu j y u i x u u∂∂+∂∂+∂∂=∇z Ry Q x P F ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙kx Q y P j z P x R i y R z Q R Q Pk j iF)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇∙仍然可以作用在数量函数或向量函数上。
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哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。