概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差

上课时间: 上课教师：

上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差

上课规划：解题技巧和方法

一 两点分布

⑴两点分布

如果随机变量X 的分布列为

X

1 0

P p q

其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．

X

1 0

P

0.8 0.2

两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差：

二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．

1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨

⎩

，针尖向上；

，针尖向下.，如果针尖向上的

概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．

2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的

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典例分析

白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时，

，当取到白球时，

01X ，求随机变量X

的概率分布．

3、若随机变量X 的概率分布如下：

X

1

P

29C C -

38C -

试求出C ，并写出X 的分布列．

3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量

⎩⎨

⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点

面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点

ξ

试写出随机变量ξ的分布列．

4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．

⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；

⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．

二 超几何分布

将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)

i n =列表表示：

X

1x 2x … i x … n x P

1p

2p

…

i p

…

n p

一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n

N

P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，

则()nM E X N =，2

()()()(1)

n N n N M M

D X N N --=-． 例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是 ．

练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其

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中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．

练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．

练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη

，的期望值及方差．

三二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列

X

0 1

…

k

…

n

P

00C n n p q 111C n n p q - … C k k n k n p q - … 0C n n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式

001110()C C C C n n n k k n k n

n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则

()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

二项分布的概率计算

例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1

~(4)3

B ξ，，

则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23

，则甲以3:1的比分获胜的

概率为（ ） A ．

827

B ．6481

C ．49

D ．89

练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12

，他投球10次，恰好投

进3个球的概率 ．（用数值表示）

练习 3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）

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