高等数学高等教育出版社第十章D10习题课ok.ppt
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提示: 如图 , D D1 D2 D3 D4
由对称性知
ya
DD3D2 D1 a D4 O a x
在
上是关于 y 的奇函数
在
上是关于 x 的偶函数
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P182 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x) em(ax) f (x)dx
其中 是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 .
D1 z
xO y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 π (2Rz z2)dz
0
R R
z2 π(R2 z2)dz
y2
dx
12 y
1 2
y2
1 3
y3
3
4
2
y
1 2
y2
1 3
y3
1
2
52 2 3
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心
2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
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P183 7. 把积分
其中 由曲面
所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
原式
1
dx
1
x2 y2
dy f (x, y, z)dz
1
x2
0
O1
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P183 8 (1) .计算积分
习题课
第十章
重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
目录 上页 下页 返回 结束
一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx OD1D2 1 x 1 y x
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例2. 计算二重积分
I sgn( y x2)dxdy, D : 1 x 1，0 y 1.
D
解:
作辅助线 y x2 把D 分成
y 1
D1, D2 两部分, 则
D1
I D1 dxdy D2 dxdy
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
练习
P182 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)
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解答提示:
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
0 R cos
D:
π 2
π 2
原式
y R cos O D Rx
2 R3 R b2 3
y
y R2 x2
R
由此解得 b 2R
b? O D R x
3
b
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例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y x yex2 y2 d x d y
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性 4. 利用扩展积分域进行计算 练习题
P182 1 , 4 , 8 (2), 11 答案提示: (见下页)
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1(1). 设 由
1
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
O 1x D2
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例3. 求抛物线
所围区域 D 的面积A . y
y2 x
解:如图所示 D D2 \ D1 ,
A D2 d D1 d
3
1 O
D1
D2 D
2
x
4
3 12 y
1
2 y
dy
4
y2
d x dy 2
2
59 πR5
480
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Leabharlann Baidu
P183、8（3）
其中 是由
平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
提示: 利用柱坐标 y cos
z sin
1 2
2
x
5
z
O
x5
y
: 0 10
0 2π
原式
2π d
0
10 3 d
0
5
2 dx
2
250 π 3
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11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
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1(2). D {(x, y) a x a, x y a}, D1 {(x, y) 0 x a, x y a}, 则
(
D
x
y
cos
x
sin
y
)
dx
d
y
A
(A) 2D1 cos x sin y dx dy
(B) 2D1 xy dx dy
(C) 4D1 ( xy cos x sin y) dx dy
x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0
(B) 1 y dv 4 2 y dv
确定 , 由
所确定 , 则 C
上半球
第一卦 限部分
z R
(D) 1 xyz dv 4 2 xyz dv
1 2
Oy
x
提示: 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,
右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
00
0
y
提示: 左端积分区域如图,
a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P183 8(2). 求
z
ln(x2 y2 x2 y2
z2 1) z2 1
O d v, 其中
x
是
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
对称性可知原式为 0.
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2π
d
1
r
3
dr
π
20
0
4
O 1x
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I (x2 xyex2 y2 ) dxdy D
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
由对称性知
ya
DD3D2 D1 a D4 O a x
在
上是关于 y 的奇函数
在
上是关于 x 的偶函数
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P182 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x) em(ax) f (x)dx
其中 是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 .
D1 z
xO y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 π (2Rz z2)dz
0
R R
z2 π(R2 z2)dz
y2
dx
12 y
1 2
y2
1 3
y3
3
4
2
y
1 2
y2
1 3
y3
1
2
52 2 3
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心
2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
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P183 7. 把积分
其中 由曲面
所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
原式
1
dx
1
x2 y2
dy f (x, y, z)dz
1
x2
0
O1
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P183 8 (1) .计算积分
习题课
第十章
重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
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一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx OD1D2 1 x 1 y x
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例2. 计算二重积分
I sgn( y x2)dxdy, D : 1 x 1，0 y 1.
D
解:
作辅助线 y x2 把D 分成
y 1
D1, D2 两部分, 则
D1
I D1 dxdy D2 dxdy
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
练习
P182 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)
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解答提示:
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
0 R cos
D:
π 2
π 2
原式
y R cos O D Rx
2 R3 R b2 3
y
y R2 x2
R
由此解得 b 2R
b? O D R x
3
b
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例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y x yex2 y2 d x d y
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性 4. 利用扩展积分域进行计算 练习题
P182 1 , 4 , 8 (2), 11 答案提示: (见下页)
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1(1). 设 由
1
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
O 1x D2
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例3. 求抛物线
所围区域 D 的面积A . y
y2 x
解:如图所示 D D2 \ D1 ,
A D2 d D1 d
3
1 O
D1
D2 D
2
x
4
3 12 y
1
2 y
dy
4
y2
d x dy 2
2
59 πR5
480
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Leabharlann Baidu
P183、8（3）
其中 是由
平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
提示: 利用柱坐标 y cos
z sin
1 2
2
x
5
z
O
x5
y
: 0 10
0 2π
原式
2π d
0
10 3 d
0
5
2 dx
2
250 π 3
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11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
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1(2). D {(x, y) a x a, x y a}, D1 {(x, y) 0 x a, x y a}, 则
(
D
x
y
cos
x
sin
y
)
dx
d
y
A
(A) 2D1 cos x sin y dx dy
(B) 2D1 xy dx dy
(C) 4D1 ( xy cos x sin y) dx dy
x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0
(B) 1 y dv 4 2 y dv
确定 , 由
所确定 , 则 C
上半球
第一卦 限部分
z R
(D) 1 xyz dv 4 2 xyz dv
1 2
Oy
x
提示: 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,
右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
00
0
y
提示: 左端积分区域如图,
a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P183 8(2). 求
z
ln(x2 y2 x2 y2
z2 1) z2 1
O d v, 其中
x
是
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
对称性可知原式为 0.
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2π
d
1
r
3
dr
π
20
0
4
O 1x
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I (x2 xyex2 y2 ) dxdy D
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y