考点01 集合-高考全攻略之数学(文)考点一遍过
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点33 直线的位置关系(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 三、距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．四、对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'lP P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 若直线21y x =-与直线30x my ++=平行，则m 的值为 A ．12B ．12- C ．2-D ．2【答案】B【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.1．“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考向二 两直线的相交问题1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例2 已知直线l 经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P ,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法二：由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得,即点P 的坐标为(2,1)，因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l 的方程为3x-2y+c =0，把点P 的坐标代入得3×2-2×1+c =0，解得c =-4. 故直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l 的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直,所以2413λλ++·(-23)=-1,解得λ=1.故直线l 的方程为3x-2y-4=0.2．已知直线111:1＋＝l a x b y 和直线222:1＋＝l a x b y 相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________.考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例3 （1）若点A (2，3)，B (－4，5)到直线l 的距离相等，且直线l 过点P (－1,2)，则直线l 的方程为_________；（2）若直线m 被两直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为m 的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．【答案】（1）x ＋3y －5＝0或x ＝－1；（2）15°或75°方法二：当AB ∥l 时，有k l ＝k AB ＝13-，直线l 的方程为y －2＝13-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0． 当l 过AB 的中点时，由AB 的中点为(－1,4)，得直线l 的方程为x ＝－1．综上，直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1．（2）显然直线l1∥l 2，直线l 1，l 2之间的距离d ==设直线m 与l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |=过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |=d ，在Rt ABC △中，sin ∠ABC =||1||2AC AB ==，所以∠ABC =30°， 又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°， 故直线m 的倾斜角θ =15°或75°．3．若动点()()111222,,,P x y P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12P P 的中点P 到原点的距离的最小值是 A ．52B ．1522C ．D ．2考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．典例4 已知直线l :3x-y+3=0,求:（1）点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标; （2）直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x ,y ,得关于l 对称的直线方程为4393432055x y x y -+-++--=,即7x+y+22=0.4．光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()1,1B . （1）求点()2,3A 关于直线l 对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程．考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例5 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组31104100x y x y --=⎧⎨++=⎩得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 证法二：以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，所以2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过定点(2，－3)．5．已知点()20A ，，点()20B -，，直线l ：()()3140x y λλλ++--=（其中λ∈R ）． （1）求直线l 所经过的定点P 的坐标；（2）若分别过A ，B 的两条平行直线截直线l 所得线段的长为l 的方程．1．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0B ．x −3y ＋13=0C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=02．已知m 为实数,直线1:10l mx y +-=,()2:3220l m x my -+-=,则“1m =”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x+2y-3=0垂直,则cos(-2α)的值为A ．B ．-C ．2D ．-4．若直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a-2)x+3y+2a =0平行,则两直线间的距离为A ．2B ．2C ．D ．5．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-D ．8-6．若点102（，）到直线:300l x y m m ++=>（），则m =A ．7B ．172C ．14D ．177．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A ，12BC 12D ．4，14 8．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-9．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭10．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则()m +()n的最小值为A ．-3B ．3C ．16D ．411．若直线与直线互相垂直，则实数.12．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点________．13．若直线1:10l ax y -+=与直线2:2210l x y --=的倾斜角相等，则实数a = . 14．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是__________．15．若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=m n +=_________. 16．设()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n =_________.17．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为________．18．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 . 19．已知直线与相交于点（1）求交点的坐标； （2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.20．已知直线.（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.21．已知ABC △的三个顶点为()4,0A 、()8,10B 、()0,6C .（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.22．已知两条直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y-b =0.（1）若l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1),求实数a ,b 的值.（2）是否存在实数a ,b ,使得l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.23．已知两条直线l 1:(a-1)x-2y+b =0,l 2:ax+(b-4)y+3=0,其中a >0.若l 1⊥l 2,且l 1过点(1,3).（1）求l 1,l 2的方程;（2）若光线沿直线l 1射入,遇到直线x =0后反射,求反射光线所在的直线方程.24．已知三条直线l 1:2x −y +a =0(a >0)，直线l 2:4x −2y −1=0和直线l 3:x +y −1=0，且l 1和l 2的距离是10. （1）求a 的值.（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12； ③P 点到l 1的距离与P 点到l 3若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由.1．【答案】A【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k ⇔=∥；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2x ＋3y ＝1【解析】因为P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以1122231231a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点111()，P a b 和222()，P a b 的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点111()，P a b 和222()，P a b 的直线方程是2x ＋3y ＝1. 3．【答案】A【解析】因为12l l ∥,所以12P P 的中点P 的轨迹为直线：15502x y +--=，即100x y --=， 因此PA. 4．【答案】（1）()4,3--；（2）4510x y -+=.【解析】（1）设点()23A ，关于直线l 的对称点为()000,A x y ，则0000312231022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩， 解得004,3x y =-=-，即点()23A ，关于直线l 的对称点为()04,3A --． （2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为()4115y x -=-即4510x y -+=. 5．【答案】（1）直线l 过定点()1,3；（2）1x =或3y x =-+．（260︒， 又水平线段4AB =，所以两平行线间距离为4sin60d =⋅︒=而直线l被截线段长为所以被截线段与平行线所成夹角为30︒，即直线l 与两平行线所成夹角为30︒， 所以直线l 倾斜角为6030︒±︒30=︒或90︒． 由（1），直线l 过定点()1,3，则所求直线为1x =或3y x =． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1．【答案】B【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0.2．【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3．【答案】B【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin2α=-=-=-.4．【答案】C【解析】由l 1∥l 2知,≠,解得a =-1,所以l 1:x-y+6=0,l 2:x-y+=0,两条平行直线l 1与l 2间的距离d =.故选C.5．【答案】B【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2145a -⨯=-，∴10a =， ∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值． 6．【答案】B31710,0,22m m m =∴+=±>∴=.故选B.7．【答案】A故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线1210l x y -+=：与直线230l mx y ++=：的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若12AM PQ =，则PA QA ⊥，即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m =．故选A ． 9．【答案】D【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =，或43-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，故选D. 10．【答案】C11．【答案】【解析】由题得，,解得.故答案为.12．【答案】()3,0【解析】直线1:2l y kx k =+-经过定点()12，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，，∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，，故答案为()30，. 13．【答案】1【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：122a -=-，求解关于实数a 的方程可得：1a =.14．【答案】18【解析】因为直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，所以()1120a b -⨯+=，21a b +=，又0,0a b >>，所以()2112122228a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时，等号成立.所以ab 的最大值为18.【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0【解析】直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=2n =-⎧∴=2n =-，2m =（负值舍去），则220m n +=-=.故答案为0.【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础.16．【答案】12【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 17．【答案】−2【解析】如图所示：作A 点关于x 轴的对称点A '，则点A '在直线MB 上，由对称性可知()32A '-，， 则光线MB 所在直线的斜率()62213A B k '--==---，故答案为2-.【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 18．【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴k AB =-,=2.则直线l 1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 19．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得，.（2）与平行直线方程，即. 与垂直的直线方程，即.20．【答案】（1）；（2）.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1）240x y --=；（2）7640x y -+=或32440x y +-=.【解析】（1）直线BC 的斜率为12BC k =， 过点A 与BC 平行的直线方程为()1042y x -=-，即240x y --=.【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．22．【答案】（1）a =2,b =2；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得l 2的斜率存在,为k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1. ∵l 1⊥l 2,∴直线l 1的斜率必不存在,即b =0. 又l 1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾).∴此种情况不存在,∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.又坐标原点到这两条直线的距离相等,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-b,该方程无实数解.∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0.（2）由,解得入射点A(0,).取直线x-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线x=0的对称点B1(5,0)必在反射线上, 所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,由y-0=(x-5),整理得x+2y-5=0.即反射光线所在的直线方程为x+2y-5=0.24．【答案】（1）3；（2）P (137,918). 【解析】（1）l 2的方程即为1202x y --=， ∴l 1和l 2的距离d=， ∴1722a +=. ∵a >0, ∴a =3.【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a 的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。
精选-高考数学-一轮复习考点与题型全归纳
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎨⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎨⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A . 二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.92 B.98C．0 D．0或9 8解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝9 8，所以a的值为0或9 8.3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为 .解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.答案：（5，6］考点二集合间的基本关系[典例](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则()A．B⊆A B．A＝BC．A B D．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A 的集合B的个数为()A．2 B．3C．4 D．8(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．[答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3， ∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D考法(二)根据集合运算结果求参数[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝()A．3 B．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.[答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，100 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎨⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B ＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④ D．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选C 因为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p 非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m 与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清] 1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a －b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>14 B．0<m<1C．m>0 D．m>1解析：选C若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>14，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k ∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x＋y＝π2，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x＋y＝π2，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cosy，则x＋y＝π2”，当x＝0，y＝3π2时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c ⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q) B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q 为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．2．已知命题p ：∃n ∈R ，使得f (x )＝nxn 2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧qC ．p ∧(非q)D ．(非p )∧(非q)解析：选C 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则非p 是假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，非q 是真命题．所以p ∧q ，(非p )∧q ，(非p )∧(非q)均为假命题，p ∧(非q)为真命题，选C.考点三 根据命题的真假求参数的取值范围[典例] 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，则mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是真命题时，则Δ＝m 2－4<0，－2<m <2. 因此由p ，q 均为假命题得{ m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2， 由⎩⎨⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎨⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0， 所以m >2或m <－2.由⎩⎨⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( )A ．∀x ∈R,21－x >0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.8．下列命题为假命题的是( ) A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件 C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．。
高中数学考试秘籍《集合》必修第一册
必修一第一章 集合集合常常作为高考数学卷（全国卷Ⅱ）中第一道选择题出现，题型简单，是高考必拿分题。
即便如此，有些学生恰恰在集合与其它考点联合在一起考的类型题中（如集合与简易逻辑、函数、不等式等知识点结合）出现错误，导致整篇卷纸的作答失去了一个良好的心态，所以集合的分一定要拿得稳、准、快。
（一） 基础知识点 1. 概念(1) 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能描述性说明.(2) 我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象. (3) 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）. (4) 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. 2. 元素和集合的关系(1) 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈，读作“a 属于A ” (2) 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉，读作“a 不属于A ” 3. 空集：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅ 4. 集合中元素的性质(1) 确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的.（这也就是说不能确定的对象不能构成集合） (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. (3) 无序性：集合与其中的元素的排列次序是无关的.(4) 任意性：集合中的元素可以是任意对象，集合也可以是对象. 5. 集合的分类(1) 有限集：含有有限个元素的集合. (2) 无限集：含有无限个元素的集合. 6. 常用集合(1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作Ν (2) 正整数集：在自然数集内排除0的集合，记作+Ν或*Ν (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R 7. 集合的表示方法(1) 列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{ }”内表示. 例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为{01},.(2) 描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ，而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个特征性质.于是，集合A 可以用它特征性质()p x 描述为{()}x I p x ∈，它表示集合A 中具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法.(3) 维恩（Venn ）图法：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，用这种图形可以形象的表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩（Venn ）图.8. 解集：在实数范围内，集合中的所有元素都满足某个方程或不等式，满足某个方程或不等式的所有元素也都在集合内，因此，该集合可以用来表示该方程或不等式的解集.9. 常见的集合的用途(1) 方程的解集：例如，{()0}x f x =（()f x 是关于x 的代数式）； (2) 不等式的解集：例如，不等式340x +<的解集为{}340x x +<；(3) 函数自变量构成的集合：例如，函数21y x =-的自变量构成的集合为2{1}x y x =-； (4) 函数因变量构成的集合：例如，函数21y x =-的自变量构成的集合为2{1}y y x =-；(5) 函数图像上的点构成的集合：例如，函数21y x =-图像上的点构成的集合为2{(,)1}x y y x =-； (6) 多元方程(组)的解集：例如，二元方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集可表示为2(,)0x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭. 10. 集合之间的基本关系 (1) 子集：① 一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”“B 包含A ” ② 如果集合P 存在着不是集合Q 的元素，那么集合P 不包含与Q 或Q 不包含P ，分别记作Q P 或QP .③ 我们规定：空集是任意一个集合的子集. ④ 任何一个集合都是它本身的子集.⑤ 如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作AB 或B A ，读作“A 真包含于B ”“B 真包含A ”.(2) 集合的相等：一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，反过来集合B 中的每一个元素也是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记作A B =.(3) 集合关系与其特征性质之间的关系已知{x x =Q 是有理数}，{x x =R 是实数}，容易判断Q 是R 的子集，⊆Q R ，考虑特征性质之间的关系，则有“如果x 是有理数，则x 是实数”，这个命题还可以表述为“x 是有理数推出x 是实数”.“推出”一词用符号“⇒”表示，读作“推出”，即“x 是有理数⇒x 是实数”.(4) 基本关系规律： ① 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆； ② 对于集合A ，B ，C ，如果AB ，BC ，则AC ；③ 如果A B ⊆，又B A ⊆，则A B =； ④ 如果A B =，则A B ⊆，且B A ⊆.11. 集合之间的运算(1) 交集：一般地，对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作AB ，读作“A 交B ”.对于任意两个集合A ，B 都有 ① A B B A =； ② A A A =；③ A A ∅=∅=∅；④ 如果A B ⊆，则A B A =.(2) 并集：一般地，对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B 的并集，记作AB ，读作“A 并B ”.对于任意两个集合A ，B 都有 ① A B B A =； ② A A A =；③ A A ∅=∅=∅；④ 如果A B ⊆，则A B B =.(3) 全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示.(4) 补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作UA ，读作“A 在U 中的补集”.12. 交集与子集的运算性质 (1) A B A ⊆，A B B ⊆，AB A ⊇，A B B ⊇；(2) A A A =，A A A =；(3) A ∅=∅，A ∅=∅；(4) A B B A =，A B B A =(5) ()()A B C A BC =，()()AB C A BC =(6) AB A A B ⊆=⇔，A B B A B ⊆=⇔13. 交集、并集、补集的关系 (1) ()U A A U = (2) ()UA A =∅(3)()UUA A =(4) 德摩根定律：()()()U U U A B A B = ()()()UUUA B A B =14. 子集的个数(1) n 个元素的集合有2n个子集； (2) n 个元素的集合有21n-个真子集； (3) n 个元素的集合有21n-个非空子集； (4) n 个元素的集合有22n-个非空真子集.子集个数的由来(1)0122nn n n n n C C C C ++++=证明：设0122()(1)n n nn n n n f x x C C x C x C x =+=++++，012(1)(11)2n n n n n n n f C C C C ∴=+==++++(2) 拓展：121122nn nn n C C nC n -⋅+⋅++=⋅证明法一：已知!!()!knn C k n k =-，11(1)!(1)!()!k n n C k n k ---=--，11!!()!(1)!(1)!()!k n k n n Cn k n k n Ck k n k ---∴==---，即11k k n n kC nC --∴=， 12011011111111112()2n n n n n n n n n n n n n C C n C n C n C n C n C C C n ---------∴⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅=⋅+++=⋅. 证明法二：设0122()(1)n n nn n n n f x x C C x C x C x =+=++++，则11211()(1)12n n n n n n f x n x C C x n C x --'=⋅+=⋅+⋅++⋅1112(1)(11)212n n nn n n f n n C C n C --'∴=⋅+=⋅=⋅+⋅++⋅(3) 拓展：21222212(1)2nn n n n C C n C n n -⋅+⋅++=⋅+⋅证明：设0122()(1)n n nn n n n f x x C C x C x C x =+=++++，则11211()(1)12n n n n n n f x n x C C x n C x --'=⋅+=⋅+⋅++⋅令1122()()(1)12n n nn n n g x xf x nx x C x C x n C x -'==⋅+=⋅+⋅++⋅则12()[()](1)(1)(1)n n g x xf x n x n n x x --'''==⋅++-⋅+212212112n n n n n C C x n C x -=⋅+⋅++⋅，12221222(1)2(1)2(1)212n n n nn n n g n n n n n C C n C ---'∴=⋅+-⋅=+⋅=⋅+⋅++强力代数法：① 分析选择题选项，将选项进行分类；② 代入恰当数看是否满足题意，从而排除错误选项或错小正确答案范围 秒杀例题：1. （2015年全国卷Ⅱ）已知集合{-2-1012}A =,,,,，{(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B = （ ）A. {10}-,B. {01},C. {101}-,,D. {012},, 2. （2014年全国卷Ⅱ）设集合{012}M =,,，2{0}32N x x x =-+≤，则M N = （ ）A. {1}B. {2}C. {01},D. {12}, 3. （2013年全国卷Ⅱ）已知集合2{(1)4}M x x x R =-<∈,，{-10123}N =,,,,，则M N = （ ）A. {012},,B. {-1012},,,C. {-1023},,,D. {0123},,,。
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点32 直线与方程(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒． （2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝2121y y x x --．二、直线的方程 1．直线方程的五种形式2．必记结论常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)，斜率不存在时可设为x ＝x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋C 1＝0.（4）过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．考向一 直线的倾斜角与斜率1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．典例1 若两直线12,l l 的倾斜角和斜率分别为12,αα和12,k k ，则下列四个命题中正确的是 A ．若12αα<，则两直线的斜率：12k k < B ．若12αα=，则两直线的斜率：12k k = C ．若两直线的斜率：12k k <，则12αα< D ．若两直线的斜率：12k k =，则12αα=【答案】D【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.典例2 直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点（m ∈R ），那么l 的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．[0,](,)42πππ C ．[0,]4πD ．[,)(,)422ππππ【答案】B【解析】由直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点，则可利用斜率公式得2211121m k m -==-≤-.由tan 1k α=≤，则倾斜角取值范围是[0,](,)42πππ.故选B.1．已知()1,2M ，()4,3N ，直线l 过点()2,1P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A ．][(),32,-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]3,2--D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭考向二 直线的方程求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.典例3 已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -=【答案】B典例4 △ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2, 3)，求： （1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程． 【思路分析】2．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为________________．考向三 共线问题已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.典例4 若三点()()12,33,2(,)2A B C m ，，共线，则实数m =_____________. 【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程AB AC k k =. 【解析】由题意得2331,13222AB AC m k k --==-=--. ∵,,A B C 三点共线，∴AB AC k k =，∴31122m -=--， 解得92m =．3．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= .1．已知M (a ，b )，N (a ，c )(b ≠c )，则直线MN 的倾斜角是 A ．不存在 B ．45° C ．135°D ．90°2．如果直线l 过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．[0,1]B ．[0,2]C ．1[0,]2D ．(0,3]3．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 A ． B ． C ．D ．4．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．若直线l 1:y =k (x −4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点 A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(−2,4)D ．(4,−2)6．若过不重合的()()2222,3,3,2A m m B m m m +---两点的直线l 倾斜角为45°，则m 的取值为 A ．1m =-B ．2m =-C ．12m =-或D ．12m =-或7．如图，已知直线l 1：y =－2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），则k 的取值范围是A ．－2＜k ＜2B ．－2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜28．直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(3B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是A ．⎡⎤⎣⎦B ．(,[1,)-∞+∞C ．(,-∞D ．[)1,+∞ 9．设直线l 的倾斜角为α，且546αππ≤≤，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________． 10．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．11．在平面直角坐标系xOy 中,经过点()1,1P 的直线l 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .若2PA PB =-,则直线l 的方程是_________.12．一张坐标纸对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，若点()6,8C 与点(),D m n 重叠，则m n +=__________． 13．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线l 经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．14．求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l 经过点()2,3A -，并且它的倾斜角等于直线13y x =的倾斜角的2倍，求直线l 的方程； （2）直线l 过点()2,4P ，并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12，求直线l 的方程.15．已知ABC △的三个顶点分别为是()4,0A ，()0,2B -，()2,1C -.（1）求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（2）求过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16．已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.△面积的最小值及此时直线l的方程；（1）求AOB的最小值及此时直线l的方程.（2）求PA PB变式拓展1．【答案】A【解析】如图所示：根据题意得，所求直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤，即31242k +≥=-，或21312k +≤=--， ∴2k ≥，或3k ≤-，即直线l 的斜率k 的取值范围是][(),32,-∞-+∞，故选A ．3．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.1．【答案】D【解析】∵MN ⊥x 轴，∴直线MN 的倾斜角为90°. 2．【答案】B【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l 的斜率的取值范围是[0,2].考点冲关3．【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则，即.故选A. 4．【答案】A【解析】∵过点()1,1P a a -+和()3,2Q a 的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即21031a a a--<-+.∴()()120a a -+<，∴21a -<<.故选A. 5．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x −4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).7．【答案】D【解析】因为直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），所以2b k =，即()2:2l y k x =+，将其与1:24l y x =-+联立，由题设4202802kk k k -⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得02k <<，故选D.【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解. 8．【答案】B【解析】如图所示：【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点()1,0P 连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.9．][1,)+∞ 【解析】∵直线l 的倾斜角为α，且546αππ≤≤，∴直线l 的斜率k 的取值范围是tan 4k π≤或∴1k ≥或k <，∴直线l 的斜率k 的取值范围是3(,][1,)3-∞-+∞． 10．【答案】3240x y -+=【解析】将直线23120x y -+=化为斜截式：243y x =+，斜率为23，所以直线l 的斜率为13， 令直线23120x y -+=中0x =，得y 轴上的截距为4，所以直线l 的纵截距为8， 根据斜截式可得直线l 的方程为183y x =+，化简得：3240x y -+=. 【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令0x =或0y =，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.11．【答案】230x y +-=【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 12．【答案】745【解析】（1）设线段AB 的中点为N ，则点()42N ，，则对折后,对折直线l 的方程为260x y --=;设直线CD 的方程为2'0x y C ++=，∵点()68C ，在直线CD 上，∴'22C =-，则直线CD 的方程为2220x y +-=;设直线CD 与直线l 的交点为M ，则解方程组2602220x y x y --=⎧⎨+-=⎩得345385x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即3438(,)55M ，∴745m n +=. 13．【答案】（1）见解析；（2）a >3.【解析】（1）将直线l 的方程整理为y －35＝15a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭， 而点13,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限． （2）将方程化为斜截式方程：y ＝ax －35a - . 要使l 经过第一、三、四象限，则0305a a >⎧⎪-⎨-<⎪⎩，解得a >3.【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l 经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a 的范围.14．【答案】（1）34180x y --=；（2）280x y +-=或2y x =.（2）若直线l 在两坐标轴上的截距均不为0，设直线l 在x 轴上的截距为a （0a ≠），则直线l 在y 轴上的截距为2a ，可设l ：12x ya a +=（0a ≠），将点()2,4P 代入，得4a =， ∴直线l ：148x y+=，即280x y +-=，若直线l 在两坐标轴上的截距均为0，由直线l 过点()2,4P ，可得直线方程为2y x =. ∴直线l 的方程是:280x y +-=或2y x =.【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 15．【答案】（1）直线CD 的方程为230x y ++=；（2）20x y +=或10x y ++=.（2）①当两截距均为0时，设直线方程为y kx =， 因为直线过点()2,1C -，解得12k =-， 即所求直线方程为12y x =-， ②当截距均不为0时，设直线方程为x y a +=， 因为直线过点()2,1C -，解得1a =-， 即所求直线方程为1x y +=-，综上所述，所求直线方程为20x y +=或10x y ++=. 16．【答案】（1）8，40x y +-=；（2）8；40x y +-=.【解析】设直线:1x y l a b +=，则直线()()22:1224l a b a b +=⇒--=. （1）2112()81122AOBS ab a b=≥⨯=+△，当且仅当4a b ==时，等号成立，即:40l x y +-=. （2） ()()()()()()2222242432422PA PB a b a b ⎡⎤⋅=-+-+=+-+-⎣⎦8≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，即:40l x y +-=.。
考点01 集合-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过
C．4D．6
【答案】C
【解析】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.故选C．
考向二集合的基本运算
集合的基本运算
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，故选D．
2.【2020年高考天津】设全集 ，集合 ，则
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
6.【2020湖南省高三二模（理）】设 ， ，则
A． B．
C． D．
7.【2020重庆市巴蜀中学高三月考数学（理）试题】已知集合 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
8.【2020辽宁葫芦岛市普通高中高三质量监测数学（理)】 ， ，则
A． B．
C． D．
9.【2020届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测理科数学试题】已知集合 ，6 ，则
A． B．
C． D．
10.【2020河北省高三月考】已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
题组一
1.D【解析】 ，故选D．
2.B【解析】 .故选B.
3. 【解析】∵ , ，
∴ .故答案为 .
4.D【解析】因为 ，
或 ，
所以 .故选D．
5.C【解析】A={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.
【名师点睛】冠词的运用要把握a一般表示泛指某一类人或物，意为＂任何一个，任一＂。the表示表示特指，或有某类型的修饰。
6.B【解析】∁RB={x|x<1},所以A∩(∁RB)={x|0<x<1}.故选B.
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)1-1集合课件 新人教B版
[答案] C
[解析]
∵(
1 2
)x≤1，∴x≥0，A＝{x|x≥0}，B＝
{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}， ∴A∩(∁RB)＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C.
3．(2013· 陕西理，1)设全集为R，函数f(x)＝ 义域为M，则∁RM为( A．[－1,1] B．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) )
2．掌握各种逻辑用语的含义、表示方法、用法及注意事 项，理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的 含义，掌握四种命题的内在联系，熟练判断充要条件．加强 与函数、不等式、数列、向量、解析几何等结合的充分、必 要条件判断，全称量词、存在量词的区分，全称命题与特称 命题的否定的训练． 主要进行客观题训练，注意解答题中关键的联结词．
四、集合中的常用性质 1．若A⊆B且B⊆A，则A______B；若A⊆B且B⊆C，则 A______C； 2．A∩(∁UA)＝______，A∪(∁UA)＝______； 3．(A∩B)⊆A⊆(A∪B)； 4．A⊆B⇔A∩B＝______⇔A∪B＝______.
[答案]
一、1.确定性 互异性 无序性 2.列举法 描 Z Q R
B．(－∞，－4] D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析]
由条件易知∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－
4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．
三、集合的运算 1．由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集 合，叫做A与B的交集．若x∈(A∩B)，则x∈A______x∈B. 2．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集 合，叫做A与B的并集．若x∈(A∪B)，则x∈A______x∈B. 3．若已知全集U，集合A⊆U，则 ∁UA＝__________.
(全国通用)高考数学 考点一遍过 专题23 数列的综合应用(含解析)文-人教版高三全册数学试题
考点23数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．考向一 等差、等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．典例1已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）设n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a da d 化简得11322,,2a da d解得11=1,2a d ， 故通项公式为1=1+2n n a ，即1=2n n a .（2）由（1）得1415151=1==82b b a ，.设n b 的公比为q ，则3418b qb ，从而2q .故n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n nb q T q .典例2 已知等比数列{}n a 的公比为12q ． （1）若314a ，求数列{}n a 的前n 项和； （2）证明：对任意kN ，21,,k k k a a a 成等差数列．（2）对任意kN ，11122111112()2()(21)kkk k kk k a a a a q a q a q a q q q ，由12q得2210q q ，故212()0k k k a a a ．所以，对任意kN ，21,,k k k a a a 成等差数列．1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且373,28a S ==，在等比数列{}n b 中，344,8b b ==.（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .考向二 数列与函数、不等式等的综合应用1．数列可看做是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列． 解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：（1）判断数列问题中的一些不等关系；（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．典例3已知数列满足=．（1）求证：数列是等比数列;（2）若恒成立,某某数的取值X围．【解析】（1）因为,所以,两式相减得,即，所以,所以.又因为,所以，故数列是以为首项,为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以，令，则=，所以当时,,故为减函数.而，因为恒成立, 所以.所以实数的取值X 围为．典例4已知函数满足且.（1）当*n ∈N 时，求的表达式； （2）设，，求证：…；（3）设()()()19n f n b n f n +=-，，为的前项和，当最大时，求的值.【解析】（1）令，得，∴，即()()112f n f n +=，∴.（2），设，则=，①=，②∴-①②得23111111221111111112222222212nn n n n n T n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=11(1)22nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，∴12(2)22nn T n ⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭，即.（3）由（1）可得，∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列， ∴当时，；当时，；当时，.故当或时，取得最大值，为87148()1822⨯⨯+⨯-=.2．设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且2674,,9a a a a +-成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）设数列1(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．考向三等差、等比数列的实际应用1．数列实际应用中的常见模型①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数c ，c 是公差；②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数q ，q 是公比；③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．2．解答数列实际应用题的步骤①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； ③求解：求出该问题的数学解； ④还原：将所求结果还原到实际问题中．在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．典例5某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).（1）从第几年开始获得纯利润?（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,当n=10时,f(n)max=128.故此方案共获利128+16=144万美元.比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A ,B 两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A 菜的,下星期一会有20%改选B 菜;而这星期一选B 菜的,下星期一会有30%改选A 菜.用a n ,b n 分别表示第n 个星期一选A 菜的人数和选B 菜的人数.（1）试用a n-1(n ∈N *且n ≥2)表示a n ,判断数列{a n -300}是否为等比数列,并说明理由; （2）若第1个星期一选A 菜的有200名学生,那么第10个星期一选A 菜的大约有多少名学生?考向四 数列中的探索性问题对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值X 围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．典例6已知数列满足，218a =，且对任意，都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求，；（2）设)．①求数列的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，令，，则()231232214a a a +=+-，解得．令，，则，解得．（2）①以代替，得．则，即．②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则，，．因为，，成等比数列，所以2131431p q p q ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，即26134p q p q ++=． 又，所以34433q q q +=+>，则2613p p +>，解得32332333p -+<<． 又，且，则，． 所以存在正整数，，使得，，成等比数列．4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 4-S 1=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. （1）求数列{a n }的通项公式;（2）若数列{a n }为递增数列,b n =222log l 1·og n n a a +,T n =b 1+b 2++b n ,是否存在最小正整数n使得T n >成立?若存在,试确定n 的值,若不存在,请说明理由.考向五 数列的求和求数列的前n 项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： （1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见的裂项方法有：（4）错位相减法，若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且公比为(1)q q ≠，求{}n n a b ⋅的前n 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和.在写出n S 与n qS 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出n n S qS 的表达式.在运用错位相减法求和时需注意： ①合理选取乘数（或乘式）； ②对公比q 的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数.（5）分组求和法，如果一个数列可写成nnn c a b 的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.典例7已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈.（1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 则112,222n nn a a -==⨯=.（2）由1(3),2n n a b n a p 可得2nn n b ， 则212222nn n T ，2311122222n n nT ， 两式相减得231111(1)11111221222222212n nn n n n n T ， 则11222nn n n T . 典例8已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =和2a ，3a ，41a +成等比数列，得，解得，或.当时，，与成等比数列矛盾，舍去，， 即数列的通项公式为（2）=，1211111111223111n n n S b b b n n n n =+++=-+-++-=-=+++.5．已知等差数列{}n a 满足141,7a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．1．已知，5，组成公差为的等差数列，又，4，组成等比数列，则公差A ．B ．3C ．或3 D ．2或122．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ．(1)2n n +D ．(1)2n n - 3．已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,则A ．B ．C ．D ．4．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 A ．12B ．12-C5．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，A ．2B ．-2C ．3D ．-36．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足()21n n n S a S =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是 A ．12 B ．11 C ．10 D ．97．数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________．8．用分期付款的方式购买一件电器,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元及欠款的利息,月利率为1%,则买这件电器实际花费元.9．已知正项等比数列{}n a 满足1a ，22a ，36a +成等差数列，且24159a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使1052n nT =+成立的n 的值.11．已知各项均不为零的数列的前项和满足：（为常数，且，）． （1）设，若数列为等比数列，求的值；（2）在满足（1）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式12274nkn n T ≥-+-对任意的恒成立，某某数的取值X 围．12．已知数列{a n }是公差为正数的等差数列,其前n 项和为S n ,且a 2·a 3＝15,S 4＝16.（1）求数列{a n }的通项公式;（2）数列{b n }满足b 1＝a 1,b n ＋1－b n ＝11·n n a a +.①求数列{ b n }的通项公式;②是否存在正整数m ,n (m ≠n ),使得b 2,b m ,b n 成等差数列?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.1．（2017新课标全国Ⅰ文科）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．2．（2017文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++．3．（2017新课标全国Ⅱ文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=． （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S ．4．（2017某某文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ．1．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意知11123172128a d a d a d +=⇒==+⎧=⎨⎩，∴n a n =.∵在等比数列{}n b 中，344,8b b ==，∴{}n b 的公比为432b q b ==， ∴3132n n n b b q--==，即12n n b -=. （2）由（1）知n a n =，12n n b -=，∴12n n n a b n -=⋅. ∴23112232422n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯①，()2312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯②，②-①得()()212121222212121n nn nn n T n n n --=⨯-++++=⨯-=-⋅+-，故()121nn T n =-⋅+.故数列{}n a 的通项公式为72(1)n a n =+-，即25n a n =+． （2）由（1）知25n a n =+， 得11111()(6)(4)(21)(21)22121n n n b a a n n n n ===----+-+，则变式拓展12111111[(1)()()]23352121n n S b b b n n =+++=-+-++--+111(1)2212n =-<+． 3．【解析】（1）由题意,知对n ∈N *有b n =500-a n , 所以当n ∈N *且n ≥2时,a n =a n-1+(500-a n-1),所以a n =a n-1+150,所以a n -300=(a n-1-300), 所以当a 1=300时,数列{a n -300}不是等比数列. 当a 1≠300时,数列{a n -300}是以a 1-300为首项,12为公比的等比数列. （2）由（1）,知当a 1=200时,a n -300=(12)n-1(a 1-300), 所以a n =300-11002n -,所以a 10=300-91002≈300, 所以第10个星期一选A 菜的大约有300名学生.∴a n =2n 或a n =()n-6.（2）∵数列{a n }为递增数列,∴a n =2n, ∴b n =22212l log og 2n n +⋅=()12n n +=(-),∴T n =(1-+-+-++-)=(1+--)=-.令T n >,则-,整理得n 2-n-4>0,解得n >或n <(舍去),又2<<3,∴存在最小正整数n 使得T n >成立,此时n =3.∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，∴()111123n n n n b a b a q---=-=⋅，∴12123n n b n -=-+⋅.（2）由12123n n b n -=-+⋅得()()()()21231121132-121333231n n n n n S n --+-=++++++++=+-231n n=+-.1．【答案】C【解析】由题意可得，，联立解得28a b ==⎧⎨⎩，或82a b ==⎧⎨⎩，∴，或，故选C.2．【答案】A【解析】由已知得，2428a a a =⋅，又{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(1)2n n n a a S n n +==+． 3．【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，首项为，则，因为成等比数列，所以，即，即考点冲关.故选B.4．【答案】A5．【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,首项为a 1， 所以a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d .因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+3d ),解得a 1=−4d . 所以3215312227S S a dS S a d-+==-+，故选A.6．【答案】C【解析】在数列{a n }中,a 1=1,当n ⩾2时,其前n 项和S n 满足()21n n n S a S =-，()()211111,1化为n n n n n n S S S S S S --∴=---=， ∴数列{1n S }是等差数列，首项为1，公差为1，则1n S =1+(n −1)=n ,解得1n S n =2222log log ，n n n S n b S n++∴== 数列{b n }的前n 项和为2222234512log log log log log 1231n n n T n n++=+++++=- 234512log 1231n n n n ++⎛⎫⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ⎪-⎝⎭()()212log 2n n ++=.由T n ⩾6,得()()212log 62n n ++,即(n +1)(n +2)⩾27，令()2231312612824f x x x x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，可得f (x )在[1,+∞)上单调递增，而f (9)=−18<0,f (10)=4>0， 若x *∈N ，则n ⩾10.则满足T n ⩾6的最小正整数n 是10. 7．【答案】18．【答案】1255【解析】购买时付150元,欠 1000元,每月付50元,分20次付清.设每月付款数构成数列{a n },则a 1=50+1000×1%=60,a 2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1, a 3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2,…∴a n =60-0.5(n-1) =-0.5n+60.5(1≤n ≤20), ∴{a n }是以60为首项,-0.5为公差的等差数列, ∴S 20+150=20×60+×(-0.5)+150=1255,∴买这件电器实际花1255元.9．【解析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q （0q >），由24159a a a =239a =，得224239a q a ==，则3q =±，因为0q >，所以3q =．又因为1a ，22a ，36a +成等差数列，所以()132640a a a ++-=，解得13a =，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a = .（2）依题意得()213nn b n =+⋅，则()123335373213n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅①，()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅②，由②-①得()()1232221323333n n n T n +=+⋅-+++-()2112133213232313n n n n n +++-=+⋅-⋅-=⋅-，所以数列{}n b 的前n 项和为13n n T n +=⋅．（2）当32n a =时，222162log log (6)23n n b a +==⨯=，所以2n T n =， 由1052n n T =+，得21052nn =+，所以70n =； 当116()2n n a -=⨯-时，2222166log log 216()2n n n b n a +===⨯-，故数列{}n b 为等差数列，所以(1)n T n n =+， 由1052n n T =+，得(1)1052nn n +=+，所以10n =. 综上知，70n =或10n =.11．【解析】（1）当时，，得． 当时，由，得，①，②①②，得，即，数列的各项均不为零，∴（），∴是等比数列，且公比是，∴．，∴()()211n n nn t t b tt t-=+⋅-，即212121n n n n t t t b t+++-=-.（2）由，知，∴，∴111422441212nn nT n n ⎛⎫-⎪⎝⎭=⨯+=+--，由不等式12274n k n n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n n n d -=，则111252729222n nn n n n n n d d +++---+-=-=， 当时，；当时，，而，，∴，∴，∴．12．【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ,则d ＞0.由a 2·a 3＝15,S 4＝16,得，解得或(舍去).所以a n＝2n－1.（2）①因为b1＝a1,b n＋1－b n＝,所以b1＝a1＝1,b n+1－b n＝＝＝(－),即b2－b1＝(1－),b3－b2＝(－),…b n－b n－1＝(－)(n≥2)，累加得:b n－b1＝(1－)＝,所以b n＝b1＋＝1＋＝.b1＝1也符合上式.N.故b n＝,n∈*②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列,则b2＋b n＝2b m. 又b2＝,b n＝＝－,b m＝－,所以＋(－)＝2(－),即＝＋,化简得:2m＝＝7－.当n＋1＝3,即n＝2时,m＝2(舍去);当n＋1＝9,即n＝8时,m＝3,符合题意.所以存在正整数m＝3,n＝8,使得b2,b m,b n成等差数列.直通高考由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．2．【思路分析】（1）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（2）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10，解得d =2，所以a n =2n −1． （2）设等比数列{b n }的公比为q ．因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9，解得q 2=3，所以2212113n n n b b q---==． 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=．【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于1+=n n n a a cc ，nn c c n ++=1等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．3．【思路分析】（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和．（1）由得②，联立①和②解得（舍去）或，因此的通项公式为．（2）由得，解得．当时，由①得，则． 当时，由①得，则．4．【思路分析】（1）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（2）用错位相减法求和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知22111(1)6,a q a q a q +==． 又0n a >，解得12,2a q ==，所以2nn a =．（2）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+， 令n n n b c a =,则212n n n c +=， 因此122313572121,22222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++又234113572121222222n nn n n T +-+=+++++， 两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++-，所以2552n nn T +=-．。
2019年高考数学(文)考点一遍过考点02+命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件（1）理解命题的概念.（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考向一 四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例1 命题:p 若0x <，则()ln 10x +<；q 是p 的逆命题，则 A ．p 真，q 真 B ．p 真，q 假 C ．p 假，q 真 D ．p 假，q 假【答案】C【解析】由题意，()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<，所以命题p 为假命题， 又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <，为真命题，故选C ．1．已知命题“若为任意的正数，则”，则能够说明是假命题的一组正数的值依次为__________．典例2 命题“若π2α=，则sin 1α=”的逆否命题是A ．若π2α≠，则sin 1α≠ B ．若π2α=，则sin 1α≠ C ．若sin 1α≠，则π2α≠D ．若sin 1α=，则π2α=【答案】C【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．下列说法正确的是A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．()00,x ∃∈+∞，使0034xx>成立D ．“若1sin 2α≠考向二 充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论）典例3 设是两条不同的直线，是平面，则是成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵，∴当a ∥b 时，一定有a ∥，即充分性成立.反之，当a ∥时，a ，b 可能平行，可能异面，即必要性不成立，故是成立的充分不必要条件，故选A ．【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．3．“”是“”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件典例4 若条件:1p x ≤，且p ⌝是q 的充分不必要条件，则q 可以是 A ．1x > B ．0x > C ．2x ≤D ．10x -<<【答案】B【解析】若p ⌝是q 的充分不必要条件，则区间()1,+∞是q 的真子集，本题选B.【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．4．若，则“”的一个充分不必要条件是A ．B ．C ．且D ．或考向三 充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.典例5 设34:02x xp x-≤，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】D5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．1．命题p ：“若a b ≥，则2012a b +>且a b >-”的逆否命题是 A ．若2012a b +≤且a b ≤-，则a b <B ．若2012a b +≤且a b ≤-，则a b >C ．若2012a b +≤或a b ≤-，则a b <D ．若2012a b +≤或a b ≤-，则a b >2．若，都是正整数，则成立的充要条件是A ．B ．，至少有一个为1C ．D ．且3．设，则使成立的必要不充分条件是A ．B ．C ．D ．4．下列关于命题的说法正确的是 A ．命题“若，则”的否命题是“若，则”B ．命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题 C ．命题“”的否定是“”D ．命题“若，则”的逆否命题是真命题5．已知命题p : “关于x 的方程240x x a -+=有实根”,若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+,则实数m 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞6．若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为 A ．真真真 B ．真真假 C ．假假真D ．假假假7．设,a b 都是非零向量，下列四个条件，使 A ．=a bB ．2=a bC ．∥a b 且D ．∥a b 且方向相同8．已知函数，且给定条件:p ”，条件:q“()2f x m -<”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是A ．()3,5B ．[]3,5C ．()2,4D ．[]2,49．命题:若，则，其否命题是___________.10．命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题、q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．1．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2018天津文科）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2018北京文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2017北京文科）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016四川文科）设p :实数x ，y 满足1x >且1y >，q : 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2018北京文科）能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.1．【答案】 （只要填出，的一组正数即可）【解析】由可得，能够说明是假命题的一组正数的值，只需不满足不等式的一组正数的值即可，故答案不唯一，可取1,2,3.3．【答案】C 【解析】 ..则“”是“”的充分不必要条件．故选C ．4．【答案】C 【解析】∵，∴，当且仅当时取等号.故“且”是“”的充分不必要条件.选C.5．【答案】B 【解析】由条件,解得或;因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，有，故选B.1．【答案】C【解析】根据逆否命题的写法可得命题p ：“若a b ≥，则2012a b +>且a b >-”的逆否命题是“若2012a b +≤或a b ≤-，则a b <”.故选C.4．【答案】B【解析】逐一分析所给命题的真假： 对于A ，命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；对于B ，命题“若 ，则互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确； 对于C ，命题“”的否定是“”，题中说法错误；对于D ，命题“若，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误.故选B. 5．【答案】A【解析】由命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，得1640a ∆=-≥，则4a ≤，所以非p为真命题时，4a >.又31a m >+是4a >的充分不必要条件，所以314m +>，即1m >，则m 的取值范围为()1,+∞.所以选A. 6．【答案】C【解析】设1i(,)z a b a b =+∈R ，则2i z a b =-，则12z z ==逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠”，因为11z =+和22z =不互为共轭复数，但123z z ==，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题.故选C. 7．【答案】D 表示与a 方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D ． 8．【答案】A所以()[]3,5f x∈，又当()2f x m-<时，()()2,2f x m m∈-+，若p是q的充分不必要条件，则2325mm-<+>⎧⎨⎩，所以35m<<，故选A. 9．【答案】若，则【解析】根据否命题的定义，原命题为：若，则，则否命题为：若，则. 10．【答案】[)0,1【解析】命题p的逆命题：若x a>，则0x>，该命题是真命题，则0a≥．命题q的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a-<-，1a<.故实数a 的取值范围是)[01，.1．【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2．【答案】A【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.4．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.5．【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.。
2020年高考数学复习讲义一遍过01第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算
§1.1集合的概念及运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆A D ．3∈A答案 D解析集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，∴0∈A,1∈A，2∉A,3∈A，故选D.5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则(∁R A)∪B＝______________.答案{x|x≤1或x>2}解析由已知可得集合A＝{x|1<x<3}，又因为B＝{x|2<x<4}，∁R A＝{x|x≤1或x≥3}，所以(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x>2}．6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.题型一集合的含义1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______________________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)已知集合A＝{y|0≤y<a，y∈N}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，若A B，则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________．答案 8解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足A B ，同理，当a ≥5时均不满足A B .所以满足条件的正整数a 所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆A D．A∪B＝R答案 D解析∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是()A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．(2,4) B ．(－2,4) C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞) 答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四 集合的新定义问题例4 (1)(2018·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B 答案 C解析 由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R 答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则∁A B等于()A．{－3，－2，－1} B．{－1,2,3}C．{－1,0,1,2,3} D．{0,1}答案 B解析由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则∁A B＝{－1,2,3}．故选B.6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝__________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1 解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1. 经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ y ＝log 36－x x －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是______．答案 [5，＋∞)解析 由6－x x －2>0可得(x －2)(x －6)<0， ∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a ,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5. ∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。
高考数学知识点一本通【文理通用】
高考数学知识点一本通（文理通用）第一部分 集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注] ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）.3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ.（例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴ ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.简记为：小充分大必要。
2024年高考数学教材知识一遍过(课本内容回顾+知识清单+易错易混点+考前提醒)
决战2024年高考考前必过知识清单教材知识一遍过一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如：（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞（2）集合{}342+-==x x y x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+==3,6,cos 3sin ππx x x y y N M N =（答：}1{）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：（1）若非空集合}5312/{-≤≤+=a x a x A ，}0)22)(3/({≤--=x x x B ，则使得B A A ⋂⊆成立的a 的集合是______（答：96≤≤a ）（2）集合M=},04/{2<++a x x x N =},02/{2>--x x x 若N M ⊆，则实数a 的取值范围为___________（答：3≥a ）（3）}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。
（答：a≤0）3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或 C U A={x|x∈U 但x ∉A};B x A x B A ∈∈⇔⊆则;真子集怎定义？如：含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n －1;如：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
【数学01】高考数学全套知识点（通用版）
函数，T是一个周期。）
如：若fx a f (x)，则
（答：f (x)是周期函数，T 2a为f (x)的一个周期）
又如：若f (x)图象有两条对称轴x a，x b
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即f (a x) f (a x)，f (b x) f (b x) 则f (x)是周期函数，2 a b 为一个周期 如：
若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当 p为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对
应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（5）y 4x 9 ，x (0，1] x
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式
吗？
（l
·R，S扇
1 l·R 2
1 2
·R 2 ）
R 1 弧度 OR
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sin MP， cos OM， tan AT
4
4
25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点
、对称轴吗？
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sin x 1， cos x 1
y
y tgx
x
O
2
2
对称点为
k
2
，0
，k
Z
y
sin
x的增区间为 2 k
2
，2k
2
k
Z
减区间为 2 k
2
，2k
考点26 基本不等式-高考全攻略之数学(文)考点一遍过
微信公众号：678高中初中资料库基本不等式：(0,0)2a bab a b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式 12a bab +≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是2P .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号（3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．学%解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为A．1 B．6 C．9 D．16 【答案】B【解析】解法一：因为111a b+=，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，所以191921111a b a b+≥⋅----=2×3=6(当且仅当43a=，b=4时取“=”).故1911a b+--的最小值为6.解法三：因为111a b+=，所以111ba-=-，所以199(1)296111ba b b+=-+≥=---(当且仅当b=4时取“=”)．故1911a b +--的最小值为6.学* 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．（1）已知54x <，求函数14145y x x =-+-的最大值； （2）已知*,x y ∈R (正实数集)，且191x y+=，求x y +的最小值． 考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即(设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．（1）求关于的函数关系式； （2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．（2）由（1）可知，当，时，11250022550050050050050050021515500y t t t t ⎛⎫=++=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当.答：这种设备的最佳更新年限为15年．学*【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型2(0,0,0)bax ab a b x x+≥>>>上靠拢.2．要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确； 对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确；对于D：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设正实数,x y 满足1,12x y >>,不等式224121x ym y x +≥--恒成立,则m 的最大值为 A ．22 B ．42 C ．8D ．16典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是_____________.1．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为 A ．12-B ．12C ．1D ．22．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是A ．a+b ≥2B ．+≥2C ．|+|≥2D ．a 2+b 2>2ab3．（）的最大值为A ．B ．C ．D ．4．已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为A ．235 B ．45 C ．22D ．235．若正实数a ，b 满足1a b +=，则 A ．11a b+有最大值4 B ．a b +有最大值C ．ab 有最小值14D ．22a b +有最小值226．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．D ．7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)D ．(-∞,-8]8．若对任意正数x ，不等式211ax x≤+恒成立，则实数a 的最小值为 A ．1B ．2C ．22D ．129．已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有 A ．最小值2 B ．最小值2 C ．最大值2D ．最大值210．如图，在ABC △中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A ．B ．C ．D ．11．已知正实数满足当取最小值时，的最大值为A ．2B ．C ．D ．12．在锐角ABC △中，为角所对的边，且，若，则的最小值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．713．函数的图象恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为 A ．13 B ．14 C ．16D ．1214．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A ．9B ．C ．D ．15．当x >0时，22()1xf x x =+的最大值为 . 16．已知函数==,当时,函数()()g x f x 的最小值为 .17．在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，_ ．18．已知,,则的最小值为 .19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为2*182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.(1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用)；(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).21．已知函数).(1)若,求当时函数的最小值;(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.23．已知在ABC △中，，，分别为角，，所对的边长，且．（1）求角的值； （2）若，求的取值范围．1．（2017山东文科）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 2．（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 .3．（2015重庆文科）设,0,5a ba b ,则1++3a b 的最大值为___________．4．（2015天津文科）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为___________时，()22log log 2a b ⋅取得最大值. 5．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．6．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．变式拓展1．【解析】（1）54x <，450x ∴-<，故540x ->, 11415444554y x x x x ⎛⎫=-+=--++ ⎪--⎝⎭.()115425425454x x xx-+≥-=--,242y ∴≤-+=，学#当且仅当15454x x -=-，即1x =或32x =（舍去）时，等号成立， 故当1x =时，max 2y =.2．【解析】设该长方体的容器长为m x ，则宽为9m x，又设该容器的造价为y 元， 则9991021510019010y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为9926x x x x +≥⋅=（当且仅当9x x=即3x =时取“=”）， 所以min 250y =．答：该容器长为3米时，容器的总造价最低，为250元． 3．【答案】C4．【答案】43【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2，即（m +1）+2n =3， 故1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23+221312n m m n +⋅+=43， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填43．1．【答案】B 【解析】110,2144x x x x x>∴+≥⋅=， 当且仅当14x x =时取等号,此时12x =，故选B. 2．【答案】C【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵，∴，∴()()()()3693622a a a a -++-+≤=，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B ．&网考点冲关4．【答案】C【解析】由题意可得：2222112,222x y xy z y yz +≥+≥， 结合不等式的性质有：()2222x y z xy yz ++≥+，当且仅当22x z y ==时等号成立，即22222xy yz x y z +≤++， 所以222xy yzx y z+++的最大值为22. 【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B6．【答案】B【解析】由题意知同学们总的不满意度,当且仅当,即时,不满意度最小,则同学们认为最适宜的教室应在3楼,故选B ． 7．【答案】D【解析】由9x+(4+a )·3x+4=0得4+a =943x x +-=-(3x+)≤4233x x-⋅=-4,即a ≤-8, 当且仅当3x =2时等号成立. 8．【答案】D【解析】由题意可得21xa x ≥+恒成立． 由于211112x x x x=≤++（当且仅当1x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥，即a 的最小值为12，故选D ． 9．【答案】A10．【答案】D【解析】易知x ，y 均为正，设，共线，，，则，()14114141495522222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y xx y=，即24,33x y ==时等号成立. 则的最小值为，故选D ．11．【答案】C【解析】根据题意，，所以224412413c a ab b a bab ab b a-+==+-≥-=，当且仅当，即时取等号，所以，当时取得最大值，故选C．.网12．【答案】C13．【答案】D【解析】时，函数的值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，当且仅当时取“=”，则的最小值为，故选D．14．【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示：15．【答案】1【解析】∵x >0，∴2222()1112x f x x x x==≤=++， 当且仅当1x x=，即x =1时取等号． 16．【答案】【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x ++=31311212222x x x x++≥⨯+=31+(当且仅当3122x x =, 即33x =时取等号).学&17．【答案】14【解析】2224264222222244282a a a a q q q q q q ⎛⎫+=+=+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当时取得最小值，则，故答案为.18．【答案】【解析】因为a ＞b ＞0,ab =1，所以a-b ＞0,所以()()()2222222a b ab a b a b a b a b a b a ba b-++==-+≥-⋅----=当且仅当时取等号,故答案为.19．【答案】5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为2518()y x x x=-+， 而x >0，故182258yx≤-=， 当且仅当x =5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．21．【解析】(1)时,111111y x x x x =+=-++--. 因为,所以,所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--, 当且仅当111x x -=-,即时取等号,所以当时函数的最小值为3.22．【解析】(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式得≥, 因为2x+y=4,所以≤2,所以xy≤2,当且仅当2x=y时,等号成立,由242x yx y+=⎧⎨=⎩,解得12xy=⎧⎨=⎩,所以当x=1,y=2时,xy取得最大值2,所以lg x+lg y=lg(xy)≤lg 2,当且仅当x=1,y=2时,lg x+lg y取得最大值lg 2.(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b=,ab=4a+b-1.所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)+ +15.因为a>1,所以a-1>0.所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时等号成立.学&故所求最小值为27.23．【解析】（1）依题意由正弦定理可得：，则..又．（2）由余弦定理知：.（当且仅当时成立），，又，故的取值范围是．直通高考1．【答案】8【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式． 2．【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x ，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．.网 3．【答案】234．【答案】4【解析】()()()()222222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎡⎤⋅≤===⎢⎥⎣⎦当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==5．【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．6．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.。
(全国通用)高考数学 考点一遍过 专题01 集合(含解析)文-人教版高三全册数学试题
考点01 集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*N 或+NZQRC注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素 A B ⊆（或 B A ⊇）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B ⊂≠（或 B A ⊃≠）相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集 A B =空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算 运算自然语言 符号语言Venn 图交集由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{|}A B x x A x B =∈∈且并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合|}{A B x x A x B =∈∈或补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{|}UA x x U x A =∈∉且2．集合运算的相关结论 交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 A B A ⊇A B B ⊇A A A =A A ∅=A B BA =补集()UU A A =UU =∅ UU ∅=()U A A =∅ ()U A A U =3．必记结论(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅考向一集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表： 集合(){0|}x f x = (){0|}x f x > (){|}x y f x =(){|}y y f x = (){(,)|}y x y f x =集合的意义方程()0f x =的解集不等式()0f x >的解集 函数()y f x =的定义域函数()y f x =的值域函数()y f x =图象上的点集（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例1设集合{1,2,4}A =，集合{|,,}B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数是 A ．4 B ． C ． D ． 【答案】C【解析】当a =b 时，x =2，4，8；当b a ≠时，x =3，5，6.所以集合B 中元素的个数是6.故选C. 【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．1．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．10考向二集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值X 围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值X 围.典例2 已知集合{}2|320,A x x x x =-+=∈R ，{}|05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D方法二：易知{}2|320,A x x x x =-+=∈R ()(){}|120,x x x x =--=∈R {}1,2=，{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为⊆⊆A C B ，所以C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个，故选D.【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．2．已知12{|,01}A y y x x ==≤≤,,若,则实数的取值X 围为A ．B ．C ．D ．考向三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn 图法，在应用Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求X 围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有()()UU A B 和()()U U A B 的情况，可以直接应用德·摩根公式()()()UU U A B A B =和()()()UU U A B A B =进行运算.典例3已知22,{|1},{|log }U A y y x B x y x ===-==R ，则A B =A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】由题意得[)[)[)1,,1,,1,A B AB =-+∞=+∞∴=+∞,故选D.【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值X 围时，要注意单独考查等号能否取到．3．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例4 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A1．已知集合{}|1A x x =>-，则下列选项正确的是 A ．0A ⊆ B ．{}0A ⊆ C ． A ∅∈ D ．{}0A ∈2．已知集合{|4},{|1210}A x x B x x =≥=-≤-≤，则()A B =RA ．（4，＋∞）B ．C ．（12，4] D ．（1，4] 3．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A ．B ．C ．D ．4．若集合2={|10}A x ax ax ∈++=R 中只有一个元素,则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或45．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对6．设集合2{|2},{|}M x y x x N x x a ==-=≤，若M N ⊆，则实数的取值X 围是________. 7．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________.1．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R2．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，， C ．{}234，，D ．{}134，， 3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}，则AB 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017文科）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞5．（2017某某文科）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}1．【答案】D【解析】列举得集合{2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4}B =()()()()()()()()()(),共含有10个元素.【名师点睛】求解时，一定要注意代表元素的含义和集合的类型，是数集还是点集. 2．【答案】D【名师点睛】已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍． 3．【答案】C【解析】根据补集的运算得{2,4,6}UP =，则{2,4,6}{1,2,4}{1,2,4,6}U P Q ==()．故选C ．变式拓展1．【答案】B【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．【答案】B【解析】由题意得，[4,)A =+∞，1[0,]2B =，∴()1[0,]2A B =R，故选B ． 3．【答案】B 【解析】{}1,0,N =-∴集合N 是集合M 的真子集，故选B.4．【答案】A【解析】由题意得方程210ax ax ++=只有一个实数解,当0a =时,方程无实数解;当0a ≠时,则2=4=0Δa a -,解得4a =(0a =不符合题意,舍去).5．【答案】C【解析】根据新定义的运算可知{}1,2,3,4,5P Q ⊕=，P Q ∴⊕的所有非空真子集的个数为52230-=，故选C.6．【答案】2a ≥ 【解析】2{|20}{|02},{|},M x x x x x N x x a M N =-≥=≤≤=≤⊆，∴2a ≥.7．【答案】2011．【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<，选A ． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图直通高考考点冲关处理． 2．【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 3．【答案】B【解析】由题意可得{}2,4A B =，故A B 中元素的个数为2，所以选B.4．【答案】C【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 5．【答案】B【解析】由题意可得{}1,2,4,6AB =，所以{}()1,2,4A BC =．故选B ．。
高考数学复习攻略之集合
高考数学复习攻略之集合
佚名
集合与简易逻辑是高中数学比拟基础的中心内容之一，在高考试题中普通有2个题(2个多为选择题)，10分，约占总分的6%，难度在中等以下，普通都比拟容易得分。
在集分解绩中，交、并、补的关系与运算是重点;在常用逻辑用语效果中，四种命题、充要条件、量词是重点，其中，四种命题间的相互变换，充要条件的判别，对含有一个量词的命题的否认，都应充沛注重。
函数与导数是高中数学的重要内容和后继学习的必备知识。
高考函数试题常设置两个客观题，一个解答题，分值为22
分左右，约占总分的14%，其考察特点一是以基本初等函数或笼统函数为载体，片面考察函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识;二是以基本初等函数为载体，在方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等交汇处设置解答题，考察函数五大性质的运用、不等式效果和函数方程思想、数形结合思想等综分解绩。
高考导数试题的考察特点一是设置客观题，主要考察导数概念、性质、几何意义等基础知识;二是以函数知识为载体设置解答题，主要考察导数的单调性、极值、几何意义和物理
意义等主干知识的运用;三是在导数与三角函数、向量、不等式、解析几何、数学建模等知识的交汇处设置试题，主要考察导数的工具性作用、同窗们的综合解题才干和数学应意图识。
高考导数试题的分值为17分左右，约占总分的11%。
高考数学教材全部知识点
高考数学教材全部知识点必修1 第一章、集合定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞ 定义7 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1． （3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合． 学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合． （3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合{()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =的解集，或者理解为曲线y =集合{x y =中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值范围；集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =y 的取值范围；集合{y =中的元素只有一个（方程y = （4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n -1个真子集，有2n -2个非空真子集。
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考点01 集合考点1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Ve n n）图表达集合的关系及运算.知识整合一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：.2．集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.二、集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素（或）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B⊂≠（或B A⊃≠）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，()B B⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.三、集合的基本运算1．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合2．集合运算的相关结论交集并集补集3．必记结论高考考向考向一集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：集合集合的意义方程的解集不等式的解集函数的定义域函数的值域函数图象上的点集（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例引领典例1 已知集合，，则集合中元素的个数为A．B．3C．4 D．5【答案】D【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．变式拓展1．已知集合，若，则非零实数的值是_________．考向二集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例引领典例2 已知集合，则集合的子集的个数为A．B．C．D．【答案】B【解析】集合，，故集合的子集的个数为.故选B.【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．变式拓展2．已知集合，.若,则实数的值为__________．考向三集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：（1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.（2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算对于有和的情况，可以直接应用德·摩根公式和进行运算.典例引领典例3 已知集合,,则A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．变式拓展3．设集合，集合，则A．B．C．D．4．设集合,已知,那么的取值范围是A．B．C ．D ．考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例引领典例4 设S 是整数集的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是的两个不相交的非空子集，，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 【解析】取，，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭， 又取，，可得T ,V 关于乘法均封闭，故排除B ，C ，D ，选A ．高考冲关1．已知集合，则下列选项正确的是A ．B ．C ．D ．2．已知单元素集合，则A．0 B．-4C．-4或1 D．-4或03．已知集合,则=A．B．C．D．4．已知集合，，则A．B．C．D．5．已知集合,若,则实数的值为A．B．C．D．6．已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．7．已知集合，，则满足条件的集合的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个8．设集合，，则下列关系正确的是A ．B ．C ．D ．9．已知集合，{}1,2,3Q =，定义，则集合的所有非空真子集的个数为 A ．32 B ．31 C ．30 D ．以上都不对10．设集合，，则的真子集的个数为A ．3B ．4C ．7D ．811．设集合，其中，若，则实数_______． 12．若集合，，，则的取值范围是_______． 13．已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于________.14．已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.直通高考1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则 A ． B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．已知集合，，则A．B．C．D．3．已知集合，，则A．B．C．D．4．设集合，，，则A．B．C．D．5．已知集合A=，B=，则A．A B=B．A BC．A B D．A B=R 6．设集合，则A．B．C．D．7．已知全集，集合，则A．B．C．D．参考答案变式拓展1．【答案】【解析】若则此时集合B不符合元素的互异性，故若则符合题意；若则不符合题意.故答案为2.2．【答案】1【解析】∵，∴，∴，解得或（舍去）．3．【答案】C【解析】由题得A={x|x≤3}，B={x|x<8},所以.故选C.4．【答案】C【解析】∵集合，集合，且，∴.故选C．考点冲关1．【答案】B【解析】元素与集合的关系，用∈；集合与集合的关系，用⊆，可知 B正确.2．【答案】D【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即得或.故选D．3．【答案】B【解析】由已知，则，故选B．4．【答案】A【解析】由题意，集合，所以，故选A．5．【答案】B【解析】或，解得或，由集合中元素的互异性知，故选B．7．【答案】C【解析】因为，，所以集合中一定含有元素1，所以符合条件的集合为，故选C.8．【答案】C【解析】由题意，，∴，只有C正确. 9．【答案】C【解析】根据新定义的运算可知，的所有非空真子集的个数为，故选C．10．【答案】C【解析】∵,,,其真子集个数为，故选C．11．【答案】【解析】因为A=B,所以故答案为.13．【答案】201【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c=0，所以a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；（2）若只有②正确，则b=2，a=2，c=0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c≠0，a=2，b≠2，所以c=1，b=0，所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201．14．【答案】【解析】由题意，，集合，则①当时,②当m时，成立；③当时,综上所述，．直通高考1．【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C．2．【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.3．【答案】C【解析】易得集合,所以，故选C.4．【答案】C【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.故选C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．7．【答案】C【解析】因为或，所以，故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.。