概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差上课时间: 上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一 两点分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X1 0P p q其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X1 0P0.8 0.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的知识内容典例分析白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时，，当取到白球时，01X ，求随机变量X的概率分布．3、若随机变量X 的概率分布如下：X1P29C C -38C -试求出C ，并写出X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．二 超几何分布将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N MnNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-． 例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是 ．练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其知识内容典例分析中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．三二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列X0 1…k…nP00C n n p q 111C n n p q - … C k k n k n p q - … 0C n n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布的概率计算例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827B ．6481C ．49D ．89练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）练习 3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）知识内容典例分析例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．练习 1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.9728练习2.设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至，求事件A在一次试验中发生的概率．少发生一次的概率等于6581例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获概率都是12得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1，若中奖，则家具城返还顾客5现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．例题：设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，p eλ-试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设．他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题:已知(100.8)X B ，~，求()E X 与()D X ．练习1.已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8 练习 2.已知随机变量X服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X = ，方差()D X = ．练习 3.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值分别为 ， ．练习4.一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 ．例题：甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121352，，．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．练习 1.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X 的分布列及X 的数学期望与方差．练习2.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）典例分析知识内容x=μO y x1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()21()2x r f x eσσ-=π B ．222π()2πx f x e -= C ．2(1)41()22x f x e-=πD ．221()2x f x e=π2.若正态分布密度函数2(1)21()()2x f x ex --=∈R π，下列判断正确的是（ ）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()2212πx f x e-=，下列说法不正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 最大值为12πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称 4.设ξ的概率密度函数为2(1)21()2x f x e--=π，则下列结论错误的是（ ）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-， （二)求μσ,的取值以及概率例题：设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πx x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x -<<+的值．练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102x f x eπ--=，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10 （三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->练习1.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12练习2.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为 ． 练习3.已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 练习4.已知2(1)X N σ-，~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．无法计算 加强训练：1设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．2设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．3正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．4某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ． （四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．(五）正态分布的3σ原则例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？练习2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习3.以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2F μσ+练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． ⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．(1)p p-- B．np C．n D．(1) np p4、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A、20 B．25 C．30 D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白出1个球，得到黑球的概率是25．球的概率是79⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；．并⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．6.一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？7.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1，从B中摸出一个红球的概率为p．3⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸，求p的值．出一个红球的概率是258、一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数i为硬币在5次抛掷中有3j次正面向上的概率，求i j+．9、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在20层下的概率．311、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()≤次红球的概率．k k n12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13、若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1∈N，≥）n n14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．23、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2．3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分．⑴ 求拿4次至少得2分的概率；⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中，11a =，(2345)k a k =，，，出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345a a a a a ξ=++++，当程序运行一次时， ⑴ 求3ξ=的概率；⑵ 求ξ的概率分布和期望．27、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ． ⑴ 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； ⑵ 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．。