高等数学高等教育出版社第十章D10习题课ok.ppt
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高等数学 第10章
例1 求幂级数
(2)n
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
第三节 幂级数
一、幂级数及其收敛性
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) L an (x x0 )n L （1-3）
n0
的级数，称为幂级数， 其中ɑ0, ɑ1, ɑ2, … ,ɑn, … 都是常数，称为幂级数的系数。
3
n2
(n 1，2 ，L ) ，
而 p 3 1 ，级数
1
3
收敛，
2
n n1 2
由比较审敛法知，该级数收敛。
例2 判断下列级数的敛散性：
(1)
1
n1 n n 1
π
(2) n1 sin 2n
（2）因为
lim
sin
π 2n
1
n π
2n
(n 1，2 ，L )
而等比级数
π
收敛，
2n
n1
由比较审敛法知，该级数收敛。
第一节 常数项级数的概念与性质
一、引例
引例【无限循环小数问题】 级数的初步思想实 际上已经蕴涵在算术中的无限循环小数概念里了。 将 1 化为小数时，会出现无限循环小数。
3
0.3 3 ， 10
0.33
3 10
3 100
3 10
3 102
，
0.333
3 10
3 100
3 1000
3 10
3 102
n1
un
n1
发散，则级数
vn 发散。
n1
n1
比较审敛法还有另一种形式——比较审敛法的极限形
高等数学电子课件第十章 10.4
第十章 无穷级数
例8：将函数 f ( x) x 1 4 x
第一节 数项级数的概念与性质
展开成x=1的幂级数．
解： 1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 3 [ 1 x 3 1 (x 3 1 )2 (x 3 1 )n ]x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n x13
❖直接展开法的步骤(麦克劳林级数)
第一步 求出f (x)的各阶导数:
f (x), f (x), , f (n)(x), ;
第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:
f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ;
第三步 写出幂级数
f(0 )f(0 )x f(0 )x 2 L f(n )(0 )x n L
数, 则在该邻域内有
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2 f(nn )(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n(1介于x与x0之间). 这个公式
称为泰勒公式,其中的Rn(x)称为拉格朗日型余项.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换,四
则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展
开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
高等数学D10习题课
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
D10习题课高等数学教学课件第十章
(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln
n1
n
n
1
n
lim ln(k 1) ln k
n k 1
lim ln(n 1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
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(4)
(1)n
n1
(n 1)! n n 1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
习题课
第十章
级数的收敛、求和与展开
一、性质
二、数项级数的审敛法 三、求幂级数收敛域的方法 四、幂级数和函数的求法 五、函数的幂级数和付式级数
展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
lim un l (1) l为非零常数 : “同收同散”;
v n n
(2) 其它情形: “同收同散”
推论3(比值审敛法) lim un
u n n1
推论4 (根值审敛法)
lim n
n
un
注：lim un1 u n
n
l
lim n n
un
l，反之不必然。
例： un
n1
1 2
1 32
1 23
所以原级数绝对收敛 .
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三、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
高等数学下册第十章课件.ppt
则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
高等数学(下)D10习题课PPT课件
第一型曲线积分 变密度弯曲刚丝 的质量
第一型曲面积分 变密度空间曲面 薄片的质量
❖ 9、对称性
❖ 当积分区域关于面对称时，若被积函数关于为偶 函数，即
❖ ，则
❖
其中为在面之上方的部分
❖ 若被积函数关于为奇函数, ，即，则
❖
当关于其他坐标面对称时有类似结论。
❖ 10、各类坐标系的选择
❖ （1）当积分区域是圆柱形或圆锥形区域，或在某
j D
a1 ( x )
如果D是Y型区域: D{(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd}, 则
y y y D f ( x , y ) d c d d [ d 1 2 ( ( y y ) 2 ) ( y f ) ( f x ( , x y , ) y d ) d ] d . y x 先的对二y x次后积对分yx y c 1 ( y )
2 2
x d 1 y [ y x ] d yy dx
D
1 2 [ y x 2 2 ] 2 y d 1 2 ( 2 y y 2 3 y ) d [ y 2 y 8 4 ] 1 2 y 8 9 .
例 2计 算 y 1 x 2 y 2 d,其 中 D 是 由 直 线 y 1 、 x 1
坐标面上的投影是圆域，被积函数具有的形式，常 采用柱坐标系。
❖ （2）当积分区域是与球相关的区域，而被积函数 具有的形式时，常采用球坐标。
❖ （3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直 角坐标系。
一、二重积分的计算
1. 直角坐标系下二重积分的计算 2. 极坐标系下二重积分的计算
二、利用直角坐标计算二重积分
8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。
10高等数学课件(完整版)详细
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
3、1
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
讨论
s2n
sn
1 n
1
n
1
2
1 2n
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
高等数学 第十章 电子课件
一、常数项级数的概念
（3）同样地，以正十二边形的每一边为底，在弓形内作顶点在圆上的十二个等腰三角形，设 其面积之和为 u3 ，则 u1 u2 u3 （圆内接正二十四边形的面积）仍是 S 的一个近似值，其近似程度 要比 u1 u2 好．
（4）如此继续下去，圆内接正 3 2n 边形的面积为 u1 u2 u3 un ， 其十分逼近圆的面积，当 n 时，该和式的极限就是所要求的圆面积 S ，也就是说圆面积 S 是无穷多个数的累加，即 S u1 u2 u3 un ．
一、函数项级数的概念
函数项级数（10-1）收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．
在收敛域上，函数项级数（10-1）的和是 x 的函数 s(x) ，称 s(x) 为函数项级数（10-1）的和
函数，并写成 s(x) u1(x) u2 (x) u3(x) un (x) ．
若函数项级数（10-1）前
n
项的部分和记作
sn
(x)
，则在收敛域上有
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
．
记
rn
(
x)
s(
x)
sn
(x)
，称
rn
(
x)
为函数项级数（10-1）的余项，并有
lim
n
rn
(
x)
0
．
二、幂级数及其敛散性
幂级数是一种特殊的函数项级数，其各项都是常数乘幂函数，它的形式是
an xn a0 a1x an xn ，
n0
（10-2）
其中 a0 ，a1 ， ，an ， 都是常数，称为幂级数的系数， an xn 称为幂级数的通项．例如，
大一高数课件第十章10-习题
习题4
添加 标题
题目：求函数y=sin(x+π/4)在[0,π]上的最大值和最小值
添加 标题
解题思路：利用正弦函数的性质，将函数化为标准正弦函数形式，再利用正弦函数的单调性求解。
Байду номын сангаас
添加 标题
解题步骤：将函数y=sin(x+π/4)化为标准正弦函数形式y=sin(x+π/4)=sinx*cosπ/4+cosx*sinπ/4，再利用正弦 函数的单调性，当x=π/4时，y取得最大值1；当x=3π/4时，y取得最小值-1。
• 结论：函数y=sin(x+π/4)在[-π/2,π/2]上的最大值为1，最小值为-1
习题2
单击此处添加标题
题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1的单调区间
单击此处添加标题
解题思路：首先求导数，然后判断导数的正负性，从而确定函数的单调区间。
单击此处添加标题
具体步骤：对函数f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+9，解不等式f'(x)>0得到x<1或x>3，解 不等式f'(x)<0得到1<x<3，所以函数f(x)在区间(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在区间(1,3) 上单调递减。
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大一高数课件第十章10-习题
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 习 题 内 容 03 习 题 解 析 04 习 题 答 案
01
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高等数学电子课件第十章 10.1精品文档
lim n
1q
即级数发散；
（3） 若q=-1，则级数成为： a a a a ( 1 )n 1a
由于
sn
0,
a
,
当n为偶数 当n为奇数
所以
lim
n
sn
不存在，故级数发散．
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
(3) 若q=1，则级数成为：
a a a a
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
例如：下列各式均为常数项级数
1 1 1
1
2n
n1
24
2n
；
n12 n ；
n1
( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ；
n 1
cosncos1cos2 cosn .
第一节 数项级数的概念与性质
二、数项级数的基本性质
性质1. 若级数
un
n1
收敛于 S 即, S u n , 则各项
n1
乘以常数
k
所得级数
k un
也收敛 ,其和为 kS .
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
由于 sn
na
所以
lim
n
sn
不存在，
所以级数也发散．
综上
aqnBiblioteka q1时,收敛其和a为 1-q
n0 当q 1时,发散
第十章 无穷级数
1
例如：
2n
n0
高等数学教学课件-第十章.10.1-10.2 53页PPT文档
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
例21 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
10
积分性质5
200I200 即: 1.96 I 2 102 100
P137 :
5、利用二重积分性质估计下列积分的值：
（1）I xy( x y )d ,其中D : 0 x 1,0 y 1;
D
（2）I sin2 x sin2 yd ,其中D : 0 x ,0 y ;
1
所围成区域.
o
解： 由已知得积分区域D ：
xy1x,0y,0.
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
解: 积分域由两部分组成:
D1
:
0
y
1 2
0x
x2 2
,
D2
:0y 8x2 2x2 2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D : 2yx 8y2
0y2
y x2y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D
（二重积分估值不等式）
例21 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
10
积分性质5
200I200 即: 1.96 I 2 102 100
P137 :
5、利用二重积分性质估计下列积分的值：
（1）I xy( x y )d ,其中D : 0 x 1,0 y 1;
D
（2）I sin2 x sin2 yd ,其中D : 0 x ,0 y ;
1
所围成区域.
o
解： 由已知得积分区域D ：
xy1x,0y,0.
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
解: 积分域由两部分组成:
D1
:
0
y
1 2
0x
x2 2
,
D2
:0y 8x2 2x2 2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D : 2yx 8y2
0y2
y x2y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
高等数学大学课件 10-9
3
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例3 求方 y 3 y程 2 yx2x e 的.通解
解 特征方程 r23r20,
特征根 r11， r22，
下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函 数形式时，如何求特解：
一、 f(x)exP m (x 型)
其中 是常Pm 数 (x)是 ， x的 m 次多. 项
y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y p y q y 0 ,
通解结构 yYy*,
第十章 微分方程
第九节 二阶常系数非齐次线性微 分方程
前面我们介绍了下面的定理：
定理 如果函数 y* 是常系数线性非齐次方程
y + p y + q y = f (x) 的一个特解，Y 是该方程所对应的常系数线性齐次 方程
y + py + qy = 0
的通解，则
y = Y + y*，
是常系数线性非齐次方程的通解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8 e 2 x
的待定特解的形式.
思为
y
* 1
设
y 4y 4y8 e2x的特解为
y
* 2
则所求特解为
y* y1*
y
* 2
r2 4 r40特征根 r1,2 2
对应齐次方程通解 Yc1exc2e2x,
2是单根，设 yx (A x B )e2x,
代入方程,
得
2 A B x 2 A x A
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例3 求方 y 3 y程 2 yx2x e 的.通解
解 特征方程 r23r20,
特征根 r11， r22，
下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函 数形式时，如何求特解：
一、 f(x)exP m (x 型)
其中 是常Pm 数 (x)是 ， x的 m 次多. 项
y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y p y q y 0 ,
通解结构 yYy*,
第十章 微分方程
第九节 二阶常系数非齐次线性微 分方程
前面我们介绍了下面的定理：
定理 如果函数 y* 是常系数线性非齐次方程
y + p y + q y = f (x) 的一个特解，Y 是该方程所对应的常系数线性齐次 方程
y + py + qy = 0
的通解，则
y = Y + y*，
是常系数线性非齐次方程的通解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8 e 2 x
的待定特解的形式.
思为
y
* 1
设
y 4y 4y8 e2x的特解为
y
* 2
则所求特解为
y* y1*
y
* 2
r2 4 r40特征根 r1,2 2
对应齐次方程通解 Yc1exc2e2x,
2是单根，设 yx (A x B )e2x,
代入方程,
得
2 A B x 2 A x A
高等数学-电子课件05第十章 习题课
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
x2
d y2
D
x 2
x2
1dx1 x
dy y2
D
2 1
(
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(x3 x)dx
1
9. 4
23
例2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
ezdv2ezdv
上
1
20[dxd]eyzdz D(z)
21(1z2)ezdz2. 0
28
例7 计算三重积分 (y2 z2)dv其中是由 xoy 平面
上曲线 y2 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5
所围成的闭区域。 x x
提示：
利用柱坐标
y
cos
:
1 2
2
x5
0 10
z sin
yy(x,y,z)dxdyd, zz (x,y,z)dxdydz
z(x,y,z)dxdydz (x,y,z)dxdydz
当 (x,y,z) 常数 时, 则得形心坐标：
x
xdxd
yd ,
z
y ydxdyd,z
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
x2
d y2
D
x 2
x2
1dx1 x
dy y2
D
2 1
(
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(x3 x)dx
1
9. 4
23
例2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
ezdv2ezdv
上
1
20[dxd]eyzdz D(z)
21(1z2)ezdz2. 0
28
例7 计算三重积分 (y2 z2)dv其中是由 xoy 平面
上曲线 y2 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5
所围成的闭区域。 x x
提示：
利用柱坐标
y
cos
:
1 2
2
x5
0 10
z sin
yy(x,y,z)dxdyd, zz (x,y,z)dxdydz
z(x,y,z)dxdydz (x,y,z)dxdydz
当 (x,y,z) 常数 时, 则得形心坐标：
x
xdxd
yd ,
z
y ydxdyd,z
《高等数学教学课件》第十章.10.1-10.253页PPT
, 1 2
(sigma(西格玛) 小写σ 大写Σ) n
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线
平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，
这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个
i(i1,2, ,n) 中各任取一点 p(i ,i )
以f(i ,i ) 为高,底为 i 小平顶柱体体积为:
第一节 二重积分的概念与性质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质
一、问题的提出 1．平顶柱体的体积 =底面积× 高 特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
z
二、二重积分的概念
1．什么是曲顶柱体？
o
y
x
的边以界x曲oy线平C面作的准有线界而闭母区线域平D行为于底轴、z 的侧柱面面是，以D
答I： 1与 I2之间关I系 14为 I2 ：
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
m f(x,y)dM
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
高等数学课件D10_习题课共32页文档
高等数学课件D10_习题课
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
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11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
00
0
y
提示: 左端积分区域如图,
a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P183 8(2). 求
z
ln(x2 y2 x2 y2
z2 1) z2 1
O d v, 其中
x
是
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
对称性可知原式为 0.
习题课
第十章
重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用Leabharlann 目录 上页 下页 返回 结束
一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2π
d
1
r
3
dr
π
20
0
4
O 1x
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I (x2 xyex2 y2 ) dxdy D
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
1
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
O 1x D2
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例3. 求抛物线
所围区域 D 的面积A . y
y2 x
解:如图所示 D D2 \ D1 ,
A D2 d D1 d
3
1 O
D1
D2 D
2
x
4
3 12 y
1
2 y
dy
4
y2
d x dy 2
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1(2). D {(x, y) a x a, x y a}, D1 {(x, y) 0 x a, x y a}, 则
(
D
x
y
cos
x
sin
y
)
dx
d
y
A
(A) 2D1 cos x sin y dx dy
(B) 2D1 xy dx dy
(C) 4D1 ( xy cos x sin y) dx dy
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
练习
P182 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)
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解答提示:
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
0 R cos
D:
π 2
π 2
原式
y R cos O D Rx
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx OD1D2 1 x 1 y x
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例2. 计算二重积分
I sgn( y x2)dxdy, D : 1 x 1，0 y 1.
D
解:
作辅助线 y x2 把D 分成
y 1
D1, D2 两部分, 则
D1
I D1 dxdy D2 dxdy
2 R3 R b2 3
y
y R2 x2
R
由此解得 b 2R
b? O D R x
3
b
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例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y x yex2 y2 d x d y
提示: 如图 , D D1 D2 D3 D4
由对称性知
ya
DD3D2 D1 a D4 O a x
在
上是关于 y 的奇函数
在
上是关于 x 的偶函数
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P182 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x) em(ax) f (x)dx
2
59 πR5
480
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P183、8（3）
其中 是由
平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
提示: 利用柱坐标 y cos
z sin
1 2
2
x
5
z
O
x5
y
: 0 10
0 2π
原式
2π d
0
10 3 d
0
5
2 dx
2
250 π 3
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
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P183 7. 把积分
其中 由曲面
所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
原式
1
dx
1
x2 y2
dy f (x, y, z)dz
1
x2
0
O1
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P183 8 (1) .计算积分
其中 是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 .
D1 z
xO y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 π (2Rz z2)dz
0
R R
z2 π(R2 z2)dz
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性 4. 利用扩展积分域进行计算 练习题
P182 1 , 4 , 8 (2), 11 答案提示: (见下页)
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1(1). 设 由
x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0
(B) 1 y dv 4 2 y dv
确定 , 由
所确定 , 则 C
上半球
第一卦 限部分
z R
(D) 1 xyz dv 4 2 xyz dv
1 2
Oy
x
提示: 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,
右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
y2
dx
12 y
1 2
y2
1 3
y3
3
4
2
y
1 2
y2
1 3
y3
1
2
52 2 3
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心
2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力