小学数学奥数解题技巧(6)整除及数字整除特征

6、整除及数字整除特征

【数字整除特征】

例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；

②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数

55......5□99 (9)

（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。

要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。

容易得出，中间方格内的数字是6。

【整除】

例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。

（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）

讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。

3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。

例2 一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。

（《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。

因为3、5和7的最小公倍数是105。

3600÷105=34余30，105-30=75，

所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。

例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。

（中南地区小学数学竞赛试题）

讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。

又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。

结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。

例4 a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。

只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。

联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。

例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a[见图5.43（2）]，求这个自然数。

（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：可从最后的商步步向前推算。

由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数是8×（64a+57）+1=512a+457 由图5.43（2）得，所求的自然数是578a+259

所以，512a+457=578a+259。

解得a=3。

故，这个自然数是512×3+457=1993。

例6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。