电路分析基础 (4)

第四章 分解方法及单口网络
本章重点：等效方法、戴维南定理、诺顿定理、 最大功率传输定理
本章难点：等效理念和电路等效方法
§4-1 分解的基本步骤
分解方法：使结构复杂电路的求解问题化为结构较 简单电路的求解问题，适用于线性、非线性电路。 单口网络：对外具有两个引出端的网络整体
单口网络的分类：分为有源 单口网络和无源单口网络。
§4-1 单口网络的电压电流关系
单口VCR由单口本身性质决定，与外接电路无关
单口VCR求解方法：
1）消元法
10 5i2 u 0
u 20(i i2 )
消去i2
u 8 4i
2）外施电压源法
i
i1
i2
u 20
u
10 5
u 8 4i或i u 2
4
3）外施电流源法：
11
10
( )u 5 20
2、N1、N2 对外电路等效，其内部不等效； 3、等效是建立在相同VCR基础上的，置换则是建立
在相同工作点基础上的；
1、无源单口网络的纯电阻电路等效变换（此两图了解即可）
Ri Ri = 30
Ri
Ri Ri = 1.5
Ri
2、无源单口网络的含受控源电路等效变换
例1：将图示单口网络化为最简形式。
U Uoc (I Is )Ro RoI (IsRo Uoc )
因 U=2000I+10
故 RoI=2000I Is Ro Uoc 10
Ro 2000 Uoc 6V
线
性
Is
含 源
网
络N
2、求某一条支路的响应 例2：用戴维南定理求图示电路中的电流i。 解：1）移去待求支路得单口网络 2）求开路电压Uoc ： Uoc 28 12 2 52 V 3）求除源电阻Ro ：Ro =12 4）画出戴维南等效电路， 并接入待求支路求响应。
i1 2 A
i2 1A i3 1A u3 8V
i1 2 A
i2 1A i3 1A u3 8V
i1 2 A
i2 1A i3 1A u3 8V
支路元件不同，但整个电路中各支路的电压、电流相同。
2. 置换定理
在任意集总参数电路中，若第k条支路的电压Uk和电流Ik已
知，则该支路可用下列任一元件组成的支路替代:
5
is
is i
u 8 4i或i u 2 4
结论 ( 单口VCR由单口本身性质决定，与外接电路无关 )
1）含独立电源单口网络的VCR可以表示成u=A+Bi
2）纯电阻单口网络的VCR可以表示成u=Bi
§4-3 置换定理
1. 引例 求各图示电路电压U和电流I。
i1 2 A i2 1A i3 1A u3 8V
R31
R2
R12
R12 R23 R23
R31
R3
R12
R23 R31 R23
R31
例：图示电路，求i1、i2
解: 将三角形连接变换为星形连接:
R1
R12
R12 R31 R23
R31
50 40 =20
50 40 10
R2
R12
R12 R23 R23
R31
10 40 50 40 10
15 V
所求电路戴维南等效电路如右图。
注意：
Uo
电阻Ro为该单口网络的除源等效电阻Ro。
说明：（1） 该定理称为等效电压源定理，也称为戴维南或 戴维宁定理（Thevenin’s Theorem）；
（2）由定理得到的等效电路称为戴维南等效电路， Uoc 和Ro称为戴维南等效参数。
1、线性含源单口网络的化简 例1：已知图示网络的伏安关系为： U=2000I+10 并且Is=2mA，求网络N的戴维南等效电 路解。： 设网络N 的戴维南等效电路参 数为Uoc和Ro，则有
Rs
(b)
3、实际电源模型的等效变换
1）已知实际电压源模型，求实际电流源模型
等效条件：保持端口伏安关系相同。
Rs Us
(1)
图(1)伏安关系: u = Us - iRs
图(2)伏安关系: u = (Is - i) Rs’
= Is Rs’ - i Rs’
Is
Rs’
(2)
等效变换关系： Us = Is Rs’ Rs= Rs’
例4：求电压u、电流i。
解: 由等效电路, 在闭合面,有
u u u 2 0.9i 18k 1.8k 9k
i u 1.8k
u 9V
i 0.5A
结论：无源单口网络外部特性总可以用一个等效电阻等效。
练习：图示电路,求电压Us。
解: 由等效电路,有 Us
i 10 16 0.6A 64
u 10 6i 13.6V
§4-1 分解的基本步骤
明确的单口网络： 在单口网络中不含有任何能通过电或非电的
方式与网络之外的某些变量相耦合的元件。
描述单口网络的方式： 1）具体的电路模型； 2）端口电压与电流的关系，表示为方程或
曲线的形式。 3）等效电路。
§4-1 分解的基本步骤
分解基本步骤： （1）把给定网络分为 N1 和 N2； （2）分别求出N1和N2的VCR； （3）联立两者的VCR求N1和N2的端口电压和电流； （4）分别求解N1和N2 内部各支路电压和电流。
一、电阻的星形、三角形连接 (a) 星形连接（T形、Y形） (b) 三角形连接（形、形）
二、从星形连接变换为三角形连接
R1
R3
R2
u12 i1R1 i2R2
u31 i3R3 i1R1
i1 i2 i3 0
u12 u31 R12 R31
R31 R12 R23
i1
R3u12 R2u31 R1R2 R2 R3 R3R1
例4：图示电路，用戴维南定理求电流I2。
解： 移去待求支路，有
I2
6kI 2kI 4k(I 10m) 0
I 5mA Uoc 6kI 30V
除源外加电压,有 由等效电路得 I2 3mA
6k
I2
3ki 6kI u 3ki 2kI 4k(i I) u
+
i
u Ro i 6k
施加同一电压的连接方式。
特点：
1）所有电阻施加同一电压；
N
2）等效电导: G Gk
k 1
3）所有电阻消耗的总功率:
(a)
(b)
N
P Pk
k 1
4）电阻分流公式：im
Gm
N
i
Gk
k 1
三、电阻混联及等效变换 定义：多个电阻部分串联、部分并联的连接方式
例： 求等效电阻R。
7k
4-9 T型网络和Π形网络的等效变换
Ro Io
Uo
Ro
Us R1
U0
Io Ro
(U s
/ R1 R1
Is )R1R2 R2
(Ro :除源电阻)
+
R1
Uoc
-
(Io : 短路电流Isc )
(Uo : 开路电压Uoc )
二、定理
线性含源单口网络对外电路作用可等效为一
个理想电压源和电阻的串联组合。
Ro
其中：
电压源电压Uo为该单口网络的开路电压Uoc ；
i 52 2.6A 12 8
+
- UocRo
例3：图示电路，用戴维南定理求电流I。 + Uoc -
解：1）移去待求支路得单口网络
Ro
2）求开路电压Uoc ：Uoc 40V
3）求除源电阻Ro ：Ro =7
I 40 10 A 75 3
4）画出戴维南等效电路，并接入待求支路求响应。
3、含受控源电路分析
（二）电阻连接及等效变换
一、电阻串联及等效变换
定义：多个电阻顺序相连， 流过同一电流的连接方式。
特点：
1）所有电阻流过同一电流；
N
2）等效电阻: R Rk
k 1
3）所有电阻消耗的总功率:
N
P Pk
(a)
(b)
k 1
4）电阻分压公式： um
Rm
N
u
Rk
k 1
二、电阻并联及等效变换
定义： 多个电阻首端相连、末端相连，
由等效概念,有
变换式：
R12
R1
R2
R1R2 R3
R31 R3 R1
R3 R1 R2
1
R3
R12 R1R2 R2R3 R3R1
1
R2
R31 R1R2 R2R3 R3R1
R23
R2
R3
R2 R3 R1
三、从三角形连接变换为星形连接
R1
R2 R3
R31 R12 R23
变换式：
R1
R12
R12 R31 R23
=4
R3
R12
R23 R31 R23
R31
5010 50 40 10
=5
解得：i=2A u31 =30V
i2 = - 1A, i1 =0.6A
20
5 4
一、引例
§4-6 戴维南定理
将图示有源单口网络化简为最
简形式。
Us
I0
Us R1
Is
R0
R1R2 R1 R2
R1 R2
Is Isc
2、电流源 （1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
i
is1
is is2
(a)
(b)
（2）串联：
等效变换式： is = is1 - is2
只有电流数值、方向完全相同的独立电流源才可串联。
二、实际电源及等效变换 1、实际电压源模型
（1）伏安关系：
u = Us - iRs
Us
Rs
其中：Rs直线的斜率。
利用置换定理,有：
U1 28 20 0.6 6
=10V I1=0.4A IR=0.6-0.4=0.2A
R=50.
US
+ 28V -
+I1
IR
U1
-
§4-4 单口网络的等效电路
一、引例
(a) U=（6k+12k+3k）i
(b) U=R(iR=21k)
二=、2等1k效i 定义：如果一个单口网络N1和另一个单
即： Us =Is Rs Rs’ = Rs
注意：
1、等效条件：对外等效，对内不等效。 2、实际电源可进行电源的等效变换。 3、实际电源等效变换时注意等效参数的计算、电源数值 与方向的关系。 4、理想电源不能进行电流源与电压源之间的等效变换。 5、与理想电压源并联的支路对外可以开路等效；
与理想电流源串联的支路对外可以短路等效。
（1）电压为Uk的理想电压源； （2）电流为Ik的理想电流源； （3）电阻为Rk= Uk/Ik的电阻元件（置换后电路中还
存在电源）。
注意：1、支路k应为已知支路； 2、置换与等效不相同，是一种基于工作点相同 的等效替代；（P119） 3、置换电源的方向；
3. 应用举例 求图示电路中的US和R。
解： I=2A U=2 US=438.6VV
R u 6.4 i
最简形式电路为:
Hale Waihona Puke Baidu
例3：将图示单口网络化为最简形式。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
解: 递推法(在齐次定理中使用过) 设i0=1A 则uab=2V
i3
i1=0.5A
b
d
i2=1.5A ucd=4V
i3=0.5A u= ucd +3i = 10V
i=2A
R u 5 i
故单口网络的最简形式如右图所示。
由原电路,有 U s u 10i 19.6V
§4-5 一些简单的等效规律和公式
（一） 电源模型及等效变换
一、独立源的连接及等效变换
1、电压源
us1
us
（1）串联：
us2
所连接的各电压源 流过同一电流。
(a)
(b)
（2）并联：
等效变换式：us = us1 - us2
只有电压数值、极性完全相同的独立电压源才可并联。
解: 外加电压u,有
i1
i2
u 3
i1
u
u
2
u
i2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源的单口网络在等效时，等效电阻可能为负值。
例2：将图示单口网络化为最简形式。
解: 单口网络等效变换可化简为右图, 由等效电路,有
u 6i 4i 3.6i
即： Is =Us /Rs Rs’ = Rs
2）已知实际电流源模型，求实际电压源模型
等效条件：保持端口伏安关系相同。
Is
Rs
(1)
图(1)伏安关系:
i= Is - u/Rs
Rs’
图(2)伏安关系:
Us
i = (Us - u) /Rs’
= Us /Rs’ - u/Rs’
(2)
等效变换关系： Is =U s /Rs’ Rs= Rs’
Us
（2）电路模型:
(a)
(b)
实际电压源模型可等效为一个理想电压源Us和电 阻Rs的串联组合。
2、实际电流源模型 （1）伏安关系：
i = Is - u/Rs = Is - uGs 其中：Gs直线的斜率。
（2）电路模型：
实际电流源模型可等效 为一个理想电流源Is和电阻 Rs的并联组合。
Is
(a)
Is
口网络N2的电压、电流关系完全相同，亦即它们
在u-i平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两个
单口网络等效。
等效条件：对外等效，对内不等效。
三、分类： 有源单口网络等效（理想电源、理想电源+电阻、
理想电源+电阻+受控源）
无源单口网络等效（纯电阻、电阻+受控源）
四、注意：
1、两网络必须对任一外电路等效，而不是对某一特 定的外电路等效；
+
30V
u
Uoc
-
-
例5：求出图示电路的戴维南等效电路。
I
i
i
+
+
Uoc
u
-
-
(10-6)k 15V
解：求开路电压Uoc:
外加电压求输入电阻Ro:
Ro
u i
由于开路,I=0, 故有 由除源等效电路,有
( 10 6 ) k
Uoc 10 0.5m ( 4k 6k ) u 6k ( i i ) 4k i